Напомним,
что пирамида – это многогранник, в основании которого лежит –угольник,
а остальные граней
– треугольники с общей вершиной.
Многоугольник
называется
основанием пирамиды.
Треугольники
,
,
…, называются
боковыми гранями пирамиды.
Точка
–
вершиной пирамиды, а отрезки ,
,
…, –
её боковыми рёбрами.
Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к
этой плоскости, называется высотой пирамиды.
Пирамиду
с вершиной и
основанием называют
-угольной
пирамидой и обозначают так: .
Диагональное
сечение – это сечение пирамиды плоскостью, которая проходит
через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.
Объединение
боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение
всех граней называется полной поверхностью пирамиды.
Тогда
площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её
боковых граней.
А
площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её
граней.
Объём
пирамиды равен:
.
Пирамида,
в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё
название.
Пирамида
называется правильной, если её основанием является правильный
многоугольник, а все боковые рёбра равны.
Отрезок,
соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.
Высота
боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания,
называется апофемой.
Выше
изображена правильная пирамида. –
одна из её апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.
Отметим
некоторые свойства правильной -угольной
пирамиды.
1.
В правильной -угольной
пирамиде все боковые рёбра равны между собой.
2.
Боковые рёбра равно наклонены к основанию.
3.
Из равенства боковых рёбер пирамиды следует и равенство её боковых граней.
4.
Боковые грани равно наклонены к основанию.
5.
Вершина проектируется в центр основания (основание высоты совпадает с центром
основания).
6.
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:
.
7.
Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания и
высотой равен:
.
Параллельное
сечение пирамиды – сечение пирамиды плоскостью,
параллельной основанию.
Параллельное
сечение пирамиды обладает следующими свойствами:
1.
сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает на высоте пирамиды и боковых
рёбрах пропорциональные отрезки;
2.
в сечении получается многоугольник, подобный основанию;
3.
площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.
Усечённая
пирамида – это часть пирамиды, заключённая между основанием и
параллельным сечением пирамиды.
Основания
усечённой пирамиды – подобные многоугольники, лежащие в параллельных
плоскостях.
Боковые
грани усечённой пирамиды – трапеции.
Высота
усечённой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего
основания на плоскость нижнего.
Площадь
полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площади
боковой поверхности и площадей двух оснований.
Объём
усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой пирамиды, или его
ещё можно вычислить по следующей формуле:
.
Правильная
усечённая пирамида получается из правильной пирамиды.
Апофема
– высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.
Площадь
боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна:
.
Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.
Задача
первая. Дана треугольная пирамида, боковые рёбра которой
взаимно перпендикулярны и равны см,
см
и см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Решение.
Задача
вторая. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной
основания см
и высотой см.
Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
Решение.
Задача
третья. Найдите высоту правильной усечённой треугольной
пирамиды ,
если стороны её оснований равны см
и см,
а боковое ребро равно см.
Решение.
Задача
четвёртая. В пирамиде боковое
ребро перпендикулярно
основанию и равно ребру .
Треугольник –
прямоугольный с катетами см
и см.
Найдите объём пирамиды.
Решение.
Задача
пятая. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с
ребром основания, равным см,
и боковым ребром, равным см.
Решение.
Пирамида. Формулы и свойства пирамиды
Определение.
Пирамида — это многогранная объемная фигура, ограниченная плоским многоугольником (основой) и треугольниками, имеющих общую вершину, не лежащую в плоскости основания.
 |
| Рис.1 |
Определение. Боковая грань – это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).
Определение. Боковые ребра – это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.
Определение. Высота пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.
Определение. Апофема – это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.
Определение. Диагональное сечение – это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.
Определение. Правильная пирамида – это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:
Определение. Боковая поверхность пирамиды – это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.
Определение. Полная поверхность пирамиды – это совокупность площадей боковой поверхности и площади основания пирамиды.
Формула. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).
Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.
Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.
2. Все боковые ребра равны.
3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.
4. Апофемы всех боковых граней равны.
5. Площади всех боковых граней равны.
6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.
7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.
8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.
9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n – это количество углов в основании пирамиды.
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.
В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.
Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.
Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.
Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.
Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.
Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) – это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.
В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.
Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол.
Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).
Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).
Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.
Определение. Наклонная пирамида – это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.
Определение. Прямоугольная пирамида – это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.
Определение. Остроугольная пирамида – это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.
Определение. Тупоугольная пирамида – это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.
Определение. Правильный тетраэдр – четырехгранник у которого все четыре грани – равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.
Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.
Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание – правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.
Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.
Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.
Определение. Бипирамида – многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления объема пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Объем правильной треугольной пирамиды
-
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
- Примеры задач
Формула вычисления объема пирамиды
1. Общая формула
Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.
- ABCD – основание;
- E – вершина;
- h – высота, перпендикулярная основанию.
2. Объем правильной треугольной пирамиды
Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):
Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a2, где а – длина его стороны.
Следовательно, формулу объема можно представить в виде:
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):
С учетом этого, объем фигуры считается так:
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие страницы
- 📢 Поделиться и комментировать
Что считает калькулятор
Калькулятор объема пирамиды — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема пирамиды по ее известным параметрам. Объем пирамиды представляет собой объем пространства, которое занимает эта фигура в трехмерном пространстве.
Калькулятор объема пирамиды может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов таких геометрических фигур. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.
Где можно применить калькулятор объема пирамиды
Калькулятор объема пирамиды можно применить в различных сферах, где требуется вычислить объем пирамиды, например:
- Строительство: при проектировании зданий и сооружений инженерам и архитекторам часто нужно вычислить объем пирамиды, например, для расчета объема кровли или фундамента.
- Геометрия: в математике пирамиды являются важным объектом изучения, и вычисление их объема – одна из основных задач геометрии.
- Производство: в производстве может потребоваться вычислить объем пирамиды для расчета необходимых материалов, например, для производства упаковки.
- Учебные цели: калькулятор объема пирамиды может быть использован студентами и учениками при изучении геометрии или математики.
- Игры и развлечения: калькулятор объема пирамиды может быть использован в играх и развлечениях, где требуется решить задачу по вычислению объема пирамиды.
В целом, калькулятор объема пирамиды может быть полезен во всех ситуациях, где требуется вычислить объём данной фигуры.
В чем преимущество пирамиды
Пирамида — многогранник, основание которого является многоугольником, а остальные грани – треугольниками, имеющими общую вершину.
Пирамидальная форма имеет несколько преимуществ:
- Стабильность. Пирамида имеет широкое основание и суживающийся верх, что делает ее очень стабильной. Это свойство делает пирамиду идеальным выбором для многих инженерных и архитектурных конструкций.
- Эффективность использования пространства. Пирамидальная форма позволяет использовать пространство более эффективно. Благодаря своей форме пирамида может поместить больше материала на меньшей площади, чем другие формы.
- Видимость. Пирамиды обычно имеют значительную высоту и суживающуюся вершину, что делает их легко заметными издалека. Это свойство делает пирамиды идеальным выбором для монументальных сооружений, таких как пирамиды в Египте или Латинской Америке.
- Эстетика. Пирамидальная форма может быть очень эстетичной и привлекательной. Она может использоваться в различных областях, таких как дизайн зданий, декоративное искусство, упаковка продуктов и многое другое.
В целом, пирамидальная форма имеет множество преимуществ, которые делают ее полезной в различных областях. Однако, как и любая другая форма, она может иметь свои недостатки в зависимости от контекста, в котором она используется.
Как вычислить объем пирамиды
Калькулятор объема пирамиды использует стандартные математические формулы для расчета объема пирамиды с основанием любой формы.
Как вычислить объем пирамиды по высоте и площади основания
Формула расчета объема пирамиды, которая основана на ее высоте и площади основания, выглядит следующим образом:
V = 1/3 * S * h
где: V – объем пирамиды S – площадь основания пирамиды h – высота пирамиды
Для того, чтобы вычислить объем пирамиды, нужно знать ее высоту и площадь основания. Подставьте известные значения в соответствующие поля калькулятора и получите необходимое значение объема.
Например, для пирамиды с площадью основания 20см2 и высотой 5см расчёт объема будет выглядеть таким образом:
V = 1/3 * S * h = 1/3 * 20 * 5 = 33.3см3
Как вычислить объем пирамиды с правильным многоугольным основанием
Правильная пирамида – это пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной в основание окружности.
Объем пирамиды с правильным многоугольным основанием можно вычислить по формуле:
V = (n * a2 * h) / (12 * tan(180о/n))
где h – высота пирамиды, а – сторона основания, n – количество сторон в основании
Например, объем правильной многоугольной пирамиды с высотой 100см, стороной основания 12см и количеством сторон 6 равен:
V = (n * a2 * h) / (12 * tan(180о/n)) = (6 * 122 * 100) / (12 * tan(180о/6)) = 12470.7658см3
Как вычислить объем правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.
Объем пирамиды с правильным треугольным основанием можно вычислить по формуле:
V = h * a² / 4 * √3
где h – высота пирамиды, а – сторона основания
Таким образом, чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания и длину ее высоты, и затем использовать вышеуказанную формулу.
Например, объем правильной треугольной пирамиды с высотой 100см и стороной основания 12см равен:
V = h * a² / 4 * √3 = 100 * 12² / 4 * √3 = 2078.461см3
Как вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды
Правильная четырехугольная пирамида – это пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.
Объем пирамиды с правильным четырехугольным основанием можно вычислить по формуле:
V = 1 / 3 * h * a²
где h – высота пирамиды, а – сторона основания.
Таким образом, чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания и длину ее высоты, и затем использовать вышеуказанную формулу.
Например, объем правильной четырехугольной пирамиды с высотой 100см и стороной основания 12см равен:
V = 1 / 3 * h * a² = 1 / 3 * 100 * 12² = 4800см3
Как вычислить объем тетраэдра
Тетраэдр – пирамида, у которой все грани – равносторонние треугольники.
Объем пирамиды с правильным треугольным основанием можно вычислить по формуле:
V = a3 * √2 / 12
где а – сторона основания.
Таким образом, чтобы вычислить объем правильной треугольной пирамиды, необходимо знать длину стороны основания, и затем использовать вышеуказанную формулу.
Например, объем тетраэдра со стороной основания 12см равен:
V = a3 * √2 / 12 = 123 * √2 / 12 = 203.6468см3
❓ Вопросы и ответы
А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о пирамиде и ее параметрах.
Как найти площадь основания пирамиды?
Площадь основания пирамиды зависит от ее формы. Если основание пирамиды имеет форму прямоугольника, площадь вычисляется по формуле S = a * b, где a и b – длины сторон прямоугольника. Если основание пирамиды имеет форму треугольника, площадь вычисляется по формуле S = (a * b * sin(α)) / 2, где a и b – длины сторон треугольника, α – угол между ними.
Как определить высоту пирамиды?
Высоту пирамиды можно определить с помощью теоремы Пифагора. Для этого необходимо построить прямую, проходящую через вершину пирамиды и перпендикулярную к основанию. Затем нужно измерить длину этой прямой и длину отрезка, соединяющего середины двух сторон основания. Высота пирамиды равна квадратному корню из разности квадратов этих длин.
Как найти боковую поверхность пирамиды?
Боковая поверхность пирамиды состоит из треугольников, каждый из которых имеет общую вершину в вершине пирамиды и стороны, соединяющие эту вершину с точками на основании. Площадь каждого такого треугольника можно вычислить по формуле S = (a * h) / 2, где a – длина стороны основания, h – высота боковой грани. Общая площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей всех ее боковых граней.
Как вычислить полную поверхность пирамиды?
Для вычисления полной поверхности пирамиды нужно сложить площади всех ее боковых граней и площадь ее основания. Формула для вычисления площади боковой грани зависит от формы пирамиды. Например, если пирамида имеет правильную многоугольную основу, то ее боковые грани будут равными равнобедренными треугольниками. Площадь такой грани можно вычислить по формуле: Sбок = (1/2) * Периметр основания * Высота боковой грани, где Периметр основания – периметр многоугольной основы пирамиды, Высота боковой грани – расстояние от вершины пирамиды до середины ребра ее основания.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
- Калькулятор длины дуги. Рассчитайте онлайн длину дуги окружности по радиусу и углу или по формуле Гюйгенса.
- Калькулятор объема трубы. Рассчитайте онлайн объем трубы в куб. м. или литрах в зависимости от диаметра и длины трубопровода.
- Калькулятор объема и площади усеченного конуса. Рассчитайте онлайн объем и площадь поверхности усеченного конуса по его радиусам и высоте.
- Калькулятор площади трапеции. Рассчитайте онлайн площадь трапеции, не только зная длины ее оснований и высоту, но и по другим известным параметрам, например, диагоналям.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL + S}
На странице вы найдете онлайн-калькуляторы, которые помогут найти площадь полной и боковой поверхности правильной пирамиды, а также треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамиды. Кроме того приводятся формулы, по которым вы можете произвести расчет самостоятельно.
- калькулятор площади поверхности пирамиды
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
- формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону и высоту
- формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
- формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
- примеры задач
Познакомьтесь с важными понятиями, которые необходимо знать для расчета площади поверхности пирамиды.
Пирамида — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.
Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания.
Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площадей боковых граней и площади основания.
Площадь боковой поверхности пирамиды – это совокупная площадь всех боковых граней пирамиды.
Апофема — перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания.
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через периметр, площадь и апофему
{S_{полн} = dfrac{1}{2}PL+S}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
S – площадь основания пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{na}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 \tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон основания
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6aL}{4}}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{a^2 sqrt{3}+6a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}{4}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = dfrac{3a}{2} {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 2a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = a^2+2aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{полн} = dfrac{3sqrt{3}a^2}{2}+3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади полной поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{полн} = 3a {Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} + sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2} Bigg)}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему
{S_{бок} = dfrac{1}{2}PL}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{na}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( dfrac{180°}{n})} Bigg) ^2} }
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон основания
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = dfrac{3}{2}aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = dfrac{3a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}{2}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = dfrac{3a}{2} sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 60°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды через периметр основания и апофему
{S_{бок} =dfrac{1}{2}PL}
P – периметр основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 2aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 2a sqrt{b^2 – dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и апофему
{S_{бок} = 3aL}
a – сторона основания пирамиды
L – апофема пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и боковую грань
{S_{бок} = 3asqrt{b^2-dfrac{a^2}{4}}}
a – сторона основания пирамиды
b – боковая грань пирамиды
Формула площади боковой поверхности правильной шестиугольной пирамиды через сторону основания и высоту
{S_{бок} = 3a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 30°)} Bigg) ^2}}
a – сторона основания пирамиды
h – высота пирамиды
Примеры задач на нахождение площади поверхности пирамиды
Задача 1
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60см, боковые ребра равны 78см. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Решение
Так как пирамида правильная четырехугольная, то воспользуемся соответствующей формулой площади поверхности через сторону основания и боковую грань.
S_{полн} = a^2 + 2a sqrt{b^2- dfrac{a^2}{4}} = 60^2 + 2 cdot 60 sqrt{78^2- dfrac{60^2}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084- dfrac{3600}{4}} = 3600 + 120 sqrt{6084 – 900} = 3600 + 120 sqrt{5184} = 3600 + 120 cdot 72 = 3600 + 8640 = 12240 : см²
Ответ: 12240 см²
Проверим полученный ответ с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды со стороной 6см и апофемой 10см.
Решение
Из условия мы знаем апофему и сторону правильной треугольной пирамиды, поэтому нам потребуется эта формула.
S_{бок} = dfrac{3}{2}aL = dfrac{3}{2} cdot 6 cdot 10 = dfrac{3}{2} cdot 60 = 90 : см²
Ответ: 90 см²
Убедимся в правильности решения с помощью калькулятора .
Задача 2
Найти площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сторона основания 6см и высота 4см.
Решение
Подставим значения в формулу и произведем расчет.
S_{бок} = 2a sqrt{h^2+ Bigg( dfrac{a}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 2 cdot 6 sqrt{4^2+ Bigg( dfrac{6}{2 tg ( 45°)} Bigg) ^2} = 60 : см²
Ответ: 60 см²
Проверка .
