Объем – это количество кубических единиц, которые заполняют пирамиду. Объем прямоугольной пирамиды можно вычислить по формуле: одна третья (×) площадь основания (×) высота пирамиды.
(V=frac{1}{3}S_{осн}h)
Площадь основания:
Высота пирамиды:
Объем правильной пирамиды
Основание правильной пирамиды квадрат.
(V=frac{1}{3}b^2h)
Сторона основания b:
Высота пирамиды:
Больше уроков и заданий по всем школьным предметам в онлайн-школе “Альфа”. Запишитесь на пробное занятие прямо сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку “Записаться” принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Как найти объем прямоугольной пирамиды
Прямоугольной называется пирамида, одно из ребер которой перпендикулярно ее основанию, то есть стоит под углом 90˚. Это ребро является одновременно и высотой прямоугольной пирамиды. Формулу объема пирамиды впервые вывел Архимед.
Вам понадобится
- – ручка;
- – бумага;
- – калькулятор.
Инструкция
В прямоугольной пирамиде высотой будет ее ребро, которое стоит под углом 90˚ к основанию. Как правило, площадь основания прямоугольной пирамиды обозначают как S, а высоту, которая одновременно является ребром пирамиды, − h. Тогда, чтобы найти объем этой пирамиды, необходимо площадь ее основания умножить на высоту и разделить на 3. Таким образом, объем прямоугольной пирамиды вычисляется с помощью формулы: V=(S*h)/3.
Прочитайте условие задачи. Допустим, дана прямоугольная пирамида ABCDES. В ее основании лежит пятиугольник, площадь которого 45 см². Длина высоты SE равна 30 см.
Постройте пирамиду, следуя заданным параметрам. Ее основание обозначьте латинскими буквами ABCDE, а вершину пирамиды – S. Так как чертеж получится на плоскости в проекции, то для того, чтобы не запутаться, обозначьте уже известные вам данные: SE=30см; S(ABCDE)=45 см².
Вычислите объем прямоугольной пирамиды, используя формулу. Подставив данные и сделав подсчеты, получится, что объем прямоугольной пирамиды будет равен: V=(45*30)/3=см³.
Если в условии задачи нет данных о площади основания и высоте пирамиды, то нужно провести дополнительные вычисления для получения этих величин. Площадь основания будет вычисляться в зависимости от того, какой многоугольник лежит в ее основании.
Высоту пирамиды узнаете, если известна гипотенуза любого из прямоугольных треугольников EDS или EAS и угол, под которым наклонена боковая грань SD или SA к ее основанию. Вычислите катет SE по теореме синусов. Он и будет являться высотой прямоугольной пирамиды.
Обратите внимание
Проводя вычисления таких величин, как высота, объем, площадь, следует помнить, что каждая из них имеет свою единицу измерения. Так, площадь измеряется в см², высота – в см, а объем – в см³.
Кубический сантиметр – это единица объема, которая равна объему куба с длиной ребер в 1см. Если подставить данные в нашу формулу, получим: см³= (см²*см)/3.
Полезный совет
Как правило, если в задаче требуется найти объем прямоугольной пирамиды, то все необходимые данные известны – как минимум для того, чтобы найти площадь основания и высоту фигуры.
Источники:
- Объем пирамиды
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
A rectangular pyramid is a three-dimensional object that has a rectangular base upon which are erected four triangular faces that meet at a common point called the apex. It has a total of five faces, i.e., a rectangular base, four triangular faces, five vertices, and eight edges. In a rectangular pyramid, all the triangular faces are congruent to the opposite face. A rectangular pyramid is further classified into two types, i.e., a right rectangular pyramid and an oblique rectangular pyramid. A right rectangular pyramid is a rectangular pyramid that has its apex directly above the center of its base, whereas an oblique rectangular pyramid is a rectangular pyramid where the apex is not aligned right above the center of its base. The height of an oblique rectangular pyramid is the perpendicular line drawn from the apex to the base of the pyramid.
Volume of a Rectangular Pyramid
Volume of a rectangular pyramid is defined as the total space enclosed between all the faces of a pyramid. The volume of a pyramid is generally represented by the letter “V” and is measured in terms of cubic units like cm3, m3, ft3, in3, etc. The general formula to calculate the volume of a pyramid is equal to one-third the product of the area of the base and the height of the pyramid.
Volume of a Pyramid = 1/3 × Ah cubic units
where,
“A” is the area of the base, and
“h” is the height of the pyramid.
Volume of a Rectangular Pyramid Formula
The formula for finding the volume of a rectangular pyramid is discussed below in the article. As we know,
Area of a rectangle = l × w
where,
“l” is the length of the rectangle’
“w” is its width.
And the volume of the rectangular pyramid is 1/3 of the product of the base and height of the rectangular pyramid. So, the volume of the rectangular pyramid (V)= 1/3 (l × w) h cubic units
Volume of the Rectangular Pyramid (V)= (1/3) × lwh cubic units
where,
“l” is the base length,
“w” is the base width,
“h” is the height of the pyramid.
How to Find the Volume of a Rectangular Pyramid?
The volume of a rectangular pyramid is found using the formula Volume = 1/3 × base area × height. Follow the steps below to find the volume of a rectangular pyramid.
Step 1: Determine the area of the rectangular base using the formula Area of rectangle = (L × B)
Step 2: Find the volume using the formula, Volume = 1/3 × (Base Area) × (h)
Step 3: Final answer is obtained and is represented in cubic units.
Using the above steps Volume of the Rectangular Pyramid is found.
Solved Examples of Volume of Rectangular Pyramid
Example 1: Determine the volume of a rectangular pyramid whose base area and height are 60 cm2 and 10 cm, respectively.
Solution:
Given data,
Area of the rectangular base = 60 cm2
The height of the pyramid = 10 cm
We know that,
V = (1/3) × Ah
= (1/3) × 60 × 10
= 20 × 10 = 200 cm3
Hence, the volume of the given rectangular pyramid is 200 cm3.
Example 2: Find the volume of a rectangular pyramid if the base length is 12 cm and the base width is 8 cm, and the height of the pyramid is 15 cm.
Solution:
Given data,
Base length (l) = 12 cm
Base width (w) = 8 cm
The height of the pyramid (h) = 15 cm
We know that,
The volume of the rectangular pyramid (V)= (1/3) × lwh cubic units
= (1/3) × 12 × 8 × 15
= (1/3) × 1440
= 480 cm3
Hence, the volume of the given rectangular pyramid is 480 cm3.
Example 3: Find the volume of a rectangular pyramid if the base length is 9 inches and the base width is 5 inches, and the height of the pyramid is 12 inches.
Solution:
Given data,
Base length (l) = 9 inches
Base width (w) = 5 inches
The height of the pyramid (h) = 12 inches
We know that,
The volume of the rectangular pyramid (V)= (1/3)lwh cubic units
= (1/3) × 9 × 5 × 12
= (1/3) × 540
= 180 in3
Hence, the volume of the given rectangular pyramid is 180 in3.
Example 4: Determine the height of a rectangular pyramid whose base area and volume are 150 cm2 and 450 cm3, respectively.
Solution:
Given data,
Area of the rectangular base = 150 cm2
The volume of the rectangular pyramid = 450 cm3
We know that,
V = (1/3) × Ah
450 = (1/3) × 150 × h
450 = 50 × h
h = 450/50 = 9 cm
Hence, the height of the given rectangular pyramid is 9 cm.
Example 5: What is the volume of a rectangular pyramid if the base length is 15 m and the base width is 10 m, and the height of the pyramid is 20 m?
Solution:
Given data,
Base length (l) = 15 m
Base width (w) = 10 m
The height of the pyramid (h) = 20 m
We know that,
The volume of the rectangular pyramid (V)= (1/3)lwh cubic units
= (1/3) × 15 × 10 × 20
= (1/3) × 3000
= 1,000 m3
Hence, the volume of the given rectangular pyramid is 1,000 m3
Example 5: What happens to the volume of a rectangular pyramid if its height gets doubled and the base area remains constant?
Solution:
The volume of a rectangular pyramid will be doubled if its height gets doubled and the base area remains constant.
We know that,
V = (1/3) Ah
Where “A” is the area of the base, and “h” is the height of the pyramid.
So, the volume of the pyramid is directly proportional to its height, i.e., V ∝ h
⇒ V1/V2 = h1/h2
⇒ V/V2 = h/2h
⇒ V/V2 = 1/2
⇒ V2 = 2V
So, the volume of a rectangular pyramid will be doubled if its height gets doubled and the base area remains constant.
FAQs on Volume of Rectangular Pyramid
Question 1: What is the definition of a rectangular pyramid?
Answer:
A rectangular pyramid is a three-dimensional geometric figure that has a rectangular base and four triangular faces that meet at a common vertex called the apex.
Question 2: Define the Volume of a Rectangular Pyramid.
Answer:
The volume of a rectangular pyramid is defined as the total space enclosed between all the faces of a pyramid. It can be calculated using the formula given below:
The volume of the rectangular pyramid (V)= (1/3)lwh cubic units
Where “l” is the base length,
“w” is the base width, and
“h” is the height of the pyramid.
Question 3: What are the types of rectangular pyramids?
Answer:
There are two types of rectangular pyramids, namely, a right rectangular pyramid and an oblique rectangular pyramid.
Question 4: Define a Right Rectangular Pyramid.
Answer:
A right rectangular pyramid is a rectangular pyramid that has its apex directly above the center of its base.
Related Resource
- Surface Area of Pyramid
- Volume of Pyramid
- Square Pyramid
Last Updated :
17 Oct, 2022
Like Article
Save Article
Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.
Онлайн-калькулятор объема пирамиды
У пирамиды есть ребра. Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань — это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.
Типы пирамид
Различают следующие типы пирамид.
- Прямоугольная — у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
- Правильная — ее основание — какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
- Тетраэдр — пирамида, у которой в основании лежит треугольник.
Формулы объема пирамиды
Объем пирамиды находится несколькими способами.
По площади основания и высоте пирамиды
Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.
V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.
Площадь основания пирамиды равна 100 см2100text{ см}^2, а высота ее равна 30 см30text{ см}. Найдите объем тела.
Решение
Sосн=100S_{text{осн}}=100
h=30h=30
Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:
V=13⋅Sосн⋅h=13⋅100⋅30=1000 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h=frac{1}{3}cdot 100cdot 30=1000text{ см}^3
Ответ
1000 см3.1000text{ см}^3.
Формула объема правильной треугольной пирамиды
Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.
V=h⋅a243V=frac{hcdot a^2}{4sqrt{3}}
hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.
Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см5text{ см}, а высота пирамиды равна – 19 см19text{ см}.
Решение
a=5a=5
h=19h=19
Просто подставляем данные величины в формулу для объема:
V=h⋅a243=19⋅5243≈68.6 см3V=frac{hcdot a^2}{4sqrt{3}}=frac{19cdot 5^2}{4sqrt{3}}approx68.6text{ см}^3
Ответ
68.6 см3.68.6text{ см}^3.
Формула объема правильной четырехугольной пирамиды
V=13⋅h⋅a2V=frac{1}{3}cdot hcdot a^2
hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.
Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см7text{ см}, a сторона основания составляет – 2 см2text{ см}.
Решение
a=2a=2
h=7h=7
По формуле вычисляем:
V=13⋅h⋅a2=13⋅7⋅22≈9.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot a^2=frac{1}{3}cdot 7cdot 2^2approx9.3text{ см}^3
Ответ
9.3 см3.9.3text{ см}^3.
Формула объема тетраэдра
V=2⋅a312V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}
aa — длина ребра тетраэдра.
Длина ребра тетраэдра равна 13 см13text{ см}. Найдите его объем.
Решение
a=13a=13
Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:
V=2⋅a312=2⋅13312≈259 см3V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}=frac{sqrt{2}cdot 13^3}{12}approx259text{ см}^3
Ответ
259 см3.259text{ см}^3.
Формула объема пирамиды как определитель
Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.
Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:
a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),
тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:
V=16⋅∣axayazbxbybzcxcycz∣V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}
Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2,3,5) , b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1,4,4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3,5,7).
Решение
a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2,3,5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1,4,4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3,5,7)
По формуле:
V=16⋅∣235144357∣=16⋅(2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7)=16⋅(56+36+25−60−40−21)=16⋅(−4)=−23≈−0.7V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=frac{1}{6}cdot(2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 – 5cdot4cdot3 – 2cdot4cdot5 – 3cdot1cdot7) =frac{1}{6}cdot( 56 + 36 + 25 – 60 – 40 – 21)=frac{1}{6}cdot(-4)=-frac{2}{3}approx-0.7
Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:
V=0.7 см3V=0.7text{ см}^3
Ответ
0.7 см3.0.7text{ см}^3.
Не знаете, где можно оформить заказ контрольных работ недорого? Наши эксперты помогут вам с решением работ по объемам фигур!
Тест по теме “Объем пирамиды”
{V= S cdot h}
На этой странице собраны формулы и калькуляторы для нахождения объема пирамиды. Просто введите известные данные в калькулятор и получите результат. Либо рассчитайте объем пирамиды по приведенным формулам самостоятельно.
Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину.
Содержание:
- калькулятор объема пирамиды
- формула объема пирамиды
- объем правильной треугольной пирамиды
- объем правильной четырехугольной пирамиды
- объем правильной шестиугольной пирамиды
- объем правильной n-угольной пирамиды
- объем тетраэдра
- примеры задач
Формула объема пирамиды
{V= dfrac{1}{3} S cdot h}
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.
{V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}}}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной четырехугольной пирамиды
Правильная четырехугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит квадрат, а грани являются равнобедренными треугольниками.
{V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной шестиугольной пирамиды
Правильная шестиугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.
{V= dfrac{sqrt{3}}{2} cdot h cdot a^2}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной n-угольной пирамиды
Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник (все стороны и углы равны между собой), а высота проходит через центр этого основания.
{V= dfrac{n cdot h cdot a^2}{12 cdot tg(dfrac{180°}{n} )}}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон многоугольника в основании пирамиды
Формула объема тетраэдра
Тетраэдр – правильный многогранник (четырехгранник), имеющий четыре грани, каждая из которых является правильным треугольником. У тетраэдра кроме четырех граней также 4 вершины и 6 ребер.
{V= dfrac{sqrt{2} a^3}{12}}
a – длина стороны тетраэдра
Примеры задач на нахождение объема пирамиды
Задача 1
Найдите объем пирамиды с высотой 2м, а основанием ее служит квадрат со стороной 3м.
Решение
Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то воспользуемся формулой объема правильной четырехугольной пирамиды и подставим в нее значения высоты и стороны основания.
V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 3^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 9 = dfrac{1}{3} cdot 18 = 6 : м^3
Ответ: 6 м³
Используем калькулятор для проверки полученного ответа.
Задача 2
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1см, а высота равна √3см.
Решение
Из условия следует, что пирамида правильная треугольная. Это значит, что для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для правильной треугольной пирамиды. Подставим в нее значения и рассчитаем объем.
V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3}}{4 sqrt{3}} = dfrac{cancel{sqrt{3}}}{4 cancel{sqrt{3}}} = dfrac{1}{4} = 0.25 : м^3
Ответ: 0.25 см³
Для проверки с помощью калькулятора извлечем квадратный корень из 3: √3 = 1.73205. Теперь можем подставить значения в калькулятор и проверить полученный ответ.
