Как найти объем призмы по координатам

23.10.2022
Инструкция как оплачивать картой Каспи для Казахстана Прочитать инструкцию

22.10.2022
Для Беларуси возможно оплачивать только банковской картой выпущенной в России или через Webmoney Z.
Также для Беларуси можно оплачивать Банковской картой (“Карта Весь мир”), QIWI, ЮMoney перейдя в раздел Решения заданий (digiseller) в меню сайта

23.08.2021
ЮMoney+Банковская карта. Принимаются виды оплат: MasterCard, Visa, МИР, ЮMoney-кошелек (Снижена комиссия)
Оплата картой Каспи для Казахстана (по курсу 1руб=5,5тг), пишите на почтовый ящик pmaxim2006@mail.ru

23.08.2021
В Digiseller можно найти все решения, что и на fizmathim.ru Перейти в Магазин на Digiseller
Можно воспользоваться формой поиска по первым 3-4 словам. Способы оплаты: Банковская карта (РФ)(Visa/MasterCard/Мир) Казахстан (выбираете “Карта KZ” или “Карта RU/UA/KZ/Asia”), QIWI, ЮMoney, Webmoney, Unionpay, Alipay, Скины Steam

26.04.2019
– Все задачи оформлены в текстовом редакторе Microsoft Word, в PDF формате рассылаются решения отдельно.

– Ссылки действительны в течение 24 часов до первой попытки скачать (90 минут с момента первого скачивания).

05.02.2019
– При добавлении товаров в корзину на сумму выше 250 руб. и оформлении заказа активируется 5 % скидка на оплату.

– Ссылка на скачивание задач, приходит на указанный вами почтовый ящик при оформлении заказа и его оплаты. Дополнительная рассылка оплаченных заказов на E-mail производится в течение нескольких минут/часов, тема писем имеет вид “Заказ xxxxx”.

anastasiyyya писал(а):

Доказать, что векторы AB, AC, AK образуют базис и определить координаты вектора AD в этом базисе.

Составим векторы [math]overrightarrow{AB},,overrightarrow{AC},,overrightarrow{AK},,overrightarrow{AD}:[/math]

[math]begin{gathered}overrightarrow{AB}= {x_{{}_B} – x_{{}_A};y_{{}_B} – y_{{}_A};z_{{}_B}-z_{{}_A}} = { 9 – 1;4 – 2;6 – 3} = { 8;2;3},hfill\[2pt] overrightarrow{AC}= {x_{{}_C} – x_{{}_A};y_{{}_C} – y_{{}_A};z_{{}_C}-z_{{}_A}} = { 5 – 1;8 – 2;13 – 3} = { 4;6;10},hfill\[2pt] overrightarrow{AK}= {x_{{}_K} – x_{{}_A};y_{{}_K} – y_{{}_A};z_{{}_K}-z_{{}_A}} = { 4 – 1;0 – 2;4 – 3} = { 3; – 2;1},hfill\[2pt] overrightarrow{AD}= {x_{{}_D} – x_{{}_A};y_{{}_D} – y_{{}_A};z_{{}_D}-z_{{}_A}} = { 8 – 1;6 – 2;14 – 3} = { 7;4;11}.hfillend{gathered}[/math]

Вычислим определитель [math](Delta)[/math] матрицы перехода, составленной из компонентов векторов [math]overrightarrow{AB},,overrightarrow{AC},,overrightarrow{AK}:[/math]

[math]Delta=left|!!begin{array}{*{20}{c}}8&4&3 \ 2&6&{ – 2} \ 3&{10}&1 end{array}!! right|=ldots=182.[/math]

Так как определитель матрицы перехода не равен нулю, то ранг этой матрицы равен трем и из теоремы о базисном миноре следует, что векторы [math]overrightarrow{AB},,overrightarrow{AC},,overrightarrow{AK}[/math] линейно независимы и могут быть приняты в качестве базиса пространства [math]mathbb{R}^3[/math].
Пусть [math]x_1,x_2,x_3[/math] – координаты вектора [math]overrightarrow{AD}[/math] в базисе [math]overrightarrow{AB},,overrightarrow{AC},,overrightarrow{AK}[/math], тогда, согласно теореме о разложении вектора по базису в пространстве, имеем
[math]x_1overrightarrow{AB}+x_2overrightarrow{AC}+ x_3overrightarrow{AK}= overrightarrow{AD}~~Leftrightarrow~~ x_1!!left(!!begin{array}{*{20}{c}}8 \ 2 \ 3end{array}!!right)+ x_2!!left(!!begin{array}{*{20}{c}}4 \ 6 \ {10} end{array}!!right) + x_3!!left(!!begin{array}{*{20}{c}}3 \ -2\ 1end{array}!!right)= left(!!begin{array}{*{20}{c}}7 \ 4 \ {11} end{array}!!right) Rightarrow~begin{cases}8x_1+ 4x_2+ 3x_3 = 7,\ 2x_1+ 6x_2- 2x_3 = 4,\ 3x_1+ 10x_2 + x_3 = 11.end{cases}[/math]
Решим систему с помощью правила Крамера

[math]begin{aligned}Delta_1&= left|!!begin{array}{*{20}{c}}7&4&3 \4&6&{ – 2} \{11}&{10}&1 end{array}!!right| = ldots = 0 ~~Rightarrow ~~{x_1} = frac{Delta_1}{Delta} = frac{0}{182} = 0,\[5pt] Delta_2&= left|!!begin{array}{*{20}{c}}8&7&3 \ 2&4&{ – 2} \ 3&{11}&1end{array}!!right| = ldots = 182 ~~Rightarrow~~ {x_2} = frac{Delta_2}{Delta} = frac{182}{182} = 1,\[5pt] Delta_3&= left|!!begin{array}{*{20}{c}}8&4&7 \2&6&4 \3&{10}&{11} end{array}!!right| = ldots = 182 ~~Rightarrow~~ {x_3} = frac{Delta_3}{Delta} = frac{182}{182} = 1.end{aligned}[/math]

Операции над векторами, скалярное,
векторное и смешанное произведения
векторов.

Вводная информация

Определение
геометрического вектора.

Определение.
Вектором
(геометрическим
вектором)
называется направленный прямолинейный
отрезок, т.е. отрезок, имеющий определенную
длину и определенное направление. Если

– начало вектора, а

– его конец, то вектор обозначается
символом

или
.
Вектор

()
называется противоположным
вектору
.

Длиной вектора
или его модулем
называется длина отрезка и обозначается
.
Вектор, длина которого равна нулю,
называется нулевым
вектором и
обозначается
.
Вектор, длина которого равна единице,
называется единичным
вектором.
Единичный вектор, направление которого
совпадает с направлением вектора
,
называется ортом
этого
вектора и обозначается
.

Векторы

и

называются коллинеарными,
если они
лежат на одной прямой или на параллельных
прямых. Для
коллинеарных векторов принято обозначение
.
Два вектора называются равными
(),
если они одинаково направлены и имеют
одинаковые длины. Три вектора в
пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или в
параллельных плоскостях.

Операции над
векторами.

На множестве
векторов вводится бинарная операция,
которая называется сложением
векторов. Эту операцию можно определить
либо правилом
параллелограмма (если
векторы

и
,
являются сторонами параллелограмма,
то их суммой будет вектор
,
где

– четвертая вершина параллелограмма),
либо правилом треугольника
(если
векторы
и

являются сторонами треугольника, то их
суммой называют вектор
).

Легко убедиться
в следующих свойствах этой бинарной
операции на множестве векторов:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
.

Следовательно,
относительно сложения множество векторов
образует абелеву группу.

Произведением
вектора

на число

называется вектор
,
который имеет длину

и направление вектора
,
если
;
направление противоположного вектора
к
,
если
.
Отметим, что
.

Произведение
вектора на число обладает свойствами:

1)
;

2)
;

3)
.

Множество
геометрических векторов
с
введенными на нем операциями называется
векторным
пространством.

Координаты
вектора.

Рассмотрим
пространство

с введенной на нем декартовой системой
координат. Пусть

и
–
три единичных вектора, исходящих из
начала координат в направлениях
соответственно декартовых осей

и
.
Эти векторы называются ортами
координатных осей.
Пусть вектор

имеет начало также в точке

(начале координат). Спроектируем конец
вектора

на координатные оси. Полученные проекции
можно записать в виде

и
,
где
и

– углы, которые образует вектор

соответственно с координатными осями

и
.
Числа

и

называются направляющими
косинусами вектора
.
Вектор

и его проекции на координатные оси
удовлетворяют равенству

.

Тройка векторов

называется базисом
векторного пространства
,
а написанное выше равенство – разложением
вектора

по базису
.
При этом числа

носят название координат
вектора

относительно базиса
.
Поскольку координаты вектора

относительно данного базиса являются
проекциями этого вектора на координатные
оси, длина вектора и его координаты
связаны формулой

.

Подставляя в эту
формулу координаты вектора, выраженные
через направляющие косинусы, легко
получить равенство

,

которому удовлетворяют
направляющие косинусы любого вектора.
Заметим, что направляющие косинусы
являются координатами орта вектора
.

Поскольку
координаты вектора

полностью его определяют, можно ввести
обозначение

и заменить введенные операции над
векторами операциями над их координатами.
Так сложение векторов

можно заменить сложением их координат:
,
т.е.
,

а умножение вектора
на число

– умножением координат на это число:

или
.

Равенство векторов

на координатном языке предполагает
равенство их координат
,
а коллинеарность

– пропорциональность их координат
.

Пусть имеются
две точки

и
.
Тогда вектор

можно записать в виде

или
.
В частности, для радиус-вектора
точки

имеем формулы

или
.

Скалярное
произведение векторов.

Скалярным
произведением векторов

и

называется число, равное
,
где

– угол между векторами. Это произведение
обозначают разными способами

.

Отметим свойства
введенного скалярного произведения.

1)

(симметричность);

2)

(линейность);

3)
,
причем

тогда и только тогда, когда
.

Векторное
пространство с таким скалярным
произведением называется евклидовым
пространством. В
этом пространстве можно ввести норму
(длину)
вектора правилом
.
Для евклидового пространства справедливы
следующие теоремы.

Для любых двух
векторов

и

евклидового пространства справедливо
неравенство
Коши-Буняковского

.

Для любых двух
векторов

и

евклидового пространства с нормой
вектора

справедливо неравенство
треугольника

.

Неравенство
Коши-Буняковского позволяет ввести
понятие угла между векторами в евклидовом
пространстве, для которого

.

Два вектора

и

называются ортогональными,
если
.
В евклидовом пространстве угол между
такими векторами равен
.
Попарно ортогональны орты координатных
осей
.
Поскольку длины этих векторов считаются
равными единице (например,
),
базис, состоящий из подобных векторов,
называется ортонормированным
базисом.
Учитывая единичную нормировку таких
базисных векторов и их попарную
ортогональность, легко показать, что

и

.

Пусть материальная
точка перемещается прямолинейно из
точки

в точку

под действием постоянной силы
,
образующей угол

с вектором
.

Работа этой силы
при перемещении точки на расстояние

равна произведению проекции этой силы
на направление перемещения на величину
перемещения:
.
Таким образом, скалярное произведение
векторов

и

равно работе силы

при перемещении точки на вектор
,
т.е.

.

Эта формула отражает
физическое приложение скалярного
произведения. Векторное
произведение векторов.

Рассмотрим два
вектора

и
.
Векторным
произведением этих
векторов называется вектор
,

1. равный по величине
   ,
   где
   
   – угол между векторами
   
   и
   ,

2. имеющий направление,
   определяемое правилом буравчика, ручка
   которого вращается от вектора
   
   к вектору
   
   (т.е. вектор
   
   перпендикулярен как вектору
   ,
   так и вектору).

Отметим основные
свойства векторного произведения.

1.

(антисимметричность).

2.

(линейность).

К геометрическим
свойствам векторного произведения
относят определение коллинеарности
векторов и нахождение площади
параллелограмма (треугольника).

1. Если векторное
произведение векторов

и

равно нулю, то эти векторы коллинеарны
(и наоборот).

2. Площадь
параллелограмма,
построенного на векторах

и
,
равна длине их векторного произведения:
,
а площадь соответствующего треугольника
– половине его длины:
.

В качестве
физических приложений можно привести:

1) момент
силы относительно точки
;

2) момент
импульса относительно точки
;

3) линейная
скорость вращения
.

Используя свойство
линейности векторного произведения и
учитывая, что
,
несложно получить формулу векторного
произведения через координаты векторов

.

Смешанное
произведение векторов.

Смешанным
произведением векторов
называют
произведение вида

,

т.е. смешанное
произведение векторов является числом
(скаляром).

Отметим основные
свойства смешанного произведения
векторов.

1. Смешанное
произведение векторов не меняется при
их циклической перестановке

.

2. Смешанное
произведение векторов не меняется при
перемене местами знаков векторного и
скалярного умножения

.

Последнее свойство
позволяет записывать смешанное
произведение в виде

(без знаков векторного и скалярного
произведений).

3. Смешанное
произведение меняет знак при перестановке
любых двух векторов, входящих в смешанное
произведение, например,
.

Используя
определение смешанного произведения
векторов, не составляет труда получить
формулу

,

позволяющую
вычислить это произведение через
координаты векторов.

Перечислим
основные геометрические приложения
смешанного произведение векторов.

1. Определение
   взаимной ориентации векторов в
   пространстве.

Если
,
то векторы

и

образуют правую тройку (буравчик
двигается в направлении вектора
,
если его ручка поворачивается от вектора

к вектору
).
Если же
,
то векторы

и

образуют левую тройку векторов.

1. Установление
   компланарности векторов.

Ненулевые векторы

и

компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение равно нулю:

=0.

1. Вычисление
   объема параллелепипеда.

Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах

и
,
равен модулю их смешанного произведения,
т.е.
.

1. Вычисление
   объема треугольной пирамиды.

Объем треугольной
пирамиды, построенной на векторах

и
,
равен
.

1. Вычисление
   объема треугольной призмы.

Объем треугольной
призмы, построенной на векторах

и
,
равен
.

Символ Кронекера
и символ Леви-Чивита.

При вычислении
различных произведений векторов удобно
использовать символы, сокращающие объем
вычислений. К таким символам относятся
символ Кронекера и символ Леви-Чивита.
Символ
Кронекера
обозначается


и определяется следующим образом

Так если ввести
новые обозначения для базисных векторов
,
то условие ортонормированности базиса
запишется в виде

.

Если к этому
переобозначить компоненты вектора
,
то разложение вектора по базису примет
вид

.

Можно и эту запись
упростить, если договорится, что по
повторяющимся индексам подразумевается
суммирование (если это не противоречит
сути формулы)

.

В новых обозначениях
скалярное произведение векторов
запишется в виде

.

Заметим, что в силу
своего определения символ Кронекера
«снимает» сумму, например,
.

Символ
Леви-Чивита
имеет три индекса и обозначается через
,
при этом полагается, по определению,
что
.
Этот символ является полностью
антисимметричным, т.е. при перестановке
местами любых двух индексов он меняет
знак, например,
.
Используя это свойство, можно найти
значения этого символа при любых
индексах, не равных друг другу ().
Условие антисимметричности символа
Леви-Чивита также приводит к результату:
если какие-либо два индекса равны у
этого символа, то он равен нулю, например,
.

С помощью символа
Леви-Чивита
-ая
координата векторного произведения
векторов

и

представима в виде

,

где, как говорилось
выше, по индексам

и

берется двойная сумма. Например,

,
т.е.
.

Смешанное
произведение векторов вычисляется по
формуле

.

Заметим, что
повторяющиеся индексы, по которым
проводится суммирование, называются
связанными
индексами, а индексы, по которым не
проводится суммирование, – свободными
индексами. В начале расчета и в его конце
свободные индексы должны совпадать.
При вычислениях полезны формулы

,

.

Если встречается
двойная сумма
,
где объект

симметричный по индексам
,
а объект

антисимметричный
,
то указанная выше сумма равна нулю.
Рассмотрим пример расчета с помощью
введенных символов.

Пример. Показать,
что
.

.

Замечание.
Определитель
третьего порядка также можно записать
через символ Леви-Чивита

.

ЗАДАЧИ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координат, основывается на использовании скалярного, векторного и смешанного произведений векторов.

Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно найти координаты двух векторов, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.

Пример 4.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: A(4;4;4), B(1; 2; 3), C(3; —1;2).

Для определения площади ΔABC с помощью (4.10) найдем координаты векторов AB и AC: AB = {1 — 4; 2 — 4; 3 — 4} = { — 3; —2; —1}, —1 = {3 — 4; —1 — 4; 2 — 4} = { — 1; —5; —2}.

Затем по (3.2) вычислим их векторное произведение:

Модуль этого векторного произведения равен |AB×AC| = √((—1)² + (—5)² + 13²) = √195, и следовательно, S ΔABC = |AB×AC|/2 = √195/2 #

Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов. Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды SABC (см. пример 3.2), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах AB, AC и AS. Таким образом, объем этой пирамиды равен VSABC = |ABACAS|/6.

Пример 4.3. Найдем объем V пирамиды SABC, заданной координатами своих вершин: A(2; —1;1), B(5; 5; 4), C(3; 2; —1), S(4;1;3).

Используя (4.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: AB = {5 — 2; 5 — (—1);4 — 1} = {3; 6; 3}, AC = {3 — 2; 2 — (—1); —1 — 1} = {1;3; —2},= AS {4 — 2;1 — (—1); 3 — 1} = {2;2;2}, и определяем объем с помощью смешанного произведения найденных векторов:

План урока:

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Вычисление объема тел вращения

Объем наклонной призмы

Объем пирамиды

Объем конуса

Объем шара

Шаровой сегмент

Площадь сферы

Вычисление объема тела с помощью интеграла

Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:

Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок [a; b]. Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х₀, х₁, х₂…, х_n, причем точке х₀ будет совпадать с точкой а, а точка х_n – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:

Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(x_i). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(x_i) и S(x_i+1) как V(x_i). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(x_i) может быть приближенно рассчитан так:

Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:

Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(x_i)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:

В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х₀ = a, а число х_n-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу х_n, то есть к b, то можно записать следующее:

Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.

Итак, для вычисления объема тела необходимо:

1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;

2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;

3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;

4) выполнить интегрирование.

Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.

Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.

Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:

Вычисление объема тел вращения

Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.

Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:

Рассмотрим, как на практике используется эта формула.

Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы

вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?

Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:

Объем наклонной призмы

Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.

Пусть есть треугольная призма АВСА₂В₂С₂. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А₂В₂С₂ в некоторой точке О₂. Тогда отрезок ОО₂ будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.

Обозначим длину высоты ОО₂ буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А₁В₁С₁ призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО₂ и А₁В₁С₁⊥ОО₂, то АВС||А₁В₁С₁. Прямые АВ и А₁В₁ принадлежат одной грани АВВ₂А₁, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А₁С₁ и ВС||В₁С₁. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ₁А₁. АВ||A₁В₁ и АА₁||ВВ₁. Тогда АВВ₁А₁ по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А₁В₁ одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А₁С₁, а также ВС и В₁С₁. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А₁В₁С₁.

Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:

Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S₁, S₂, S₃, …

Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:

Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.

Решение. Пусть в основании призмы АВСА₁В₁С₁ лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:

Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В₁ перпендикуляр В₁О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ₁ ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ₁, найдем высоту ОВ₁:

Объем пирамиды

Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.

Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.

Далее построим сечение А₁В₁С₁, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ₁. Тогда ОМ₁ – это координата х, характеризующая расположение сечения А₁В₁С₁.

Осталось составить выражение для площади ∆А₁В₁С₁. Так как АВ||A₁B₁, то ∠АВО и ∠А₁В₁О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А₁В₁О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что

Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ₁В₁. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому

Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:

Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S₁, S₂, S₃…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.

Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:

Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.

Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:

Задание. В кубе АВСDA₁В₁С₁D₁ отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С₁EFC меньше объема куба?

Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:

Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?

Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.

Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.

Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А₁В₁С₁, параллельное основанию.

Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S₂, а площадь верхнего основания – как S₁. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ₁) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А₁В₁С₁ – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ₁. Тогда можно записать:

Далее используем основное свойство пропорции:

Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:

Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.

Сначала вычислим площади оснований:

Объем конуса

Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Совместим начало координат с вершиной конуса и направим ось Ох в сторону основания конуса. Тогда она пересечет основание в какой-то точке М c координатой h. Далее через точку М₁ на оси Ох, имеющей координату х, проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Это сечение будет окружностью.

Также построим образующую ОА, которая будет проходить через сечение в точке А₁. Теперь сравним ∆ОАМ и ∆ОА₁М₁. Они прямоугольные, и у них есть общий угол ∠АОМ. Это значит, что они подобны, и поэтому справедливо отношение:

Полученную формулу можно переписать в другом виде так, чтобы она содержала площадь основания, причем она будет похожа на аналогичную формулу для пирамиды:

Задание. Радиус конуса – 8 см, а его высота составляет 12 см. Определите его объем.

Решение. Здесь надо просто применить выведенную формулу:

Задание. В сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, вода доходит до уровня, соответствующего 2/3 высоты сосуда. При этом ее объем составляет 192 мл. Каков объем всего сосуда?

Решение. В задаче фигурируют два конуса. Один из них – это сам сосуд, а второй – его часть, заполненная водой. При выведении формулы объема мы уже выяснили, что радиусы таких конусов пропорциональны их высотам:

Мы уже заметили, что формулы для объема пирамида и конуса идентичны. По сути, конус можно рассматривать как особый случай пирамиды, у которой в основании лежит не многоугольник, а окружность. Аналогично и усеченный конус можно считать особым случаем усеченной пирамиды, а поэтому для расчета его объема можно применять такую же формулу:

Задание. Вычислите объем усеченного конуса с высотой 9 и радиусами оснований 7 и 4.

Решение. Сначала находим площади оснований:

Объем шара

Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу

Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.

Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:

Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:

В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:

Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.

Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:

Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?

Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:

Шаровой сегмент

Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:

Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.

Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:

Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.

Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.

Решение. Используем выведенную формулу:

Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?

Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:

Площадь сферы

В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:

Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.

Обозначим площади граней многогранника как S₁, S₂, S₃,…S_n. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:

Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S₁, S₂, S₃,…S_n – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:

Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:

Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?

Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:

Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:

Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.

Ответ: шар.

Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.

Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.