Правильный шестиугольник, многоугольнике с 6 вершинами, вычислить его параметры. Шестиугольник-это фигура, из которой можно складывать мозаику (черепицу). Введите одно из известных значений. Затем нажмите кнопку вычислить.
.
Поделиться расчетом:
Калькулятор шестиугольников
Длина стороны(a)
Большая диагональ(d1)
Меньшая диагональ(d2)
Периметр(p)
Площадь(S)
Радиус вписанной окружности(r)
Вычислить
Очистить
Формулы:
d = 2 * a
d2 = √3 * a
p = 6 * a
S = 3/2 * √3 * a2
r = √3 / 2 * a
Высота = d2 = 2 * r
Радиус окружности = a
Внутренние углы: 120°, 9 диагоналей
Определение
Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.
Замечание
Т.к. сумма всех углов (n)–угольника равна (180^circ(n-2)), то каждый угол правильного (n)–угольника равен [alpha_n=dfrac{n-2}n cdot 180^circ]
Пример
Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен (dfrac {4-2}4cdot 180^circ=90^circ);
каждый угол правильного шестиугольника равен (dfrac{6-2}6cdot
180^circ=120^circ).
Теоремы
1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствия
1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.
2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.
Теорема
Если (a) – сторона правильного (n)–угольника, (R) и (r) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: [begin{aligned}
S&=dfrac n2ar\
a&=2Rcdot sindfrac{180^circ}n\
r&=Rcdot cosdfrac{180^circ}n end{aligned}]
Свойства правильного шестиугольника
1. Сторона равна радиусу описанной окружности: (a=R).
2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.
3. Все углы правильного шестиугольника равны (120^circ).
4. Площадь правильного шестиугольника со стороной (a) равна (dfrac{3sqrt{3}}{2}a^2).
5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу (r) вписанной в правильный шестиугольник окружности.
6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный (60^circ) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).
Замечание
В общем случае правильный (n)-угольник инвариантен относительно поворота на угол (dfrac{360^circ}{n}).
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 28 февраля 2022 года; проверки требуют 2 правки.
| Шестиугольник | |
|---|---|
 Правильный шестиугольник |
|
| Тип | Правильный многоугольник |
| Рёбра | 6 |
| Символ Шлефли | {6}, t{3} |
| Диаграмма Коксетера — Дынкина |
    |
| Вид симметрии | Диэдрическая группа (D6) |
| Площадь |
   |
| Внутренний угол | 120° |
| Свойства | |
| выпуклый, вписанный, Равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный | |
 Медиафайлы на Викискладе |
Правильный шестиугольник (или гексагон от греч. εξάγωνο) — правильный многоугольник с шестью сторонами.
Свойства[править | править код]
Построение[править | править код]
Правильный шестиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки. Ниже приведён метод построения, предложенный Евклидом в «Началах», книга IV, теорема 15.
Правильный шестиугольник в природе, технике и культуре[править | править код]
- Пчелиные соты показывают разбиение плоскости на правильные шестиугольники.
- Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
- Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
- Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
- Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
- Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя правильными треугольниками. Под названием звезда Давида она является символом иудаизма.
- Гексагоном[fr] иногда называют материковую часть Франции, потому что её географические очертания напоминают данную геометрическую фигуру.
Примечания[править | править код]
- ↑ А. М. Райгородский. Проблема Борсука. — М.: Издательство МЦНМО, 2006. — С. 9. — 56 с. — (Библиотека „Математическое просвещение“). — ISBN ISBN 5-94057-249-9.
См. также[править | править код]
- Шестиугольник
- Упаковка кругов на плоскости
Ссылки[править | править код]
- Шестиугольный мир (ЖЖ-сообщество)
Правильный многоугольник. Формулы, признаки и свойства правильного многоугольника
Определение. Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.
Многоугольником называется часть площади, которая ограничена замкнутой ломаной линией, не пересекающей сама себя.
Многоугольники отличаются между собой количеством сторон и углов.
Признаки правильного многоугольника
Многоугольник будет правильным, если выполняется следующее условие:
Все стороны и углы одинаковы:
a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an
α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn
Основные свойства правильного многоугольника
1. Все стороны равны:
a1 = a2 = a3 = … = an-1 = an
2. Все углы равны:
α1 = α2 = α3 = … = αn-1 = αn
3. Центр вписанной окружности Oв совпадает з центром описанной окружности Oо, что и образуют центр многоугольника O
4. Сумма всех углов n-угольника равна:
180° · (n – 2)
5. Сумма всех внешних углов n-угольника равна 360°:
β1 + β2 + β3 + … + βn-1 + βn = 360°
6. Количество диагоналей (Dn) n-угольника равна половине произведения количества вершин на количество диагоналей, выходящих из каждой вершины:
7. В любой многоугольник можно вписать окружность и описать круг при этом площадь кольца, образованная этими окружностями, зависит только от длины стороны многоугольника:
8. Все биссектрисы углов между сторонами равны и проходят через центр правильного многоугольника O
Правильный n-угольник – формулы
Формулы длины стороны правильного n-угольника
1. Формула стороны правильного n-угольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула радиуса вписанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса вписанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формула радиуса описанной окружности правильного n-угольника
Формула радиуса описанной окружности n-угольника через длину стороны:
Формулы площади правильного n-угольника
1. Формула площади n-угольника через длину стороны:
2. Формула площади n-угольника через радиус вписанной окружности:
3. Формула площади n-угольника через радиус описанной окружности:
Формула периметра правильного многоугольника:
Формула периметра правильного n-угольника:
P = na
Формула определения угла между сторонами правильного многоугольника:
Формула угла между сторонами правильного n-угольника:
 |
| Рис.3 |
Правильный треугольник
Формулы правильного треугольника:
1. Формула стороны правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r √3
2. Формула стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности:
a = R√3
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного треугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного треугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного треугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 3√3
7. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного треугольника:
α = 60°
 |
| Рис.4 |
Правильный четырехугольник
Правильный четырехугольнику – квадрат.
Формулы правильного четырехугольника:
1. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r
2. Формула стороны правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного четырехугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного четырехугольника через длину стороны:
S = a2
6. Формула площади правильного четырехугольника через радиус вписанной окружности:
S = 4 r2
7. Формула площади правильного четырехугольника через радиус описанной окружности:
S = 2 R2
8. Угол между сторонами правильного четырехугольника:
α = 90°
Правильный шестиугольник
Формулы правильного шестиугольника:
1. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
2. Формула стороны правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
a = R
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного шестиугольника через длину стороны:
R = a
5. Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны:
6. Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 2√3
7. Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности:
8. Угол между сторонами правильного шестиугольника:
α = 120°
Правильный восьмиугольник
Формулы правильного восьмиугольника:
1. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:
a = 2r · (√2 – 1)
2. Формула стороны правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
a = R√2 – √2
3. Формула радиуса вписанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
4. Формула радиуса описанной окружности правильного восьмиугольника через длину стороны:
5. Формула площади правильного восьмиугольника через длину стороны:
S = a2 2(√2 + 1)
6. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус вписанной окружности:
S = r2 8(√2 – 1)
7. Формула площади правильного восьмиугольника через радиус описанной окружности:
S = R2 2√2
8. Угол между сторонами правильного восьмиугольника:
α = 135°
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
Мы знаем, что площадь правильного треугольника: 
Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольника.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен 
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
Радиус такой окружности равен
Ответ: 
Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
Ответ: 
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
08.05.2023
