Как найти объем параллелепипеда сечение

Как найти объем параллелепипеда сечение

Содержание

  1. Объем параллелепипеда
  2. Объем прямоугольного параллелепипеда
  3. Объем любого параллелепипеда
  4. ЕНТ-2014, вариант 0023

Объем параллелепипеда

Объем прямоугольного параллелепипеда

Если прямоугольные параллелепипеды имеют равные основания, то их можно вложить один в другой.

Пусть AG и AP (рис.) два таких параллелепипеда. Рассмотрим два случая.

1. Высоты BF и BN соизмеримы.

Пусть общая мера высот содержится m раз в BF и n раз в BN.

Проведем через точки деления ряд плоскостей, параллельных основанию.

Тогда параллелепипед AG разделится на m, а параллелепипед AP на n равных частей.

2. Высоты BF и BN несоизмеримы.

Разделим BN на n равных частей и одну часть отложим на BF столько раз, сколько можно.

Пусть 1/n доля BN содержится в BF более m раз, но менее m+1 раз.

Тогда, проведя попрежнему ряд плоскостей, параллельных основанию, мы разделим пар-д AP на n таких равных частей, каких в пар-де AG содержится более m, но менее m+1.

Таким образом, приближенные отношения, вычисленные с произвольной, но одинаковой точностью, равны. А в этом и состоит равенство несоизмеримых отношений.

Лемма 2. Объемы прямоугольных параллелепипедов, имеющих равные высоты, относятся как площади их оснований.

Пусть (рис.) P и P1 два прямоугольных параллелепипеда. Обозначим неравные основания одного из них через a и b, а другого через a1 и b1.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого высота такая же, как у данных тел, а основанием служит прямоугольник со сторонами a и b1.

У параллелепипедов P и Q передние грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут b и b1, и следовательно:

У параллелепипедов Q и P1 боковые грани равны. Если примем эти грани за основания, то высоты будут a и a1, и следовательно:

Перемножив равенства [1] и [2], найдем:

Так как ab выражает площадь основания пар-да P, а a1b1 — площадь основания пар-да P1, то лемма доказана.

Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Пусть (рис.) P есть прямоугольный параллелепипед, а P1 какая-нибудь кубическая единица.

Обозначим площадь основания и высоту первого через B и H, а второго через B1 и H1.

Возьмем вспомогательный прямоугольный параллелепипед Q, у которого площадь основания B1, а высота H.

Сравнивая P с Q, а затем Q с P1, находим:

Об. P/Об. Q = B/B1 и об. Q/об. P1 = H/H1

Перемножив эти равенства, получим:

Отношения, входящие в это равенство есть числа, выражающие объем, площадь основания и высоту данного параллелепипеда в соответствующих кубических, квадратных и линейных единицах. Поэтому последнее равенство можно выразить так:

Число, выражающее объем прямоугольного параллелепипеда, равно произведению чисел, выражающих площадь основания и высоту в соответствующих единицах.

Это выражают сокращенно так: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, т.е.

где под V, B и H разумеются числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту прямоугольного параллелепипеда.

Обозначая буквами a, b и с три измерения прямоугольного пар-да (выраженные в числах), можем написать:

потому что площадь основания выражается произведением двух из этих измерений, а высота равна третьему измерению.

Следствия:

  1. Объем куба равен третьей степени его ребра.
  2. Отношение двух кубических единиц равно третьей степени отношения соответствующих линейных единиц. Так, отношение м3 к дм3 равно 10 3 , т.е. 1000.

Объем любого параллелепипеда

Лемма. Наклонная призма равновелика такой прямой призме, у которой основание равно перпендикулярному сечению наклонной призмы, а высота — ее боковому ребру.

Через какую-нибудь точку a (рис.) одного из боковых ребер наклонной призмы A1d проведем перпендикулярное сечение abcde. Затем продолжим все боковые грани вниз, отложим aa1=AA1 и через точку a1 проведем перпендикулярное сечение a1b1с1d1e1.

Так как плоскости двух сечений параллельны, то части боковых ребер, заключенные между ними, равны, т.е.
bb1 = сс1 = dd1 = ee1 = aa1 = AA1.

Вследствие этого многогранник a1d есть прямая призма, у которой основанием служит перпендикулярное сечение, а высота (или, что то же самое, боковое ребро) равна боковому ребру наклонной призмы.

Докажем, что наклонная призма равновелика прямой призме.

Для этого предварительно убедимся, что многогранники aD и a1D1 равны.

С другой стороны, отняв от обеих частей равенства A1A = a1a по одной и той же прямой A1a , получим aA = a1A1.

Вообразим теперь, что многогранник aD вложен в a1D1 так, чтобы основания их совпали. Тогда боковые ребра, будучи перпендикулярны к основаниям и соответственно равны, также совпадут.

Поэтому многогранник aD совместится с a1D1. Значит, эти тела равны.

Теперь заметим, что если от целого многогранника a1D , отнимем часть aD , то получим прямую призму. А если от того же многогранника отнимем часть a1D1, то получим наклонную призму.

Из этого следует, что эти две призмы равновелики, так как объемы их представляют собой разности объемов равных тел.

Теорема. Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Ранее мы доказали эту теорему для параллелепипеда прямоугольного, теперь докажем ее для параллелепипеда прямого, а потом наклонного.

1. Пусть (рис.) AC1 прямой пар-д, т.е. такой, у которого основание ABCD какой-нибудь параллелограмм, а все боковые грани — прямоугольники.

Возьмем в нем за основание грань AA1B1B. Тогда параллелепипед будет наклонный.

Рассматривая его, как частный случай наклонной призмы, мы, на основании леммы предыдущего параграфа, можем утверждать, что этот пар-д равновелик такому прямому, у которого основание есть перпендикулярное сечение MNPQ, а высота BC.

Четырехугольник MNPQ есть прямоугольник, потому что его углы служат линейными углами прямых двугранных углов. Поэтому прямой параллелепипед, имеющий это основание должен быть прямоугольным, и, следовательно, его объем равен произведению площади основания MNPQ на высоту BC.

Но площадь MNPQ равна MN * MQ. Значит:

Произведение MQ * BC выражает площадь параллелограмма ABCD. Поэтому:

2. Пусть (рис.) AC1 есть пар-д наклонный. Он равновелик такому прямому, у которого основанием служит перпендикулярное сечение MNPQ, а высотой ребро BC.

Но, по доказанному, объем прямого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту. Значит:

Если RS есть высота сечения MNPQ, то площадь MNPQ = MQ * RS. Поэтому:

Произведение BC * MQ выражает площадь параллелограмма ABCD. Следовательно:

Т.е. объем всякого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

Следствие. Если V, B и H — числа, выражающие в соответствующих единицах объем, площадь основания и высоту какого — нибудь паралллелепипеда, то можем написать:

Задача. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна S. Площади диагональных сечений равны S1 и S2. Найти объем параллелепипеда.

Для нахождения объема параллелепипеда нужно найти его высоту Н (рис. 242).

Обозначим длины диагоналей основания через d1 и d2. Тогда

Источник

ЕНТ-2014, вариант 0023

По вашим просьбам!

6. Упростить тригонометрическое выражение:

17. Найти положительное число, которое в сумме с обратным ему числом, дают наименьшее значение.

18. Решите уравнение:

20. Раскройте модуль:

21. Упростите выражение:

Сначала выполним действия в скобках. 1) Разложим знаменатели дробей в скобках на множители по формулам сокращенного умножения: a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) и (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 . 2) Приведем дроби в скобках к наименьшему общему знаменателю. 3) Выполним сложение получившихся дробей. 4) Заменим деление на получившуюся в скобках дробь умножением на дробь, обратную делителю. 5) Выполним умножение и при возможности сократим получившуюся дробь.

22. Решить неравенство: cos(3π/2+2x)+3sin2x 2 , проходит через диагональ лежащего в основании прямоугольника со сторонами 8 см и 15 см. Вычислите объем параллелепипеда.

24. Найдите модуль вектора а, если модуль вектора b равен 19, модуль суммы этих векторов — 20, а модуль разности — 18.

а затем краткое решение этого задания.

Всем желаю удачи и успехов!

Источник

Источник

Объем параллелепипеда

{V= a cdot b cdot c}

Найти объем параллелепипеда довольно просто. Для этого необходимо знать длины трех его сторон или же две стороны (площадь основания) и высоту. Чтобы облегчить расчет объема параллелепипеда мы создали калькулятор для разных исходных данных. Просто введите известные значения и в режиме онлайн получите результат.

Параллелепипед — многогранник, состоящий из шести граней, причем все они являются параллелограммами.

Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани прямоугольники.

Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.

Содержание:
  1. калькулятор объема параллелепипеда
  2. формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны
  3. формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту
  4. формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту
  5. формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту
  6. примеры задач

Формула объема прямоугольного параллелепипеда через три стороны

Объем прямоугольного параллелепипеда через три стороны

{V= a cdot b cdot c}

a – длина параллелепипеда

b – ширина параллелепипеда

c – высота параллелепипеда

Так как в основании параллелепипеда лежит прямоугольник, то в данной формуле ab – это площадь прямоугольника, который лежит в основании параллелепипеда. И тогда формулу можно сократить до {V= S h}

Формула объема прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Объем прямоугольного параллелепипеда через площадь основания и высоту

{V= S_{осн} cdot h}

Sосн – площадь основания параллелепипеда

h – высота параллелепипеда

Формула объема наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту

Объем наклонного параллелепипеда через длины сторон основания и высоту

{V= a cdot b cdot h}

a – длина основания параллелепипеда

b – ширина основания параллелепипеда

h – высота параллелепипеда

Формула объема наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту

Объем наклонного параллелепипеда через площадь основания и высоту

{V= S_{осн} cdot h}

Sосн – площадь основания параллелепипеда

h – высота параллелепипеда

Примеры задач на нахождение объема параллелепипеда

Задача 1

Найдите объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 3см, 4см и 5см.

Решение

Для решения данной задачи нам подходит формула один. Подставим в нее значения длины, ширины и высоты прямоугольного параллелепипеда, произведем расчет и получим ответ.

V= a cdot b cdot c = 3 cdot 4 cdot 5 = 60 : см^3

Ответ: 60 см³

Проверим правильность ответа с помощью калькулятора .

Задача 2

Найдите объём наклонного параллелепипеда с площадью основания 12м² и высотой 3м.

Решение

Используем для решения четвертую формулу. Подставим в нее площадь основания и высоту.

V= S_{осн} cdot h = 12 cdot 3 = 36 : м^3

Ответ: 36 м³

Полученный ответ поможет проверить калькулятор .

Источник

Наклонный параллелепипед Параллелепипедом называется четырехугольная призма, в основаниях которой лежат параллелограммы. Высотой параллелепипеда называют расстояние между плоскостями его основаниями. На рисунке высота показана отрезком C_1H. Различают два вида параллелепипедов: прямой и наклонный. Как правило, репетитор по математике сначала дает соответствующие определения для призмы, а затем переносит их на параллелепипед. Мы сделаем также.

Напомню, что призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, если перпендикулярности нет – призму называют наклонной. Эту терминологию наследует и параллелепипед. Прямой параллелепипедПрямой параллелепипед – ни что иное, как разновидность прямой призмы, боковое ребро которой совпадает с высотой. Сохраняются определения таких понятий, как грань, ребро и вершина, являющиеся общими для всего семейства многогранников. Появляются понятие противоположные грани. У параллелепипеда 3 пары противоположных граней, 8 вершин ти 12 ребер.

Диагональ параллелепипедаДиагональ параллелепипеда (диагональ призмы) — отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий ни в одной из его граней.

Диагональное сечениеДиагональное сечение – сечение параллелепипеда, проходящее через его диагональ и диагональ его основания.

Свойства наклонного параллелепипеда:
1) Все его грани – параллелограммы, а противоположные грани — равные параллелограммы.
2)Пересечение диагоналей параллелепипеда Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в этой точки пополам.
3)Методика репетитора по математике.Разбиение параллелепипеда Каждый параллелепипед состоит из шести равных по объему треугольных пирамид. Чтобы показать их ученику репетитор по математике должен отрезать от параллелепепеда половинку его диагональным сечением и разбить ее отдельно на 3 пирамиды. Их основания должны лежать в разных гранях исходного паралеллепипеда. Репетитор математики найдет применение этого свойства в аналитической геометрии. Оно используется для вывода объема пирамиды через смешанное произведение векторов.

Формулы объема параллелепипеда:
1) V=S_{OCH} cdot h, где S_{OCH} — площадь основания, h – высота.
2) Объем параллелепипеда равен произведению площади поперечного сечения на боковое ребро V=S_{o} cdot b.
Репетитору по математике: Как известно, формула является общей для всех призм и если репетитор уже доказал ее, нет смысла повторять тоже самое для параллелепипеда. Однако в работе со учеником среднего уровня (слабому формула не пригодиться) преподавателю желательно действовать с точностью до наоборот. Призму оставить в покое, а для параллелепипеда провести аккуратное доказательство.
3) V=6 cdot V_{ABDD_{1}} , где V_{ABDD_{1}} –объем одной из шести треугольных пирамиды из которых состоит параллелепипед.
4) Если overrightarrow{AA_1}(x_1;y_1;z_1), overrightarrow{AB}(x_2;y_2;z_2), overrightarrow{AD}(x_3;y_3;z_3), то

V_{ABCDA_1B_1C_1D_1}= pm begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ x_3 & y_3 & z_3 end{vmatrix}

Площадью боковой поверхности параллелепипеда называется сумма площадей всех его граней: S_b=S_1+S_2+S_3+S_4
Полная поверхность параллелепипеда – это сумма площадей всех его граней, то есть площадь + две площади основания: S=S_b+2 cdot S_{OCH}.

О работе репетитора с наклонным параллелепипедом:
Задачами на наклонный параллелепипед репетитор по математике занимается не часто. Вероятность их появления на ЕГЭ достаточно мала, а дидактика неприлично бедная. Более-менее приличная задача на объем наклонного параллелепипеда вызывает серьезные проблемы, связанные с пределением расположения точки Н — основания его высоты. В этом случае репетитору по математике можно посоветовать обрезать параллелепипед до одной из шести его пирамид (о которых идет речь в свойстве №3), попробовать найти ее объем и умножить его на 6.

Если боковое ребро AA_1 параллелепипеда имеет равные углы со сторонами основания, то Н лежит на биссектрисе угла A основания ABCD. И если, например, ABCD — ромб, то H in AC

Задачи репетитора по математике:
1) Грани параллелепипеда равные роибы со стороной 2см и острым углом 60^circ . Найти объем параллелепипеда.
2) В наклонном параллелепипеде боковое ребро равно 5см. Сечение, перпендикулярное ему, является четырехугольником со взаимно перпендикулярными диагоналями, имеющими длины 6см и 8 см. Вычислить объем паралеллепипеда.
3) В наклонном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известно, что AA_1=BA_1=DA_1=4, а в онованием ABCD является ромб со стороной 2см и уголом A=30^circ. Определите объем параллелепипеда.

Репетитор по математике, Александр Колпаков

Источник

Содержание материала

  1. V = So · h
  2. Видео
  3. Объем усеченной пирамиды
  4. Объем усеченной пирамиды
  5. Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда
  6. Прямоугольный параллелепипед
  7. Формула объема прямоугольного параллелепипеда
  8. Параллелепипед подробнее
  9. Вычисление площади
  10. Практическое применение
  11. Доказательство теорем
  12. Решение задач

V = So · h

Расшифрую знаки в формуле: “V” — это и есть объем параллелепипеда,

“So” — это площадь основания параллелепипеда,

“h” — это длина высоты параллелепипеда.

Если говорить словами, то объем параллелепипеда равняется произведению площади основания на высоту.

Объем усеченной пирамиды

Размеры усеченной пирамиды

Размеры усеченной пирамиды

Формула:

Объем усеченной пирамиды

Площадь первого основания (Sb1)

Площадь второго основания (Sb2)

Высота (H)

Высота (H)

Точность вычисления Знаков после запятой: 5

Объем

Видео

Формула для нахождения объема наклонного параллелепипеда

Чтобы найти объем наклонного параллелепипеда необходимо площадь основания фигуры умножить на высоту, опущенную на данное основание из противоположного угла.

Таким образом, искомый V можно представить в виде

Таким образом, искомый V можно представить в виде h — количества листов с площадью S основания, так объем колоды складывается из V-ов всех карт.

Прямоугольный параллелепипед

Прямоугольным называется параллелепипед, у которого в основании прямоугольник, а боковые ребра перпендикулярны основанию.

Это такая обувная коробка:

У прямоугольного параллелепипеда все грани – прямоугольники.

Давай-ка теперь выведем одну интересную формулу для диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов его измерений.( displaystyle {{d}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}).

Видишь, как красиво? На теорему Пифагора похоже, правда? И формула эта как раз и получается из теоремы Пифагора.

Смотри:

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=a⋅b⋅cV=acdot bcdot cV=a⋅b⋅c

a,b,ca, b, ca,b,c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5text{ см.}5 см., ширина, имеющая длину 10 см.10text{ см.}1 см. и высота длиной в 7 см.7text{ см.}7 см.

Решение

a=5a=5a=5 b=10b=10b=1 c=7c=7c=7

Сразу подставляем в формулу численные значения:

V=a⋅b⋅c=5⋅10⋅7=350 см3V=acdot bcdot c=5cdot 10cdot 7=350text{ см}^3V=a⋅b⋅c=5⋅1⋅7=35 см3

Ответ

350 см3.350text{ см}^3.35 см3.

Параллелепипед подробнее

Параллелепипед – многоугольник, образованный пересечением трех пар параллельных плоскостей.

Если слишком сложно, просто посмотри на картинку.

Какую фигуру из планиметрии (геометрии с «плоскими» фигурами) напоминает параллелепипед?

Немного похоже на параллелограмм, правда? Только «потолще» и слово подлиннее.

Далее смотри на картинки, запоминай и не путай!

Высота – перпендикуляр, опущенный из любой вершины параллелепипеда на противоположную грань.

Та грань, на которую опущена высота, называется основанием.

Вычисление площади

Как вы уже поняли, вычисление объёма параллелепипеда напрямую зависит от вычисления его площади. Давайте разберемся, сколько всего площадей можно найти в параллелепипеде.

Чтобы найти площадь боковой поверхности параллелепипеда, вычислите по отдельности площадь каждой боковой грани, а затем найдите сумму получившихся значений.

Так как противолежащие грани прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

  • Sб. п. = 2 (ac + bc)

Чтобы вычислить площадь полной поверхности параллелепипеда, сложите площадь боковой поверхности и две площади основания. Так как площади оснований у прямоугольного параллелепипеда одинаковые, то получим формулу:

  • Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Пример 3. Найдем площадь поверхности параллелепипеда, если длина основания равна 6 сантиметров, ширина — 4 см соответственно, а высота — 3 см.

Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Sп. п. = 2 (ab + ac + bc)

Sп. п. = 2 (6 × 4 + 6 × 3 + 4 × 3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108 см2.

Ответ: площадь поверхности параллелепипеда — 108 см2.

Как видите, вычислить объём и найти площадь параллелепипеда совсем не трудно.

Практическое применение

Для вычисления объема, высоты и прочих характеристик фигуры нужно знать теоретические основы и формулы. Решение задач входит в программу сдачи ЕГЭ и билеты при поступлении в вуз.

Доказательство теорем

Теоретически S боковой поверхности ПП равна S б. п. = 2 (a+b)c. S полной поверхности равна Sполн. поверхности ПП=2 (ab+ac+bc).

Объем ПП равен произведению трех его боковых частей, выходящих из единой вершины (три измерения ПП): abc.

Доказательство: так как у ПП боковые ребра перпендикулярны основанию, то они являются и его высотами — h=AA1=c. Если в основании лежит прямоугольник, то Sосн=AB ⋅ AD=ab. Диагональ d ПП можно найти по формуле d2=a2+b2+c2, где a, b, c — измерения ПП.

Если в основании расположен прямоугольник, то △ ABD прямоугольный, значит, по теореме Пифагора BD2=AB2+AD2=a2+b2. Если все боковые грани перпендикулярны основной линии, то BB1 ⊥ (ABC) ⇒ BB1 ⊥ BD.

Когда △ BB1D прямоугольный, то по теореме Пифагора B1D=BB12+BD2.

Решение задач

Задача 1: известны ПП: 3, 4, 12 см, необходимо найти длину главной диагонали фигуры.

Поиск ответа на вопрос начинается с выстраивания схематического изображения, на котором означаются величины. Используется формула B1D2 = AB2 + AD2 + AA12. После вычислений получается выражение b2=169, b=13.

Задача 2: ребра ПП, выходящие из общей точки, равны 3 и 4, общая S — 94. Нужно найти третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ребра обозначаются а1 и а2, а неизвестное — а3. Площадь поверхности выражается S = 2 (a1a2 + a1a3 + a2a3).

Далее получаем a3 (a1 + a2) = S/2 — a1a2. Неизвестное ребро: a3 = S/2 — a1a2/a1 + a2 = 47−12/7 = 5.

Задача 3: два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из общей точки, составляют 72 и 18, диагональ равна 78. Нужно определить объем фигуры.

Для решения требуется найти диагональ по формуле вычисления квадратного корня из суммы (a2 + b2 + c2), где a, b, c — ребра фигуры. 78 — корень из суммы 722 + 182 + c2. Решение:

  • 78 = корень из суммы 5508+с2
  • 782 = 5508 + с2
  • с2 = 6084 — 5508.
  • С2 = 576.

Ответ: объем составляет 576.

Задача 4: ребро наклонного параллелепипеда составляет 10 см, прямоугольник KLNM с измерениями 5 и 7 см является сечением фигуры, параллельным ребру. Нужно определить площадь боковой поверхности призмы.

KL и AD не являются равными, как пара ML и DC. Боковая S фигуры эквивалентна S сечения, умноженной на AA1, так как ребро перпендикулярно сечению. Ответ: 240 см².

Задача 5: ABCDA1B1C1D1 = 3, 4 см, боковое ребро — 12 см. Нужно определить диагональ ПП.

В основании лежит прямоугольник со сторонами АВ 3 см и AD 4 см. Боковое ребро составляет 3 см. BB1 является высотой ПП и равняется 12 см. Диагональ B1D2 = AB2 + BB1 2 += 9+16+144 = 169. B1D= 13 см.

Задача 6: основанием ПП служит квадрат, одна из вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех вершин нижней части. Нужно найти высоту фигуры, если диагональ основания равна 8 см, а боковое ребро — 5 см.

Одна из вершин основания (F) равнозначно удалена от всех вершин нижнего основания параллелепипеда. Вместе с диагональю нижней части (AC) она образует равнобедренный ∆AFC. AF = AC по условию. AF является ребром фигуры.

В равнобедренном ∆AFC стороны одинаковы: AF=FC=5 см, AC=8 см. Высота ∆AFC будет являться высотой параллелепипеда.

Высота треугольника делит его основание пополам. По теореме Пифагора она равна:

  • FK2 + (AC/2)2 = FC2;
  • FK2 + 16 = 25;
  • FK2 =25−16 = 9;
  • FK = 3 см.

Высота фигуры составляет 3 см.

Установленные теоремы, доказательства, а также выведенные формулы помогают вычислить различные значения для фигуры.

Теги

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем параллелепипеда и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Формула вычисления объема параллелепипеда

    • 1. Общая формула

    • 2. Объем прямоугольного параллелепипеда

  • Примеры задач

Формула вычисления объема параллелепипеда

1. Общая формула

Объем любого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.

V = Sосн ⋅ h

Объем параллепипеда

  • Sосн – площадь основания (ABCD или EFHG, равны между собой);
  • h – высота.

Данная формула справедлива для всех видов геометрической фигуры:

  • наклонной – боковые грани не перпендикулярны основаниям;
  • прямой – все боковые грани (4 шт.) являются прямоугольниками;
  • прямоугольной – все грани (боковые и основания) являются прямоугольниками;
  • ромбоэдра – все грани являются равными ромбами;
  • куба – все грани представляют собой равные квадраты.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем фигуры равен произведению его длины на ширину на высоту.

V = a ⋅ b ⋅ c

Объем прямоугольного параллепипеда

Формула следует из следующих утверждений:

  • Основанием фигуры является прямоугольник, площадь которого считается как произведение его длины (a) на ширину (b).
  • Высота фигуры – это длина боковой грани (c).

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем параллелепипеда, если известно, что площадь его основания равняется 20 см2, а высота – 7 см.

Решение:
Используем первую формулу, подставив в нее известные нам значения:
V = 20 см2 ⋅ 7 см = 140 см3.

Задание 2
Дан прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина его основания равны 9 см и 5 см, соответственно, а высота составляет 6 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользуемся формулой для данного типа фигуры:
V = 9 см ⋅ 5 см ⋅ 6 см = 270 см3.

Источник

Добавить комментарий