Загрузить PDF
Загрузить PDF
Призма — объемная геометрическая фигура с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Призму называют по форме ее основания; так призмы с треугольным основанием называют «треугольной призмой». Чтобы найти объем призмы, нужно просто вычислить площадь ее основания и умножить его на ее высоту; тем не менее вычисление площади основания может быть нетривиальной задачей. Вот как можно вычислить объем различных призм.
-
1
Запишите формулу для нахождения объема треугольной призмы. Формула проста: V = площадь основания призмы х высота призмы. Вы можете найти площадь основания по формуле для нахождения площади треугольника — 1/2 умножить на сторону и умножить на высоту.
-
2
Найдите площадь основания. Чтобы вычислить объем треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь треугольника, лежащего в основании. Найдите площадь основания призмы (в данном случае треугольника) путем умножения 1/2 на сторону треугольника и на его высоту.[1]
- Например, если высота треугольника равна 5 см, а его сторона равна 4 см, то площадь основания равна 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см2.
-
3
Найдите высоту. Допустим, высота треугольной призмы равна 7 см.
-
4
Умножьте площадь основания (треугольника) на высоту призмы. После того, как вы умножите площадь на высоту, вы получите объем треугольной призмы.
- Для нашего примера: 10 см2 x 7 см = 70 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. При расчете объема следует всегда использовать кубические единицы измерения, так как работа ведется с трехмерными объектами. Окончательный ответ 70 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема куба. Формула проста: V = (длина ребра) 3 Куб представляет собой призму, у которой все ребра равны.[2]
-
2
Найдите длину ребра куба. Все ребра равны, поэтому неважно, какое ребро рассматривать.
- Например: длина ребра = 3 см.
-
3
Возведите длину в куб. Для возведения в куб просто дважды умножьте число на само себя. Например, куб «А» — это «А x А x А». Поскольку все длины ребер куба равны, вам не нужно вычислять площадь основания и умножать его на высоту. Перемножение любых двух ребер куба даст вам площади основания, а любое третье ребро может представлять высоту. Вам не нужно задумываться над перемножением длины, ширины и высоты, так как в кубе этими величинами может быть любое ребро.
- Например: 3 см3 = 3 см * 3 см * 3 см = 27 см3.
-
4
Запишите ответ в кубических единицах. Не забудьте записать окончательный ответ в кубических единицах. В нашем случае окончательный ответ: 27 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема прямоугольной призмы. Формула: V = длина * ширина * высота Прямоугольная призма — призма с прямоугольным основанием.
-
2
Найдите длину. Длина прямоугольной призмы — длинная сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: длина = 10 см.
-
3
Найдите ширину. Ширина прямоугольной призмы — короткая сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: ширина = 8 см.
-
4
Найдите высоту. Высота прямоугольной призмы — любая грань, перперндикулярная основанию (грань, поднимающаяся вверх). Вы можете представить себе высоту прямоугольной призмы как грань, которая простирается вверх от основания до верхнего плоского прямоугольник и делает фигуру трехмерной.
- Например: высота = 5 см.
-
5
Перемножьте длину, ширину и высоту. Вы можете умножить их в любом порядке и получите тот же результат. С помощью этого метода вы, по сути, вычисляете площадь прямоугольного основания (10 х 8 ), а затем умножаете его на высоту (5). Поэтому для нахождения объема этой призмы можно умножить длины ребер в любом порядке.
- Например: 10 см * 8 см * 5 см = 400 см3.
-
6
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 400 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции1 + основание трапеции2) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).[3]
-
2
Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.
- Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
- 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см2.
-
3
Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
-
4
Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.
- 70 см2 x 12 см = 840 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см3.
Реклама
-
1
Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.[4]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.[5]
-
2
Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:
- А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
- А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см2.
-
3
Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
-
4
Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см2) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.
- 105 см2 x 10 см = 1050 см3.
-
5
Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см3.
Реклама
Советы
- Постарайтесь не путать «основание призмы» с «основанием фигуры». Основание призмы — это двухмерная фигура, которая образует основание всей призмы (как правило, ее верхняя и нижняя грань). Но эта двухмерная фигура может иметь свое собственное основание — сторону, на которую опускается перпендикуляр и которая помогает вычислить площадь двухмерной фигуры.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 188 988 раз.
Была ли эта статья полезной?
Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.
Такие параллелограммы в призме называются боковыми.
Онлайн-калькулятор объема призмы
Призмы разделяют на некоторые типы:
- Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
- Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
- Пентапризма — пятиугольная призма.
Деление, в общем, продолжается до бесконечности.
Виды призм
Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.
Формула объема призмы
Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.
V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h
SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.
Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.
Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.
Решение
a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10
Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:
a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,
где ll — высота равнобедренного треугольника.
Отсюда:
l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2
l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}
l=25−9l=sqrt{25-9}
l=4l=4
Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:
S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12
В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:
S=SоснS=S_{text{осн}}
Тогда объем призмы найдется по формуле:
V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3
Ответ
120 см3.120text{ см}^3.
На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!
Тест по теме «Объем призмы»
Download Article
Download Article
A prism is a solid, multi-sided geometric figure with two identical ends called bases. To find the volume of a prism, first calculate the area of one of the bases, then multiply it by the height of the prism. You can choose either the top or the bottom base since the bases are parallel and congruent polygons, or identical 2-dimensional shapes. Volume is measured in cubic units — don’t forget to add units or your teacher might dock you some points. Read on for step-by-step instructions for calculating the volume of 5 different types of prisms.
-
1
Write down the formula for finding the volume of a triangular prism. The formula is simply V = 1/2 x length x width x height. However, we’ll be taking this formula apart further to use the formula V = area of base x height. You can find the area of the base by using the formula for finding the area of a triangle — multiplying 1/2 by the length and width of the base.[1]
-
2
Find the area of the base face. To calculate the volume of a triangular prism, you need to first find the area of the triangular base. Find the area of the base of the prism by multiplying 1/2 times the base of the triangle times its height.[2]
- Ex: If the height of the triangular base is 5 cm and the base of the triangular prism is 4 cm, then the area of the base is 1/2 x 5 cm x 4 cm, which is 10 cm2.
Advertisement
-
3
Find the height. Let’s say the height of this triangular prism is 7 cm.
-
4
Multiply the area of the triangular base face times the height. Simply multiply the area of the base times the height. After you multiply the base and height, you’ll have the volume of the triangular prism.[3]
- Ex:10 cm2 x 7 cm = 70 cm3
-
5
State your answer in cubic units. You should always use cubic units when you’re calculating volume because you’re working with three dimensional objects. The final answer is 70 cm.3
Advertisement
-
1
Write down the formula for finding the volume of a cube. The formula is simply V = side3. A cube is a prism that happens to have three equal sides.[4]
-
2
Find the length of one side of the cube. All of the sides are equal, so it doesn’t matter which side you choose.
- Ex: Length = 3 cm.
-
3
Cube it. To cube a number, just multiply it by itself twice. The cube of “a” is “a x a x a,” for example. Since all of the lengths of the sides of the cube are equal, you don’t have to find the area of the base and multiply it by the height and then multiply it by the length. Multiplying any two sides of the cube will give you the area of the base, and any third side could represent the height. You can still think of this as multiplying the length, width, and height when they all just happen to be the same.[5]
- Ex: 3 cm3 = 3 cm. * 3 cm. * 3 cm. = 27 cm.3
-
4
State your answer in cubic units. Don’t forget to put your final answer in cubic units. The final answer is 27 cm.3
Advertisement
-
1
Write down the formula for finding the volume of a rectangular prism. The formula is simply V = length * width * height. A rectangular prism is a prism with a rectangular base.[6]
-
2
Find the length. The length is the longest side of the flat surface of the rectangle on the top or bottom of the rectangular prism.
- Ex: Length = 10 cm.
-
3
Find the width. The width of the rectangular prism is the shorter side of the flat surface of the rectangle on the top or bottom of the shape.
- Ex: Width = in 8 cm.
-
4
Find the height. The height is the part of the rectangular prism that rises up. You can imagine the height of the rectangular prism as the part that stretches up a flat rectangle and makes it three-dimensional.
- Ex: Height = 5 cm.
-
5
Multiply the length, the width, and the height. You can multiply them in any order to get the same result. Using this method, you have essentially found the area of the rectangular base ( 10 x 8) and then have multiplied it by its height, 5. But to find the volume of this prism, you can multiply the lengths of the sides in any order.[7]
- Ex: 10 cm. * 8 cm. * 5 cm = 400 cm.3
-
6
State your answer in cubic units.[8]
The final answer is 400 cm.3
Advertisement
-
1
Write down the formula for calculating the volume of a trapezoidal prism. The formula is: V = [1/2 x (base1 + base2) x height] x height of the prism. You should use the first part of this formula to find the area of the trapezoidal base of the prism before you move forward.[9]
-
2
Find the area of the trapezoidal base face. To do this, simply plug the two bases and the height of the trapezoidal base into the formula.
- Let’s say base 1 = 8 cm, base 2 = 6 cm, and height = 10 cm.
- Ex: 1/2 x (6 + 8) x 10 = 1/2 x 14 cm x 10 cm = 70 cm2.
-
3
Find the height of the trapezoidal prism. Let’s say the height of the trapezoidal prism is 12 cm.
-
4
Multiply the area of the base face times the height. To calculate the volume of the trapezoidal prism, just multiply the area of the base times the height.[10]
- 70 cm2 x 12 cm = 840 cm3.
-
5
State your answer in cubic units. The final answer is 840 cm3
Advertisement
-
1
Write the formula for finding the volume of a regular pentagonal prism. The formula is V = [1/2 x 5 x side x apothem] x height of the prism. You can use the first part of the formula to find the area of the pentagonal base face. You can think of this as finding the area of the five triangles that make up a regular polygon. The side is simply the width of one triangle, and the apothem is the height of one of the triangles. You’ll be multiplying by 1/2 because that’s part of finding the area of a triangle and then multiplying this by 5 because 5 triangles make up the pentagon.[11]
- For more information on finding the apothem if one is not provided for you, look here.[12]
- For more information on finding the apothem if one is not provided for you, look here.[12]
-
2
Find the area of the pentagonal base face. Let’s say the length of a side is 6 cm and the length of the apothem is 7 cm. Just plug these numbers into the formula:
- A = 1/2 x 5 x side x apothem
- A = 1/2 x 5 x 6 cm x 7 cm = 105 cm2
-
3
Find the height. Let’s say the height of the shape is 10 cm.
-
4
Multiply the area of the pentagonal base face times the height. Just multiply the area of the pentagonal base, 105 cm2, times the height, 10 cm, to find the volume of the regular pentagonal prism.[13]
- 105 cm2 x 10 cm = 1050 cm3
-
5
State your answer in cubic units. The final answer is 1050 cm3.
Advertisement
Add New Question
-
Question
How do I find the volume of rectangular prisms?
Calculate the area of the base (length multiplied by width), then multiply by the height.
-
Question
How do I calculate the volume of a rectangular prism if there are two different heights?
A rectangular prism would not have two different heights. If you’re asking about a non-rectangular prism, the volume formula would involve finding the average height of some of the sides.
-
Question
How do I find the volume of a circular prism?
The volume of a cylinder is found by squaring the radius and then multiplying by the product of pi and the height of the cylinder. (V = πr²h.)
See more answers
Ask a Question
200 characters left
Include your email address to get a message when this question is answered.
Submit
Advertisement
Video
-
Try not to confuse “base” with “base face”. Base face refers to the 2-dimensional shape which forms the base of the entire prism (usually, its top and bottom). But that base face may have its own base — a 1-dimensional length along an edge which serves as the base measurement when finding the area of the 2-dimensional shape.
Thanks for submitting a tip for review!
Advertisement
References
About This Article
Article SummaryX
To find the volume of a triangular prism, use the equation V = ½ × length × width × height, or V = the area of the base × the height. Find the area of the base by multiplying ½ × the length and width of one of the triangular bases of the prism. Then, locate the height, and multiply the height by the area of the base. For example, a triangular prism with a length of 4 cm and a width of 5 cm would have an area of 10 cm^2. If the height was 7 cm, the volume of the prism would be 70 cm cubed. If you want to learn how to find the volume of a rectangular or pentagonal prism, keep reading the article!
Did this summary help you?
Thanks to all authors for creating a page that has been read 669,763 times.
Did this article help you?
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем призмы и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
- Формула вычисления объема призмы
- Примеры задач
Формула вычисления объема призмы
Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.
V = Sосн ⋅ h
- Sосн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
- h – высота призмы.
Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:
- прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
- правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
- наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.
Примеры задач
Задание 1
Найдите объем призмы, если известно, что площадь ее основания равна 14 см2, а высота – 6 см.
Решение:
Подставляем в формулу известные нам значения и получаем:
V = 14 см2 ⋅ 6 см = 84 см3.
Задание 2
Объем призмы равняется 106 см3. Найдите ее высоту, если известно, что площадь основания составляет 10 см2.
Решение:
Из формулы расчета объема следует, что высота равняется объему, разделенному на площадь основания:
h = V / Sосн = 106 см3 / 10 см2 = 10,6 см.
Что такое призма
Призма — это трехмерное геометрическое тело с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Название зависит от фигуры, которая лежит в ее основании. Например, если это треугольник, призму называют «треугольной».
Эта объемная фигура может быть нескольких видов:
- Прямая. То есть с боковыми ребрами, перпендикулярными основанию.
- Правильная. В основании лежит правильный многоугольник.
- Наклонная. Ее ребра расположены под углом к основанию.
Формулы вычисления объема правильной призмы
Правильные призмы могут быть разных видов, в зависимости от многоугольника, который лежит в их основании. Формула вычисления объема во всех случаях выглядит одинаково:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
(V=Scdot h)
Разница лишь в том, каким образом находится площадь S для каждой из фигур.
Треугольная
Чтобы вычислить объем призмы, в основании которой лежит правильный треугольник, используем формулу:
(V=frac{sqrt3}4cdot a^2cdot h)
Где (frac{sqrt3}4cdot a^2=S) — площадь правильного треугольника в основании, a — сторона треугольника, h — высота всей фигуры.
Четырехугольная
Для фигуры, в основании которой лежит квадрат, используем следующую формулу для вычисления объема:
(V=a^2cdot h)
Где a — сторона квадрата.
Пятиугольная
В этом случае объем будет вычисляться по формуле:
(V=frac52cdot acdotsqrt{left(frac a{2sinleft({displaystylefracpi5}right)}right)^2-frac{a^2}4}cdot h\)
Шестиугольная
Для призмы с правильным шестиугольником в основании формула объема выглядит так:
(x = V=frac{3sqrt3}2cdot a^2cdot h\)
Объем наклонной и прямой
Он находится через произведение площади основания на высоту:
(V=Scdot h\)
Таким образом, формула вычисления объема совпадает с предыдущими вариантами и зависит лишь от фигуры в основании.
С прямой призмой все то же самое. Сначала нужно вычислить площадь ее основания, а потом умножить на высоту.
Примеры задач
Задача № 1
Известно, что площадь основания призмы равна 12 (см^2), а длина ее высоты — 5 см. Вычислить объем фигуры.
Решение:
Так как уже дана площадь основания, нам не важно какая фигура лежит в основании. Подставляем известные значения в формулу:
(V=Scdot h=12cdot5=60 ) (см^3)
Ответ: V=60 (см^3.)
Задача № 2
В основании прямой призмы лежит четырехугольник со сторонами a и b по 6 см и 3 см. Высота данной фигуры равна 10 см. Рассчитать ее объем.
Решение:
Так как сначала для вычисления объема нам нужно определить площадь четырехугольника, будем использовать уравнение: (V=acdot bcdot h)
Подставляем значения: (V=6cdot3cdot10=180) (см^3)
Ответ: V=180 (см^3.)
