Как найти объем по математике 5 класс - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Математика

5 класс

Урок №32

Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма

Перечень рассматриваемых вопросов:

– куб;

– параллелепипед;

– элементы параллелепипеда;

– объём прямоугольного параллелепипеда, куба.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Высота, длина и ширина – это измерения прямоугольного параллелепипеда.

Единичный куб – куб, ребро которого равно линейной единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.

Сегодня мы рассмотрим объём прямоугольного параллелепипеда и научимся его находить.

Объём можно измерить. Его измеряют в кубических миллиметрах, кубических сантиметрах, кубических метрах, литрах и т. д.

Найдём соотношение между единицами измерения объёма.

Так как 1 см = 10 дм, то 1 см³= 1 000 мм³.

1 дм³= 1000 см³= 1 л

1 м³= 1000 дм³

1 км³= 1000000000 м³

В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.

На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.

Дадим определение единичного куба – это куб, ребро которого равно линейной единице. Его тоже принимают за единицу объёма.

Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объём V равен К кубическим единицам.

Например, на рисунке объём параллелепипеда равен 24 кубическим единицам.

V = 24 куб. единиц

Введём формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то есть произведению длины а, ширины bи высоты c, или произведению площади основания S на высоту c.

V = а · b · c = S · с

Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все измерения равны, то его объём равен третьей степени длины его ребра а.

V = а³

Решим задачу.

Мальчик купил аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который имеет площадь дна, равную 1400 см³, и высоту 6 дм. Какой объём воды он налил в аквариум, если уровень жидкости не доходил до края 5 см? Выразите ответ в кубических сантиметрах.

Чтобы решить эту задачу переведём единицы измерения длины в сантиметры.

6 дм = 60 см

Получается, что высота аквариума равна 60 см. Но по условию задачи требуется определить объём налитой жидкости, а её высота соответствует разности между высотой аквариума и уровнем жидкости, не доходящей до края:

с = 60 см – 5 см = 55 см

Получается, что высота жидкости в сосуде соответствует 55 см.

Теперь можно определить объём воды, которая налита в аквариум.

Для этого используем следующую формулу:

V = S · с = 1400 см² · 55 см = 77000 см³

Ответ: мальчик налил в аквариум 77000 см³воды.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Чему равен объём куба, если длина его ребра равна 3 см?

Решение: для нахождения объёма куба нужно воспользоваться формулой.

V = а³ = (3 см)³ = 27 см³

Ответ: 27 см³.

№2. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в три раза. Подчеркните правильный ответ.

Решение: чтобы ответить на вопрос, нужно воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

V = а · b · c, где а – длина прямоугольного параллелепипеда.

Если длина возрастет в три раза, то объём, соответственно, увеличится в три раза, так как, длина – это один из трёх множителей, входящих в формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:

V = 3 · а · b · c

Ответ: объём увеличится в три раза.

Источник

Уже известны единицы измерения длины, например:

мм,см,дм,м,км…

— и другие.

Для фигур на плоскости измеряют площадь в соответствующих квадратных единицах измерения:

мм2,см2,дм2,м2,км2…

Для геометрических тел измеряют объём, и для этого необходимы единицы измерения.

Единицей измерения объёма служит объём куба, у которого все грани равны (1) единице измерения длины:

мм3,см3,дм3,м3,км3…

Это кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр или даже кубический километр:

1км3=1000000000м3;1м3=1000дм3=1000000см3;1дм3=1000см3;1см3=1000мм3.

Часто для измерения объёма жидкости используют единицу измерения (1) литр:

1 л =1000см3=1дм3

Если измерять объём прямоугольного параллелепипеда, то можно представить, как маленькие кубики перекрывают прямоугольник в основании прямоугольного параллелепипеда.

Длины сторон прямоугольника определяют, сколько кубиков в ряду и сколько рядов с кубиками будет.

Если стороны равны, например, (3) см и (4) см, то прямоугольник перекрывается (3·4 = 12) кубиками.

Высота параллелепипеда определяет, сколько таких слоёв с кубиками можно поставить.

Если высота прямоугольного параллелепипеда равна (3) см, то всего получится (3) слоя с кубиками. Итак, всего (3·3·4 = 36) кубиков, или объём равен (36) см³.

Значит, три измерения прямоугольного параллелепипеда позволяют посчитать, сколько всего кубиков поместилось в геометрическом теле, то есть вычислить объём прямоугольного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда будут a, b и c единиц измерения.

Тогда объём (V = a·b·c) кубических единиц измерения.

Источник

Объем прямоугольного параллелепипеда

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 509.

4.7

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 509.

В школьном курсе математики за 5 класс, ученики знакомятся с темой прямоугольного параллелепипеда. Это одна из первых фигур курса, имеющих объем. Именно об объеме и формуле его нахождения пойдет речь сегодня.

Опыт работы учителем математики – более 33 лет.

Определения

Прямоугольным параллелепипедом называется фигура, все грани которого – прямоугольники. Фигура имеет шесть граней. Грани, пресекаясь, образовывают ребра, их 12.

Прямоугольный параллелепипед имеет четыре боковые грани и две грани оснований. В жизни мы часто сталкиваемся с данной фигурой: шкаф, холодильник, коробка – все они имеют форму прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1. Прямоугольный параллелепипед

Формула объема данной фигуры

Объем куба (фигуры, все грани которого квадраты) со стороной 1 единица называется 1 кубическая единица.

Рис. 2. Единичный куб

Если заложить такими кубиками дно фигуры (рис. 3), то в длину понадобится 4 куба, а в ширину 3.

Рис. 3. Прямоугольный параллелепипед, который заполнен шаром кубов

Таким образом, для заполнения основания необходимо:

3 х 4 =12 – так мы вычисляли площадь.

Чтобы заполнить всю фигуру и узнать объем, необходимо посчитать, сколько поместится в высоту таких слоев кубов, к примеру, если это будет 2, то объем составит:

3 х 4 х 2 = 24 кубов

Так, если учесть что длина основания фигуры 4 единицы, ширина – 3, высота – 2, то для того чтобы вычесть объем прямоугольного параллелепипеда необходимо найти произведение этих величин или измерений. Фигура, которая имеет три измерения, называется трехмерной либо объемной.

Для обозначения объема используют букву V.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда имеет вид:

$$V = a · b · c$$

При необходимости все данные в задании необходимо перевести в одни единицы измерения.

Единицами измерения являются $мм^3, см^3, дм^3$ и так далее. Важно правильно читать: $1 м^3$ или кубический метр и так далее.

Английский иллюзионист провел 44 дня в стеклянном прямоугольном параллелепипеде, который был подвешен над рекой Темза. В его распоряжении была только вода, подушка, матрас и письменные принадлежности.

Задание: Вычислить объем фигуры, ширина которой 4 дм, длина 50 мм, а высота 10 см.

Решение: Для начала необходимо перевести все данные в одни единицы измерения.

$4 дм. = 40 см$;

$50 мм. = 5 см$.

$V = a • b • h$

$V = 40 • 5 • 10 = 200 см^3$

Таким образом, объем фигуры $V = 200 см^3$

Для измерения объема жидкости используют особую единицу измерения – литр (1 л).

Древние измерения жидкости, например кор = 220 л, бат = 22 л.

Измерения объема:

$$1 л = 1 000 см^3 = 1 дм^3$$

$$1 км^3 = 1000 000 000 м^3$$

$$1 м^3 = 1 000 дм^3 = 1 000 000 см^3$$

$$1 дм^3 = 1 000 см^3$$

$$1 см^3 = 1 000 мм^3$$

Что мы узнали?

Мы узнали, что для того, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда необходимо умножить произведение длины и ширины основания на высоту фигуры. А также мы познакомились с единицами измерения объема.