Как найти объем пирамиды вписанной в параллелепипед

Алёна Анисимова



Ученик

(161),
на голосовании



11 лет назад

Объём пирамиды = 1/3 высоты на площадь основания.

Голосование за лучший ответ

паганель

Гуру

(3767)


11 лет назад

???
площадь основания пирамиды в 2 раза меньше чем у параллелепипеда
высота такая же
тогда объем пирамиды в 6 раз меньше объема параллелепипеда
ну 9/6, лень считать

Похожие вопросы

Всего: 83    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–83

Добавить в вариант

От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.


Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.



Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.



В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2700 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 20 см до отметки 33 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.


Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 7, боковое ребро равно 4. Найдите объем призмы.


Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 6, боковое ребро равно 6. Найдите объем призмы.


Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 2 и 3. Объем призмы равен 18. Найдите ее боковое ребро.


Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 3, а высота равна 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .


Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 11, а высота равна 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .


Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен 4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .


Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен 6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .


Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 18, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.


Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру.

Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 7.


Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 23,5.


Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём этой призмы, если объём отсеченной треугольной призмы равен 7,5.


От треугольной призмы, объем которой равен 150, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.


От треугольной призмы, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.


Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 48. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

Всего: 83    1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 | 81–83

Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.

Вы уже знаете, что задачи по стереометрии в первой части ЕГЭ на самом деле простые. Правильный чертеж, элементарная логика, внимательность, плюс некоторые приемы, о которых мы рассказали в первой части статьи и еще расскажем — вот и всё, что вам нужно. Перейдем сразу к практике.


Рисунок к задаче 11. Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABmkern -3muDmkern -3muA_1.

Мы помним, что объем параллелепипеда равен S_{OCH} cdot h. А объем пирамиды равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}S_{OCH} cdot h. Иными словами, если у параллелепипеда и пирамиды одинаковые основания и одинаковые высоты, то объем пирамиды будет в три раза меньше, чем объем параллелепипеда. А у нашей пирамиды еще и площадь основания в два раза меньше. Значит, ее объем в шесть раз меньше объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.


Рисунок к задаче 22. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Об одном из способов решения этой задачи мы уже рассказали. Посчитайте, сколько нужно четырехугольных пирамидок, чтобы сложить из них такой кубик.

Есть и второй способ. Если бы пирамида и куб имели одинаковые высоты, объем пирамиды был бы в 3 раза меньше объема куба (поскольку площади основания у них одинаковые). А у нашей пирамиды высота в два раза меньше, чем у куба. Значит, ее объем будет в 6 раз меньше, чем у куба.

Ответ: 2.


3. Радиусы трех шаров равны 6, 8 и 10. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

На самом деле это задача по алгебре, причем элементарная. Объем шара равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi R^3. Осталось решить уравнение:

genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 6^3+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 8^3+genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi 10^3=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 3} pi R^3;

6^3+8^3+10^3=R^3;

R^3=1728.

Как извлечь кубический корень из этого числа? Очень просто — разложите его на множители.

1728=8 cdot 216=2^3 cdot 6^3;

R=2 cdot 6 = 12.

Ответ: 12.


Рисунок к задаче 44. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен sqrt{3}.

Мы говорили, что в основании правильной треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. У него все углы равны 60^{circ} и все стороны тоже равны. Площадь его проще всего найти по формуле
S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}a^2 sin 60^{circ}. Она равна sqrt{3}. Поскольку V=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}Shвысота равна 3.


5.Рисунок к задаче 5 Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 градусов. В ответе укажите V.

Если вы вдруг забыли, что такое образующая, — смотрите нашу таблицу с формулами. А что значит «наклонена к плоскости основания»? Вспомним, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то есть угол Omkern -3muAS.

Из прямоугольного треугольника AOmkern -3muS находим, что Omkern -3muS=h=1, AO=R=sqrt{3}. Объем конуса найдем по известной формуле и поделим на pi.
Ответ: 1.


6. Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2sqrt{3} и наклонены к плоскости основания под углом 30 градусов.


Нарисуйте вид сверху, то есть правильный шестиугольник. У него все стороны равны, все углы тоже равны.



Как найти площадь правильного шестиугольника, если специальную формулу вы не знаете? Проще всего разбить его на 6 одинаковых равносторонних треугольников. Формула площади равностороннего треугольника вам известна:
S=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}a^2 sin 60^{circ}.

Итак, площадь основания равна 6sqrt{3}. Осталось найти высоту.


Высота призмы — это отрезок, перпендикулярный ее основаниям. Из прямоугольного треугольника АСН находим:
h=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}AC=sqrt{3}.

Ответ: 18.


7. Рисунок к задаче 7 Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна sqrt{2} и образует углы 30, 30 и 45 градусов с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Мы уже говорили, что угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость.

Обозначим вершины параллелепипеда.

Рисунок к задаче 7

Проекцией диагонали Bmkern -3muD_1 на нижнее основание будет отрезок Bmkern -3muD. Пусть диагональ образует угол 45 градусов именно с плоскостью нижнего основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник Bmkern -3muD mkern -3muD_1. По теореме Пифагора, Bmkern -3muD=Bmkern -3muD_1 cdot sin 45^{circ}=1. Итак, мы нашли высоту параллелепипеда.

Проекцией Bmkern -3muD_1 на переднюю грань будет отрезок A_1B.
Из прямоугольного треугольника A_1Bmkern -3muD_1 найдем A_1mkern -3muD_1=Bmkern -3muD_1 cdot sin 30^{circ}=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}. Мы нашли ширину параллелепипеда. А его длина (то есть отрезок C_1mkern -3muD_1) находится аналогично. Она тоже равна genfrac{}{}{}{0}{displaystyle sqrt{2}}{displaystyle 2}. Объем параллелепипеда равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}.

Ответ: 0,5.


8.

Рисунок к задаче 8
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Если решать «в лоб», считая, что ABC — основание, то у нас получится задача по стереометрии из второй части ЕГЭ. Но зачем такие сложности? Развернем пирамиду.

Объем пирамиды равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3}S_{OCH}h. В основании лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, площадь которого равна 4,5. Тогда объем пирамиды равен 4,5.

Ответ: 4,5.


9.
Рисунок к задаче 9 Объем треугольной пирамиды Smkern -2muABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды Smkern -2muABCmkern -3muDmkern -2muEmkern -2muF, равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.

У треугольной и шестиугольной пирамид, о которых говорится в условии, одинаковые высоты. Разные только площади основания. Нарисуем вид снизу.

Видим, что площадь основания треугольной пирамиды в 6 раз меньше, чем у шестиугольной.

Ответ: 6.

Если в условии задачи по стереометрии дан рисунок — значит, повезло. Рисунок — это уже половина решения. А если его нет? Значит, рисуйте сами, как умеете. Отговорки «не умею» или «рисование у нас было только в детском саду» — не принимаются. Вам ведь не девочку на шаре надо изобразить, а намного более простые объекты 🙂


10.  Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите S.

Обратите внимание, что 0,95 cdot 2=1,9. Значит, сторона куба является диаметром шара. Осталось понять, какая часть шара лежит внутри куба.

Правильный ответ: 0,9025.


11. Вершина A куба ABCDA_1B_1C_1D_1 со стороной 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A_1. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину S.

Здесь главное — понять, какая часть шара лежит внутри куба. Порисуйте кубики и шарики. Пока есть возможность, возьмите яблоко (оно почти шарообразной формы), потренируйтесь. Жаль, что на ЕГЭ вам не выдадут килограмма яблок для отработки пространственного мышления.

Правильный ответ: 1,28.

Если вы его не получили, смотрите подсказку в конце статьи.


12. Рисунок к задаче 12Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Прежде всего, что значит «точка делит боковое ребро в отношении 1:2, считая от вершины»? Это значит, что она делит его на отрезки, длины которых x и 2x.

Плоскость ABmkern -2muM делит пирамиду ABCmkern -2muS на две. У пирамид ABCmkern -2muM и ABCS общее основание ABC. Ясно, что отношение их объемов равно отношению высот.

Проведем перпендикуляры SO и Mmkern -3muH к плоскости основания пирамиды. SO — высота пирамиды ABCS, Mmkern -3muH — высота пирамиды ABCmkern -2muM. Очевидно, что отрезок SO параллелен отрезку Mmkern -3muH, поскольку два перпендикуляра к одной плоскости параллельны друг другу. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, причем только одну. Итак, точки M, S, C, O и H лежат в одной плоскости, то есть мы от стереометрической задачи перешли к плоской, планиметрической.

Треугольники SOC и Mmkern -3muHmkern -3muC подобны, MC:SC=Mmkern -3muH:SO=2:3.

Значит, Mmkern -3muH=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3}SO. Объем пирамиды ABCmkern -2muM равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3} объема пирамиды ABCmkern -2muS.

Ответ: 10.


13.
Рисунок к задаче 13 Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Прежде всего, все ребра равны, значит, тетраэдр — правильный. В его основании лежит равносторонний треугольник, а вершина проецируется в центр этого треугольника.

Как вы думаете, какая фигура получится в сечении?

Заметим, что отрезок Kmkern -3muL параллелен BS поскольку является средней линией треугольника ASmkern -3muB. И отрезок Mmkern -3muN тоже параллелен BS, потому что является средней линией треугольника BSC. Значит, Kmkern -3muL параллелен Mmkern -3muN. Аналогично LM параллелен Kmkern -3muN. Мы помним, что средняя линия треугольника не только параллельна основанию — она равна половине основания. А у нашего тетраэдра все ребра равны. Значит, Kmkern -3muLmkern -3muMmkern -3muN — ромб, все стороны которого равны 0,5. Уже хорошо.

Мы уже сказали, что у правильного тетраэдра вершина (точка S) проецируется в центр основания (точка O). В основании — правильный треугольник. Значит, точка O будет точкой пересечения биссектрис, медиан и высот этого треугольника, и тогда Omkern -3muB перпендикулярен AC.

Вспомним теорему о трех перпендикулярах. Omkern -3muB является проекцией Smkern -2muB на плоскость основания, следовательно, отрезок Smkern -2muB тоже перпендикулярен AC. И тогда Kmkern -3muLmkern -3muMmkern -3muN — квадрат. Его площадь равна 0,25.

А теперь — самые сложные задачи по стереометрии из первой части варианта ЕГЭ. Для их решения существуют секретные приемы. Конечно же, лучше знать их заранее, чем изобретать на экзамене.


14.
Рисунок к задаче 14 Объем тетраэдра равен 1,9. Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.

Можно долго искать формулу объема октаэдра (а именно он там и находится, в серединке), а можно поступить умнее. Помните, как в задаче B6 мы считали площадь неудобно расположенных фигур?

Здесь проще всего посчитать площадь квадрата со стороной 5, в который вписан данный треугольник. И вычесть из нее площади трех прямоугольных треугольников. Видите их на рисунке?

В нашей задаче про тетраэдр и многогранник можем поступить аналогично. Как получился этот многогранник в серединке? От исходного тетраэдра отрезали четыре маленьких тетраэдра, объем каждого из которых в 8 раз меньше, чем объем большого (об этом мы уже говорили). Получаем: V-genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 4}{displaystyle 8}V=genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 2}V.

Ответ: 0,95.


15.
Рисунок к задаче 15 Объем параллелепипеда равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1.

Обратите внимание, нарисован куб, а написано — параллелепипед. Мы знаем, что его объем равен 4,5, но не знаем, чему равны его длина, ширина и высота. Обозначим их a, b и c. Не так-то просто найти площадь основания и высоту пирамиды AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1. Так может, и не надо этого делать? Есть более удобный способ — тот же, что и в предыдущей задаче. Ведь пирамида AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1 получается, если мы отрежем от параллелепипеда четыре пирамиды по углам — ABCmkern -2muB_1, D_1B_1CC_1, AA_1D_1B_1 и ADCmkern -2muD_1. А объем каждой из них легко посчитать — мы делали это в первой задаче этой статьи. Например, объем пирамиды ABCmkern -2muB_1 равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 6} объема параллелепипеда. Объем четырех всех пирамид, которые отрезали, равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 2}{displaystyle 3} объема параллелепипеда. Значит, объем пирамиды AD_1mkern -2muCmkern -2muB_1 равен genfrac{}{}{}{0}{displaystyle 1}{displaystyle 3} объема параллелепипеда.

Ответ: 1,5.

Поздравляем! Задачи по стереометрии из первой части ЕГЭ по математике освоены — от простых до самых сложных. Заходите чаще на наш сайт.

Подсказка к задаче 11:


Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Стереометрия на ЕГЭ. Приемы и секреты.» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

16
Янв 2012

05 Задание (2022)ВИДЕОУРОКИ

Как найти объем части фигуры если известен объем целой. Объем пирамиды. Задание В11

Задание В11 (27074) из Открытого   банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике. Объем параллелепипеда Подготовка к ГИА и ЕГЭ равен 9. Найти объем треугольной пирамиды Подготовка к ГИА и ЕГЭ

25

Вспомним формулы для вычисления объемов пирамиды и параллелепипеда:

Объем пирамиды  вычисляется по формуле: Подготовка к ГИА и ЕГЭ, где Подготовка к ГИА и ЕГЭ– площадь основания пирамиды, Подготовка к ГИА и ЕГЭ – ее высота.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле: Подготовка к ГИА и ЕГЭ,

где Подготовка к ГИА и ЕГЭ– площадь основания параллелепипеда, Подготовка к ГИА и ЕГЭ – его высота.

Решение.

Заметим, что параллелепипед Подготовка к ГИА и ЕГЭ и пирамида Подготовка к ГИА и ЕГЭ  имеют общую высоту – это перпендикуляр Подготовка к ГИА и ЕГЭ, опущенный из общей вершины Подготовка к ГИА и ЕГЭна плоскость Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

25

Выразим объем пирамиды Подготовка к ГИА и ЕГЭ через объем параллелепипеда Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Подготовка к ГИА и ЕГЭ;

Поскольку Подготовка к ГИА и ЕГЭ,

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

Ответ:1,5 

Подробное решение задачи посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ:

И, в заключение, посмотрите видеоурок с решением задачи: Объем правильной шестиугольной призмы Подготовка к ГИА и ЕГЭ равен 48. Найдите объем пирамиды Подготовка к ГИА и ЕГЭ.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Как найти объем части фигуры если известен объем целой. Объем пирамиды. Задание В11

|
Отзывов (14)
| Метки: решение задния В11

Для вас очередная статья, сегодня мы мы рассмотрим задания с параллелепипедом. Освежим в памяти само понятие…

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой — параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Если сказать просто, то у прямого параллелепипеда его боковые рёбра перпендикулярны основанию, боковые грани прямоугольники, основания параллелограммы; у наклонного параллелепипеда верхнее и нижнее основания как бы смещены параллельным сдвигом, посмотрите рисунок в первой задаче. 

В предыдущих статьях мы рассматривали задачи с прямоугольным параллелепипедом (все грани прямоугольники). Представленные ниже задания я выделил в отдельную группу, так как в ходе решения рассматривается пирамида — стоят вопросы о нахождении её объёма. Решаются они практически устно, но мы их разберём подробно. Что нужно помнить?

Объём параллелепипеда формула

Объем параллелепипеда равен

С площадью основания всё ясно. А что такое высота? Если параллелепипед прямой, то понятно – его высота равна боковому ребру. Если же  параллелепипед наклонный? Его высота равна расстоянию между основаниями, то есть простыми словами можно сказать, что это длина отрезка, который перпендикулярен основаниям и соединяет их:

Но в данных задачах находить саму площадь основания и высоту будет не нужно.

Формула объёма пирамиды:

Формула объёма пирамиды

*Запомните навсегда, что объём пирамиды равен одной трети объёма параллелепипеда с тем основанием и высотой.

Рассмотрим задачи:

Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды ABDA1.

Объем параллелепипеда равен

Известно, что объём параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты, то есть:

Объём  пирамиды равен:

Рассмотрим пирамиду ABDA1, её высота равна  высоте параллелепипеда, так она у них общая. Площадь её основания в два раза меньше площади основания параллелепипеда, так как диагональ BD делит параллелограмм ABCD на два равных по площади треугольника, значит:

Следовательно:

Получили, что объём пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда и будет равен  9:6 = 1,5.

Ответ: 1,5

*В подобных заданиях, где дан объём параллелепипеда и требуется найти объём какой-либо составляющей его части, не нужно пытаться найти саму площадь основания или высоту. Необходимо просто установить соотношение объёмов используя известные свойства.

Объем куба равен 94. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту:

Поскольку высота призмы равна высоте куба, то их объемы пропорциональны площадям их оснований. Определим, как соотносятся площади оснований призмы и куба.

Пусть ребро куба равно а. Тогда площадь основания куба равна а2.

Определим площадь основания призмы:

Видно, что площадь основания построенной призмы в 8 раз меньше площади основания куба, поэтому искомый объем призмы также будет в 8 раз меньше объёма куба, то есть:

Ответ: 12

Объем куба равен 123. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Объем пирамиды равен:

Площади оснований куба и пирамиды равны, высота пирамиды в два раза меньше ребра куба. Обозначим ребро куба как  a, тогда объём пирамиды:

Ответ: 20,5

Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 3,6. Найдите объем треугольной пирамиды B1AD1C.

Данную задачу можно решить разными способами. Можно найти площадь основания AD1C и высоту пирамиды (отрезок соединяющий центр куба и вершину B1), но это долгий путь. Проще поступить следующим образом.

Искомый объем равен разности объемов параллелепипеда и четырех пирамид:

То есть мы как бы вычленяем (вырезаем) пирамиду из куба «отсекая» лишнее. Обозначим для простоты восприятия рёбра следующим образом, пусть:

AB = a     BC = b     BB1 = c

Тогда

Ответ: 1,2

Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 10.

Эта задача обратная той, которую мы рассмотрели в самом начале. Мы установили, что объём такой пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда, значит  объём параллелепипеда будет равен 60.

Запишем подробнее. Объем параллелепипеда равен:

Объём данной пирамиды равен:

Площадь основания пирамиды равна половине площади основания параллелепипеда, то есть:

Следовательно

Можем записать:

Ответ: 60

27182. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды B1ABC.  Ответ: 2

27183. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Посмотреть решение

27184. Объем куба равен 12. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной — центр куба.

Посмотреть решение

27209. Объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равен 4,5. Найдите объем треугольной пирамиды AD1CB1.

Посмотреть решение

77154. Найдите объем параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если объем треугольной пирамиды ABDA1 равен 3.

Посмотреть решение

Как вы поняли, главное в подобных заданиях знать свойства. Например, что диагональ параллелограмма делит  его на два равных по площади треугольника; две диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равных по площади треугольника; то, что центр куба делит его высоту пополам, равноотстоит от его граней и вершин и прочее.

Понимая это и другие простые свойства фигур вы без труда вычислите (устно) во сколько раз объём пирамиды будет меньше объёма куба или параллелепипеда, а также сможете быстро решать другие подобные задания.

Например, решим такую задачу: дан наклонный параллелепипед, его основание и основание пирамиды находятся в одной плоскости. Площадь основания пирамиды в 4 раза меньше, её высота в 3 раза меньше высоты параллелепипеда. Найдите объём пирамиды, если объём параллелепипеда равен 360.

Сразу отметим, что у пирамиды с тем же основанием и высотой объём в три раза меньше. Сказанной, что площадь её основания в 4 раза меньше, то есть объём уменьшается ещё в 4 раза, и высота в 3 раза, получаем:

Успеха вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Добавить комментарий