Как найти объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды

Понятие усеченной пирамиды

Если пересечь обычную пирамиду (с вершиной) плоскостью, которая параллельна ее основанию, то получится две фигуры: первая (верхняя часть) будет меньшей пирамидой, чем исходная, а фигура, которая лежит между секущей плоскостью и основанием исходной пирамиды, получила название усеченной пирамиды.

Онлайн-калькулятор объема усеченной пирамиды

Если пересечь пирамиду, являющуюся правильной, то и усеченная пирамида будет правильной, если неправильную – то неправильной.

Высотой усеченной пирамиды является перпендикуляр, проведенный из ее верхнего основания в нижнее (или наоборот).

Формула объема пирамиды

Для того чтобы вычислить объем пирамиды, нужно проделать следующие действия:

Сложить площади обоих оснований пирамиды.
Возвести произведение этих площадей в степень 1/21/2, то есть извлечь квадратный корень.
Полученные результаты сложить, затем умножить на высоту пирамиды и разделить на 3.

Формулы имеет такой вид:

Объем усеченной пирамиды

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})

Sосн 1,Sосн 2S_{text{осн 1}}, S_{text{осн 2}} — площади оснований усеченной пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.

Разберем решение задач на эту тему.

Задача 1

Найдите объем усеченной пирамиды, если известно, что площадь ее одного основания равна 30 см230text{ см}^2, а площадь второго в 2 раза больше первого. Высота пирамиды равна 7 см7text{ см}.

Решение

Sосн 1=30S_{text{осн 1}}=30
Sосн 2=2⋅Sосн 1S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}
h=7h=7

Первый этап — нахождения площади второго основания:

Sосн 2=2⋅Sосн 1=2⋅30=60S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}=2cdot 30=60

Второй этап — вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅7⋅(30+60+30⋅60)≈309 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 7cdot(30+60+sqrt{30cdot 60})approx309text{ см}^3

Ответ

309 см3.309text{ см}^3.

Задача 2

В основаниях пирамиды лежат квадраты со сторонами a=8 смa=8text{ см} и b=6 смb=6text{ см}. Высота усеченной пирамиды имеет длину 10 см10text{ см}. Найти ее объем.

Решение

a=8a=8
b=6b=6
h=10h=10

Найдем площадь первого основания. Это просто площадь квадрата, которую мы вычислим по формуле:

Sосн 1=b⋅b=b2=62=36S_{text{осн 1}}=bcdot b=b^2=6^2=36

Аналогично, площадь второго, нижнего основания:

Sосн 2=a⋅a=a2=82=64S_{text{осн 2}}=acdot a=a^2=8^2=64

Наконец, вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅10⋅(36+64+36⋅64)≈493.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 10cdot(36+64+sqrt{36cdot 64})approx493.3text{ см}^3

Ответ

493.3 см3.493.3text{ см}^3.

Профильные эксперты сайта помогут вам выполнить контрольную работу на заказ, скорее оформляйте заказ!

Источник

Усечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.

Усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды сечением, параллельным её основанию, называется правильной усечённой пирамидой.

Рис. (1). Правильная усечённая треугольная пирамида (ABCKNV)

(ABC) и (KNV) — основания пирамиды,

OO1 — высота.

Рис. (2). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида (ABCDZVNK)

(ABCD) и (ZVNK) — основания,

OO1

— высота

Объём усечённой пирамиды:

V=13H⋅S1+S1⋅S2+S2,гдеS1иS2− площади оснований

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:

Sбок.=12P1+P2⋅h,гдеP1иP2−периметры оснований

;

(h) — апофема правильной усечённой пирамиды, на данных рисунках это отрезок (LF).

Рис. (3). Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды

Рис. (4). Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

Источники:

Рис .1. Правильная усечённая треугольная пирамида ABCKNV. © ЯКласс.
Рис.2. Правильная усечённая четырёхугольная пирамида ABCDZVNK. © ЯКласс.
Рис. 3. Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Рис. 4. Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Источник

Как рассчитать объем усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем усеченной пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь верхнего и нижнего основания и высоту. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Через основания и высоту

Формула объема усеченной пирамиды через высоту и площадь основания:

S1 – площадь верхнего основания; S2 – площадь нижнего основания; h – высота усеченной пирамиды.

Источник

Объем усеченной пирамиды

Объем тел

Пирамидой является геометрическое тело, боковыми гранями которого являются треугольники с общей вершиной, а в основании расположен многоугольник. Если параллельно основанию пирамиды провести сечение, которое разделит ее на 2 части. Расположенная между основанием и сечением часть пирамиды является усеченной пирамидой. Чтобы найти V усеченной пирамиды, нужно знать площади ее оснований (нижнего и верхнего), а также высоту. Далее объем усеченной пирамиды рассчитывается по формуле:

В данной формуле:
пл. верхнего основания обозначена — S1;
пл. нижнего — S2;
высота усеченной пирамиды — h.

Таким образом, V усеченной пирамиды равняется произведению трети ее высоты на сумму площадей оснований и корень квадратный из произведения площадей оснований.

Чтобы сэкономить усилия и время, V усеченной пирамиды проще рассчитать с помощью онлайн калькулятора.

Расчет объема усеченной пирамиды онлайн

Источник

Объем усеченной пирамиды

Рассчитайте объем усеченной пирамиды в зависимости от ее высоты и площадей оснований.

Площадь основания 1

см²

Площадь основания 2

см²

Высота

см

Размерность

Раcсчитать

🧮 Что такое калькулятор объема усеченной пирамиды?

Калькулятор объема усеченной пирамиды — это инструмент для расчета объема геометрического тела, которое представляет собой усеченную пирамиду.

Усеченная пирамида — это геометрическое тело, которое состоит из двух параллельных и равных многоугольников, называемых основаниями, и боковой поверхности, состоящей из параллельных трапеций. Объем усеченной пирамиды можно вычислить, зная ее высоту и площади оснований.

Калькулятор объема усеченной пирамиды предоставляет пользователю возможность ввести размеры оснований и высоту усеченной пирамиды, после чего вычисляет ее объем.

Как рассчитывается объем усеченной пирамиды?

Объем усеченной пирамиды можно рассчитать с помощью следующей формулы:

V = (1/3) * h * (A + sqrt(A*B) + B)

где V – объем усеченной пирамиды, h – высота усеченной пирамиды, sqrt – означает квадратный корень, A и B – площади большего и меньшего оснований соответственно.

Для расчета объема усеченной пирамиды необходимо знать высоту и площади ее оснований. Первым шагом необходимо определить площади большего и меньшего оснований. Для этого необходимо найти площадь каждого основания (например, площадь треугольника или многоугольника) и обозначить их A и B соответственно.

Затем необходимо найти высоту усеченной пирамиды, которая является расстоянием между плоскостями оснований. Высоту можно измерить прямым измерением или вычислить, зная расстояние между плоскостями оснований и угол между этим расстоянием и боковой гранью.

После этого можно использовать формулу для расчета объема усеченной пирамиды, подставив известные значения площадей оснований и высоты в формулу.

Для чего можно использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?

Калькулятор объема усеченной пирамиды можно использовать для расчета объема данной геометрической фигуры, когда известны ее размеры. Это может быть полезно в различных областях, включая:

Архитектуру и строительство: расчет объема усеченной пирамиды может быть полезен для расчета объема строительных материалов, таких как бетон или кирпич, необходимых для создания определенных форм.
Производство: объем усеченной пирамиды может использоваться для расчета объема материала, необходимого для производства определенного изделия.
Образование: расчет объема усеченной пирамиды может быть использован в качестве учебного материала в школах и университетах для изучения геометрии и математики.
Хобби и ремесло: расчет объема усеченной пирамиды может быть полезен в различных хобби и ремеслах, таких как создание моделей или изготовление ювелирных изделий.

Усеченная пирамида как фигура

Усеченная пирамида является интересной геометрической фигурой, которая обладает несколькими уникальными свойствами:

Усеченная пирамида имеет два плоских многоугольных основания, которые могут быть различной формы, но параллельны друг другу.
В отличие от обычной пирамиды, усеченная пирамида может иметь наклонные боковые ребра, которые делают ее форму более сложной и необычной.
Усеченная пирамида может использоваться в качестве модели для создания архитектурных конструкций, таких как купола, шатры, крыши зданий и т.д.
Усеченные пирамиды используются в различных областях науки и техники, включая архитектуру, физику, инженерию, компьютерную графику и многие другие.
Усеченная пирамида может быть использована как основа для создания различных предметов декора и искусства, таких как светильники, вазы, канделябры и т.д.
Усеченная пирамида может быть использована для создания различных игрушек и головоломок, что делает ее интересной не только для учебных, но и для развлекательных целей.

❓Вопросы и ответы

Вот некоторые часто задаваемые вопросы и ответы, связанные с калькулятором объема усеченной пирамиды:

Что такое усеченная пирамида?

Усеченная пирамида – это геометрическая фигура, которая имеет два параллельных многоугольных основания и наклонные боковые грани.

Как рассчитать объем усеченной пирамиды?

Объем усеченной пирамиды можно вычислить с помощью специальной формулы: V = (1/3) * h * (S1 + S2 + sqrt(S1 * S2)), где h – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади оснований, sqrt – квадратный корень.

Как использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?

Введите значения высоты усеченной пирамиды, площадей ее оснований и нажмите кнопку “Вычислить”. Калькулятор автоматически рассчитает объем усеченной пирамиды для вас.

Какие единицы измерения используются при вычислении объема усеченной пирамиды?

Объем усеченной пирамиды может быть выражен в кубических единицах измерения, таких как кубические метры, кубические сантиметры, кубические дюймы и т.д.

Для чего можно использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?

Калькулятор объема усеченной пирамиды может быть полезен в образовательных целях, а также для проектирования и расчета объема различных конструкций и изделий.