Содержание:
Исследование. Соберите не менее 4 призм различных размеров из кубиков и изобразите полученные призмы.
- Предположим, что ребро каждого кубика, из которых состоит призма, равна 1 единице, площадь грани равна 1 квадратной единице, а объём равен 1 кубической единице.
- Данные для каждой призмы запишите в таблицу.
- Какая связь существует между площадью основания призмы и высотой?
- Вытащите один кубик из угла конструкции и изобразите вид впереди, сверху и сбоку каждого кубоида.
Если тело можно разделить на конченое число треугольных пирамид, то оно называется простым телом. Для простых тел объём – положительная величина, численное значение которой удовлетворяет следующим свойствам.
- Объёмы конгруэнтных тел равны.
- Объём куба, ребро которого равно единице, равен кубической единице.
- Если тело можно разделить на простые части, то его объём равен сумме объёмов полученных частей.
Тела, имеющие одинаковые объёмы называются равновеликими. Объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого являются натуральными числами, равен
количеству кубических единиц, из которых он состоит. Можно также показать, что объём прямоугольного параллелепипеда, размеры которого заданы любыми действительными числами равен произведению трёх измерений: . Формулу объёма можно записать как произведение площади основания и высоты с. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания и высоты:
Следствие: Объём куба с ребром а равен:
Объём любой прямой призмы равен произведению площади основания и высоты. Справедливость данного утверждения проверим на прямой призме, в основании которой лежит прямоугольный треугольник.
Достроим основание призмы до прямоугольника, получим призму, достроенную до прямоугольного параллелепипеда. Объём полученной призмы равен .
Плоскость , проходящая через диагональ параллелепипеда делит призму на две конгруэнтные треугольные призмы. Значит, объём прямой призмы, в основании которой лежит прямоугольный треугольник будет:
В треугольнике ABC, являющимся основанием прямой призмы, проведём высоту так, чтобы она пересекала противоположную сторону во внутренней области: . Плоскость, проходящая через ребро АА’ перпендикулярно ребру ВС имеет одинаковую высоту с призмой, и делит её на две призмы, в основании которых лежат прямоугольные треугольники. Объём заданной призмы равен сумме объёмов полученных призм. Значит, объём прямой призмы с произвольным треугольником в основании равен произведению площади основания и высоты.
Если основанием прямой призмы является произвольный многоугольник, то её также можно разделить на треугольные призмы и найти её объём как сумму объёмов данных призм. Наклонную призму АВСА’В’С’ преобразуем в прямую призму равного объёма. Для этого:
- проведём плоскость перпендикулярную боковым рёбрам;
- отделим оставшуюся при сечении верхнюю часть призмы;
- переместим и соединим её с оставшейся внизу частью;
- высота полученной прямой призмы является боковым ребром наклонной призмы, т.е. , основание же является перпендикулярным сечением наклонной призмы. Объём данной прямой призмы является также объёмом наклонной призмы.
Следствие. Объём наклонной призмы равен произведению перпендикулярного сечения и ребра призмы: . Угол между перпендикулярным сечением и основанием равен углу между боковым ребром и высотой призмы.
Поэтому, .
Таким образом объём призмы равен произведению площади основания и высоты.
Принцип Кавальери для нахождении объёмов
Если площади сечений параллельных основаниям двух тел равны, то равны и их объёмы, при условии, что основания лежат в одной плоскости, а высоты равны. Этот принцип открыл итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598 – 1647).
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания и высоты.
Пример №1
Найдём объём правильной пятиугольной призмы, стороны основания которой равны 4 см, а длина бокового ребра 9 см. Центральный угол правильного пятиугольника равен 360 : 5 = 72° значит апофема равна:
Площадь правильного многоугольника равна полупроизведению периметра и апофемы.
Исследование. 1. Диагонали куба деляг его на 6 конгруэнтных пирамид. Основание каждой пирамиды – грань куба, а высота
каждой пирамиды равна
а)Докажите, что объём каждой пирамиды равен
б)Докажите, что объём каждой пирамиды равен
Объём пирамиды
Объем пирамиды равен одной третьей произведения площади основанию на высоту.
Пусть, ТАВС – треугольная пирамида с вершиной Т и основанием ABC. Достроим эту пирамиду до треугольной призмы. Полученная призма состоит из трёх пирамид:
1)заданной пирамиды ТАВС;
2)пирамиды TCNM;
3)пирамиды ТМВС.
Основания 2-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины Т общая. Поэтому их объёмы равны. Основания 1-ой и 3-ей пирамид конгруэнтны: и высота, проведённая из вершины С общая. Поэтому и их объёмы равны. Тогда объём заданной пирамиды равен . Основание любой пирамиды всегда можно разделить на треугольники и найти объём пирамиды суммировав объёмы всех полученных пирамид. Таким образом, объём любой пирамиды равен одной третьей произведения площади основания на высоту: .
Подобие фигур в пространстве
Подобные фигуры имеют одинаковую форму и пропорциональные размеры.
Например, прямоугольные треугольники на рисунке подобны, так как отношения соответствующих сторон равны.
Прямоугольные параллелепипеды на рисунке подобны, так как отношения соответствующих линейных размеров равны и соответствующие грани являются подобными четырёхугольниками. Правильные многогранники подобны. В частном случае подобными являются все кубы, правильные тетраэдры и т.д.
Подобные фигуры
Если при преобразовании расстояние между любыми двумя точками, меняется в одинаковое число раз, то такое преобразование называется подобием. Одна и другая, полученная при преобразовании подобием, фигура называются подобными фигурами. Коэффициент подобия равен отношению расстояний между парой любых двух соответсвующих точек.
Пример №2
Определим подобны или нет фигуры на рисунке.
Площади поверхностей и объёмы подобных фигур
Исследование. Покажите подобны или нет следующие фигуры.
Призмы А и В (прямоугольные параллелепипеды) подобные призмы
с коэффициентом подобия равным .
Для данных призм найдите:
а)отношение площадей полных поверхностей;
б)отношение объёмов.
а)площадь полной поверхности призмы А
площадь полной поверхности призмы В
Отношение полной поверхности призмы А к полной поверхности призмы В
б)объём призмы А
объём призмы В
Отношение объёма призмы А к объёму призмы В
Если коэффициент подобия двух пространственных фигур равен , то отношение площадей (боковых, полных, оснований) равно , а отношение объемов равно Коэффициент подобия:
Пирамида, полученная сечением плоскости параллельной основанию, подобна данной. Коэффициент подобия можно найти из отношения соответствующих линейных размеров.
Например, на рисунке даны высоты. Тогда, отношения их боковых поверхностей, основании и полных поверхностей равно квадрату отношения высот.
Объём усечённой пирамиды
Исследование. В древнем Египте объём правильной усечённой четырёхугольной пирамиды вычисляли по формуле . Однако доподлинно не известно каким образом эта формула была получена. Выведите формулу, выполнив следующие шаги:
Объём усечённой пирамиды можно также найти как разность объёмов пирамид, при сечении плоскостью параллельной основанию.
Здесь V – объём усечённой пирамиды, S2 и S1 площади нижнего и верхнего оснований. h – высота усечённой пирамиды, h1 – высота меньшей пирамиды.
Так как эти пирамиды подобны, то отношение площадей равно квадрату отношений высот. Запишем это равенство и найдём высоту меньшей пирамиды.
Учитывая выражение
в равенстве
получим:
Объём усечённой призмы
Объём усечённой пирамиды с площадями оснований и , и высотой вычисляется по формуле
Задачи на сечение плоскостью
Пример:
На рисунке показано сечение куба, с ребром а, плоскостью АВDО. Точки D и С являются серединами рёбер. Найдём площадь сечения.
Решение:
Дано: куб, длина ребра которого равна а точки D и С середины рёбер.
Найдите:
Для удобства повернём куб и отметим данные задачи на рисунке. Из по теореме Пифагора:
Ответ:
Симметрия в пространстве
В пространственных фигурах также можно наблюдать различную симметрию. Известно, что в параллелепипеде диагональные сечения являются параллелограммами и диагонали ВD1 и DВ1 пересекаясь в точке О делятся пополам.
Можно показать, что другие диагонали также пересекаются в точке О и делятся пополам. Значит, точка пересечения диагоналей параллелепипеда является центром его симметрии.
В пространстве, помимо симметрии относительно точки и прямой, рассматривается симметрия относительно плоскости.
Если отрезок АА’ пересекает плоскость а посередине, и перпендикулярен плоскости, то говорят, что точки А и А’ симметричны относительно плоскости а.
Если точки фигуры, симметричные некоторой плоскости, также принадлежат этой фигуре,то эту плоскость называют плоскостью симметрии, а фигуру называют симметричной относительно плоскости.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все линейные размеры разные, кроме центра симметрии имеет ещё три оси и три плоскости симметрии. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей противоположных граней, называется осью симметрии,а плоскость, проходящая перпендикулярно через середину рёбер называется плоскостью симметрии. Параллелепипед, у которого два линейных размера равны, имеет 5 плоскостей симметрии. Данные изображения нарисуйте в тетрадь.
Точка пересечения диагоналей куба является его центром симметрии. Прямые, проходящие через середину параллельных рёбер, не принадлежащих одной грани (их всего 6) и прямые, проходящие через центры противоположных граней(их всего три), являются осями симметрии куба. У куба 9 плоскостей симметрии. Они изображены на следующих рисунках.
Вращательная симметрии
Вращательная симметрия пространственных фигур похожа на вращательную симметрию плоских фигур. Однако, для объёмных фигур она определяется при помощи оси вращения.
Вращательная и осевая симметрия широко применяется при изучении строения молекул веществ.
Пример №3
На рисунке показан вид сверху деталей, в виде правильных треугольных призм. Из них сконструирована правильная шестиугольная призма с центром основания О. Сколько деталей понадобилось для этого?
Основанием призмы является правильный шестиугольник, состоящий их 6 конгруэнтных треугольников. Каждый треугольник заполнен призмами. По изображению видно, что в один треугольник помещено 1+3 + 5 + 7 + 9 = 25 призм . Для правильной шестиугольной призмы таких призм нужно будет 6 • 25 = 150.
- Объёмы поверхностей геометрических тел
- Фигуры вращения: цилиндр, конус, шар
- Объем фигур вращения
- Длина дуги кривой
- Площадь многоугольника
- Правильные многоугольники
- Вписанные и описанные многоугольники
- Площадь прямоугольника
Формулы объема геометрических фигур
Объем геометрической фигуры
– количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела или вместимость сосуда определяется его формой и линейными размерами.
Объем куба
Объем куба равен кубу длины его грани.
Формула объема куба:
V = a3
где V – объем куба,
a – длина грани куба.
Объем призмы
Объем призмы равен произведению площади основания призмы, на высоту.
Формула объема призмы:
V = So h
где V – объем призмы,
So – площадь основания призмы,
h – высота призмы.
Объем параллелепипеда
Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.
Формула объема параллелепипеда:
V = So · h
где V – объем параллелепипеда,
So – площадь основания,
h – длина высоты.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда:
V = a · b · h
где V – объем прямоугольного параллелепипеда,
a – длина,
b – ширина,
h – высота.
Объем пирамиды
Объем пирамиды равен трети от произведения площади ее основания на высоту.
Формула объема пирамиды:
где V – объем пирамиды,
So – площадь основания пирамиды,
h – длина высоты пирамиды.
Объем правильного тетраэдра
Формула объема правильного тетраэдра:
где V – объем правильного тетраэдра,
a – длина ребра правильного тетраэдра.
Объем цилиндра
Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема цилиндра:
V = π R2 h
V = So h
где V – объем цилиндра,
So – площадь основания цилиндра,
R – радиус цилиндра,
h – высота цилиндра,
π = 3.141592.
Объем конуса
Объем конуса равен трети от произведению площади его основания на высоту.
Формулы объема конуса:
где V – объем конуса,
So – площадь основания конуса,
R – радиус основания конуса,
h – высота конуса,
π = 3.141592.
Объем шара
Объем шара равен четырем третьим от его радиуса в кубе помноженного на число пи.
Формула объема шара:
где V – объем шара,
R – радиус шара,
π = 3.141592.
a – сторона куба
Формула объема куба, (V):
a, b, c – стороны параллелепипеда
Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.
Формула объема параллелепипеда, (V):
R – радиус шара
π ≈ 3.14
По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):
h – высота цилиндра
r – радиус основания
π ≈ 3.14
По формуле найти объема цилиндра, есди известны – его радиус основания и высота, (V):
R – радиус основания
H – высота конуса
π ≈ 3.14
Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):
r – радиус верхнего основания
R – радиус нижнего основания
h – высота конуса
π ≈ 3.14
Формула объема усеченного конуса, если известны – радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса (V ):
Правильный тетраэдр – пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.
а – ребро тетраэдра
Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.
a – сторона основания
h – высота пирамиды
Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):
Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.
a – сторона основания
h – высота пирамиды
Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны – высота и сторона основания (V):
Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.
h – высота пирамиды
a – сторона основания пирамиды
n – количество сторон многоугольника в основании
Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):
h – высота пирамиды
S – площадь основания ABCDE
Формула для вычисления объема пирамиды, если даны – высота и площадь основания (V):
h – высота пирамиды
Sниж – площадь нижнего основания, ABCDE
Sверх – площадь верхнего основания, abcde
Формула объема усеченной пирамиды, (V):
Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.
R – радиус шара
h – высота сегмента
π ≈ 3.14
Формула для расчета объема шарового сегмента, (V):
R – радиус шара
h – высота сегмента
π ≈ 3.14
Формула объема шарового сектора, (V):
h – высота шарового слоя
R – радиус нижнего основания
r – радиус верхнего основания
π ≈ 3.14
Формула объема шарового слоя, (V):
План урока:
Вычисление объема тела с помощью интеграла
Вычисление объема тел вращения
Объем наклонной призмы
Объем пирамиды
Объем конуса
Объем шара
Шаровой сегмент
Площадь сферы
Вычисление объема тела с помощью интеграла
Пусть у нас есть произвольная фигура, расположенная между двумя параллельными плоскостями:
Как найти ее объем? Поступим следующим образом. Проведем прямую, перпендикулярную этим плоскостям. Эта прямая будет осью координат х. Пусть одна из плоскостей пересекает эту ось в точке а, а другая – в точке b. Таким образом, на координатной прямой появляется отрезок [a; b]. Далее разобьем этот отрезок на n равных отрезков, длина каждого из них будет равна величина ∆х. Обозначим концы этих отрезков как х0, х1, х2…, хn, причем точке х0 будет совпадать с точкой а, а точка хn – с точкой b. Ниже показано такое построение для n = 10:
Далее через полученные точки проведем сечения, параллельные двум плоскостям, ограничивающим фигуру. Площадь сечения, проходящую через точку с номером i, обозначим как S(xi). Эти плоскости рассекут тело на n других тел. Обозначим объем тела, заключенного между сечениями с площадями S(xi) и S(xi+1) как V(xi). Можно приближенно считать, что эти тела имеют форму прямых цилиндров (напомним, что в общем случае цилиндром необязательно считается фигура, основанием которой является круг, основание может иметь и любую другую форму). Высота всех этих цилиндров будет равна величине ∆х. Тогда объем V(xi) может быть приближенно рассчитан так:
Общий же объем исследуемой фигуры будет суммой объемов этих прямых цилиндров:
Здесь знак ∑ означает сумму i слагаемых, каждое из которых равно величине S(xi)•∆х. Ясно, что чем больше мы возьмем число n, тем точнее будет полученная нами формула. Поэтому будет увеличивать число n до бесконечности, тогда приближенная формула станет точной:
В правой части стоит предел суммы бесконечного числа слагаемых. Мы уже сталкивались с такими пределами, когда изучали определенный интеграл в курсе алгебры. Так как х0 = a, а число хn-1 при бесконечном увеличении n приближается к числу хn, то есть к b, то можно записать следующее:
Здесь S(x) – это некоторая функция, которая устанавливает зависимость между площадью сечения объемной фигуры и координатой х, указывающей расположение этого сечения. Данная формула позволяет вычислять объем с помощью интеграла.
Итак, для вычисления объема тела необходимо:
1) выбрать в пространстве какую-то удобную ось координат Ох;
2) найти площадь произвольного сечения фигуры, проходящей перпендикулярно оси Ох через некоторую координату х;
3) найти значение чисел а и b – координат сечений, ограничивающих тело в пространстве;
4) выполнить интегрирование.
Понятно, что сразу понять, как используется эта формула, тяжело. Поэтому рассмотрим простой пример.
Задание. Фигура расположена в пространстве между двумя плоскостями, перпендикулярными оси Ох, причем координаты этих сечений равны 1 и 2. Каждое сечение фигуры с координатой х является квадратом, причем его сторона равна величине 1/х. Найдите объем тела.
Решение. В данной задаче ось Ох уже проведена. Известны и числа а и b – это 1 и 2, ведь именно плоскости, проходящие через точки х =1 и х = 2, ограничивают исследуемое тело. Теперь найдем площадь произвольного сечения с координатой х. Так как оно является квадратом со стороной 1/х, то его площадь будет квадратом этой стороны:
Вычисление объема тел вращения
Телом вращения называют тело, которое может быть получено вращением какой-то плоской фигуры относительно некоторой оси вращения. Например, цилиндр получают вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон, а усеченный конус – вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.
В задачах на вычисление объемов таких тел ось координат Ох уже задана естественным образом – это ось вращения тела. Ясно, что каждое сечение тела, перпендикулярное оси вращения, будет являться кругом.
Рассмотрим случай, когда вокруг оси Ох поворачивают график некоторой функции у = f(x), ограниченный прямыми х = а и у = b. Тогда получится тело, сечениями которого являются круги, причем их радиусы будут равны величине f(x). Напомним, что площадь круга вычисляют по формуле:
Рассмотрим, как на практике используется эта формула.
Задание. Объемное тело получено вращением ветви параболы
вокруг оси Ох. Оно ограничено плоскостями х = 0 и х = 4. Каков объем такой фигуры?
Решение. Здесь пределами интегрирования, то есть числами а и b, будут 0 и 4. Используем формулу для тела вращения:
Объем наклонной призмы
Теперь, используя методы интегрирования, мы можем составить формулы для вычисления объема некоторых фигур. Начнем с треугольной наклонной призмы.
Пусть есть треугольная призма АВСА2В2С2. Проведем ось Ох так, чтобы точка О располагалась в плоскости АВС. Пусть Ох пересечет плоскость А2В2С2 в некоторой точке О2. Тогда отрезок ОО2 будет высотой призмы, ведь он окажется перпендикулярным к обоим основаниям.
Обозначим длину высоты ОО2 буквой h. Далее докажем, что всякое сечение А1В1С1 призмы, перпендикулярное оси Ох, будет равно ∆АВС. Действительно, если АВС⊥ОО2 и А1В1С1⊥ОО2, то АВС||А1В1С1. Прямые АВ и А1В1 принадлежат одной грани АВВ2А1, но не пересекаются, ведь они находятся в параллельных плоскостях. Аналогично АС||А1С1 и ВС||В1С1. Теперь посмотрим на четырехугольник АВВ1А1. АВ||A1В1 и АА1||ВВ1. Тогда АВВ1А1 по определению является параллелограммом. Это означает, что отрезки АВ и А1В1 одинаковы. Аналогично доказывается, что одинаковы отрезки АС и А1С1, а также ВС и В1С1. Но тогда одинаковы и ∆АВС и ∆А1В1С1.
Итак, площади всех сечений одинаковы и равны площади основания призмы. Обозначим ее как S. Так как S не зависит от координаты, то интегрирование будет выглядеть так:
Итак, объем треугольной наклонной призмы – это произведение площади ее основания на высоту. Теперь рассмотрим произвольную призму, в чьем основании находится n-угольник. Такой n-угольник можно разбить на треугольные призмы с общей высотой h и площадями оснований S1, S2, S3, …
Тогда площадь S основания всей призмы будет суммой этих чисел:
Задание. Основание призмы – это треугольник со сторонами 10, 10 и 12. Боковое ребро имеет длину 8 и образует с основанием угол в 60°. Вычислите объем призмы.
Решение. Пусть в основании призмы АВСА1В1С1 лежит ∆АВС со сторонами АВ = 12 и АС = ВС = 10. Его площадь можно найти разными способами, но быстрее всего применить формулу Герона. Сначала найдем полупериметр ∆АВС:
Далее надо найти высоту призмы. Опустим из точки В1 перпендикуляр В1О на плоскость АВС. Тогда в прямоугольном ∆ОВВ1 ∠В = 60° (по условию задачи и по определению угла между плоскостью и прямой). Зная длину бокового ребра ВВ1, найдем высоту ОВ1:
Объем пирамиды
Для начала рассмотрим треугольную пирамиду. Вершину пирамиды примем за начало координат точку О, а ось Ох проведем перпендикулярно основанию, причем ось будет направлена от вершины пирамиды к основанию.
Пусть ось Ох пересечет основание АВС в точке М. Тогда ОМ – это высота, чью длину мы обозначим как h.
Далее построим сечение А1В1С1, параллельное АВС. Это сечение пересечется с ОМ в точке ОМ1. Тогда ОМ1 – это координата х, характеризующая расположение сечения А1В1С1.
Осталось составить выражение для площади ∆А1В1С1. Так как АВ||A1B1, то ∠АВО и ∠А1В1О одинаковы как соответственные углы. Тогда у ∆АВО и ∆А1В1О есть два равных угла (ведь ∠АОВ у них общий), а потому эти треугольники подобны по первому признаку подобия. Это означает, что
Надо как-то найти значение коэффициента k, который, очевидно, как-то зависит от переменной х. Рассмотрим теперь ∆ОМВ и ∆ОМ1В1. Они прямоугольные, ведь ОМ перпендикулярен плоскостям этих треугольников. Также у них есть общий угол ∠ОВМ. Значит, они подобны, и поэтому
Итак, если пирамида имеет высоту h и площадь основания S, то объем пирамиды равен:
Выведенная нами формула справедлива для треугольной пирамиды. Однако если в основании пирамиды лежит произвольный многоугольник, то, разбив этот многоугольник на треугольники, мы разобьем и пирамиду на несколько треугольных пирамид. У них будет общая высота h и площади оснований S1, S2, S3…, которые в сумме составляют площадь многоугольника S.
Объем треугольных пирамид рассчитывается по выведенной нами формуле:
Задание. В основании пирамиды высотой 15 лежит квадрат со стороной 4. Вычислите ее объем.
Решение. Сначала находим площадь основания. Для этого надо сторону квадрата умножить саму на себя:
Задание. В кубе АВСDA1В1С1D1 отмечены точки Е и F – середины ребер ВС и CD соответственно. Во сколько раз объем пирамиды С1EFC меньше объема куба?
Решение. Обозначим длину ребра куба буквой а. Тогда его объем рассчитывается так:
Задание. Отрезок MN перпендикулярен плоскости пятиугольника АВСDE. Точка K, принадлежащая этой плоскости, делит отрезок MN в отношении 2:1. Во сколько раз объем пирамиды MABCDE больше объема пирамиды NABCDE?
Решение. Запишем формулы для объемов этих пирамид. При этом учтем, что MK – высота для MABCDE, а NK – это высота для NABCDE.
Далее рассмотрим такую фигуру, как усеченная пирамида. Ясно, что ее объем можно вычислить, если из объема исходной пирамиды вычесть объем отсеченной верхушки.
Снова рассмотрим пирамиду ОАВС, через которую проведено сечение А1В1С1, параллельное основанию.
Обозначим площадь нижнего основания пирамиды как S2, а площадь верхнего основания – как S1. Далее высоту усеченной пирамиды (отрезок ММ1) обозначим как h. Мы уже выяснили ранее, что основания АВС и А1В1С1 – это подобные треугольники, причем коэффициент их подобия k равен отношению высот ОМ и ОМ1. Тогда можно записать:
Далее используем основное свойство пропорции:
Далее числитель дроби мы раскладываем на множители, используя формулу разности кубов:
Задание. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты со сторонами 9 см и 5 см, а высота пирамиды составляет 6 см. Найдите ее объем.
Сначала вычислим площади оснований:
Объем конуса
Рассмотрим конус с высотой h и радиусом основания R. Совместим начало координат с вершиной конуса и направим ось Ох в сторону основания конуса. Тогда она пересечет основание в какой-то точке М c координатой h. Далее через точку М1 на оси Ох, имеющей координату х, проведем сечение, перпендикулярное оси Ох. Это сечение будет окружностью.
Также построим образующую ОА, которая будет проходить через сечение в точке А1. Теперь сравним ∆ОАМ и ∆ОА1М1. Они прямоугольные, и у них есть общий угол ∠АОМ. Это значит, что они подобны, и поэтому справедливо отношение:
Полученную формулу можно переписать в другом виде так, чтобы она содержала площадь основания, причем она будет похожа на аналогичную формулу для пирамиды:
Задание. Радиус конуса – 8 см, а его высота составляет 12 см. Определите его объем.
Решение. Здесь надо просто применить выведенную формулу:
Задание. В сосуде, имеющем форму перевернутого конуса, вода доходит до уровня, соответствующего 2/3 высоты сосуда. При этом ее объем составляет 192 мл. Каков объем всего сосуда?
Решение. В задаче фигурируют два конуса. Один из них – это сам сосуд, а второй – его часть, заполненная водой. При выведении формулы объема мы уже выяснили, что радиусы таких конусов пропорциональны их высотам:
Мы уже заметили, что формулы для объема пирамида и конуса идентичны. По сути, конус можно рассматривать как особый случай пирамиды, у которой в основании лежит не многоугольник, а окружность. Аналогично и усеченный конус можно считать особым случаем усеченной пирамиды, а поэтому для расчета его объема можно применять такую же формулу:
Задание. Вычислите объем усеченного конуса с высотой 9 и радиусами оснований 7 и 4.
Решение. Сначала находим площади оснований:
Объем шара
Пришло время разобраться и с таким телом, как шар. Здесь можно использовать тот же метод интегрирования, что и в случае с конусом и пирамидой. Но можно поступить и иначе – использовать выведенную нами для тел вращения формулу
Шар как раз является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг диаметра, на который эта дуга опирается.
Напомним известное нам уравнение окружности, чей центр совпадает с началом координат:
Здесь надо уточнить, что если у получившейся функции впереди записан знак «+», то ее график соответствует полуокружности, находящейся над осью Ох. Если же используется знак «–», то получается уже нижняя полуокружность, расположенная под осью Ох:
В принципе мы можем поворачивать любую из этих полуокружностей вокруг Ох, но мы выберем верхнюю полуокружность. Заметим, что эта дуга начинается в точке х = – R и заканчивается в точке х = R, эти числа будут пределами интегрирования. Тогда объем шара равен:
Задание. Найдите объем шара с радиусом 6.
Решение. Подставляем радиус из условия в формулу:
Задание. В цилиндр вписан шар. Во сколько раз объем цилиндра больше объема такого шара?
Решение. Ясно, что так как шар вписан в цилиндр, то радиусы этих тел одинаковы. Обозначим этот радиус как R. Также ясно, что раз шар касается оснований цилиндра, то расстояние между ними (то есть высота цилиндра) равно двум радиусам шара:
Шаровой сегмент
Когда плоскость проходит через шар, она рассекает его на две фигуры, которые именуются шаровым сегментом. Если из центра шара О провести радиус ОА длиной R в направлении плоскости сечения, который перпендикулярен этой плоскости, то он пересечет ее какой-то точке В. Длину отрезка АВ называют высотой шарового сегмента и обозначают буквой h:
Ясно, что при этом отрезок ОВ – это расстояние от секущей плоскости (или от основания сегмента) до центра шара, причем этот отрезок имеет длину R –h.
Можно считать, что шаровой сегмент, как и шар, получается при вращении дуги окружности вокруг оси Ох. Однако если сам шар при этом ограничен плоскостями x = R и х = – R, то сегмент ограничен другими плоскостями: х = R и х = R – h. Это значит, что его объем можно вычислить с помощью интеграла также, как и объем шара, отличаться будет лишь нижний предел интегрирования:
Заметим, что шар можно рассматривать как шаровой сегмент, чья высота вдвое больше его радиуса. И действительно, если в выведенную формулу мы подставим значение h = 2R, то получим уже известную нам формулу объема шара.
Задание. Найдите объем шарового сегмента высотой 6, если он отсечен от шара радиусом 15.
Решение. Используем выведенную формулу:
Задание. Диаметр шара разделили на три равных отрезка. Через концы этих отрезков провели секущие плоскости, перпендикулярные диаметру. Чему равен объем тела, заключенного между этими двумя плоскостями (оно называется шаровым слоем), если радиус шара обозначен буквой R?
Решение. Ясно, что для вычисления объема шарового слоя достаточно вычесть из объема шара объемы двух шаровых сегментов, образующихся при проведении секущих плоскостей. Так как они разделили диаметр на три одинаковых отрезка, то высота этих сегментов будет в три раза меньше диаметра шара:
Площадь сферы
В предыдущих уроках мы уже узнали формулу для вычисления площади сферы, однако тогда мы ее не доказывали. Однако теперь мы можем ее доказать, используя формулу объема шара. Но сначала напомним саму формулу:
Впишем сферу в многогранник с n гранями. Ясно, что расстояние от граней этого многогранника до центра сферы равно радиусы сферы R. Далее построим пирамиды, чьи вершины находятся в центре сферы, а основания – это грани многогранника. Заметим, что такие пирамиды будут иметь одинаковые высоты длиной R.
Обозначим площади граней многогранника как S1, S2, S3,…Sn. Тогда объемы пирамид, построенных на этих гранях, вычисляются так:
Заметим, что в сумме эти объемы дают объем всего многогранника, а сумма площадей S1, S2, S3,…Sn – это площадь всей его поверхности. Тогда можно записать:
Теперь начнем неограниченно уменьшать размеры граней многогранника. Тогда число n будет расти, объем многогранника будет приближаться к объему шара, а площадь многогранника – к площади к сфере. Тогда и доказанное равенство можно будет записать так:
Задание. Необходимо изготовить закрытый сосуд с заранее заданным объемом V. Предлагается два варианта формы этого сосуда – шар и куб. Так как поверхность сосуда покрывается очень дорогой краской, то необходимо выбрать вариант с меньшей площадью поверхности. Какую форму для сосуда следует выбрать?
Решение. Обозначим радиус шара как R, а ребро куба как а. Тогда можно записать:
Теперь надо выяснить, какое из полученных значений больше. Для этого поделим площадь куба на площадь сферы. Если получится число, большее единицы, то площадь куба больше:
Получившееся число больше единицы, ведь 6 больше числа π, равного 3,1415926… Значит, и площадь куба больше, а потому необходимо выбрать сосуд, имеющий форму шара.
Ответ: шар.
Примечание. Более сложными математическими методами можно доказать, что если второй сосуд имеет не форму куба, а вообще любую форму, отличную от шара, то всё равно следует выбирать именно сосуд в форме шара. То есть из всех поверхностей, ограничивающих определенный объем, именно сфера имеет наименьшую площадь. Этот факт имеет и физическое следствие – капли дождя и мыльные пузыри стремятся принять форму шара, также как и любые жидкости, находящиеся в невесомости.
Итак, мы научились вычислять объемы таких тел, как конус, пирамида, шар, призма. Также помощью интегрирования можно находить объемы и ещё более сложных тел, если мы можем составить функцию, описывающую площадь их сечения.
8. Геометрия в пространстве (стереометрия)
1. Вспоминай формулы по каждой теме
2. Решай новые задачи каждый день
3. Вдумчиво разбирай решения
Вычисление объемов фигур
Задание
1
#3043
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Радиус первого шара в (5) раз больше радиуса второго шара. Во сколько раз площадь поверхности второго шара меньше площади поверхности первого шара?
Площадь поверхности шара радиуса (R) ищется по формуле (S=4pi R^2). Следовательно, площадь поверхности первого шара относится к площади поверхности второго шара как [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{4pi , R_1^2}{4pi , R_2^2}] Так как радиус первого шара больше радиуса второго шара в 5 раз, то (R_1=5R_2). Следовательно, [dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{(5R_2)^2}{R_2^2}=25.] Следовательно, площадь поверхности первого шара в 25 раз больше площади поверхности второго, значит, площадь поверхности второго в 25 раз меньше.
Ответ: 25
Задание
2
#3046
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Даны два конуса. Радиус второго конуса в (3) раза больше радиуса первого конуса, а высота второго конуса в (6) раз меньше высоты первого конуса. Найдите объем первого конуса, если объем второго конуса равен (18).
Объем конуса с высотой (h) и радиусом основания (R) вычисляется по формуле (V=frac13pi R^2h). Следовательно, объем первого конуса относится к объему второго конуса как [dfrac{V_1}{18}=dfrac{V_1}{V_2}=
dfrac{frac13pi ,R_1^2,h_1}{frac13 pi
,R_2^2,h_2}=left(dfrac{R_1}{R_2}right)^2cdot
dfrac{h_1}{h_2}] Так как радиус второго в 3 раза больше радиуса первого, то (R_2=3R_1). Так как высота второго в 6 раз меньше высоты первого, то (h_1=6h_2). Следовательно, [dfrac{V_1}{18}=left(dfrac{R_1}{3R_1}right)^2cdot dfrac{6h_2}{h_2}=
dfrac19cdot 6=dfrac23 quadRightarrowquad V_1=dfrac23cdot
18=12.]
Ответ: 12
Задание
3
#3048
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Даны два конуса: (K_1) и (K_2). Площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как (4:1). Известно, что радиус (K_1) в 4 раза больше образующей (K_1) и в 2 раза больше радиуса (K_2). Найдите отношение образующей (K_2) к образующей (K_1).
Площадь полной поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi R (R+l)). Тогда площадь полной поверхности (K_1) относится к площади полной поверхности (K_2) как [dfrac41=dfrac{pi ,R_1cdot (R_1+l_1)}{pi , R_2cdot (R_2+l_2)}] Из условия следует, что (R_1=4l_1), (R_2=frac12R_1=2l_1), следовательно, [dfrac41=dfrac{4l_1cdot (4l_1+l_1)}{2l_1cdot (2l_1+l_2)}
quadRightarrowquad dfrac{l_2}{l_1}=dfrac12=0,5]
Ответ: 0,5
Задание
4
#3044
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Во сколько раз радиус первого шара больше радиуса второго шара, если объем первого шара в (343) раза больше объема второго шара?
Объем шара радиуса (R) ищется по формуле (V=dfrac43 pi R^3). Следовательно, объем первого шара относится к объему второго как [dfrac{343}1=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{frac43 pi , R_1^3}{frac43 pi , R_2^3}=
left(dfrac{R_1}{R_2}right)^3 quadRightarrowquad
dfrac{R_1}{R_2}=sqrt[3]{343}=7.] Следовательно, радиус первого шара в 7 раз больше радиуса второго шара.
Ответ: 7
Задание
5
#3051
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Объем первого прямоугольного параллелепипеда равен 105. Найдите объем второго прямоугольного параллелепипеда, если известно, что высота первого параллелепипеда в 7 раз больше высоты второго, ширина второго в 2 раза больше ширины первого, а длина первого в 3 раза больше длины второго.
Пусть буквы (a), (b) и (c) обозначают высоту, ширину и длину соответственно. Объем прямоугольного параллелепипеда ищется по формуле (V=abc). Следовательно, объем первого параллелепипеда относится к объему второго как [dfrac{105}{V_2}=dfrac{V_1}{V_2}=dfrac{a_1b_1c_1}{a_2b_2c_2}] Из условия следует, что (a_1=7a_2), (b_2=2b_1), (c_1=3c_2). Тогда [dfrac{105}{V_2}=dfrac{7a_2cdot b_1cdot 3c_2}{a_2cdot 2b_1cdot c_2}=
dfrac{7cdot 3}2 quadRightarrowquad V_2=dfrac{105cdot
2}{21}=10.]
Ответ: 10
Задание
6
#3049
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Площадь боковой поверхности первого цилиндра равна (16). Найдите площадь боковой поверхности второго цилиндра, если его радиус в 4 раза больше радиуса первого, а высота в 5 раз меньше высоты первого цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра с высотой (H) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=2pi RH). Тогда площадь бок. поверхности первого цилиндра относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac{16}{S_2}=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{2pi ,R_1,H_1}{2pi ,R_2,H_2}=
dfrac{R_1}{R_2}cdot dfrac{H_1}{H_2}] Из условия следует, что (R_2=4R_1), (H_1=5H_2), значит, [dfrac{16}{S_2}=dfrac{R_1}{4R_1}cdot dfrac{5H_2}{H_2}=
dfrac14cdot 5=dfrac54] Следовательно, [S_2=dfrac{16cdot 4}5=12,8.]
Ответ: 12,8
Задание
7
#3047
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Площадь боковой поверхности первого конуса относится к площади боковой поверхности второго конуса как (3:7). Найдите отношение образующей первого конуса к образующей второго конуса, если радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7).
Площадь боковой поверхности конуса с образующей (l) и радиусом основания (R) ищется по формуле (S=pi Rl). Тогда площадь бок. поверхности первого конуса относится к площади бок. поверхности второго как [dfrac 37=dfrac{S_1}{S_2}=dfrac{pi R_1,l_1}{pi R_2,l_2}] Так как радиус первого конуса относится к радиусу второго как (15:7), то есть (frac{R_1}{R_2}=frac{15}7), то [dfrac37=dfrac {15}7cdot dfrac{l_1}{l_2} quadRightarrowquad
dfrac{l_1}{l_2}=dfrac37cdot dfrac7{15}=dfrac15=0,2.]
Ответ: 0,2
Во время подготовки к сдаче ЕГЭ по математике повторение базовых формул из школьного курса геометрии в пространстве (стереометрии), в том числе и для вычисления объемов фигур, является одним из основных этапов. И хотя на изучение этого раздела отводится достаточно большое количество времени в рамках учебной программы, многим выпускникам требуется освежить в памяти основной материал.
Понимая, как осуществляется вычисление площадей объемных фигур, учащиеся значительно повышают свои шансы на получение достойных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.
Базовая информация
Объем геометрической фигуры — это количественная характеристика пространства, которое занимает тело. Она определяется его формой и размерами.
Чтобы задачи на вычисление объемов геометрических фигур не вызывали затруднений, рекомендуем освежить в памяти основные формулы.
- Объем куба равняется кубу длины его грани.
- Объем призмы равняется произведению площади основания фигуры на высоту.
Чтобы его рассчитать, воспользуйтесь следующий формулой: V = So h, где V — объем призмы, So — площадь ее основания, h — ее высота. - Объем прямоугольного параллелепипеда равняется произведению его длины, ширины и высоты.
Формула для его расчета: V = a · b · h, где a — длина,
b — ширина, h — высота. - Объем пирамиды равняется трети от произведения площади ее основания на высоту.
- Объем цилиндра равняется произведению площади его основания на высоту.
Формулы для его расчета:
Для его расчета используется формула: V = a3, где V — объем куба,
a — длина его грани.
Рассчитать его можно по формуле:
V =
1/3
So· h ,
где V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, h — длина высоты пирамиды.
V =
π R2 h
V =
So h
Где V — объем цилиндра, So — площадь основания цилиндра, R — радиус цилиндра, h — высота цилиндра, π = 3.141592.
Как сделать процесс подготовки к аттестационному испытанию более легким и эффективным?
Наш образовательный портал предлагает выстроить занятия по-новому. Переходя от простого к сложному, выпускники смогут определить непонятные для себя темы и улучшить собственные знания.
Весь базовый материал по теме «Вычисление площадей и объемов фигур» собран в разделе «Теоретическая справка». Освежив в памяти эту информацию, учащиеся смогут попрактиковаться в решении задач. Большая подборка упражнений как простого, так и экспертного уровня представлена в разделе «Каталог». База заданий регулярно дополняется.
Решать задачи на вычисление объемов фигур или на построение сечения геометрических фигур школьники могут в режиме онлайн. Функционал образовательного сайта «Школково» позволяет сохранять упражнения в разделе «Избранное». Благодаря этому учащиеся смогут вернуться к задаче необходимое количество раз и обсудить ход ее решения со школьным учителем или репетитором.
УСТАЛ? Просто отдохни