Как найти объем пирамиды если основание известно

Как найти объем пирамиды если основание известно

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

  • Формула вычисления объема пирамиды

    • 1. Общая формула

    • 2. Объем правильной треугольной пирамиды

    • 3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

    • 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

  • Примеры задач

Формула вычисления объема пирамиды

1. Общая формула

Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.

Формула объема пирамиды

Объем пирамиды

  • ABCD – основание;
  • E – вершина;
  • h – высота, перпендикулярная основанию.

2. Объем правильной треугольной пирамиды

Объем правильной треугольной пирамиды

Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):

Формула площади равностороннего треугольника

Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:

Формула объема правильной треугольной пирамиды

3. Объем правильной четырехугольной пирамиды

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a2, где а – длина его стороны.

Следовательно, формулу объема можно представить в виде:

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

4. Объем правильной шестиугольной пирамиды

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):

Формула площади основания правильного шестиугольника

С учетом этого, объем фигуры считается так:

Формула объема правильного шестиугольника

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:
Формула расчета объема правильной треугольной пирамиды

Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:
Формула расчета объема правильной четырехугольной пирамиды

Источник

Объем пирамиды

{V= S cdot h}

На этой странице собраны формулы и калькуляторы для нахождения объема пирамиды. Просто введите известные данные в калькулятор и получите результат. Либо рассчитайте объем пирамиды по приведенным формулам самостоятельно.

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину.

Содержание:
  1. калькулятор объема пирамиды
  2. формула объема пирамиды
  3. объем правильной треугольной пирамиды
  4. объем правильной четырехугольной пирамиды
  5. объем правильной шестиугольной пирамиды
  6. объем правильной n-угольной пирамиды
  7. объем тетраэдра
  8. примеры задач

Формула объема пирамиды

Объем пирамиды

{V= dfrac{1}{3} S cdot h}

S – площадь основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Объем правильной треугольной пирамиды

{V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}}}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит квадрат, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Объем правильной четырехугольной пирамиды

{V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной шестиугольной пирамиды

Правильная шестиугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

{V= dfrac{sqrt{3}}{2} cdot h cdot a^2}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

Формула объема правильной n-угольной пирамиды

Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник (все стороны и углы равны между собой), а высота проходит через центр этого основания.

Объем правильной n-угольной пирамиды

{V= dfrac{n cdot h cdot a^2}{12 cdot tg(dfrac{180°​}{n} )}}

a – длина стороны основания пирамиды

h – высота пирамиды

n – число сторон многоугольника в основании пирамиды

Формула объема тетраэдра

Тетраэдр – правильный многогранник (четырехгранник), имеющий четыре грани, каждая из которых является правильным треугольником. У тетраэдра кроме четырех граней также 4 вершины и 6 ребер.

Объем тетраэдра

{V= dfrac{sqrt{2} a^3}{12}}

a – длина стороны тетраэдра

Примеры задач на нахождение объема пирамиды

Задача 1

Найдите объем пирамиды с высотой 2м, а основанием ее служит квадрат со стороной 3м.

Решение

Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то воспользуемся формулой объема правильной четырехугольной пирамиды и подставим в нее значения высоты и стороны основания.

V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 3^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 9 = dfrac{1}{3} cdot 18 = 6 : м^3

Ответ: 6 м³

Используем калькулятор для проверки полученного ответа.

Задача 2

Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1см, а высота равна √3см.

Решение

Из условия следует, что пирамида правильная треугольная. Это значит, что для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для правильной треугольной пирамиды. Подставим в нее значения и рассчитаем объем.

V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3}}{4 sqrt{3}} = dfrac{cancel{sqrt{3}}}{4 cancel{sqrt{3}}} = dfrac{1}{4} = 0.25 : м^3

Ответ: 0.25 см³

Для проверки с помощью калькулятора извлечем квадратный корень из 3: √3 = 1.73205. Теперь можем подставить значения в калькулятор и проверить полученный ответ.

Источник

Оглавление:

  • 📝 Как это работает?
  • 🤔 Частые вопросы и ответы
  • 📋 Похожие материалы
  • 📢 Поделиться и комментировать

Что считает калькулятор

Калькулятор объема пирамиды — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема пирамиды по ее известным параметрам. Объем пирамиды представляет собой объем пространства, которое занимает эта фигура в трехмерном пространстве.

Калькулятор объема пирамиды может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов таких геометрических фигур. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.

Где можно применить калькулятор объема пирамиды

Калькулятор объема пирамиды можно применить в различных сферах, где требуется вычислить объем пирамиды, например:

  1. Строительство: при проектировании зданий и сооружений инженерам и архитекторам часто нужно вычислить объем пирамиды, например, для расчета объема кровли или фундамента.
  2. Геометрия: в математике пирамиды являются важным объектом изучения, и вычисление их объема – одна из основных задач геометрии.
  3. Производство: в производстве может потребоваться вычислить объем пирамиды для расчета необходимых материалов, например, для производства упаковки.
  4. Учебные цели: калькулятор объема пирамиды может быть использован студентами и учениками при изучении геометрии или математики.
  5. Игры и развлечения: калькулятор объема пирамиды может быть использован в играх и развлечениях, где требуется решить задачу по вычислению объема пирамиды.

В целом, калькулятор объема пирамиды может быть полезен во всех ситуациях, где требуется вычислить объём данной фигуры.

В чем преимущество пирамиды

Пирамида — многогранник, основание которого является многоугольником, а остальные грани – треугольниками, имеющими общую вершину.

Пирамидальная форма имеет несколько преимуществ:

  1. Стабильность. Пирамида имеет широкое основание и суживающийся верх, что делает ее очень стабильной. Это свойство делает пирамиду идеальным выбором для многих инженерных и архитектурных конструкций.
  2. Эффективность использования пространства. Пирамидальная форма позволяет использовать пространство более эффективно. Благодаря своей форме пирамида может поместить больше материала на меньшей площади, чем другие формы.
  3. Видимость. Пирамиды обычно имеют значительную высоту и суживающуюся вершину, что делает их легко заметными издалека. Это свойство делает пирамиды идеальным выбором для монументальных сооружений, таких как пирамиды в Египте или Латинской Америке.
  4. Эстетика. Пирамидальная форма может быть очень эстетичной и привлекательной. Она может использоваться в различных областях, таких как дизайн зданий, декоративное искусство, упаковка продуктов и многое другое.

В целом, пирамидальная форма имеет множество преимуществ, которые делают ее полезной в различных областях. Однако, как и любая другая форма, она может иметь свои недостатки в зависимости от контекста, в котором она используется.

Как вычислить объем пирамиды

калькулятор объема пирамиды

Калькулятор объема пирамиды использует стандартные математические формулы для расчета объема пирамиды с основанием любой формы.

Как вычислить объем пирамиды по высоте и площади основания

Формула расчета объема пирамиды, которая основана на ее высоте и площади основания, выглядит следующим образом:

V = 1/3 * S * h

где: V – объем пирамиды S – площадь основания пирамиды h – высота пирамиды

Для того, чтобы вычислить объем пирамиды, нужно знать ее высоту и площадь основания. Подставьте известные значения в соответствующие поля калькулятора и получите необходимое значение объема.

Например, для пирамиды с площадью основания 20см2 и высотой 5см расчёт объема будет выглядеть таким образом:

V = 1/3 * S * h = 1/3 * 20 * 5 = 33.3см3

Как вычислить объем пирамиды с правильным многоугольным основанием

Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной в основание окружности.

Объем пирамиды с правильным многоугольным основанием можно вычислить по формуле:

V = (n * a2 * h) / (12 * tan(180о/n))

где h – высота пирамиды, а – сторона основания, n – количество сторон в основании

Например, объем правильной многоугольной пирамиды с высотой 100см, стороной основания 12см и количеством сторон 6 равен: 

V = (n * a2 * h) / (12 * tan(180о/n)) = (6 * 122 * 100) / (12 * tan(180о/6)) = 12470.7658см3

Как вычислить объем правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем пирамиды с правильным треугольным основанием можно вычислить по формуле:

V = h * a² / 4 * √3

где h – высота пирамиды, а – сторона основания

Таким образом, чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания и длину ее высоты, и затем использовать вышеуказанную формулу.

Например, объем правильной треугольной пирамиды с высотой 100см и стороной основания 12см равен: 

V = h * a² / 4 * √3 = 100 * 12² / 4 * √3 = 2078.461см3

Как вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Объем пирамиды с правильным четырехугольным основанием можно вычислить по формуле:

V = 1 / 3 * h * a²

где h – высота пирамиды, а – сторона основания.

Таким образом, чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания и длину ее высоты, и затем использовать вышеуказанную формулу.

Например, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 100см и стороной основания 12см равен: 

V = 1 / 3 * h * a² = 1 / 3 * 100 * 12² = 4800см3

Как вычислить объем тетраэдра

Тетраэдр – пирамида, у которой все грани – равносторонние треугольники.

Объем пирамиды с правильным треугольным основанием можно вычислить по формуле:

V = a3 * √2 / 12

где а – сторона основания.

Таким образом, чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания, и затем использовать вышеуказанную формулу.

Например, объем тетраэдра со стороной основания 12см равен: 

V = a3 * √2 / 12 = 123 * √2 / 12 = 203.6468см3

❓ Вопросы и ответы

А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о пирамиде и ее параметрах.

Как найти площадь основания пирамиды?

Площадь основания пирамиды зависит от ее формы. Если основание пирамиды имеет форму прямоугольника, площадь вычисляется по формуле S = a * b, где a и b – длины сторон прямоугольника. Если основание пирамиды имеет форму треугольника, площадь вычисляется по формуле S = (a * b * sin(α)) / 2, где a и b – длины сторон треугольника, α – угол между ними.

Как определить высоту пирамиды?

Высоту пирамиды можно определить с помощью теоремы Пифагора. Для этого необходимо построить прямую, проходящую через вершину пирамиды и перпендикулярную к основанию. Затем нужно измерить длину этой прямой и длину отрезка, соединяющего середины двух сторон основания. Высота пирамиды равна квадратному корню из разности квадратов этих длин.

Как найти боковую поверхность пирамиды?

Боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, каждый из которых имеет общую вершину в вершине пирамиды и стороны, соединяющие эту вершину с точками на основании. Площадь каждого такого треугольника можно вычислить по формуле S = (a * h) / 2, где a – длина стороны основания, h – высота боковой грани. Общая площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней.

Как вычислить полную поверхность пирамиды?

Для вычисления полной поверхности пирамиды нужно сложить площади всех ее боковых граней и площадь ее основания. Формула для вычисления площади боковой грани зависит от формы пирамиды. Например, если пирамида имеет правильную многоугольную основу, то ее боковые грани будут равными равнобедренными треугольниками. Площадь такой грани можно вычислить по формуле: Sбок = (1/2) * Периметр основания * Высота боковой грани, где Периметр основания – периметр многоугольной основы пирамиды, Высота боковой грани – расстояние от вершины пирамиды до середины ребра ее основания.

Похожие калькуляторы

Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:

  • Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
  • Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
  • Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
  • Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
  • Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
  • Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
  • Калькулятор длины дуги. Рассчитайте онлайн длину дуги окружности по радиусу и углу или по формуле Гюйгенса.
  • Калькулятор объема трубы. Рассчитайте онлайн объем трубы в куб. м. или литрах в зависимости от диаметра и длины трубопровода.
  • Калькулятор объема и площади усеченного конуса. Рассчитайте онлайн объем и площадь поверхности усеченного конуса по его радиусам и высоте.
  • Калькулятор площади трапеции. Рассчитайте онлайн площадь трапеции, не только зная длины ее оснований и высоту, но и по другим известным параметрам, например, диагоналям.

Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!

Есть что добавить?

Напишите своё мнение, комментарий или предложение.

Показать комментарии

Источник


Download Article


Download Article

To calculate the volume of a pyramid, use the formula V={frac {1}{3}}lwh, where l and w are the length and width of the base, and h is the height. You can also use the equivalent formula V={frac {1}{3}}A_{{b}}h, where A_{{b}} is the area of the base and h is the height. The method varies slightly depending on whether the pyramid has a triangular or a rectangular base. If you want to know how to calculate the volume of a pyramid, just follow these steps.

Volume Help

  1. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 1

    1

    Find the length and width of the base. In this example, the length of the base is 4 cm and the width is 3 cm. If you’re working with a square base, the method is the same, except the length and width of the square base will be equal. Write down these measurements.[1]

  2. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 2

    2

    Multiply the length and width to find the area of the base. To get the area of the base, simply multiply 3 cm by 4 cm.[2]
    2[3]

    Advertisement

  3. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 3

    3

    Multiply the area of the base by the height. The area of the base is 12 cm2 and the height is 4 cm, so you can multiply 12 cm2 by 4 cm.

  4. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 4

    4

    Multiply your result so far by {frac {1}{3}}. Or, in other words, divide by 3. Remember to state your answer in cubic units whenever you’re working with three-dimensional space.[4]

    5. Advertisement

  1. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 5

    1

    Find the length and width of the base. The length and width of the base must be perpendicular to each other for this method to work. They can also be considered the base and height of the triangle. In this example, the width of the base is 2 cm and the length of the triangle is 4 cm.[5]

  2. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 6

    2

    Calculate the area of the base. To calculate the area of the base, just plug the base and height of the triangle into the following formula: A_{{b}}={frac {1}{2}}bh.[6]

  3. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 7

    3

    Multiply the area of the base by the height of the pyramid. The area of the base is 4 cm2 and the height is 5 cm.

  4. Image titled Calculate the Volume of a Pyramid Step 8

    4

    Multiply your result so far by {frac {1}{3}}. Or, in other words, divide by 3. Your result will show that the volume of a pyramid with a height of 5 cm and a triangular base with a width of 2 cm and a length of 4 cm is 6.67 cm.[7]
    3

    5. Advertisement

Add New Question

  • Question

    How do I calculate the volume of a three square tier pyramid?

    Community Answer

    Determine the area of the base. If it is a rectangle, that’s length x width, if it is a triangle it’s 1/2 x the base (one side) x the height (a line perpendicular to the base to the opposite vertex). Determine the height of the pyramid. It is a line perpendicular (straight up) from the base of the pyramid to the opposite vertex. Muliply (1) x (2) and divide by 3. The formula is 1/3 x the area of the base x the height of the pyramid

  • Question

    How do I find the height if given the volume and the base length for a square pyramid?

    Donagan

    Triple the volume and divide that by the area of the base (which is the square of the length of an edge).

  • Question

    How do I double the volume of a square pyramid?

    Donagan

    Either double the height of the pyramid or double the area of the base. Accomplish the latter by multiplying the length of each side of the base by the square root of 2 (1.414).

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Advertisement

  • This method can be further generalized to such objects as pentagonal pyramids, hexagonal pyramids, etc. The overall process is: A) calculate the area of the base shape; B) measure the height from the tip of the pyramid to the center of the base shape; C) multiply A with B; D) divide by 3.

  • In a square pyramid, the true height, slant height, and length of the edge of the base face are all related by the Pythagorean theorem: (edge ÷ 2)2 + (true height)2 = (slant height)2

  • In all regular pyramids, the slant height, edge height, and edge length are also related by the Pythagorean theorem: (edge ÷ 2)2 + (slant height)2 = (edge height)2

Thanks for submitting a tip for review!

Advertisement

  • Pyramids have three kinds of height — a slant height, down the center of the triangular sides; a true height or perpendicular height, that goes from the tip of the pyramid to the center of the base face; and an edge height, that goes down one edge of the triangular sides. For volume, you must use the true height.

Advertisement

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the volume of a pyramid, you need to know its height and the area of the base. Once you have that information, you can find the volume using the formula V (volume) = 1/3 x Ab (the area of the base) x h (height). If the pyramid has a square or rectangular base, simply multiply the width of the base by its length to find the area. Then, multiply the area of the base by the height of the pyramid, and multiply the result by 1/3—which is the same as dividing by 3. For instance, if your pyramid has a square base that is 3 inches long by 3 inches wide, and a height of 4 inches, the volume would be (3 x 3 x 4)/3, or 12. Since you’re describing the volume of a 3-dimensional object, remember to write your answer in cubic units. In this case, the pyramid has a volume of 12 cubic inches. For pyramids with a triangular base, the technique is a little different. If you know the triangle’s height and the width of its base, plug those numbers into the formula ½ x b (base) x h (height) to find the area of the triangle. From there, you can use the same formula that you used for the square-based pyramid. For example, say your pyramid has a base that’s a triangle with a base width of 2 cm and a height of 4 cm, and the pyramid has a height of 6 cm. First, find the area of the triangle using the formula ½ x 2 x 4, which will give you a base area of 4 square centimeters. Next, multiply the area by the height of the pyramid, then multiply the product by 1/3. In this case, 6 x 4 x 1/3 = 8, which means the pyramid has a volume of 8 cubic centimeters. To learn how to calculate the volume of a pyramid with a triangular base, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 718,595 times.

Did this article help you?

Источник

Как рассчитать объем пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь, высоту, сторону или количество сторон. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Пирамида

Объем пирамиды через высоту высоте

Формула объема пирамиды через высоту и площадь основания:

S – площадь основания; h – высота пирамиды.

Правильная пирамида

Объем правильной пирамиды

Правильная пирамида — пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Формула объема правильной пирамиды через сторону основания, высоту и количество сторон:

a – сторона основания; h – высота пирамиды; n – количество сторон многогранника в основании.

Правильная треугольная пирамида

Объем треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула объема правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту:

a – сторона основания; h – высота пирамиды.

Правильная четырехугольная пирамида

Объем четырехугольной пирамиды

Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.

Формула объема правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту:

a – сторона основания; h – высота пирамиды.

Тетраэдр

Объем тетраэдра

Тетраэдр — пирамида, у которой все грани равносторонние треугольники.

Формула объема тетраэдра:

a – ребро тетраэдра.

Источник

Добавить комментарий