Как найти объем отсеченной треугольной правильной пирамиды

Понятие усеченной пирамиды

Если пересечь обычную пирамиду (с вершиной) плоскостью, которая параллельна ее основанию, то получится две фигуры: первая (верхняя часть) будет меньшей пирамидой, чем исходная, а фигура, которая лежит между секущей плоскостью и основанием исходной пирамиды, получила название усеченной пирамиды.

Онлайн-калькулятор объема усеченной пирамиды

Если пересечь пирамиду, являющуюся правильной, то и усеченная пирамида будет правильной, если неправильную – то неправильной.

Высотой усеченной пирамиды является перпендикуляр, проведенный из ее верхнего основания в нижнее (или наоборот).

Формула объема пирамиды

Для того чтобы вычислить объем пирамиды, нужно проделать следующие действия:

1. Сложить площади обоих оснований пирамиды.
2. Возвести произведение этих площадей в степень 1/21/2, то есть извлечь квадратный корень.
3. Полученные результаты сложить, затем умножить на высоту пирамиды и разделить на 3.

Формулы имеет такой вид:

Объем усеченной пирамиды

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})

Sосн 1,Sосн 2S_{text{осн 1}}, S_{text{осн 2}} — площади оснований усеченной пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.

Разберем решение задач на эту тему.

Задача 1

Найдите объем усеченной пирамиды, если известно, что площадь ее одного основания равна 30 см230text{ см}^2, а площадь второго в 2 раза больше первого. Высота пирамиды равна 7 см7text{ см}.

Решение

Sосн 1=30S_{text{осн 1}}=30
Sосн 2=2⋅Sосн 1S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}
h=7h=7

Первый этап — нахождения площади второго основания:

Sосн 2=2⋅Sосн 1=2⋅30=60S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}=2cdot 30=60

Второй этап — вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅7⋅(30+60+30⋅60)≈309 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 7cdot(30+60+sqrt{30cdot 60})approx309text{ см}^3

Ответ

309 см3.309text{ см}^3.

Задача 2

В основаниях пирамиды лежат квадраты со сторонами a=8 смa=8text{ см} и b=6 смb=6text{ см}. Высота усеченной пирамиды имеет длину 10 см10text{ см}. Найти ее объем.

Решение

a=8a=8
b=6b=6
h=10h=10

Найдем площадь первого основания. Это просто площадь квадрата, которую мы вычислим по формуле:

Sосн 1=b⋅b=b2=62=36S_{text{осн 1}}=bcdot b=b^2=6^2=36

Аналогично, площадь второго, нижнего основания:

Sосн 2=a⋅a=a2=82=64S_{text{осн 2}}=acdot a=a^2=8^2=64

Наконец, вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅10⋅(36+64+36⋅64)≈493.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 10cdot(36+64+sqrt{36cdot 64})approx493.3text{ см}^3

Ответ

493.3 см3.493.3text{ см}^3.

Профильные эксперты сайта помогут вам выполнить контрольную работу на заказ, скорее оформляйте заказ!

Версия для печати и копирования в MS Word

Как рассчитать объем усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем усеченной пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь верхнего и нижнего основания и высоту. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Введение

Вспомним, что объем пирамиды, как и объем конуса, находятся по формуле , где  – площадь основания,  – высота. Разумеется, в случае конуса площадь основания можно подставить: . Теперь перейдем непосредственно к задачам.

Пример 1

В правильной треугольной пирамиде с вершиной  биссектрисы  пересекаются в точке , , . Найдите длину отрезка . (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Иллюстрация к условию задачи

Решение. Так как пирамида правильная, то точка  будет проектироваться в центр треугольника , то есть в точку  (точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника и есть его центр). Значит, найти надо высоту пирамиды. Мы знаем, что , откуда

Ответ: .

Пример 2

От треугольной пирамиды  отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды  и среднюю линию основания . Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды , если . (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Иллюстрация к условию задачи 2

Решение. Проблема здесь в том, что найти площадь основания и высоту нельзя. Но это и не нужно. Запишем два равенства  и  . Заметим, что раз вершина и плоскость основания у новой пирамиды те же, то и высота та же. (См. Рис. 3.)

Рис. 3. Высота у новой пирамиды и старой одна и та же

То есть чтобы посчитать объем необходимо знать, во сколько раз площадь основания новой пирамиды меньше площади основания исходной. , т. к.  с коэффициентом подобия . Тогда .

Ответ: .

Пример 3

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра , если все его ребра увеличить в два раза ? (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Исходный и увеличенный тетраэдры

Решение. Заметим, что в этом случае площадь основания увеличится в  раза, т. к. исходную сторону  увеличили в  раза и получили треугольник со стороной . (См. Рис. 5.). То есть .

Рис. 5. Основание исходного и увеличенного тетраэдра

Высота тетраэдра также увеличится в  раза. Доказать это можно так: опустим высоту и рассмотрим прямоугольный : в нем гипотенуза увеличилась вдвое и катет тоже как радиус описанной окружности около основания. Значит, треугольник перейдет в подобный с коэффициентом . (См. Рис. 6.) То есть .

Рис. 6. Треугольник  с коэффициентом подобия

. Раз площадь увеличилась в  раза, а высота – в , то объем увеличится в  раз .

Ответ: в  раз.

Пример 4

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает половины высоты . Объем налитой жидкости  мл. Сколько миллилитров жидкости  нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд? (См. Рис. 7.)

Рис. 7. Иллюстрация к условию задачи 4

Решение. Сначала найдем объем всего сосуда  (в миллилитрах). . Объем маленького конуса , тогда искомый объем .

Заметим, что  с коэффициентом подобия , т. к. , значит,  и .

Получаем, что  и , то есть объем большого конуса в  раз больше объема маленького, заполненного жидкостью.

Тогда объем всего сосуда  мл, а значит, долить надо  мл.

Ответ:  мл.

Замечание. Из двух последних примеров можно сделать вывод, что если мы пропорционально увеличим фигуру в  раз, то объем увеличится в  раз.

Пример 5

Найдите объем  конуса (См. Рис. 8.), если образующая  и наклонена к плоскости основания под углом . В ответе укажите .

Рис. 8. Иллюстрация к условию задачи 5

Решение. Рассмотрим осевое сечение конуса . Нам известно, что ; . Тогда из прямоугольного  : ;  (как катет, лежащий напротив угла ). (См. Рис. 9.)

Рис. 9. Выносной рисунок осевого сечения

Тогда .

Для записи в ответ .

Ответ: .

Метод объемов в пространстве

Этот метод похож на метод площадей на плоскости. Кратко о сути метода площадей: считаем площадь двумя способами и приравниваем. Например, как найти высоту прямоугольного треугольника со сторонами ,  и , опущенную на гипотенузу? (См. Рис. 10.)

Рис. 10. Иллюстрация к примеру

Считаем площадь. С одной стороны , а с другой стороны . Отсюда

То же самое и с объемами: считаем объем двумя способами и находим неизвестную величину.

Пример. Дана правильная треугольная пирамида , сторона основания , а боковое ребро . (См. Рис. 11.) Найти расстояние  от точки  до плоскости .

Рис. 11. Треугольная пирамида

Решение. Эту задачу можно решить и «в лоб». Но мы решим так. Заметим, что . Найдем площадь основания . Теперь найдем высоту . Рассмотрим прямоугольный .  – радиус описанной около основания окружности, он равен . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Длины сторон в прямоугольном

Тогда по теореме Пифагора .

Получаем, что .

С другой стороны, . (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Интересующая грань

Тогда . Найдем . Рассмотрим равнобедренный . Опускаем в нем перпендикуляр на основание и получаем два прямоугольных треугольника с катетом  и гипотенузой . Тогда из египетского треугольника получаем, что высота равна . (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Выносной рисунок грани

Тогда

Окончательно: .

Ответ: .

Заключение

Сегодня был решен ряд задач на объемы пирамиды и конуса, мы посмотрели, как работают формулы, выведенные на предыдущем уроке.

Список литературы

1. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. Атанасян Л.С. и др. 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.
2. А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002.
3. Бутузов В.Ф., Глазков Ю.А., Юдина И.И. Геометрия. 11 класс. Рабочая тетрадь. 8-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 78 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Matematikalegko.ru (Источник).
2. Matematikalegko.ru (Источник).
3. Matematikalegko.ru (Источник).

Домашнее задание

1. В основании конуса проведена хорда, которая равна радиусу основания и удалена от центра основания конуса на  см. Через вершину конуса и эту хорду проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол . Найдите объем конуса.
2. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна  см, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол .
3. Стороны оснований правильной усеченной треугольной пирамиды равны  см и  см, а острый угол боковой грани равен . Найдите объем усеченной пирамиды.