Как найти объем пирамиды через векторы

Объем пирамиды

Если заданы координаты точек вершин пирамиды, то координаты векторов находятся по формуле:
X = x_j – x_i; Y = y_j – y_i; Z = z_j – z_i
где x_i, y_i, z_i – координаты точки А_i; x_j, y_j, z_j – координаты точки А_j;

Пример №2 . Найти объем пирамиды, отсекаемой от угла плоскостью, проходящей через точки А(0,2,-1), В(3,4,2), С(-3,0,4).

Онлайн калькулятор. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах.

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто найти объем пирамиды или объем тетраэдра построенных на векторах.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на вычисление объема пирамиды построенной на векторах и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Выберите каким образом задается пирамида (тетраэдр):

Введите значения векторов: Введите координаты вершин пирамиды:

Инструкция использования калькулятора для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

Ввод данных в калькулятор для вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора вычисления объема пирамиды (объема тетраэдра) построенной на векторах

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши “влево” и “вправо” на клавиатуре.

Теория. Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах

Определение Объем пирамиды (объем тетраэдра) построенной на векторах a , b и c равен шестой части модуля смешанного произведения векторов составляющих пирамиду:

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Как рассчитать объем пирамиды по координатам вершин? Методика и пример задачи

Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу – ответит приведенная ниже статья.

Что представляет собой пирамида?

Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.

Вам будет интересно: Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений?

Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания – это высота фигуры.

Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.

Как рассчитывается объем пирамиды?

Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:

Здесь So – это основания площадь, h – расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.

Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.

Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика

Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.

Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:

d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).

Здесь (x1; y1; z1) – координаты точки.

Уравнение плоскости имеет вид:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Задача с треугольной пирамидой

Решим задачу на примере самой простой пирамиды – треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:

Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:

Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:

n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).

Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:

So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.

Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.

Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:

8 * x – 10 * y – 7 * z + 13 = 0.

Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:

d = |(8 * 4 – 10 * 3 – 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.

Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:

V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.

Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/assistance/vector/pyramid_volume/

http://1ku.ru/obrazovanie/51574-kak-rasschitat-obem-piramidy-po-koordinatam-vershin-metodika-i-primer-zadachi/

[/spoiler]

Skip to content

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах

Рисунок — Треугольная пирамида, построенная на векторах

Объём треугольной пирамиды (см. рисунок выше), построенной на векторах вычисляется по формуле:

Пример

Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах ABCD c вершинами

А(2; -1; 1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3).

Решение

Находим координаты векторов

$overrightarrow {AB}  = left{ {left( {5 — 2} right);left( {5 — left( { — 1} right)} right);left( {4 — 1} right)} right} = left{ {3;6;3} right}$

$overrightarrow {AC}  = left{ {left( {3 — 2} right);left( {2 — left( { — 1} right)} right);left( { — 1 — 1} right)} right} = left{ {1;3; — 2} right}$

$overrightarrow {AD}  = left{ {left( {4 — 2} right);left( {1 — left( { — 1} right)} right);left( {2 — 1} right)} right} = left{ {2;2;2} right}$

Искомый объём равен $frac{1}{6}$ объём параллелепипеда, построенного на рёбрах,

$overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {AС} $, $overrightarrow {AD} $, следовательно объем равен:

$V =  pm frac{1}{6}left| {begin{array}{*{20}{c}}3&6&3 \ 1&3&{ — 2} \ 2&2&2 end{array}} right|=$

$ =  pm frac{1}{6}cdotleft( {3cdotleft( {3cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) — 6cdotleft( {1cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) + 3cdotleft( {1cdot2 — 3cdot2} right)} right) = 3$

Решая, находим определитель матрицы третьего порядка и получаем искомый объём треугольной пирамиды V=3

17651

Коллинеарные векторы

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой).

Коллинеарные векторы могут иметь одно и то же направление (равнонаправленные векторы) или противоположные направления.

Два ненулевых вектора равны, если они равнонаправлены и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными.

Условие коллинеарности векторов

Если векторы a(x₁,y₁,z₁) и b(x₂,y₂,z₂) коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

x₂/x₁ = y₂/y₁ = z₂/z₁ 

И обратно: если соответствующие координаты векторов пропорциональны, то векторы эти — коллинеарны.

Если коэффициент пропорциональности λ = x₂/x₁ = y₂/y₁ = z₂/z₁ положителен, то векторы a и b равнонаправлены, а если отрицателен — то противоположно направлены.

Например:

• векторы АВ(3, 5, 8) и CD(6, 10, 16) коллинеарны;
• векторы АВ(-12, -8, -22) и CD(6, 4, 11) коллинеарны;
• векторы АВ(-10, -8, -21) и CD(6, 5, 11) не коллинеарны

Компланарные векторы

Три вектора (или большее их число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора также считаются компланарными.

Компланарность векторов, доказательство их компланарности

Необходимым и достаточным условием компланарности трёх векторов a, b, c является равенство нулю их смешанного произведения.

Например:

• векторы AB(2, 1, 3), CD(-2, 8, 12), EF(3, 15, 27) компланарны;
• векторы AB(-4, 2, -6), CD(-1, -4, 6), EF(-2, 10, -18) компланарны.

Смешанное произведение векторов

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трёх векторов a, b, c называется скалярное произведение вектора а на векторное произведение b×c, т.е. число а(b×c), или, что то же, (b×c)а.

Для того, чтобы найти смешанное произведение трёх векторов a, b и c, заданных своими координатами a(a_x,a_y,a_z), b(b_x,b_y,b_z), c(c_x,c_y,c_z), нужно определенным образом составить определитель третьего порядка. В первой строке определителя записываем координаты первого вектора, во второй строке — второго, в третьей — третьего:

a_x         a_y         a_z

b_x         b_y         b_z

c_x         c_y         c_z

и вычисляем определитель. Результат вычислений и есть искомое смешанное произведение трёх векторов.

Например, смешанное произведение векторов a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9) равно 90.

Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком «плюс», если система a, b, c — правая, и со знаком «минус», если эта система левая.

Иногда вопрос задают так: «Чему равен объём параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c?». Как уже известно, равен он смешанному произведению векторов a, b и c. Если результат окажется со знаком «минус», то результат, конечно же, нужно взять по модулю.

Например, объём параллелепипеда, построенного на векторах a(-2, 5, -3), b(1, -4, 6), c(1, 5, 9), равен 90 кубических единиц.

Объём пирамиды, построенной на векторах

Объём пирамиды, построенной на векторах a, b и c, равен 1/6 объёма параллелепипеда, построенного на векторах a, b и c.

Если известны координаты вершин A, B, C, D пирамиды, то последовательность действий для нахождения её объёма следующая:

• находим координаты векторов AB, AC и AD;
• находим 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD (результат вычислений берём со знаком «плюс»).

Например, даны вершины пирамиды ABCD:

• A(5, 0, 14);
• B(-7, 16, 9);
• C(14, -5, 17);
• D(15, 11, -2).

Находим координаты векторов AB, AC и AD:

• AB = (-7-5, 16-0, 9-14) = (-12, 16, -5);
• AC = (14-5, -5-0, 17-14) = (9, -5, 3);
• AD = (15-5, 11-0, -2-14) = (10, 11, -16).

Вычисляем 1/6 смешанного произведения векторов AB, AC и AD.

V = 1/6 · 1475 = 245,83 кубических единиц.

Источники:

• М.Я. Выгодский. Справочник по высшей математике.
• В.Д. Черненко. Высшая математика в примерах и задачах. В 3 томах. Том 1.

Дополнительно на Геноне:

• Что такое определитель матрицы?
• Как найти определитель матрицы?
• Какими свойствами обладает определитель матрицы?

11

Лекция№6

Рассмотрим
произведение векторов
,

и
,
составленное следующим образом:
.
Здесь первые два вектора перемножаются
векторно, а их результат скалярно на
третий вектор. Такое произведение
называется векторно-скалярным, или
смешанным, произведением трех векторов.
Смешанное произведение представляет
собой некоторое число.

Выясним
геометрический смысл выражения
.

Теорема.
Смешанное произведение трех векторов
равно объему параллелепипеда, построенного
на этих векторах, взятому со знаком
«плюс», если эти векторы образуют правую
тройку, и со знаком «минус», если они
образуют левую тройку.

Доказательство..Построим
параллелепипед, ребрами которого
являются векторы
,
,

и вектор
.

Имеем:
,
,
где

– площадь параллелограмма, построенного
на векторах

и
,

для правой тройки векторов и

для левой, где

– высота параллелепипеда. Получаем:
,
т.е.
,
где

– объем параллелепипеда, образованного
векторами
,

и
.

Свойства смешанного произведения

1.
Смешанное произведение не меняется при
циклической перестановке его
сомножителей, т.е.
.

Действительно,
в этом случае не изменяется ни объем
параллелепипеда, ни ориентация его
ребер.

2.
Смешанное произведение не меняется при
перемене местами знаков векторного и
скалярного умножения, т.е.
.

Действительно,

и
.
Знак в правой части этих равенств берем
один и тот же, так как тройки векторов
,
,

и
,
,

– одной ориентации.

Следовательно,
.
Это позволяет записывать смешанное
произведение векторов

в виде

без знаков векторного, скалярного
умножения.

3.
Смешанное произведение меняет знак при
перемене мест любых двух векторов-сомножителей,
т.е.
,
,
.

Действительно,
такая перестановка равносильна
перестановке сомножителей в векторном
произведении, меняющей у произведения
знак.

4.
Смешанное произведение ненулевых
векторов
,

и

равно нулю тогда и только тогда, когда
они компланарны.

2.12. Вычисление смешанного произведения в координатной форме в ортонормированном базисе

Пусть
заданы векторы
,
,
.
Найдем их смешанное произведение,
используя выражения в координатах для
векторного и скалярного произведений:

. (10)

Полученную
формулу можно записать короче:

,

так как правая часть
равенства (10) представляет собой
разложение определителя третьего
порядка по элементам третьей строки.

Итак,
смешанное произведение векторов равно
определителю третьего порядка,
составленному из координат перемножаемых
векторов.

2.13.Некоторые приложения смешанного произведения

Определение
взаимной ориентации векторов в
пространстве

Определение
взаимной ориентации векторов
,

и

основано на следующих соображениях.
Если
,
то
,
,

– правая тройка; если
,
то
,
,

– левая тройка.

Условие
компланарности векторов

Векторы
,

и

компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение равно нулю
(,
,
):

векторы
,
,

компланарны.

Определение
объемов параллелепипеда и треугольной
пирамиды

Нетрудно
показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах
,

и

вычисляется как
,
а объем треугольной пирамиды, построенной
на этих же векторах, равен
.

Пример
1. Доказать, что векторы
,

,

компланарны.

Решение.
Найдем смешанное произведение этих
векторов по формуле:

.

. Это и означает,
что векторы

компланарны.

Пример 2.
Даны вершины тетраэдра:

(0, -2, 5),

(6, 6, 0),
(3, -3, 6),

(2, -1, 3). Найти длину его высоты, опущенной
из вершины
.

Решение.
Найдем сначала объем тетраэдра
.
По формуле получаем:

Так как
определитель равен отрицательному
числу, то в данном случае перед формулой
нужно взять знак минус. Следовательно,
.

Искомую
величину h определим
из формулы
,
где S – площадь
основания. Определим площадь S:

где

Поскольку

то

Подставляя
в формулу

значения

и
,
получим h=3.

Пример 3.
Образуют ли векторы
базис в пространстве ? Разложить вектор

по базису векторов
.

Решение. Если векторы образуют
базис в пространстве, то они не лежат в
одной плоскости, т.е. являются
некомпланарными. Найдем смешанное
произведение векторов
:
,

Следовательно,
векторы не компланарны и образуют базис
в пространстве. Если векторы образуют
базис в пространстве, то любой вектор
можно представить в виде линейной
комбинации базисных векторов, а именно
,где

координаты вектора
в
базисе векторов
.
Найдем эти координаты, составив и решив
систему уравнений

.

Решая ее
методом Гаусса, имеем

Отсюда
.
Тогда
.

Таким образом,
.

Пример
4. Вершины пирамиды находятся в точках:
,
,
,
.
Вычислить:

а)
площадь грани
;

б) объем
пирамиды
;

в)
проекцию вектора

на направление вектора
;

г) угол
;

д)
проверить, что векторы
,
,

компланарны.

Решение

а) Из
определения векторного произведения
известно, что:

.

Находим
векторы

и
,
используя формулу

;

,
.

Для
векторов, заданных своими проекциями,
векторное произведение находится по
формуле

,
где
.

Для
нашего случая

.

Длину
полученного вектора находим, используя
формулу

,
.

и тогда

(кв. ед.).

б)
Смешанное произведение трех векторов
по абсолютной величине равно объему
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
,

как на ребрах.

Смешанное
произведение вычисляется по формуле:

.

Найдем
векторы
,
,
,
совпадающие с ребрами пирамиды,
сходящимися к вершине
:

,

,

.

Смешанное
произведение этих векторов

.

Так
как объем пирамиды равен

части объема параллелепипеда, построенного
на векторах
,
,
,
то

(куб. ед.).

в)
Используя формулу
,
определяющую скалярное произведение
векторов
,
,
можно записать так:

,

где

или
;

или
.

Для
нахождения проекции вектора

на направление вектора

находим координаты векторов
,
,
а затем, применяя формулу

,

получаем

.

г) Для
нахождения угла

определяем векторы
,
,
имеющие общее начало в точке
:

,

.

Затем
по формуле скалярного произведения

находим

,

.

д) Для
того чтобы три вектора

,
,

были компланарны,
необходимо и достаточно, чтобы их
смешанное произведение было равно нулю.

В нашем
случае имеем
.

Следовательно,
векторы компланарны.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)² + (—5)² + 13²) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов: