В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем пирамиды и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Формула вычисления объема пирамиды
- 1. Общая формула
- 2. Объем правильной треугольной пирамиды
-
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
- 4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
- Примеры задач
Формула вычисления объема пирамиды
1. Общая формула
Объем (V) пирамиды равняется одной третьей произведения ее высоты на площадь основания.
- ABCD – основание;
- E – вершина;
- h – высота, перпендикулярная основанию.
2. Объем правильной треугольной пирамиды
Основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник (ABC), площадь которого вычисляется так (а – сторона треугольника):
Подставляем данное выражение в формулу расчета объема фигуры и получаем:
3. Объем правильной четырехугольной пирамиды
Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, площадь которого считается так: S = a2, где а – длина его стороны.
Следовательно, формулу объема можно представить в виде:
4. Объем правильной шестиугольной пирамиды
Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник, площадь которого вычисляется по формуле (а – сторона основания):
С учетом этого, объем фигуры считается так:
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если известно, что ее высота составляет 16 см, а длина стороны ее основания – 8 см.
Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные значения:
Задание 2
Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а сторона ее основания – 3 см. Найдите объем фигуры.
Решение:
Площадь квадрата, который является основанием пирамиды, равна 9 см2 (3 см ⋅ 3 см). Следовательно, объем равен:
Пирамида – это многогранник, основанием которого является многоугольник, а грани его являются треугольниками.
Онлайн-калькулятор объема пирамиды
У пирамиды есть ребра. Можно сказать, что они тянутся к точке, называемой вершиной данной пирамиды. Ее основанием может быть произвольный многоугольник. Грань — это фигура, которая образуется в результате объединения двух ближайших ребер со стороной основания. Гранью пирамиды является треугольник. Расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания называется апофемой. Высотой пирамиды называется длина перпендикуляра, опущенного из вершины к центру ее основания.
Типы пирамид
Различают следующие типы пирамид.
- Прямоугольная — у нее ребро образует угол в 90 градусов с основанием.
- Правильная — ее основание — какой-либо правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр этого основания.
- Тетраэдр — пирамида, у которой в основании лежит треугольник.
Формулы объема пирамиды
Объем пирамиды находится несколькими способами.
По площади основания и высоте пирамиды
Простое умножение одной трети площади основания на высоту пирамиды и является ее объемом.
V=13⋅Sосн⋅hV=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.
Площадь основания пирамиды равна 100 см2100text{ см}^2, а высота ее равна 30 см30text{ см}. Найдите объем тела.
Решение
Sосн=100S_{text{осн}}=100
h=30h=30
Все величины нам известны, подставляем их численные значения в формулу и находим:
V=13⋅Sосн⋅h=13⋅100⋅30=1000 см3V=frac{1}{3}cdot S_{text{осн}}cdot h=frac{1}{3}cdot 100cdot 30=1000text{ см}^3
Ответ
1000 см3.1000text{ см}^3.
Формула объема правильной треугольной пирамиды
Этот способ подходит, если пирамида правильная и треугольная.
V=h⋅a243V=frac{hcdot a^2}{4sqrt{3}}
hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.
Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, если в ее основании лежит равносторонний треугольник, в котором сторона равна 5 см5text{ см}, а высота пирамиды равна – 19 см19text{ см}.
Решение
a=5a=5
h=19h=19
Просто подставляем данные величины в формулу для объема:
V=h⋅a243=19⋅5243≈68.6 см3V=frac{hcdot a^2}{4sqrt{3}}=frac{19cdot 5^2}{4sqrt{3}}approx68.6text{ см}^3
Ответ
68.6 см3.68.6text{ см}^3.
Формула объема правильной четырехугольной пирамиды
V=13⋅h⋅a2V=frac{1}{3}cdot hcdot a^2
hh — высота пирамиды;
aa — сторона основания пирамиды.
Дана правильная четырехугольная пирамида. Вычислите ее объем, если ее высота равна 7 см7text{ см}, a сторона основания составляет – 2 см2text{ см}.
Решение
a=2a=2
h=7h=7
По формуле вычисляем:
V=13⋅h⋅a2=13⋅7⋅22≈9.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot a^2=frac{1}{3}cdot 7cdot 2^2approx9.3text{ см}^3
Ответ
9.3 см3.9.3text{ см}^3.
Формула объема тетраэдра
V=2⋅a312V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}
aa — длина ребра тетраэдра.
Длина ребра тетраэдра равна 13 см13text{ см}. Найдите его объем.
Решение
a=13a=13
Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:
V=2⋅a312=2⋅13312≈259 см3V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}=frac{sqrt{2}cdot 13^3}{12}approx259text{ см}^3
Ответ
259 см3.259text{ см}^3.
Формула объема пирамиды как определитель
Наверное, самый экзотический способ вычисления объема данного тела.
Пусть даны векторы, на которых построена пирамида как на сторонах. Тогда ее объем будет равен одной шестой смешанного произведения векторов. Последний в свою очередь равен определителю составленному из координат этих векторов. Итак, если пирамида построена на трех векторах:
a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),
тогда объем соответствующей пирамиды это такой определитель:
V=16⋅∣axayazbxbybzcxcycz∣V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}
Найти объем пирамиды через смешанное произведение векторов, координаты которых такие: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2,3,5) , b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1,4,4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3,5,7).
Решение
a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2,3,5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1,4,4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3,5,7)
По формуле:
V=16⋅∣235144357∣=16⋅(2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7)=16⋅(56+36+25−60−40−21)=16⋅(−4)=−23≈−0.7V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=frac{1}{6}cdot(2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 – 5cdot4cdot3 – 2cdot4cdot5 – 3cdot1cdot7) =frac{1}{6}cdot( 56 + 36 + 25 – 60 – 40 – 21)=frac{1}{6}cdot(-4)=-frac{2}{3}approx-0.7
Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:
V=0.7 см3V=0.7text{ см}^3
Ответ
0.7 см3.0.7text{ см}^3.
Не знаете, где можно оформить заказ контрольных работ недорого? Наши эксперты помогут вам с решением работ по объемам фигур!
Тест по теме “Объем пирамиды”
{V= S cdot h}
На этой странице собраны формулы и калькуляторы для нахождения объема пирамиды. Просто введите известные данные в калькулятор и получите результат. Либо рассчитайте объем пирамиды по приведенным формулам самостоятельно.
Пирамида — многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани представляют собой треугольники, имеющие общую вершину.
Содержание:
- калькулятор объема пирамиды
- формула объема пирамиды
- объем правильной треугольной пирамиды
- объем правильной четырехугольной пирамиды
- объем правильной шестиугольной пирамиды
- объем правильной n-угольной пирамиды
- объем тетраэдра
- примеры задач
Формула объема пирамиды
{V= dfrac{1}{3} S cdot h}
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды
Правильная треугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.
{V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}}}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной четырехугольной пирамиды
Правильная четырехугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит квадрат, а грани являются равнобедренными треугольниками.
{V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной шестиугольной пирамиды
Правильная шестиугольная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник, а грани являются равнобедренными треугольниками.
{V= dfrac{sqrt{3}}{2} cdot h cdot a^2}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
Формула объема правильной n-угольной пирамиды
Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник (все стороны и углы равны между собой), а высота проходит через центр этого основания.
{V= dfrac{n cdot h cdot a^2}{12 cdot tg(dfrac{180°}{n} )}}
a – длина стороны основания пирамиды
h – высота пирамиды
n – число сторон многоугольника в основании пирамиды
Формула объема тетраэдра
Тетраэдр – правильный многогранник (четырехгранник), имеющий четыре грани, каждая из которых является правильным треугольником. У тетраэдра кроме четырех граней также 4 вершины и 6 ребер.
{V= dfrac{sqrt{2} a^3}{12}}
a – длина стороны тетраэдра
Примеры задач на нахождение объема пирамиды
Задача 1
Найдите объем пирамиды с высотой 2м, а основанием ее служит квадрат со стороной 3м.
Решение
Так как в основании пирамиды лежит квадрат, то воспользуемся формулой объема правильной четырехугольной пирамиды и подставим в нее значения высоты и стороны основания.
V= dfrac{1}{3} cdot h cdot a^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 3^2 = dfrac{1}{3} cdot 2 cdot 9 = dfrac{1}{3} cdot 18 = 6 : м^3
Ответ: 6 м³
Используем калькулятор для проверки полученного ответа.
Задача 2
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1см, а высота равна √3см.
Решение
Из условия следует, что пирамида правильная треугольная. Это значит, что для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для правильной треугольной пирамиды. Подставим в нее значения и рассчитаем объем.
V= dfrac{h cdot a^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1^2}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3} cdot 1}{4 sqrt{3}} = dfrac{sqrt{3}}{4 sqrt{3}} = dfrac{cancel{sqrt{3}}}{4 cancel{sqrt{3}}} = dfrac{1}{4} = 0.25 : м^3
Ответ: 0.25 см³
Для проверки с помощью калькулятора извлечем квадратный корень из 3: √3 = 1.73205. Теперь можем подставить значения в калькулятор и проверить полученный ответ.
Объем правильной треугольной пирамиды
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
h – высота пирамиды
a – сторона основания
Формула объема правильной треугольной пирамиды, (V):
Калькулятор – вычислить, найти объем правильной треугольной пирамиды
- Подробности
-
Автор: Administrator
-
Опубликовано: 14 сентября 2011
-
Обновлено: 13 августа 2021
Объем пирамиды
Лариса Семеновна Петрова
Эксперт по предмету «Калькуляторы»
Задать вопрос автору статьи
На данной странице представлены формулы и онлайн-калькуляторы для нахождения объёма различных видов пирамид: правильной треугольной, четырёхугольной, правильного тетраэдра, а также для правильной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник.
Для того чтобы воспользоваться онлайн-калькулятором, введите известные вам данные в поля для ввода.
Начнём с тетраэдра. Тетраэдром называют любую треугольную пирамиду.
Определение 1
Правильный тетраэдр — это треугольная пирамида, все грани которой являются правильными треугольниками, а стороны равны между собой.
Объём правильного тетраэдра
Расчёт объёма правильного тетраэдра осуществляется по формуле:
$V = frac{b^3 cdot sqrt2}{12}$, где
$b$ — длина стороны тетраэдра.
Пример 1
Дано:
Сторона $b$ правильного тетраэдра равна $3$ см. Рассчитайте, чему равен объём этой треугольной пирамиды.
Решение:
$V = frac{3^3 cdot sqrt2}{12} =frac{3^2 cdot sqrt2}{4} ≈ 3.18$.
Ответ:
Объём составит $3.18$ кубических сантиметров.
Перейдём к более общему случаю вычисления объёма правильной треугольной пирамиды.
Определение 2
Правильной треугольной пирамидой называют пирамиду, в основании которой лежит равносторонний треугольник, а все остальные грани являются равнобедренными треугольниками.
Объём правильной треугольной пирамиды
Расчёт объёма правильной треугольной пирамиды осуществляется по формуле:
$V = frac{h cdot b^2 }{4 cdot sqrt3}$, где
$h$ — высота правильной треугольной пирамиды;
$b$ — сторона её основания.
Следующий вид пирамиды — правильная четырехугольная пирамида.
Определение 3
В основании правильной четырёхугольной пирамиды лежит квадрат, а грани её также являются равнобедренными треугольниками.
Объём правильной четырехугольной пирамиды
Расчёт объёма правильной четырёхугольной пирамиды можно осуществить по формуле:
$V = frac13 cdot h cdot b^2$, где
$h$ — высота правильной четырёхугольной пирамиды;
$b$ — сторона её основания.
Пример 2
Дано:
Высота $h$ правильной четырёхугольной пирамиды равна $7$ см, а сторона её основания $b$ — $6$ см. Рассчитайте, чему равен объем этой четырехугольной пирамиды, используя приведённую формулу.
Решение:
$V = frac13 cdot 7 cdot 6^2 = 84$.
Ответ:
Объём пирамиды составит $84$ кубических сантиметров.
Также рассмотрим общий случай правильной пирамиды.
Определение 4
Правильной пирамидой называют такую пирамиду, в основании которой лежит правильный многоугольник, все стороны которого равны, а количество его сторон равно n.
Объём правильной пирамиды с многоугольником в основании
Расчёт объёма правильной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник с $n$-гранями, осуществляется по формуле:
$V = frac13 cdot S cdot h$, где
$S$ — площадь многоугольника;
$h$ — высота пирамиды.
При этом площадь многоугольника можно узнать по формуле:
$S = large frac{n cdot b^2}{4 cdot mathrm{tg}(frac{360}{2 cdot n})}$, где
$b$ — сторона многоугольника в основании;
$n$ — количество граней многоугольника в основании.
Подставим формулу площади в формулу для вычисления объёма пирамиды и получим:
$V = large frac{n cdot b^2 cdot h} {12 cdot mathrm{tg}(frac{180}{n})}$
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата написания статьи: 29.05.2019
