Как найти объем площадь поверхности многогранника

Многогранники

Многогранник – это поверхность, составленная из многоугольников, ограничивающая некоторое геометрическое тело.

В данной теме мы рассмотрим составные многогранники (многогранники, состоящие обычно из нескольких параллелепипедов).

Объемы различных многогранников:

• Призма $V=S_{осн}·h$
• Пирамида $V={1}/{3}S_{осн}·h$
• Параллелепипед $V=a·b·c$, где $a, b$ и $c$ – длина, ширина и высота.
• Куб $V=а^3$, где $а$ – сторона куба

Задачи на нахождение объема составного многогранника:

• Первый способ.

1. Составной многогранник надо достроить до полного параллелепипеда или куба.
2. Найти объем параллелепипеда.
3. Найти объем лишней части фигуры.
4. Вычесть из объема параллелепипеда объем лишней части.

• Второй способ

1. Разделить составной многогранник на несколько параллелепипедов.
2. Найти объем каждого параллелепипеда.
3. Сложить объемы.

Задачи на нахождение площади поверхности составного многогранника.

– Если можно составной многогранник представить в виде прямой призмы, то находим площадь поверхности по формуле:

$S_{полн.пов.}=P_{осн}·h+2S_{осн}$

Чтобы найти площадь основания призмы, надо разделить его на прямоугольники и найти площадь каждого.

– Если составной многогранник нельзя представить в виде призмы, то площадь полной поверхности можно найти как сумму площадей всех граней, ограничивающих поверхность.

Задачи на нахождение расстояния между точками составного многогранника.

В данных задачах приведены составные многогранники, у которых двугранные углы прямые. Надо соединить расстояние между заданными точками и достроить его до прямоугольного треугольника. Далее остается воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения нужной стороны.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Задачи на нахождение угла или значения одной из тригонометрических функций обозначенного в условии угла составного многогранника.

Так как в данных задачах приведены составные многогранники, у которых все двугранные углы прямые, то достроим угол до прямоугольного треугольника и найдем его значение по тригонометрическим значениям.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$:

Для острого угла $В: АС$ – противолежащий катет; $ВС$ – прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ – противолежащий катет; $АС$ – прилежащий катет.

1. Синусом ($sin$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом ($cos$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом ($tg$) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Задачи на рассмотрение подобия фигур.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, площадь его поверхности увеличится в $k^2$ раз.

При увеличении всех линейных размеров многогранника в $k$ раз, его объём увеличится в $k^3$ раз.

Сайты, меню, вход, новости

Площадь поверхности многогранника. В данной рубрике в опубликованных статьях “Общий обзор. Формулы стереометрии“ и “Что ещё необходимо знать для решения по стереометрии“ мы уже рассмотрели теоретические моменты, которые необходимы для решения.

В составе  ЕГЭ по математике имеется целый ряд задач на определение площади поверхности и объема составных многогранников. Это, наверное, одни из самых простых задач по стереометрии. НО! Имеется нюанс. Не смотря на то, что сами вычисления  просты, ошибку при решении такой задачи допустить очень легко.

В чём же дело? Далеко не все обладают хорошим пространственным мышлением, чтобы сразу увидеть все грани и параллелепипеды из которых «состоят» многогранники. Даже если вы умеете делать это очень хорошо, можете мысленно сделать такую разбивку,  всё-таки следует не торопиться и воспользоваться рекомендациями из этой статьи.

Кстати, пока работал над данным материалом, нашёл ошибку в одной из задач на сайте. Нужна внимательность и ещё раз внимательность, вот так.

Итак, если стоит вопрос о площади поверхности, то на листе в клетку постройте все грани многогранника, обозначьте размеры. Далее внимательно вычисляйте сумму площадей всех полученных граней. Если будете предельно внимательны при построении и вычислении, то ошибка будет исключена.

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Используем оговоренный способ. Он  нагляден. На листе в клетку строим все элементы  (грани) в масштабе. Если длины рёбер будут большими, то просто подпишите их.

Ответ: 72

Решите самостоятельно:

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Ещё задачи 25881, 77155, 77156.  В них приведены решения другим способом (без построения), постарайтесь разобраться — что откуда взялось. Также решите уже представленным способом.

* * *

Если требуется найти объём составного многогранника. Разбиваем многогранник на составляющие его параллелепипеды, записываем внимательно длины их рёбер и вычисляем.

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Объем многогранника, изображенного на рисунке равен сумме объёмов  двух многогранников с рёбрами 6,2,4 и 4,2,2

Ответ: 64

Решите самостоятельно:

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).

Посмотреть решение

Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.

Посмотреть решение

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Посмотреть решение

Казалось бы, данные задачи можно вообще не рассматривать, они же просты и понятны. Но в их решении важна практика. Повторюсь, что ошибиться очень легко, попрактикуйтесь с подобными задачами и вы убедитесь.

В открытом банке задач много примеров аналогичных задач (смотрите здесь и здесь). Договоритесь с одноклассниками решить одни  и те же задачи, затем сверьтесь.

Мы продолжим рассматривать задачи данной части, не пропустите! Успехов вам!!!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

• Материалы для подготовки к ЕГЭ

•    

• Рубрики
  • 01 Геометрия (12)
  • 02 Стереометрия (9)
  • 03 Теория вероятностей ч.1 (1)
  • 04 Теория вероятностей ч.2 (1)
  • 05 Простейшие уравнения (5)
  • 06 Вычисления (5)
  • 07 Производная, ПО (4)
  • 08 «Прикладные» задачи (5)
  • 09 Текстовые задачи (7)
  • 10 Графики функций (7)
  • 11 Исследование функции (2)
  • 12 (С1) Уравнения (79)
  • 13 (С2) Стереометр. задачи (95)
  • 14 (С3) Неравенства (90)
  • 15 (С4) Практич. задачи (72)
  • 16 (С5) Планиметр. задачи (87)
  • 17 (С6) Параметры* (80)
  • 18 (С7) Числа, их свойства (38)
  • A1 Простейшие текст/задачи (нет в ЕГЭ-22) (3)
  • A2 Читаем графики (нет в ЕГЭ-22) (1)
  • Видеоуроки (44)
  • ГИА (11)
    • II часть (11)
  • ЕГЭ (диагностич. работы) (70)
  • Задачи (22)
  • Иррациональные выражения, уравнения и неравенства (15)
  • Логарифмы (39)
  • МГУ (12)
  • Метод интервалов (4)
  • Метод рационализации (18)
  • Модуль (9)
  • Параметр (40)
  • Переменка (5)
  • Планиметрия (59)
  • Показательные выражения, уравнения и неравенства (8)
  • Разложение на множители (1)
  • Рациональные выражения, уравнения и неравенства (10)
  • Справочные материалы (92)
  • Стереометрия (52)
  • Т/P A. Ларина (443)
  • Текстовые задачи (12)
  • Теория чисел (2)
  • Тесты по темам (80)
  • Тригонометрические выражения, уравнения и неравенства (43)
  • Функции и графики (10)
• Дружественные сайты

  Сайт А. Ларина
  ЕгэТренер – О. Себедаш
  Математика?Легко!
  Егэ? Ок! – И. Фельдман
  

• Свежие записи
  • Задания 17 ЕГЭ 2023
• Архивы Архивы