Как найти объем пирамиды а1а2а3а4

Пример 1:

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.

Найти:

1) координаты и модули векторов А1 А2и А1 А4;  

2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;          

3) площадь грани А1 А2 А3;         

4) объем пирамиды;

5) уравнение прямой А1 А2;

6) уравнение плоскости А1 А2 А3;

7) уравнение высоты, опущенной из вершины  А4 на грань А1 А2 А3.

Сделать чертеж.

А1 (0; 4; -4), А2 (5; 1; -1), А3 (-1; -1; 3), А4 (0; -3; 7).

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.

Найти: 1) длину ребра А1 А2;

2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;          

3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;

4) площадь грани А1 А2 А3;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1 А2;

7) уравнение плоскости А1 А2 А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.

1. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1).

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Решение от преподавателя:

 Уравнение плоскости. 
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1

y-y1

z-z1

x2-x1

y2-y1

z2-z1

x3-x1

y3-y1

z3-z1

 

= 0

Уравнение плоскости A1A2A3 

(x-3)(1*2-0*3) – (y-2)((-2)*2-3*3) + (z+2)((-2)*0-3*1) = 2x + 13y – 3z-38 = 0 

Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20gamma%20%20%20=%20frac%7b|Al%20%2B%20Bm%20%2B%20Cn|%7d%7bsqrt%7bA%5e%7b2%7d%20%2B%20B%5e%7b2%7d%20%2B%20C%5e%7b2%7d%7dsqrt%7bl%5e%7b2%7d%20%2B%20m%5e%7b2%7d%20%2B%20n%5e%7b2%7d%7d%7d
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
Уравнение прямой A1A4
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%203%7d%7b-3%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b0%7d%20=%20frac%7bz%20%2B%202%7d%7b4%7d
γ = arcsin(0.267) = 15.486o 

Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,2,2) 
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%20x_%7b0%7d%7d%7bA%7d%20=%20frac%7by%20-%20y_%7b0%7d%7d%7bB%7d%20=%20frac%7bz%20-%20z_%7b0%7d%7d%7bC%7d
https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=frac%7bx%20-%200%7d%7b2%7d%20=%20frac%7by%20-%202%7d%7b13%7d%20=%20frac%7bz%20-%202%7d%7b-3%7d

Уравнение плоскости через вершину A4(0,2,2) 
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 
Уравнение плоскости A1A2A3: 2x + 13y – 3z-38 = 0 
2(x-0)+13(y-2)-3(z-2) = 0 
или 
2x+13y-3z-20 = 0

Пример 4:

Решение от преподавателя:

Даны координаты пирамиды: A1(0,1,1), A2(3,4,4), A3(-3,9,3), A4(0,5,4) 

  1. Уравнение плоскости
    Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением: 

x-x1

y-y1

z-z1

x2-x1

y2-y1

z2-z1

x3-x1

y3-y1

z3-z1

 

= 0

Уравнение плоскости A1A2A3 

(x-0)(3*2-8*3) – (y-1)(3*2-(-3)*3) + (z-1)(3*8-(-3)*3) = -18x – 15y + 33z-18 = 0 
Упростим выражение: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

2) Угол между прямой A1A4 и плоскостью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле: 

Уравнение плоскости A1A2A3: -6x – 5y + 11z-6 = 0 
Уравнение прямой A1A4

γ = arcsin(0.193) = 11.128o 

3) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4(0,5,4) 
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями: 
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x – 5y + 11z-6 = 0 

4) Уравнение плоскости через вершину A4(0,5,4) 
Плоскость, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и параллельная плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением: 
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 
Уравнение плоскости A1A2A3: -6x – 5y + 11z-6 = 0 
-6(x-0)-5(y-5)+11(z-4) = 0 
или 
-6x-5y+11z-19 = 0 

5)  Координаты вектора  A1A4(0;4;3) 

Уравнение прямой, проходящей через точку А1(0,1,1) параллельно вектору А1А2(0,4,3) имеет вид:

Пример 5:

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.

Найти: 1) длину ребра А1 А2;

2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;          

3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;

4) площадь грани А1 А2 А3;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1 А2;

7) уравнение плоскости А1 А2 А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.

А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Решение от преподавателя:

1) Даны координаты  вершин пирамиды: A1(0,1,1), A2(3,4,4), A3(-3,9,3), A4(0,5,4) 
Координаты векторов
Координаты векторов:       A1A2(3;3;3)        A1A4(0;4;3) 

Модули векторов (длина ребер пирамиды) 
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: 


Угол между ребрами.

 Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: 
   ,    где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 
Найдем угол между ребрами A1A2(3;3;3) и A1A3(0;4;3): 

А1 = arccos(0,808)

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения: 
S =
Найдем векторное произведение

=i(3*2-8*3) – j(3*2-(-3)*3) + k(3*8-(-3)*3) = -18i – 15j + 33k 

3) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: 

 

Координатывекторов:A1A2(3;3;3)    A1A3(-3;8;2) A1A4(0;4;3) :      

где определитель матрицы равен: 
∆ = 3*(8*3-4*2)-(-3)*(3*3-4*3)+0*(3*2-8*3) = 39 

Пример 7:

Решение от преподавателя:

  1. Угол между ребрами. 
    Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7ba_%7b1%7da_%7b2%7d%7d%7b|a_%7b1%7d|cdot%20|a_%7b2%7d|%7d
    где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 
    Найдем угол между ребрами A1A2(-2;1;3) и A1A3(3;0;2): 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200
    γ = arccos(0) = 90.0030 
  2. Площадь грани 
    Площадь грани можно найти по формуле: 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=S%20=%20frac%7b1%7d%7b2%7d%20|a|cdot%20|b|%20sin%20gamma
    где 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20gamma%20%20=%20sqrt%7b1%20-%20cos%20gamma%5e%7b2%7d%7d
    Найдем площадь грани A1A2A3 
    Найдем угол между ребрами A1A2(-2;1;3) и A1A3(3;0;2): 
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=cos%20gamma%20%20%20=%20frac%7b(-2)cdot%203%20%2B%201cdot%200%20%2B%203cdot%202%7d%7bsqrt%7b14%7dcdot%20sqrt%7b13%7d%7d%20=%200
    https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sin%20gamma%20%20=%20sqrt%7b1%20-%200%5e%7b2%7d%7d%20=%201
    Площадь грани A1A2A3 
  3. Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен: 

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V%20=%20frac%7b1%7d%7b6%7d

 

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=V%20=%20frac%7b1%7d%7b6%7d

https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=%20=%20frac%7b18%7d%7b6%7d%20=%203

где определитель матрицы равен: 
∆ = (-2)*(0*4-0*2)-3*(1*4-0*3)+(-3)*(1*2-0*3) = -18 

Пример 8:

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4 . Найти:

1) длину ребра А1А2;

2) угол между рёбрами А1Аи А1А4 ;

3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3;

4) площадь грани А1А2А3;

5) объём пирамиды;

6) уравнение прямой А1А2;

7) уравнение плоскости А1А2А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3;

Сделать чертёж.

А1(3; 5; 4),        А2(8; 7; 4),            А3(5; 10; 4),          А4(4; 7; 8).

Решение от преподавателя:

1) Длина ребра A1A2;

2) угол между ребрами А1А2 и А1А4;

3) угол между ребрами А1А4 и гранью А1А2А3;

Найдем уравнение стороны А1А4:

Вектор нормали:  к плоскости А1А2А3.

4) площадь грани А1А2А3;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1А2;

7) уравнение плоскости А1А2А3;

Итак: z=4 – уравнение плоскости А1А2А3.

8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3.

A4O – высота:

Уравнение A4O:

Т.к. , то

В результате получаем уравнение высоты:

Пример 9:

Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4.

Найти: 1) длину ребра А1 А2;

2) угол между ребрами А1 А2и А1 А4;          

3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;

4) площадь грани А1 А2 А3;         

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямой А1 А2;

7) уравнение плоскости А1 А2 А3;

8) уравнение высоты, опущенной из вершины  А4 на грань А1 А2 А3. Сделать чертеж.

А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 9).

Решение от преподавателя:

Аналитическая геометрия – задача на расчет пирамиды (тетраэдра)

Краткая теория


Вузовская аналитическая геометрия отличается от курса школьной геометрии. Главное отличие состоит в том, что она основным своим инструментом имеет набор алгебраических формул и методов вычислений. В основе аналитической геометрии лежит метод координат.
Аналитическая геометрия имеет набор формул, готовых уравнений и алгоритмов действия. Для успешного и правильного решения главное – разобраться и уделить задаче достаточно времени.

Данная задача является типовой в курсе аналитической геометрии и требует использования различных методов и знаний, таких как декартовые прямоугольные координаты и вектора в пространстве.

Пример решения задачи

Задача

Даны координаты
вершин пирамиды 
. Найти:

Сделать чертеж.

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Решение

Длина ребра

Длину ребра

 найдем по
формуле расстояния между 2-мя точками:

Угол между ребрами

Угол между ребрами

 и

 найдем как угол
между направляющими векторами

  и

:

Косинус угла между
векторами:

Угол между ребром и гранью. Векторное произведение

Вычислим угол между
ребром

 и гранью

.

Для этого вычислим
координаты нормального вектора плоскости

 –им будет
векторное произведение векторов 

 и

.

 

Найдем векторное произведение. Для этого

вычислим определитель:

Нормальный вектор
плоскости:

  

Синус угла:

Площадь грани

Вычислим площадь
грани

. Она будет численно равна половине модуля векторного
произведения векторов

    и 

:

Искомая площадь:

Объем пирамиды. Смешанное произведение векторов

Вычислим объем
пирамиды. Он будет равен шестой части модуля смешанного произведения векторов

  и

:

Для того чтобы вычислить смешанное произведение, необходимо
найти определитель квадратной матрицы, составленной из координат векторов:

Искомый объем
пирамиды:

Уравнение прямой в пространстве

Вычислим уравнение
прямой

.  Направляющим
вектором искомой прямой является вектор

. Кроме того, прямая проходит через точку

 

Уравнение искомой
прямой:

Уравнение плоскости

Вычислим уравнение
плоскости

. Нормальный вектор плоскости

. кроме того, плоскость проходит через точку

 -уравнение
грани

 

Уравнение высоты, опущенной на грань

Составим уравнение
высоты, опущенной на грань

 из вершины

:

Нормальный вектор

 является
направляющим вектором высоты, кроме того, высота проходит через точку

 

Искомое уравнение
высоты:

Сделаем схематический чертеж:

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

1) длину ребра А1А2;

из координат А2 вычти координаты А1
получишь вектор А1А2 с 3 координатами

их возведи в квадрат
сложи
извлеки из суммы квадратов корень

2) угол между ребрами А1А2 и А1А3;

найди координаты А1А2 и А1А3; (как в первом пункте)

найди длины обоих ((как в первом пункте))
найди скалярное произведение их:
первую координату первого умножь на первую координату второго+
+вторую координату первого умножь на вторую координату второго+
+третью координату первого умножь на третью координату второго

скалярное произведение подели на обе длины- получишь косинус угла между ними

3) площадь грани А1А2А3 ;

векторы А1А2 и А1А3 ты уже нашел в пункте 2
их длины тоже

есть два пути найти площадь:

ПЕРВЫЙ
найти векторное произведение этих векторов
потом его длину
потом его длину поделить на 2

это будет площадь треугольника

ВТОРОЙ
длины сторон (векторов) ты знаешь
косинус угла щнаешь
найди синус и считай площадь треугольника

4) объем пирамиды А1А2А3A4

векторы А1А2 и А1А3 ты уже нашел в пункте 2
найди еще А1А3 так же

запиши координаты всех трех в определитель по строкам (или по столбцам)
модуль определителя деленный на 3 и будет объем пирамиды

5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4.

объем= площадь грани А1А2А3 умножить на высоту и делить на 3

Геометрия 10-11 класс

10 баллов

Даны координаты вершин пирамиды
A1A2A3A4. A1(2;5;8) A2(1;4;9) A3(2;1;6) A4(5;4;2)Найти:
1) длину ребра A1A2;
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4;
3) уравнение плоскости A1A2A3 и угол между ребром A1A4 и плоскостью A1A2A3;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3 и ее длину;
5) площадь грани A1A2A3 и объем пирамиды.
Сделать чертеж

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:24:47

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:27:16

Ответ эксперта

Ирина Каминкова

14.12.2020 20:27:45

Ответ эксперта

Все предметы

Рейтинг пользователей

    Добавить комментарий