Как найти объем оставшейся части шара

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить объем сегмента шара, а также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

• Определение сегмента шара

• Формулы для нахождения объема шарового сегмента
  • Через радиус шара и высоту сегмента

  • Через радиус основания сегмента и его высоту
• Пример задачи

Определение сегмента шара

Сегмент шара (или шаровый сегмент) – это часть шара, отсеченная плоскостью. На чертеже ниже закрашен зеленым цветом.

• R – радиус шара;
• r – радиус основания сегмента;
• h – высота сегмента; это длина перпендикуляра от центра его основания (точка O₂) до точки на поверхности шара.

Формулы для нахождения объема шарового сегмента

Пояснения:

• В формулах ниже используется радиус шара (R) или радиус основания сегмента (r). Поэтому, если изначально дан их диаметр (d), то чтобы найти требуемый радиус, нужно соответствующий диаметр разделить на два.
• Число π округленно равняется до 3,14.

Через радиус шара и высоту сегмента

Чтобы найти объем (V) сегмента шара, необходимо знать радиус шара и высоту сегмента.

Через радиус основания сегмента и его высоту

Вычислить объем (V) шарового сегмента можно, зная его высоту и радиус основания (круга).

Данная формула получена следующим образом:

Радиус шара можно выразить через радиус основания сегмента и его высоту:

Таким образом, заменив R в первой формуле для расчета объема на выражение выше, получаем:

Пример задачи

Найдите объем сегмента шара, если известно, что его высота равняется 4 см, а радиус шара – 9 см.

Решение

В данном случае с учетом известных значений нам подходит первая формула:

Тела вращения — это объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Содержание:

1. Объем цилиндра
2. Объем конуса
3. Объем шара
4. Объемы частей шара

Объем цилиндра

Определение поперечного сечения цилиндра такое же, как и поперечных сечений призмы или пирамиды.

Теорема 12. Каждое поперечное сечение кругового цилиндра есть круг, равный основанию.

На рисунке 2.520 плоскость , параллельная плоскостям оснований цилиндра, является его поперечным сечением. Теорема 12 доказывает, что в сечении получается круг.

Из теоремы 12 можно получить следствие: каждое поперечное сечение кругового цилиндра имеет ту же площадь, что и основание.

Теперь можно вывести формулу для нахождения объема цилиндра.

Теорема 13. Объем кругового цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.

Итак

где S — площадь основания цилиндра, a h — его высота.

Пример: 

Дана правильная треугольная пирамида объема V. В эту пирамиду вписан цилиндр так, что одно из его оснований принадлежит основанию пирамиды, а другое основание вписано в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Найдите наибольший возможный объем такого цилиндра.

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1. Правильная треугольная пирамида SABC, объем ее равен V.

2.    В пирамиду вписан цилиндр, нижнее основание цилиндра принадлежит основанию пирамиды, а второе — плоскости сечения, параллельного основанию (рис. 2.521).

3.    Найдите наибольший возможный объем цилиндра.

4.    Высоту пирамиды обозначим Н, длину стороны основания — , высоту цилиндра — h, радиус цилиндра — .

Нужно найти наибольший возможный объем цилиндра. Как это сделать? Можно выразить объем цилиндра как функцию, например, высоты цилиндра h и найти максимум этой функции.

5.    Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью верхнего основания цилиндра. Это правильный треугольник, гомотетичный основанию

ABC с коэффициентом гомотетии, равным (рис. 2.521) (1, 2, свойства гомотетии).

6.    Сторона сечения имеет длину , а радиус вписанной окружности равен. Это и есть радиус цилиндра, т. е.  (1, 2, 5).

7.    Находим объем цилиндра как функцию h:

(1, 2, 6, формула объема цилиндра).

8.    Найдем критическую точку найденной функции:  При функция имеет наибольшее значение, равное  (7, свойства экстремума функции). 

9.    По условию

10.    Наибольший возможный объем рассматриваемых цилиндров равен  (7, 8, 9).

Объем конуса

Рассмотрим свойства поперечных сечений конуса.

На рисунке 2.522 изображено поперечное сечение конуса. Плоскость параллельна плоскости основания конуса.

Имеет место важное свойство поперечного сечения конуса. 

Теорема 14. Даны конус высоты h и его поперечное сечение, высекаемое плоскостью, удаленной от его вершины на расстояние d. Тогда площадь поперечного сечения конуса равна площадиего основания, умноженной на .

Пользуясь принципом Кавальери, получаем формулу вычисления объема кругового конуса.

Теорема 15. Объем кругового конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту.

Итак,

где S — площадь основания конуса, a h — его высота.

Пример: 

Найдите объем конуса, образующая которого видна из середины высоты конуса под углом

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    Конус с образующей .

2.    РО — высота конуса, М — середина высоты. (рис. 2.523)

3.    РА видна из точки М под углом

4.    Найдите объем конуса.

5.    (1, 2, формула объема конуса).

6.    Введем обозначения: вместо OA — Н, радиус основания конуса OA — R (обозначения).

Итак, решение задачи сводится к нахождению площади основания конуса и его высоты.

7.     (1,2, формула площади круга).

Воспользуемся данным в п. 3 углом.

8.     — прямоугольный. (1, 2, 3, 6, определение котангенса острого угла).

9.     (2, 7).

10.    Из по теореме Пифагора имеем (2, 8, 9, теорема Пифагора).

Мы нашли радиус основания конуса, найдем его высоту Н.

11.      (1, 2, 10, определение котангенса острого угла).

12.  

(10, П).

Объем шара

Для вычисления объема шара используется принцип Кавальери.

Теорема 16. Объем шара равен четырем третьим , где R — радиус шара.

Итак,

где R — радиус шара.

Пример: 

Найдите объем шара, вписанного в тетраэдр с ребром и двугранным углом при ребре основания .

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    Тетраэдр с ребром .

2.    Двугранный угол при ребре основания .

3.    Шар, вписанный в тетраэдр.

4.    Найдите объем шара.

5.     (3, формула объема шара).

Решение задачи сводится к нахождению радиуса шара.

6.    Центр шара, точка О, лежит на высоте пирамиды (1,3, свойства шара, вписанного в тетраэдр).

7.    Проведем высоту пирамиды — центр окружности, описанной около основания пирамиды (построение) (рис. 2.525). (1, 3, 6, свойство тетраэдра).

8.    Шар касается боковой грани тетраэдра — — в некоторой точке К, лежащей на апофеме РМ (1,3, свойство шара, вписанного в тетраэдр) (рис. 2.525).

9.     (2, 7, формула для нахождения радиуса окружности, вписанной в тетраэдр).

Теперь мы можем использовать данные п. 2. Прежде всего следует понять, где на рисунке 2.525 изображен ?

10.     (1, 2, 3, 7, 8, определение линейного угла двугранного угла).

Нужно найти радиус шара Обозначим его R. Как его можно найти? R можно найти из треугольника

11.     (по двум катетам), поэтому

12.    Из находим:

13.    Объем шара

Объемы частей шара

Объем шарового сегмента. Объем шарового сегмента находится по формуле:

где R — радиус шара, a h — высота сегмента (рис. 2.526).

Объем шарового сектора. Объем шарового сектора вычисляется по формуле:

где R — радиус шара, a h — высота шарового сектора (рис. 2.527).

Пример: 

В шаре, диаметр которого равен 50 мм, должно быть просверлено цилиндрическое отверстие вдоль диаметра шара. Вычислить объем остающегося кольцеобразного тела (с точностью до 0,5 ), если диаметр цилиндрического отверстия равен 30 мм.

Решение: 

Из условия задачи имеем:

1.    Шар с диаметром 50 мм и центром О.

2.    В шаре просверлили цилиндрическое отверстие, параллельное диаметру шара, диаметр цилиндрического отверстия равен 30 мм.

3.    Найдите объем оставшейся части шара.

Для решения этой задачи полезно рассмотреть осевое сечение полученной конструкции.

4.    Построим осевое сечение получившегося кольцеобразного тела (рис. 2.528) (построение).

5.    Высверленная часть шара состоит из цилиндра и двух сегментов, следовательно, искомый объем равен объему шара без объема цилиндра и суммы объемов двух сегментов (1,2, свойство объемов).

6.    Высота цилиндра Н = 2 * ОВ. Из прямоугольного треугольника АОВ находим  следовательно, Н = 40 мм (1, 2, 4, теорема Пифагора).

7.    Высота h каждого сегмента равна  5 мм (1, 2, 4).

8.    Обозначим искомый объем буквой V, тогда

после подстановки в правую часть равенства вместо R, r, Н и h их значений получим:

После окончательного подсчета, приняв имеем:

Примечание. Значение п взято равным 3,14, так как искомый объем требовалось найти с точностью до , а объем всего шара при такой точности выражался бы в кубических сантиметрах двузначным числом.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета “Математика”:

• Математика решение заданий и задач

Смотрите также дополнительные лекции по предмету “Математика”:

Понятие шарового сегмента

Если пересечь шар какой-либо плоскостью, то он разделиться на две части, каждая из которых и будет представлять собой шаровой сегмент. Иногда его также называют сферическим сегментом.

Онлайн-калькулятор объема шарового сегмента

Меньший из этих сегментов принято называть сферическим кругом. Если же центр сферы лежит на плоскости, пересекающей шар, то он делится на два равных полушара.

Формула объема шарового сегмента

Объем данного тела можно вычислить несколькими способами. Первая формула такова:

1. Объем шарового сегмента

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)

hh —высота шарового сегмента;
RR — радиус шара.

Альтернативная формула:

2. Объем шарового сегмента

V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)

hh —высота шарового сегмента;
rr — радиус основания шарового сегмента.

Вторую формулу можно получить из первой, если использовать связь между RR, hh и rr:

R=r2+h22⋅hR=frac{r^2+h^2}{2cdot h},

получаемую с помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника.

Ниже приведены примеры задач на нахождение объемов шарового сегмента.

Задача 1

Вычислите объем шарового сегмента, если известны его высота и радиус основания. Равны они, соответственно, 4 см4text{ см} и 8 см8text{ см}.

Решение

h=4h=4
r=8r=8

По второй формуле получаем:

V=16⋅π⋅h⋅(3⋅r2+h2)=16⋅π⋅4⋅(3⋅82+42)≈435.4 см3V=frac{1}{6}cdotpicdot hcdot(3cdot r^2+h^2)=frac{1}{6}cdotpicdot 4cdot(3cdot 8^2+4^2)approx435.4text{ см}^3

Ответ

435.4 см3.435.4text{ см}^3.

Задача 2

Рассмотрим предыдущую задачу, но проделаем вычисления по другой формуле. Для этого нам нужно найти радиус шара RR.

Решение

h=4h=4
r=8r=8

R=r2+h22⋅h=82+422⋅4=10R=frac{r^2+h^2}{2cdot h}=frac{8^2+4^2}{2cdot 4}=10

Объем сегмента:

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)=13⋅π⋅42⋅(3⋅10−4)≈435.4 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)=frac{1}{3}cdotpicdot 4^2cdot(3cdot 10-4)approx435.4text{ см}^3

Исходя из полученных ответов можно сделать вывод, что данная формула справедлива, так как ответы полученные разными формулами совпадают.

Ответ

435.4 см3.435.4text{ см}^3.

Задача 3

Определить объем шарового сегмента, если площадь его поверхности равна 64 см64text{ см}, а высота – 5см5text {см}.

Решение

S=64S=64
h=5h=5

Для начала найдем радиус RR шара. Площадь поверхности шарового сегмента можно найти так:

S=2⋅π⋅R⋅hS=2cdotpicdot Rcdot h.

Найдем отсюда радиус RR шара:

R=S2⋅π⋅h=642⋅π⋅5≈2R=frac{S}{2cdotpicdot h}=frac{64}{2cdotpicdot 5}approx2

Объем шарового сегмента по формуле:

V=13⋅π⋅h2⋅(3⋅R−h)≈13⋅π⋅52⋅(3⋅2−5)≈26 см3V=frac{1}{3}cdotpicdot h^2cdot(3cdot R-h)approxfrac{1}{3}cdotpicdot 5^2cdot(3cdot 2-5)approx26text{ см}^3

Ответ

26 см3.26text{ см}^3.

Хотите заказать выполнение контрольной работы у опытного исполнителя? Оформите заказ на нашей бирже!

Геометрия, 11 класс

Урок №14. Объем шара и его частей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Доказательство теорем об объемах шара и его частей и площади сферы
• Определение частей шара
• Решение задач на нахождение объемов шара, его частей и площади сферы

Основная литература:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 10-11 учебник для общеобразов. учрежд.: база и профильн. М: Просвещение.2009

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни и др. – М.: Просвещение, 2014. – 255, сс. 121-126.

Дополнительная литература:

Шарыгин И.Ф. Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений – М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 178-196.

Потоскуев Е.В., Звавич Л.И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. И профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений – М.: Дрофа, 2004. – 368 с.: ил., ISBN 5–7107–8310–2, сс. 5-30.

Открытые электронные ресурсы:

Образовательный портал “Решу ЕГЭ”. https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?theme=177

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Шаром называется множество всех точек пространства, находящихся от данной точки на расстоянии, не больше данного R.

Радиусом шара называют всякий отрезок, соединяющий центр шара с точкой шаровой поверхности.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Концы любого диаметра шара называются диаметрально противоположными точками шара. Отрезок, соединяющий две любые точки шаровой поверхности и не являющийся диаметром шара, называют хордой шара.

 Сферическим поясом (шаровым поясом) называют часть сферы, заключенную между двумя параллельными плоскостями 

 Шаровым слоем называют часть шара, заключенную между двумя параллельными плоскостями 

Сферическим сегментом называют каждую из двух частей, на которые делит сферу пересекающая ее плоскость.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него какой-нибудь плоскостью.

Шаровым сектором называют фигуру, состоящую из всех отрезков, соединяющих точки сферического сегмента с центром сферы

Объем шара равен .

Объем шарового сегмента равен .

Объем шарового сектора равен .

Объем шарового слоя равен .

Площадь сферы равна S=4 πR².

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 60 градусов вращается вокруг одного из радиусов, образующих этот угол. Найдите объем тела вращения. 

Решение:

При вращении кругового сектора АОВ вокруг радиуса ОА получается тело вращения – шаровой сектор радиуса R=ОА и высотой сектора h=DA. Объем его вычисляется по формуле: V= (2/3)*πR²*h. Рассмотрим сечение этого сектора (смотри рисунок): в прямоугольном треугольнике ОВD (радиус круга ОА перпендикулярен хорде ВС) угол ВОD равен 60° (дано). Значит Тогда высота шарового сектора равна h=DA=OA-OD=R-R/2=R/2. 
V=(2/3)*π*R²*R/2=(1/3)πR³. 

№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара.

Решение:

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью, основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Формула объема шарового сектора: V = (2/3)*πR²*h, где h – высота сегмента. В нашем случае  R=H+h, где Н – высота конуса, а h- высота сегмента. Тогда h = R-H = 6-4 =2, так как Н = (1/3)*2*R (дано). Значит V = (2/3)*π*36*2 = 48π.
Ответ: объем шарового сектора равен 48π

№3.По разные стороны от центра шара проведены два параллельных сечения с площадью  и  см². Расстояние между сечениями равно  см. Определите объём получившегося шарового слоя.

Решение: запишем формулу для вычисления объема шарового слоя.

Чтобы найти объём шарового слоя нам необходимо знать его высоту и радиусы двух его оснований.

По условию задачи нам дано расстояние между сечениями, как раз-таки это расстояние и есть высота данного шарового слоя, и она равна .

Теперь найдём чему равны радиусы оснований шарового слоя. Напомню, что сечением шара плоскостью является круг. Площадь круга вычисляется по формуле . Отсюда найдём радиусы оснований шарового слоя. Тогда имеем, радиус одного основания равен  (см), радиус второго основания равен  (см).

Подставим радиусы оснований и высоту шарового слоя в формулу его объёма. Посчитаем. Получаем, что объём данного шарового слоя равен .