Как найти объем пирамиды егэ - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Видео по теме

Задача 1. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите длину отрезка .

fgk

Решение: + показать

Задача 2. В правильной четырехугольной пирамиде точка – центр основания, – вершина, Найдите боковое ребро

Решение: + показать

Задача 3. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 4. В правильной четырёхугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, Найдите длину отрезка

Решение: + показать

Задача 5. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 6. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно сторона основания равна Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 7. В правильной четырёхугольной пирамиде все рёбра равны Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середины боковых рёбер.

Решение: + показать

Задача 8. Даны две правильные четырёхугольные пирамиды. Объём первой пирамиды равен У второй пирамиды высота в раза больше, а сторона основания в раза больше, чем у первой. Найдите объём второй пирамиды.

Решение: + показать

Задача 9. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

Решение: + показать

Задача 10. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами и Ее объем равен Найдите высоту этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 11. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 12. В правильной треугольной пирамиде медианы основания пересекаются в точке . Площадь треугольника равна объем пирамиды равен Найдите длину отрезка .

Решение: + показать

Задача 13. В правильной треугольной пирамиде точка — середина ребра — вершина. Известно, что а . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение: + показать

Задача 14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а высота равна

Решение: + показать

Задача 15. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны а объем равен

Решение: + показать

Задача 16. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны боковые ребра равны Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение: + показать

Задача 17. Объем правильной шестиугольной пирамиды Сторона основания равна Найдите боковое ребро.

Решение: + показать

Задача 18. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в два раза?

Решение: + показать

Задача 19. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в раз?

Решение: + показать

Задача 20. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в пять раз?

Решение: + показать

Задача 21. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом °. Высота пирамиды равна Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 22. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 23. От треугольной призмы, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Решение: + показать

Задача 24. Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен Найдите объем шестиугольной пирамиды. Видео по теме 1 2

Решение: + показать

Задача 25. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 8, боковое ребро равно 16. Найдите объём пирамиды.

Решение: + показать

Задача 26. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а угол между боковой гранью и основанием равен $45^{circ}.$ Найдите объем пирамиды.

Решение: + показать

Задача 27. Найдите объём правильной шестиугольной пирамиды если объём треугольной пирамиды равен

Решение: + показать

Задача 28. Объем параллелепипеда равен Найдите объем треугольной пирамиды

Решение: + показать

Задача 29. Объем куба равен Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Решение: + показать

Задача 30. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно

Решение: + показать

Задача 31. Объем правильной четырехугольной пирамиды равен Точка — середина ребра . Найдите объем треугольной пирамиды .

Решение: + показать

Задача 32. От треугольной пирамиды, объем которой равен отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Решение: + показать

Задача 33. Ребра тетраэдра равны Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Решение: + показать

Вы можете пройти тест

Источник

СДАМ ГИА:

РЕШУ ЕГЭ

Образовательный портал для подготовки к экзаменам

Математика профильного уровня

≡ Математика

Базовый уровень

Профильный уровень

Информатика

Русский язык

Английский язык

Немецкий язык

Французский язык

Испанский язык

Физика

Химия

Биология

География

Обществознание

Литература

История

Сайты, меню, вход, новости

СДАМ ГИАРЕШУ ЕГЭРЕШУ ОГЭРЕШУ ВПРРЕШУ ЦТ

Об экзамене

Каталог заданий

Варианты

Ученику

Учителю

Школа

Эксперту

Справочник

Карточки

Теория

Сказать спасибо

Вопрос — ответ

Чужой компьютер

Зарегистрироваться

Восстановить пароль

Войти через ВКонтакте

Играть в ЕГЭ-игрушку

Новости

1 мая

Новый сервис: можно исправить ошибки!

29 апреля

Разместили актуальные шкалы ЕГЭ  — 2023

24 апреля

Учителю: обновленный классный журнал

7 апреля

Новый сервис: ссылка, чтобы записаться к учителю

30 марта

Решения досрочных ЕГЭ по математике

31 октября

Сертификаты для учителей о работе на Решу ЕГЭ, ОГЭ, ВПР

НАШИ БОТЫ

Все новости

ЧУЖОЕ НЕ БРАТЬ!

Экзамер из Таганрога

10 апреля

Предприниматель Щеголихин скопировал сайт Решу ЕГЭ

Наша группа

Каталог заданий.
Пирамида

Пройти тестирование по этим заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 2 № 901

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Источник: Пробный ЕГЭ по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 902

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 9; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 903

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка OS.

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 904

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 2, объем пирамиды равен 4. Найдите длину отрезка OS.

Решение

Видеокурс

Помощь

Тип 2 № 905

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке Площадь треугольника ABC равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Решение

Видеокурс

Помощь

Пройти тестирование по этим заданиям

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе

Источник

8. Геометрия в пространстве (стереометрия)

1. Вспоминай формулы по каждой теме

2. Решай новые задачи каждый день

3. Вдумчиво разбирай решения

Задачи по теме «Пирамида»

Пирамида (PA_1A_2…A_n):

(blacktriangleright) Многоугольник (A_1…A_n) – основание;

треугольники (PA_1A_2, PA_2A_3) и т.д. – боковые грани;

точка (P) – вершина;

отрезки (PA_1, PA_2, …, A_1A_2) и т.д. – ребра.

(blacktriangleright) Если в основании пирамиды лежит треугольник, то она называется тетраэдром.

(blacktriangleright) Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины (P) к основанию.

(blacktriangleright) Объем пирамиды ({Large{V=dfrac{1}{3}S_{text{осн}}h}}) , где (S_{text{осн}}) – площадь основания, (h) – высота.

(blacktriangleright) Площадь боковой поверхности – сумма площадей всех боковых граней.
Площадь полной поверхности – сумма площади боковой поверхности и площади основания.

Заметим, что принято записывать название пирамиды, начиная с вершины.

Задание
1

#2878

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Дана пирамида (SABCD), вершиной которой является точка (S), в основании лежит ромб, а высота (SO) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол (ASO) равен углу (SBO), а диагонали основания равны (6) и (24).

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то (AO=12), (BO=3).
Заметим, что так как (SO) – высота пирамиды, то (triangle ASO) и (triangle BSO) – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть (SO=h), тогда из подобия имеем: [dfrac{BO}{h}=dfrac{h}{AO} quadRightarrowquad h=6.] Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot hcdot dfrac12cdot 24cdot 6=144.]

Ответ: 144

Задание
2

#2879

Уровень задания: Равен ЕГЭ

В пирамиде (SABC) высота (SO) падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник (ABC) равнобедренный, боковые стороны равны (10), а основание (AC=18). Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром (SB) и плоскостью основания равен (45^circ).

Пусть (BK) – высота в (triangle ABC), а значит и медиана. Тогда из прямоугольного (triangle BKC): [BK=sqrt{BC^2-KC^2}=sqrt{10^2-9^2}=sqrt{19}.] Тогда площадь основания равна [S_{ABC}=dfrac12cdot ACcdot
BK=9sqrt{19}.] Так как (O) – точка пересечения медиан, то (O) лежит на (BK). Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины, то [BO=dfrac23BK=dfrac23sqrt{19}.] Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, (angle SBO=45^circ) и есть угол между (SB) и основанием (так как (BO) – проекция (SB) на плоскость (ABC)). Так как к тому же (triangle SBO) прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно, [SO=BO=dfrac23sqrt{19}.] Тогда объем пирамиды равен [V=dfrac13cdot SOcdot S_{ABC}=38.]

Ответ: 38

Задание
3

#2880

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Высота (SH) треугольной пирамиды (SABC) падает на середину стороны (AB), (ABC) – правильный треугольник со стороной (6). Найдите объем пирамиды, если (SC=sqrt{30}).

Так как (H) – середина (AB) и треугольник правильный, то (CH) – высота. Следовательно, [CH=dfrac{sqrt3}2AB=3sqrt3.] Так как (SH) – высота пирамиды, то (triangle SHC) – прямоугольный, следовательно, [SH=sqrt{SC^2-CH^2}=sqrt{30-27}=sqrt3.] Следовательно, объем равен [V=dfrac13cdot SHcdot S_{ABC}=
dfrac13cdot SHcdot dfrac12cdot CHcdot AB=9.]

Ответ: 9

Задание
4

#2881

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция (ABCD), (AD) – большее основание. Высота пирамиды падает на отрезок (BC). Апофема грани (ASD) равна (10) и образует угол (45^circ) с плоскостью трапеции. Найдите объем пирамиды, если средняя линия трапеции равна (9).

Пусть (SH) – высота пирамиды. Проведем (HKperp AD). Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах (SK) (наклонная) также перпендикулярна (AD) (так как (HK) – ее проекция на плоскость (ABC)). Следовательно, (SK) и есть апофема грани (ASD). Также отсюда следует, что (angle SKH=45^circ) (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость). Следовательно, (triangle SHK) прямоугольный и равнобедренный, значит, [SH=HK=SKdiv sqrt2=dfrac{10}{sqrt2}] По определению получается, что (HK) также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней линии, то [S_{ABCD}=9cdot dfrac{10}{sqrt2}] А значит объем пирамиды равен [V=dfrac13cdotdfrac{10}{sqrt2}cdot9cdot dfrac{10}{sqrt2}=150.]

Ответ: 150

Задание
5

#1857

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABCD) лежит равнобедренная трапеция с основаниями (AD) и (BC). (H) – точка пересечения диагоналей трапеции, а (SH) – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, (mathrm{tg}, angle SAC = 3), (BH = 3), (AH = 2). Найдите объем пирамиды.

(triangle AHD) и (triangle BHC) – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция (ABCD) равнобедренная (Rightarrow) (AH = HD), (BH = HC) (Rightarrow) (AC = BD = 2 + 3 = 5) (Rightarrow)

[S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC} = frac{1}{2}cdot ACcdot BH + frac{1}{2}cdot ACcdot HD = frac{1}{2}cdot ACcdot(BH + HD) = frac{1}{2}cdot ACcdot BD.]

В (triangle SAH): (SH = AHcdot mathrm{tg}, angle SAC = 6), т.к. (triangle SAH) – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot S_{ABCD}cdot SH = frac{1}{3}cdotfrac{1}{2}cdot5cdot5cdot6 = 25].

Ответ: 25

Задание
6

#1858

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

В основании пирамиды (SABC) лежит прямоугольный треугольник с прямым углом (angle A). Точка (H) – центр описанной вокруг треугольника (triangle ABC) окружности, (SH) – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что (AB = 6), (AC = 8), (SA = 5sqrt5).

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам (Rightarrow) (BH = AH = CH) – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике (triangle BAC) по теореме Пифагора: (BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 8^2 = 100) (Rightarrow) (BC = 10) (Rightarrow) (AH = frac{BC}{2} = frac{10}{2} = 5). Треугольник (triangle AHS) – прямоугольный, т.к. (SH perp ABC) ((SH) – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти (SH): (SH^2 = AS^2 – AH^2 = (5sqrt5)^2 – 5^2 = 100) (Rightarrow) (SH = 10). Теперь найдем объем пирамиды: [V_{text{пир.}} = frac{1}{3}cdot SHcdot S_{triangle BAC} = frac{1}{3}cdot SHcdotfrac{1}{2}cdot ABcdot AC = frac{1}{3}cdot10cdotfrac{1}{2}cdot6cdot8 = 80.]

Ответ: 80

Задание
7

#2769

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Точки (A), (B) и (C) лежат в плоскости (pi). Прямая (l) образует с плоскостью (pi) угол в (45^circ) и проходит через точку (B) так, что (angle(l; AB) = angle(l; BC)). Через (l’) обозначим проекцию (l) на (pi). Найдите (angle(l’; AB)), если (angle ABC = 80^circ). Ответ дайте в градусах.

Докажем, что (l’) содержит биссектрису угла (ABC). Выберем на (AB) точку (A’), а на (BC) точку (C’) так, чтобы (A’B = BC’). Построим прямую, проходящую через точку (B) и точку (H) – середину (A’C’).

Отметим на (l) точку (M). Треугольник (A’BC’) – равнобедренный, тогда (BH) – высота.

Рассмотрим треугольники (A’BM) и (C’BM): они равны по двум сторонам и углу между ними, тогда (MA’ = MC’) и треугольник (A’MC’) – равнобедренный, тогда (MH) – его высота.

В итоге (A’C’perp BH) и (A’C’perp MH), следовательно, (A’C’perp (MBH)). Если предположить, что (M’) – проекция точки (M) на ((A’BC’)), не попадает на прямую, содержащую (BH), то получим, что (A’C’perp M’M) и (A’C’perp MH), откуда следует, что (A’C’perp (MM’H)). Но тогда плоскости ((MM’H)) и ((MBH)) перпендикулярны к одной прямой, пересекаются, но не совпадают, чего быть не может.

Таким образом, (M’) лежит на прямой, содержащей (BH), но тогда (l’) совпадает с прямой, содержащей (BH). В итоге, (angle(l’; AB) = 0,5angle ABC = 40^circ).

Ответ: 40

При подготовке к ЕГЭ по математике старшеклассникам следует особое внимание уделить теме «Пирамида», так как задачи, связанные с расчетом объема и площади данного многогранника, непременно встретятся на финальной аттестации. Весь необходимый для повторного изучения материал вы найдете в данном разделе. Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию и элементарные упражнения, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация

Пирамида — многогранник, образованный благодаря соединению всех точек плоского многоугольника с точкой, выходящей за пределы плоскости данного многоугольника.

Пирамиду называют n-угольной по количеству углов в основании. Если последним является правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с его центром, фигуру называют правильной.

Все боковые грани пирамиды — треугольники.

Подробная теоретическая часть приведена в начале страницы. Вы также можете сразу приступить к практике. Задачи, представленные в данном разделе, помогут вам найти объем пирамиды, длину ее определенных отрезков и т. д. Каждое упражнение содержит подробный алгоритм решения и правильный ответ. Таким образом, разобраться в теме вы сможете самостоятельно, без помощи репетитора.

Как часто следует тренироваться?

Чтобы на ЕГЭ ребенок смог легко решить задачи по стереометрии (а определение площади и других параметров пирамиды относятся к данному разделу геометрии), мы рекомендуем выполнять по 2—3 упражнения каждый день. Таким образом, знания будут лучше усваиваться и вам будет проще переходить от простого к сложному.

Проверьте, легко ли вы рассчитаете площадь пирамиды, прямо сейчас. Разберите любое задание онлайн. Если решение дастся вам легко, значит, шансы на высокие экзаменационные баллы по математике достаточно велики. А при возникновении затруднений планируйте свой день таким образом, чтобы в ежедневное расписание был включен дистанционный образовательный проект «Школково». Мы поможем вам восполнить пробелы в знаниях!

УСТАЛ? Просто отдохни

Источник

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b). Нужно найти ( displaystyle {{S}_{осн}}) и ( displaystyle H).

( displaystyle {{S}_{осн}}) – это площадь правильного треугольника ( displaystyle ABC).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

( displaystyle S=frac{1}{2}abcdot sin gamma )

У нас «( displaystyle a)» – это ( displaystyle a), а «( displaystyle b)» — это тоже ( displaystyle a), а ( displaystyle sin gamma =sin 60{}^circ =frac{sqrt{3}}{2})

Значит, ( displaystyle {{S}_{ABC}}=frac{1}{2}{{a}^{2}}frac{sqrt{3}}{2}=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}).

Теперь найдем ( displaystyle H).

По теореме Пифагора для ( displaystyle Delta SOC)

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}})

Чему же равно ( displaystyle OC)?

Это радиус описанной окружности в ( displaystyle Delta ABC), потому что пирамида правильная и, значит, ( displaystyle O) — центр ( displaystyle Delta ABC)

Найдем ( displaystyle OC) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

( displaystyle OC=frac{2}{3}CK), так как ( displaystyle O) — точка пересечения и медиан тоже.

( displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}) (теорема Пифагора для ( displaystyle Delta ACK))

( displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{4}=frac{3{{a}^{2}}}{4}); ( displaystyle CK=frac{asqrt{3}}{2})

Значит, ( displaystyle OC=frac{2}{3}cdot frac{asqrt{3}}{2}=frac{asqrt{3}}{3})

Подставим ( displaystyle OC) в формулу для ( displaystyle H).

( displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{left( frac{asqrt{3}}{3} right)}^{2}}={{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3})

И подставим все в формулу объема:

( displaystyle V=frac{1}{3}{{S}_{ABC}}cdot H=frac{1}{3}cdot frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{4}cdot sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}})

( displaystyle V=frac{{{a}^{2}}sqrt{3}}{12}sqrt{{{b}^{2}}-frac{{{a}^{2}}}{3}}).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. ( displaystyle b=a)), то формула получается такой:

( displaystyle V=frac{{{a}^{3}}}{6sqrt{2}}).

Источник

Тема 2.

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.

Готовиться с нами – ЛЕГКО!

Подтемы раздела

геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Показать ответ и решение

Пусть площадь основания пирамиды равна а ее высота равна Тогда объём пирамиды равен

1
V1 = 3Sh

Если высоту пирамиды увеличили в 4 раза, то и ее объем увеличился в 4 раза:

V2 = 1S ⋅(4h)= 4Sh = 4V1
3 3

Объем треугольной пирамиды равен 78. Через вершину пирамиды и среднюю
линию ее основания проведена плоскость. Найдите объем отсеченной треугольной
пирамиды.

Показать ответ и решение

Так как средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, подобный
данному с коэффициентом подобия 1
2, то площадь отсекаемого треугольника в 4
раза меньше площади исходного треугольника. Высоты исходной пирамиды
и отсеченной, проведенные к плоскости этого треугольника, одинаковы.
Следовательно, объем отсеченной пирамиды в 4 раза меньше объема исходной
пирамиды, значит, он равен

V = 1⋅78 =19,5.
4

Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 3, боковое ребро
равно 6. Найдите объем пирамиды.

Показать ответ и решение

Пусть дана пирамида точка — центр основания ABCDEF.
Тогда — высота пирамиды, а По теореме Пифагора из
△ASO находим, что √ -
SO = 3 3.

Следовательно, объем пирамиды равен

1 1 3√3- 2
V = 3 ⋅SO ⋅SABCDEF = 3 ⋅SO ⋅-2-AB = 40,5

Показать ответ и решение

Пусть – высота пирамиды. Проведем . Следовательно, по теореме о трех
перпендикулярах (наклонная) также перпендикулярна (так как – ее проекция на
плоскость ABC ). Следовательно, и есть апофема грани ASD . Также отсюда следует,
что (так как угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и
ее проекцией на плоскость). Следовательно, △SHK прямоугольный и равнобедренный,
значит,

√ -- 10
SH = HK = SK ÷ 2 = √---
2

По
определению получается, что также высота трапеции. Так как площадь трапеции равна
полусумме оснований, умноженной на высоту, а полусумма оснований в свою очередь равна средней
линии, то

10
SABCD = 9 ⋅ √--
2

А
значит объем пирамиды равен

V = 1-⋅ 1√0-⋅ 9 ⋅ 1√0-= 150.
3 2 2

Показать ответ и решение

Так как , то , тогда ABCD –
прямоугольник, но AD = DC , следовательно, ABCD – квадрат.

Обозначим отрезок, соединяющий точку и середину через .

Так как ABCD – квадрат, то соединяет точку с серединой , то есть проекцией точки
на (ABC ) , откуда заключаем, что перпендикулярен (ABC ) . Через hгр обозначим перпендикуляр,
опущенный из точки на .

Пирамида ABCDE является правильной по определению. Тогда её грани равные равнобедренные
треугольники и площадь её полной поверхности равна .

По теореме Пифагора

∘ ------2- ∘ --2----2-
hгр = h2 + a--= 3a--+ a--= a,
4 4 4

тогда
S = a2 + 2a2 = 3a2 = 2, 4
ABCDE , откуда .

По теореме Пифагора

2 2
ED2 = hгр2 + a--= a2 + a--= 5⋅ a2 = 5-⋅ 0,8 = 1,
4 4 4 4

откуда ED = 1 .

Показать ответ и решение

Пусть √ --
AD = 3 + 3 5 . Рассмотрим прямоугольник ABCD

Достроим отрезки N T и P K , проходящие через точку , как показано на рисунке (,
).

Тогда M N = 3 , √ --
M T = 3 5 , √ ----
M P = 114 , √----
M K = 570 . M N – проекция N E на (ABCD ) ,
M N перпендикулярен , тогда по теореме о трех перпендикулярах N E перпендикулярен . По
теореме Пифагора N E = 8 . Площадь треугольника ABE равна

1 √ ---- √--
--⋅ AB ⋅ N E = 4 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5 ).
2

Аналогично площадь треугольника BEC равна √ --
37,5(1 + 5) ,
площадь треугольника CDE равна √---- √ --
5 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5) ,
площадь треугольника AED равна √ --
19,5(1 + 5) ,
площадь прямоугольника ABCD равна √---- √--
3 114 (1 + 5 )2 .
Площадь поверхности пирамиды:

√ ---- √ -- √ -- √ ---- √ --
S = 9 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5) + 57(1 + 5) + 3 114 (1 + 5)2.

Тогда .

Показать ответ и решение

Объем пирамиды может быть найден по формуле 1
V = --S ⋅ h
3 , где – площадь основания пирамиды,
– высота пирамиды.

Площадь параллелограмма может быть найдена по формуле , где , – не
параллельные стороны параллелограмма, – угол между ними.

√ --
√-- ∘ √ -- --3- 3-
SABCD = 1 ⋅ 3 ⋅ sin60 = 3 ⋅ 2 = 2.

Найдем :
по теореме Пифагора для треугольника AEN :

2 2 2
EN = AE − AN .

Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то 1-
AN = 2 AC .
Найдем по теореме косинусов для треугольника ACD :

но
∘ ∘
∠ADC = 180 − ∠BAD = 120 , тогда

-- ( ) --
AC2 = 1 + 3 − 2 ⋅ 1 ⋅ √ 3 ⋅ − 1 = 4 + √ 3,
2

откуда

∘ -------
1- 1- √ --
AN = 2AC = 2 4 + 3.

Теперь √ -- √ --
2 --3- --3-
EN = 5 + 4 − 1 − 4 = 4 , тогда EN = 2 , следовательно,

1 3
Vпирамиды = --⋅--⋅ 2 = 1.
3 2

Показать ответ и решение

Так как – середина и треугольник правильный, то – высота. Следовательно,

√ -- √ --
CH = --3-AB = 3 3.
2

Так
как – высота пирамиды, то △SHC – прямоугольный, следовательно,

Следовательно, объем равен

1 1 1
V = -⋅ SH ⋅ SABC = --⋅ SH ⋅ --⋅ CH ⋅ AB = 9.
3 3 2

Показать ответ и решение

Пусть – высота в △ABC , а значит и медиана. Тогда из прямоугольного △BKC :

Тогда площадь основания равна

S = 1-⋅ AC ⋅ BK = 9√19.-
ABC 2

Так
как – точка пересечения медиан, то лежит на . Так как медианы точкой пересечения
делятся в отношении 2 : 1 , считая от вершины, то

2 2√ ---
BO = -BK = -- 19.
3 3

Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость,
следовательно, и есть угол между и основанием (так как – проекция
на плоскость ABC ). Так как к тому же △SBO прямоугольный, то он равнобедренный,
следовательно,