Как найти объем правильной усеченной треугольной пирамиды

Усечённой пирамидой называется часть пирамиды между её основанием и плоскостью, параллельной ему.

Усечённая пирамида, полученная из правильной пирамиды сечением, параллельным её основанию, называется правильной усечённой пирамидой.

Рис. (1). Правильная усечённая треугольная пирамида (ABCKNV)

(ABC) и (KNV) — основания пирамиды,

OO1 — высота.

Рис. (2). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида (ABCDZVNK)

(ABCD) и (ZVNK) — основания,

OO1

— высота

Объём усечённой пирамиды:

V=13H⋅S1+S1⋅S2+S2,гдеS1иS2− площади оснований

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:

Sбок.=12P1+P2⋅h,гдеP1иP2−периметры оснований

;

(h) — апофема правильной усечённой пирамиды, на данных рисунках это отрезок (LF).

Рис. (3). Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды

Рис. (4). Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды

Источники:

Рис .1. Правильная усечённая треугольная пирамида ABCKNV. © ЯКласс.
Рис.2. Правильная усечённая четырёхугольная пирамида ABCDZVNK. © ЯКласс.
Рис. 3. Апофема правильной треугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Рис. 4. Апофема правильной четырёхугольной усечённой пирамиды. © ЯКласс.

Источник

Понятие усеченной пирамиды

Если пересечь обычную пирамиду (с вершиной) плоскостью, которая параллельна ее основанию, то получится две фигуры: первая (верхняя часть) будет меньшей пирамидой, чем исходная, а фигура, которая лежит между секущей плоскостью и основанием исходной пирамиды, получила название усеченной пирамиды.

Онлайн-калькулятор объема усеченной пирамиды

Если пересечь пирамиду, являющуюся правильной, то и усеченная пирамида будет правильной, если неправильную – то неправильной.

Высотой усеченной пирамиды является перпендикуляр, проведенный из ее верхнего основания в нижнее (или наоборот).

Формула объема пирамиды

Для того чтобы вычислить объем пирамиды, нужно проделать следующие действия:

Сложить площади обоих оснований пирамиды.
Возвести произведение этих площадей в степень 1/21/2, то есть извлечь квадратный корень.
Полученные результаты сложить, затем умножить на высоту пирамиды и разделить на 3.

Формулы имеет такой вид:

Объем усеченной пирамиды

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})

Sосн 1,Sосн 2S_{text{осн 1}}, S_{text{осн 2}} — площади оснований усеченной пирамиды;
hh — высота данной пирамиды.

Разберем решение задач на эту тему.

Задача 1

Найдите объем усеченной пирамиды, если известно, что площадь ее одного основания равна 30 см230text{ см}^2, а площадь второго в 2 раза больше первого. Высота пирамиды равна 7 см7text{ см}.

Решение

Sосн 1=30S_{text{осн 1}}=30
Sосн 2=2⋅Sосн 1S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}
h=7h=7

Первый этап — нахождения площади второго основания:

Sосн 2=2⋅Sосн 1=2⋅30=60S_{text{осн 2}}=2cdot S_{text{осн 1}}=2cdot 30=60

Второй этап — вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅7⋅(30+60+30⋅60)≈309 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 7cdot(30+60+sqrt{30cdot 60})approx309text{ см}^3

Ответ

309 см3.309text{ см}^3.

Задача 2

В основаниях пирамиды лежат квадраты со сторонами a=8 смa=8text{ см} и b=6 смb=6text{ см}. Высота усеченной пирамиды имеет длину 10 см10text{ см}. Найти ее объем.

Решение

a=8a=8
b=6b=6
h=10h=10

Найдем площадь первого основания. Это просто площадь квадрата, которую мы вычислим по формуле:

Sосн 1=b⋅b=b2=62=36S_{text{осн 1}}=bcdot b=b^2=6^2=36

Аналогично, площадь второго, нижнего основания:

Sосн 2=a⋅a=a2=82=64S_{text{осн 2}}=acdot a=a^2=8^2=64

Наконец, вычисляем объем по формуле:

V=13⋅h⋅(Sосн 1+Sосн 2+Sосн 1⋅Sосн 2)=13⋅10⋅(36+64+36⋅64)≈493.3 см3V=frac{1}{3}cdot hcdot(S_{text{осн 1}}+S_{text{осн 2}}+sqrt{S_{text{осн 1}}cdot S_{text{осн 2}}})=frac{1}{3}cdot 10cdot(36+64+sqrt{36cdot 64})approx493.3text{ см}^3

Ответ

493.3 см3.493.3text{ см}^3.

Профильные эксперты сайта помогут вам выполнить контрольную работу на заказ, скорее оформляйте заказ!

Источник

Как рассчитать объем усеченной пирамиды

На данной странице калькулятор поможет рассчитать объем усеченной пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь верхнего и нижнего основания и высоту. Вычисления производятся в миллиметрах, сантиметрах, метрах. Результат выводится в кубических сантиметрах, литрах и кубических метров.

Усеченная пирамида — многогранник, образованный пирамидой и её сечением, параллельным основанию.

Через основания и высоту

Формула объема усеченной пирамиды через высоту и площадь основания:

S1 – площадь верхнего основания; S2 – площадь нижнего основания; h – высота усеченной пирамиды.

Источник

Объем усеченной пирамиды

Рассчитайте объем усеченной пирамиды в зависимости от ее высоты и площадей оснований.

Площадь основания 1

см²

Площадь основания 2

см²

Высота

см

Размерность

Раcсчитать

Оглавление:

📝 Как это работает?
🤔 Частые вопросы и ответы
📋 Похожие материалы
📢 Поделиться и комментировать

🧮 Что такое калькулятор объема усеченной пирамиды?

Калькулятор объема усеченной пирамиды — это инструмент для расчета объема геометрического тела, которое представляет собой усеченную пирамиду.

Усеченная пирамида — это геометрическое тело, которое состоит из двух параллельных и равных многоугольников, называемых основаниями, и боковой поверхности, состоящей из параллельных трапеций. Объем усеченной пирамиды можно вычислить, зная ее высоту и площади оснований.

Калькулятор объема усеченной пирамиды предоставляет пользователю возможность ввести размеры оснований и высоту усеченной пирамиды, после чего вычисляет ее объем.

Как рассчитывается объем усеченной пирамиды?

Объем усеченной пирамиды можно рассчитать с помощью следующей формулы:

V = (1/3) * h * (A + sqrt(A*B) + B)

где V – объем усеченной пирамиды, h – высота усеченной пирамиды, sqrt – означает квадратный корень, A и B – площади большего и меньшего оснований соответственно.

Для расчета объема усеченной пирамиды необходимо знать высоту и площади ее оснований. Первым шагом необходимо определить площади большего и меньшего оснований. Для этого необходимо найти площадь каждого основания (например, площадь треугольника или многоугольника) и обозначить их A и B соответственно.

Затем необходимо найти высоту усеченной пирамиды, которая является расстоянием между плоскостями оснований. Высоту можно измерить прямым измерением или вычислить, зная расстояние между плоскостями оснований и угол между этим расстоянием и боковой гранью.

После этого можно использовать формулу для расчета объема усеченной пирамиды, подставив известные значения площадей оснований и высоты в формулу.

Для чего можно использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?

Калькулятор объема усеченной пирамиды можно использовать для расчета объема данной геометрической фигуры, когда известны ее размеры. Это может быть полезно в различных областях, включая:

Архитектуру и строительство: расчет объема усеченной пирамиды может быть полезен для расчета объема строительных материалов, таких как бетон или кирпич, необходимых для создания определенных форм.
Производство: объем усеченной пирамиды может использоваться для расчета объема материала, необходимого для производства определенного изделия.
Образование: расчет объема усеченной пирамиды может быть использован в качестве учебного материала в школах и университетах для изучения геометрии и математики.
Хобби и ремесло: расчет объема усеченной пирамиды может быть полезен в различных хобби и ремеслах, таких как создание моделей или изготовление ювелирных изделий.

Усеченная пирамида как фигура

Усеченная пирамида является интересной геометрической фигурой, которая обладает несколькими уникальными свойствами:

Усеченная пирамида имеет два плоских многоугольных основания, которые могут быть различной формы, но параллельны друг другу.
В отличие от обычной пирамиды, усеченная пирамида может иметь наклонные боковые ребра, которые делают ее форму более сложной и необычной.
Усеченная пирамида может использоваться в качестве модели для создания архитектурных конструкций, таких как купола, шатры, крыши зданий и т.д.
Усеченные пирамиды используются в различных областях науки и техники, включая архитектуру, физику, инженерию, компьютерную графику и многие другие.
Усеченная пирамида может быть использована как основа для создания различных предметов декора и искусства, таких как светильники, вазы, канделябры и т.д.
Усеченная пирамида может быть использована для создания различных игрушек и головоломок, что делает ее интересной не только для учебных, но и для развлекательных целей.

❓Вопросы и ответы

Вот некоторые часто задаваемые вопросы и ответы, связанные с калькулятором объема усеченной пирамиды:

Что такое усеченная пирамида?

Усеченная пирамида – это геометрическая фигура, которая имеет два параллельных многоугольных основания и наклонные боковые грани.

Как рассчитать объем усеченной пирамиды?

Объем усеченной пирамиды можно вычислить с помощью специальной формулы: V = (1/3) * h * (S1 + S2 + sqrt(S1 * S2)), где h – высота усеченной пирамиды, S1 и S2 – площади оснований, sqrt – квадратный корень.

Как использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?

Введите значения высоты усеченной пирамиды, площадей ее оснований и нажмите кнопку “Вычислить”. Калькулятор автоматически рассчитает объем усеченной пирамиды для вас.

Какие единицы измерения используются при вычислении объема усеченной пирамиды?

Объем усеченной пирамиды может быть выражен в кубических единицах измерения, таких как кубические метры, кубические сантиметры, кубические дюймы и т.д.

Для чего можно использовать калькулятор объема усеченной пирамиды?

Калькулятор объема усеченной пирамиды может быть полезен в образовательных целях, а также для проектирования и расчета объема различных конструкций и изделий.

Связанные определения[править | править код]

Основание изначальной пирамиды, а также параллельная ему грань называются основаниями усечённой пирамиды.
- Остальные грани называются боковыми.

Правильная усечённая пирамида

Если изначальная пирамида правильная то её усечённая пирамида также называется правильной.
- Высота боковой грани называется апофемой.

Свойства[править | править код]

Боковые грани усечённой пирамиды представляют собой трапеции.

Правильная усечённая пирамида[править | править код]

Источник

Онлайн-калькулятор объема усеченной пирамиды

Формула объема пирамиды