Как найти объем с помощью двойного интеграла

Вычисление объёмов

Объём тела, ограниченного сверху и снизу поверхностями $mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { f } } _ { 1 } (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$, $mathbf { textit { z } } =mathbf { textit { f } } _ { 2 } (mathbf { textit { x } } $,$mathbf { textit { y } } )$, $(x,y)in D$, с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси $mathbf { textit { Oz } } $, равен $v=iintlimits_D { left[ { f_1 (x,y)-f_2 (x,y) }right]dxdy } $; эта формула очевидно следует из геометрического смысла двойного интеграла.

vychislenie-obieemov-0

Основной вопрос, который надо решить – на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми.

Пример 1

Найти объём тела $V:left[{ begin{array} { l } y=0,;z=0, \ x+y+z=4,; \ 2x+z=4. \ end{array} }right.$

vychislenie-obieemov-1

Решение:

Тело изображено на рисунке. Перебором возможностей убеждаемся, что проще всего описать это тело, если отправляться от его проекции на ось $mathbf { textit { Oxz } } $:

$V:left[{ begin{array} { l } (x,z)in D, \ 0leqslant yleqslant 4-x-z. \ end{array} }right.$

Область $mathbf { textit { D } } $ – треугольник, ограниченный прямыми $mathbf { textit { x } } $ = 0, $mathbf { textit { z } } $ = 0, 2$mathbf { textit { x } } +mathbf { textit { z } } $ = 4, поэтому

$V=iintlimits_D { (4-x-z)dxdz } =intlimits_0^2 { dxintlimits_0^ { 4-2x } { (4-x-z)dz } } = intlimits_0^2 { dxleft. { left( { 4z-xz-z^2/2 }right) }right|_0^ { 4-2x } } = intlimits_0^2 { left[ { 16-8x-4x+2x^2-(4-2x)^2/2 }right]dx } = \ = intlimits_0^2 { left( { 8-4x }right)dx } = left. { left( { 8x-2x^2 }right) }right|_0^2 =16-8=8$

Пример 2

Найти объём области, ограниченной поверхностями $mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } +mathbf { textit { z } } ^ { 2 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } $,

$(mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )^ { 3 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } (mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )$.

vychislenie-obieemov-2

Решение:

Первая поверхность – сфера, вторая – цилиндрическая – с образующими, параллельными оси $mathbf { textit { Oz } } $ { в уравнении нет $mathbf { textit { z } } $ в явной форме). Построить в плоскости $mathbf { textit { Oxy } } $ кривую шестого порядка, заданную уравнением $(mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )^ { 3 } =mathbf { textit { R } } ^ { 2 } (mathbf { textit { x } } ^ { 2 } +mathbf { textit { y } } ^ { 2 } )$, в декартовой системе координат невозможно, можно только сказать, что она симметрична относительно осей { чётные степени } и точка $mathbf { textit { О } } (0,0)$ принадлежит этой кривой. Пробуем перейти к полярным координатам. $r^6=R^2r^4(cos ^4varphi +sin ^4varphi );r^2=R^2((cos ^2varphi +sin ^2varphi )^2-2cos ^2varphi sin ^2varphi )=R^2(1-frac { sin ^22varphi } { 2 } )=$

$=R^2(1-frac { 1-cos 4varphi } { 4 } )=R^2frac { 3+cos 4varphi } { 4 } ;r=Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } .$ Эту кривую построить уже можно. $r(varphi )$ максимально, когда $cos 4varphi =1;(varphi =0,frac { 2pi } { 4 } =frac { pi } { 2 } ,frac { 4pi } { 4 } =pi ,frac { 6pi } { 4 } =frac { 3pi } { 2 } )$, минимально, когда

$cos 4varphi =-1;(varphi =frac { pi } { 4 } ,frac { 3pi } { 4 } ,frac { 5pi } { 4 } ,frac { 7pi } { 4 } ),$ и гладко меняется между этими пределами { точка $mathbf { textit { О } } (0,0)$ не принадлежит этой кривой, где мы её потеряли? } .

Пользуясь симметрией, получаем $ V=16iintlimits_D { sqrt { R^2-x^2-y^2 } dxdy= } 16iintlimits_D { sqrt { R^2-r^2 } rdrdvarphi = } =16intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { dvarphi } intlimits_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } { sqrt { R^2-r^2 } rdr } = $ $ =-8intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { dvarphi } intlimits_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } { sqrt { R^2-r^2 } d(R^2-r^2) } =-8frac { 2 } { 3 } intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { left. { (R^2-r^2)^ { frac { 3 } { 2 } } }right|_0^ { Rfrac { sqrt { 3+cos 4varphi } } { 2 } } dvarphi } =-frac { 16 } { 3 } R^3intlimits_0^ { frac { pi } { 4 } } { left. { left[ { left( { frac { sin ^22varphi } { 2 } }right)^ { frac { 3 } { 2 } } -1 }right] }right|dvarphi } = $ и т.д.

Пример 3

Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями (y = 0,) (z = 0,) (z = x,) (z + x = 4.)

Решение:

Данное тело показано на рисунке.

vychislenie-obieemov-3

Из рисунка видно, что основание (R) является квадратом. Для заданных (x, y) значение (z) изменяется от (z = x) до (z = 4 – x.) Тогда объем равен $ { V = iintlimits_R { left[ { left( { 4 – x }right) – x }right]dxdy } } = { intlimits_0^2 { left[ { intlimits_0^2 { left( { 4 – 2x }right)dy } }right]dx } } = { intlimits_0^2 { left[ { left. { left( { 4y – 2xy }right) }right|_ { y = 0 } ^2 }right]dx } } = { intlimits_0^2 { left( { 8 – 4x }right)dx } } = { left. { left( { 8x – 2 { x^2 } }right) }right|_0^2 } = { 16 – 8 = 8. } $

Пример 4

Описать тело, объем которого определяется интегралом (V = intlimits_0^1 { dx } intlimits_0^ { 1 – x } { left( { { x^2 } + { y^2 } }right)dy } .)

Решение:

vychislenie-obieemov-4 vychislenie-obieemov-5

Данное тело расположено над треугольной областью (R,) ограниченной координатными осями (Ox,) (Oy) и прямой (y = 1 – x) ниже параболической поверхности (z = { x^2 } + { y^2 } .) Объем тела равен $ { V = intlimits_0^1 { dx } intlimits_0^ { 1 – x } { left( { { x^2 } + { y^2 } }right)dy } } = { intlimits_0^1 { left[ { left. { left( { { x^2 } y + frac { { { y^3 } } } { 3 } }right) }right|_ { y = 0 } ^ { 1 – x } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left[ { { x^2 } left( { 1 – x }right) + frac { { { { left( { 1 – x }right) } ^3 } } } { 3 } }right]dx } } = \ = { intlimits_0^1 { left( { { x^2 } – { x^3 } + frac { { 1 – 3x + 3 { x^2 } – { x^3 } } } { 3 } }right)dx } } = { intlimits_0^1 { left( { 2 { x^2 } – frac { { 4 { x^3 } } } { 3 } – x + frac { 1 } { 3 } }right)dx } } = { left. { left( { frac { { 2 { x^3 } } } { 3 } – frac { 4 } { 3 } cdot frac { { { x^4 } } } { 4 } – frac { { { x^2 } } } { 2 } + frac { x } { 3 } }right) }right|_0^1 } = { frac { 2 } { 3 } – frac { 1 } { 3 } – frac { 1 } { 2 } + frac { 1 } { 3 } = frac { 1 } { 6 } . } $

Пример 5

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями (z = xy,) (x + y = a,) (z = 0.)

Решение:

vychislenie-obieemov-6 vychislenie-obieemov-7

Данное тело лежит над треугольником (R) в плоскости (Oxy) ниже поверхности (z = xy.) Объем тела равен $ { V = iintlimits_R { xydxdy } } = { intlimits_0^a { left[ { intlimits_0^ { a – x } { xydy } }right]dx } } = { intlimits_0^a { left[ { left. { left( { frac { { x { y^2 } } } { 2 } }right) }right|_ { y = 0 } ^ { a – x } }right]dx } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { x { { left( { a – x }right) } ^2 } dx } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { xleft( { { a^2 } – 2ax + { x^2 } }right)dx } } = \ = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^a { left( { { a^2 } x – 2a { x^2 } + { x^3 } }right)dx } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { { a^2 } cdot frac { { { x^2 } } } { 2 } – 2a cdot frac { { { x^3 } } } { 3 } + frac { { { x^4 } } } { 4 } }right) }right|_0^a } = { frac { 1 } { 2 } left( { frac { { { a^2 } } } { 2 } – frac { { 2 { a^4 } } } { 3 } + frac { { { a^4 } } } { 4 } }right) } = { frac { { { a^4 } } } { { 24 } } . } $

Пример 6

Найти объем тела, ограниченного поверхностями (z = 0,) (x + y = 1,) ( { x^2 } + { y^2 } = 1,) (z = 1 – x.)

Решение:

vychislenie-obieemov-8 vychislenie-obieemov-9

Как видно из рисунков, в области интегрирования (R) при (0 le x le 1) значения (y) изменяются от (1 – x) до (sqrt { 1 – { x^2 } } .)

Сверху тело ограничено плоскостью (z = 1 – x.) Следовательно, объем данного тела равен $ { V = iintlimits_R { left( { 1 – x }right)dxdy } } = { intlimits_0^1 { left[ { intlimits_ { 1 – x } ^ { sqrt { 1 – { x^2 } } } { left( { 1 – x }right)dy } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left[ { left( { 1 – x }right)left. y right|_ { 1 – x } ^ { sqrt { 1 – { x^2 } } } }right]dx } } = { intlimits_0^1 { left( { 1 – x }right)left( { sqrt { 1 – { x^2 } } – 1 + x }right)dx } } = \ = { intlimits_0^1 { left( { sqrt { 1 – { x^2 } } – xsqrt { 1 – { x^2 } } – 1 + 2x – { x^2 } }right)dx } } = { intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } } – { intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } } – { intlimits_0^1 { left( { 1 + 2x – { x^2 } }right)dx } . } $

Вычислим полученные три интеграла отдельно. $ { I_1 } = intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } .$ Сделаем замену: (x = sin t.) Тогда (dx = cos tdt.) Видно, что (t = 0) при (x = 0) и (t = largefrac { pi } { 2 } normalsize) при (x = 1.) Следовательно, $ { { I_1 } = intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { x^2 } } dx } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { sqrt { 1 – { { sin } ^2 } t } cos tdt } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { { { cos } ^2 } tdt } } = { intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { frac { { 1 + cos 2t } } { 2 } dt } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } { left( { 1 + cos 2t }right)dt } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { t + frac { { sin 2t } } { 2 } }right) }right|_0^ { largefrac { pi } { 2 } normalsize } } = { frac { 1 } { 2 } left( { frac { pi } { 2 } + frac { { sin pi } } { 2 } }right) = frac { pi } { 4 } . } $ { Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл ( { I_2 } = intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } ,) используя замену переменной. Полагаем (1 – { x^2 } = w.) Тогда (-2xdx = dw) или (xdx = largefrac { { – dw } } { 2 } normalsize.) Находим, что (w = 1) при (x = 0) и, наоборот, (w = 0) при (x = 1.) Интеграл равен $ { { I_2 } = intlimits_0^1 { xsqrt { 1 – { x^2 } } dx } } = { intlimits_1^0 { sqrt w left( { – frac { { dw } } { 2 } }right) } } = { – frac { 1 } { 2 } intlimits_1^0 { sqrt w dw } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^1 { sqrt w dw } } = { frac { 1 } { 2 } intlimits_0^1 { { w^ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } dw } } = { frac { 1 } { 2 } left. { left( { frac { { 2 { w^ { largefrac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { 3 } }right) }right|_0^1 = frac { 1 } { 3 } . } $ Наконец, вычислим третий интеграл. $require { cancel } { { I_3 } = intlimits_0^1 { left( { 1 – 2x + { x^2 } }right)dx } } = { left. { left( { x – { x^2 } + frac { { { x^3 } } } { 3 } }right) }right|_0^1 } = { cancel { 1 } – cancel { 1 } + frac { 1 } { 3 } = frac { 1 } { 3 } . } $ Таким образом, объем тела равен $ { V = { I_1 } – { I_2 } – { I_3 } } = { frac { pi } { 4 } – frac { 1 } { 3 } – frac { 1 } { 3 } = frac { pi } { 4 } – frac { 2 } { 3 } approx 0,12. } $

Пример 7

Вычислить объем единичного шара.

Решение:

vychislenie-obieemov-10

Уравнение сферы радиусом (1) имеет вид ( { x^2 } + { y^2 } + { z^2 } = 1). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на (2.) Уравнение верхней полусферы записывается как $z = sqrt { 1 – left( { { x^2 } + { y^2 } }right) } .$ Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем $zleft( { r,theta }right) = sqrt { 1 – { r^2 } } .$ В полярных координатах область интегрирования (R) описывается множеством (R = left[{ left( { r,theta }right)|;0 le r le 1,0 le theta le 2pi }right].) Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой $ { { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = iintlimits_R { sqrt { 1 – { r^2 } } rdrdtheta } } = { intlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } } = { 2pi intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } . } $ Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть (1 – { r^2 } = t.) Тогда (-2rdr = dt) или (rdr = – largefrac { { dt } } { 2 } normalsize.) Уточним пределы интегрирования: (t = 1) при (r = 0) и, наоборот, (t = 0) при (r = 1.) Получаем $ { { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = 2pi intlimits_0^1 { sqrt { 1 – { r^2 } } rdr } } = { 2pi intlimits_1^0 { sqrt t left( { – frac { { dt } } { 2 } }right) } } = { – pi intlimits_1^0 { sqrt t dt } } = { pi intlimits_0^1 { { t^ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } dt } } = { pi left. { left( { frac { { { t^ { largefrac { 3 } { 2 } normalsize } } } } { { frac { 3 } { 2 } } } }right) }right|_0^1 } = { frac { { 2pi } } { 3 } . } $ Таким образом, объем единичного шара равен $V = 2 { V_ { largefrac { 1 } { 2 } normalsize } } = frac { { 4pi } } { 3 } .$

Пример 8

Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой (H) и радиусом основания (R).

Решение:

vychislenie-obieemov-11 vychislenie-obieemov-12

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники, можно записать $ { frac { r } { R } = frac { { H – z } } { H } , } ;; { text { где } ;;r = sqrt { { x^2 } + { y^2 } } . } $ Следовательно, $ { H – z = frac { { Hr } } { R } } ;; { text { или } ;;zleft( { x,y }right) } = { H – frac { { Hr } } { R } } = { frac { H } { R } left( { R – r }right) } = { frac { H } { R } left( { R – sqrt { { x^2 } + { y^2 } } }right). } $ Тогда объем конуса равен $ { V = iintlimits_R { zleft( { x,y }right)dxdy } } = { iintlimits_R { frac { H } { R } left( { R – sqrt { { x^2 } + { y^2 } } }right)dxdy } } = { frac { H } { R } iintlimits_R { left( { R – r }right)rdrdtheta } } = { frac { H } { R } intlimits_0^ { 2pi } { left[ { intlimits_0^R { left( { R – r }right)drd } }right]dtheta } } = { frac { H } { R } intlimits_0^ { 2pi } { dtheta } intlimits_0^R { left( { Rr – { r^2 } }right)dr } } = { frac { { 2pi H } } { R } intlimits_0^R { left( { Rr – { r^2 } }right)dr } } = \ = { frac { { 2pi H } } { R } left. { left( { frac { { R { r^2 } } } { 2 } – frac { { { r^3 } } } { 3 } }right) }right|_ { r = 0 } ^R } = { frac { { 2pi H } } { R } left( { frac { { { R^3 } } } { 2 } – frac { { { R^3 } } } { 3 } }right) } = { frac { { 2pi H } } { R } cdot frac { { { R^3 } } } { 6 } = frac { { pi { R^2 } H } } { 3 } . } $

а) Объём.

Как мы знаем, объем
V
тела, ограничен­ного поверхностью
,
где

неотрицательная функ­ция, плоскостьюи цилиндрической поверхностью,
направ­ляющей для которой служит
граница областиD,
а образующие параллельны оси Oz,
равен двойному интегралу от функции
по областиD
:

Пример 1. Вычислить
объем тела, ограниченного поверхностями
x=0,
у=0, х+у+z=1,
z=0
(рис. 17).

Рис.17
Рис.18

Решение.
D
– заштрихованная на рис. 17 треугольная
область в плоскости Оху,
ограниченная прямыми x=0,
у=0, x+y=1.
Расставляя пределы в двойном интеграле,
вычислим объем:

Итак,
куб. единиц.

Замечание 1.
Если тело, объем которого ищется,
ограни­чено сверху поверхностью
а снизу—поверхностью,
причем проекцией обеих поверхностей
на пло­скостьОху
является область D,
то объем V
этого тела равен разности объемов двух
«цилиндрических» тел; первое из этих
цилиндрических тел имеет нижним
основанием область D,
а верх­ним – поверхность
второе тело имеет нижним осно­ванием
также областьD,
а верхним – поверхность
(рис.18).

Поэтому объём V
равен разности двух двойных интегралов
:

или

(1)

Легко, далее,
доказать, что формула (1) верна не только
в том случае, когда
инеотрицательны, но и тогда, когдаи
любые непрерывные функции, удовлетворяющие
соотношению

Замечание 2.
Если в области D
функция
меняет
знак, то разбиваем область на две части:
1) областьD1
где
2) областьD2
,где
.
Предположим, что областиD1
и D2
таковы, что двойные интегралы по этим
обла­стям существуют. Тогда интеграл
по области D1
будет положи­телен и будет равен
объему тела, лежащего выше плоскости
Оху. Интеграл
по D2
будет отрицателен и по абсолютной
величине равен объему тела, лежащего
ниже плоскости Оху,
Следовательно, интеграл по D
будет выражать раз­ность соответствующих
объемов.

б) Вычисление
площади плоской области.

Если мы со­ставим
интегральную сумму для функции
по областиD,
то эта сумма будет равна площа­ди S,

при любом способе
разбиения. Пере­ходя к пределу в правой
части равен­ства, получим

Если область D
правильная , то площадь выразится
двукратным интегралом

Производя
интегрирование в скобках, имеем,
очевидно,

Пример 2. Вычислить
площадь области, ограниченной кривыми

Рис.19

Решение. Определим
точки пересечения данных кривых
(Рис.19). В точке пересечения ординаты
равны, т.е.
,
отсюдаМы
получили две точки пересечения

Следовательно,
искомая площадь

5. Вычисление площади поверхности.

Пусть требуется
вычислить площадь поверхности,
ограниченной линией Г (рис.20); поверхность
задана уравнением
где функциянепрерывна и имеет непрерывные частные
производные. Обозначим проекцию линии
Г на плоскостьOxy
через L.
Область на плоскости Oxy,
ограниченную линией L,
обозначим D.

Разобьём произвольным
образом область D
на n
элементарных площадок
В
каждой площадкевозьмём точкуТочкеPi
будет соответствовать на поверхности
точка
Через точкуMi
проведём касательную плоскость к
поверхности. Уравнение её примет вид

(1)

На этой плоскости
выделим такую пло­щадку
,
которая проектируется на плоскостьОху
в виде площадки
.
Рассмотрим сумму всех площадок

Предел
этой суммы, когда наибольший из диаметров
пло­щадок
стремится к нулю, мы будем называтьплощадью
по­верхности,

т. е. по определению положим

(2)

Займемся теперь
вычислением площади поверхности.
Обозна­чим через

угол между
касательной плоскостью и плоскостью
Оху.

Рис.20
Рис.21

На основании
известной формулы аналитической
геометрии можно написать (рис.21)

или

(3)

Угол
есть в то же время угол между осьюOz
и перпендикуляром к плоскости (1). Поэтому
на основании уравнения (1) и формулы
аналитической геометрии имеем

Следовательно,

Подставляя это
выражение в формулу (2), получим

Так как предел
интегральной суммы, стоящей в правой
части последнего равенства, по определению
представляет собой двойной интеграл
то окончательно получаем

(4)

Это и есть формула,
по которой вычисляется площадь поверхности

Если уравнение
поверхности дано в виде
или в видето соответствующие формулы для вычисления
поверхности имеют вид

(3)

(3’’)

где D
и D’’
– области на плоскостях Oyz
и Oxz,
в которые проектируется данная
поверхность.

а) Примеры.

Пример 1. Вычислить
поверхность
сферы

Решение. Вычислим
поверхность верхней половины сферы
(рис.22). В этом случае

Следовательно,
подынтегральная функция примет вид

Область интегрирования
определяется условием
.
Таким образом, на основании формулы (4)
будем иметь

Для вычисления
полученного двойного интеграла перейдём
к полярным координатам. В полярных
координатах граница области интегрирования
определяется уравнением
Следовательно,

Пример2. Найти
площадь той части поверхности цилиндра
которая вырезается цилиндром

Рис.22
Рис.23

Решение. На рис.23
изображена
часть искомой поверхности. Уравнение
поверхности имеет вид;
поэтому

Область интегрирования
представляет собой четверть круга, т.е.
определяется условиями

Следовательно,

Список использованной
литературы.

  1. А.Ф. Бермант ,И.Г.
    Араманович

Краткий курс
математического анализа для втузов:
Учебное пособие для втузов: – М.: Наука,
Главная редакция физико-математической
литературы , 1971 г.,736с.

  1. Н.С. Пискунов

Дифференциальное
и интегральное исчисления для втузов,
Том 2:

Учебное пособие
для втузов.-13-е изд. -М. :Наука, Главная
редакция физико-математической
литературы, 1985.-560с.

  1. В.С. Шипачёв

Высшая
математика: Учебное пособие для втузов:
– М: Наука,

Главная редакция
физико-математической литературы.

Соседние файлы в предмете Алгебра и геометрия

  • #
  • #
  • #

Содержание:

  1. Двойной интеграл
  2. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах
  3. Двойной интеграл в полярных координатах
  4. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования
  5. Геометрический смысл двойного интеграла
  6. Свойства двойного интеграла
  7. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
  8. Двойной интеграл в полярных координатах
  9. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла
  10. Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

Двойной интеграл

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции было введено понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл

На основе задачи об определении объема тела мы придем к понятию двумерной интегральной суммы, предел которой называется двойным интегралом.

Задача.

Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью Двойной интегралснизу конечной замкнутой областьюДвойной интеграл плоскости Двойной интеграли с боков прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе области Двойной интеграли имеющей образующие, перпендикулярные плоскости Двойной интеграл (рис. 245).

Двойной интеграл

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Тело указанного вида для краткости называется цилиндроидом. В частном случае, когда верхнее основание цилиндроида есть плоскость, параллельная нижнему основанию его, то цилиндроид называется цилиндром.

Примером цилиндра служит круговой цилиндр, рассматриваемый в средней школе.

Обобщая рассуждение, обычно применяемое для нахождения объема кругового цилиндра, нетрудно доказать, что объем Двойной интегралцилиндра с площадью основания Двойной интеграли высотой Двойной интеграл равен Двойной интеграл

Для вычисления объема Двойной интегралданного цилиндроида разобьем основание его Двойной интегрална конечное число элементарных ячеек Двойной интеграл (вообще говоря, криволинейных). В каждой из этих ячеек Двойной интегралвыберем точку Двойной интеграл и построим прямой цилиндрический столбик с основанием Двойной интеграл и высотой Двойной интегралДвойной интеграл равной аппликате поверхности в выбранной точке.

Объем такого столбика на основании формулы объема цилиндра, очевидно, равен

Двойной интеграл

где Двойной интеграл— площадь соответствующей ячейки. Сумма объемов этих цилиндрических столбиков представляет собой объем ступенчатого тела, приближенно заменяющего данное криволинейное тело, причем аппроксимация является, вообще говоря, тем более точной, чем меньше диаметры ячеекДвойной интегралПоэтому объем нашего цилиндроида приближенно выразится суммой

Двойной интеграл

Формула (2) дает возможность найти объем Двойной интеграл с любой степенью точности, если число ячеек Двойной интеграл достаточно велико и линейные размеры их весьма малы. Обозначим через Двойной интеграл диаметр ячейки Двойной интеграл , т. е. наибольший линейный размер ее. Точнее говоря, под диаметром Двойной интеграл ограниченной замкнутой (т. е. с присоединенной границей) фигуры Двойной интеграл (дуги, площадки и т. п.) понимается длина наибольшей ее хорды Двойной интеграл где Двойной интеграл (рис. 246)2) Двойной интеграл

Из данного определения следует, что фигура Двойной интегралимеющая диаметр Двойной интеграл целиком помещается внутри круга радиуса Двойной интеграл описанного из любой ее точки Двойной интеграл как из центра. Поэтому если Двойной интеграл то фигура Двойной интеграл «стягивается в точку». Аналогично определяется диаметр пространственного тела.

Пусть Двойной интеграл— наибольший из диаметров ячеек Двойной интеграл Двойной интеграл Предполагая, что в формуле (2) число ячеек Двойной интеграл неограниченно возрастает Двойной интегралпричем диаметр наибольшей из них становится сколь угодно малым Двойной интеграл в пределе получаем точную формулу для объема цилиндроида Двойной интеграл

Выражение, стоящее в правой части формулы (3), называется двойным интегралом от функции Двойной интеграл распространенным на область Двойной интеграл и обозначается следующим образом: Двойной интеграл

Поэтому для объема цилиндроида окончательно имеем

Двойной интеграл

Обобщая конструкцию, примененную для вычисления объема цилиндроида, приходим к следующим определениям.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Опрелеление 1. Двумерной интегральной суммой (2) от данной функции Двойной интегралраспространенной на данную область Двойной интегралназывается сумма парных произведений площадей элементарных ячеек Двойной интеграл области Двойной интеграл назначения Двойной интеграл функции Двойной интеграл в выделенных точках этих ячеек (рис. 247). Двойной интеграл

Опрелеление 2. Двойным интегралом (4) от функции Двойной интегралраспространенным на данную область Двойной интеграл называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы (2) при неограниченном возрастании числа Двойной интеграл элементарных ячеек Двойной интеграл и стремлении к нулю их наибольшего диаметра Двойной интеграл при условии, что этот предел существует и не зависит от способа дробления области Двойной интеграл на элементарные ячейки Двойной интеграл и выбора точек в них. В формуле (4) Двойной интеграл называется подынтегральной функцией, Двойной интеграл— областью интегрирования, а Двойной интеграл— элементом площади.

Справедлива следующая теорема:

ТЕОРЕМА. Если область Двойной интеграл с кусочно-гладкой границей Двойной интеграл ограничена и замкнута Двойной интеграла функция Двойной интеграл непрерывна в области Двойной интегралто двойной интеграл Двойной интегралсуществует, т. е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа дробления области Двойной интеграл на элементарные ячейки Двойной интеграл и выбора точек в них.

В дальнейшем мы будем предполагать, что условия этой теоремы выполнены.

В формуле (6) нет необходимости указывать, что Двойной интеграл так как из Двойной интеграл очевидно, следует Двойной интеграл

Если Двойной интеграл то двойной интеграл (6) представляет собой объем прямого цилиндроида, построенного на области Двойной интеграл как на основании и ограниченного сверху поверхностью Двойной интеграл (геометрический смысл двойного интеграла).

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем при решении задач мы будем использовать это обстоятельство, выбирая наиболее подходящие сетки. Весьма часто удобной оказывается прямоугольная сетка, образованная пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Двойной интеграл и Двойной интеграл(рис. 248).Двойной интеграл

В этом случае элементарными ячейками Двойной интеграл являются прямоугольники со сторонами, равными Двойной интеграл и Двойной интеграл за исключением, возможно, ячеек, примыкающих к границе Двойной интеграл Чтобы подчеркнуть использование прямоугольной сетки, в обозначении интеграла (4) полагают Двойной интеграл (двумерный элемент площади в прямоугольных координатах), причем Двойной интеграл где Двойной интеграл и сумма (8) распространяется на все значения Двойной интеграл и Двойной интеграл для которых Двойной интеграл (можно показать, что непрямоугольные ячейки, примыкающие к кусочно-гладкой границе Двойной интеграл не влияют на значение предела (8)).

В следующих параграфах мы рассмотрим основные способы вычисления двойного интеграла.

Двойной интеграл

Примеры с решением

Пример 1.

Найти

Двойной интеграл где Двойной интеграл — квадрат Двойной интеграл

Расставляя пределы интегрирования, будем иметь Двойной интегралГеометрически Двойной интеграл представляет собой объем цилиндроида с квадратным нижним основанием, ограниченного сверху параболоидом вращения Двойной интеграл (рис. 254).

Двойной интеграл

Пример 2.

Вычислить двойной интеграл

Двойной интеграл

где Двойной интеграл — прямоугольник Двойной интеграл

Расставляя пределы интегрирования и разделяя переменные, будем иметь Двойной интеграл

Пример 3.

Вычислить Двойной интегралгде Двойной интеграл — треугольник с вершинами Двойной интеграл (рис. 255).

Двойной интеграл

Область Двойной интеграл ограничена прямыми Двойной интеграл 2 и является стандартной как относительно оси Двойной интеграл так и оси Двойной интеграл

Для вертикали Двойной интеграл Двойной интеграл точка входаДвойной интеграл в область Двойной интеграл есть Двойной интеграл «точка выхода» — Двойной интеграл Таким образом, при фиксированном Двойной интеграл переменная Двойной интеграл для точек области Двойной интеграл меняется от Двойной интегралдо Двойной интеграл Поэтому, интегрируя в двойном интеграле (10) сначала по Двойной интеграл при Двойной интегралДвойной интеграл а затем по Двойной интеграл согласно формуле (5) будем иметь Двойной интеграл

Аналогично, для горизонтали Двойной интеграл «точка входа» в область есть Двойной интеграл и «точка выхода» — Двойной интеграл Следовательно, при фиксированном Двойной интеграл переменная Двойной интеграл для точек области Двойной интегралменяется от Двойной интеграл до Двойной интегралПроизведя в двойном интеграле (10) интегрирование сначала по Двойной интегралпри Двойной интеграл а затем по Двойной интегрална основании формулы (9) получаем Двойной интеграл

Мы пришли, как и следовало ожидать, к тому же самому результату, причем второй способ вычисления оказался несколько более сложным.

Пример 4.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

Двойной интеграл

Область интегрирования Двойной интеграл ограничена кривыми Двойной интеграл (рис. 256). Отсюда, изменяя роли осей координат, получаем

Двойной интеграл

Следовательно, Двойной интеграл

Пример 5.

Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле Двойной интегралесли область интегрирования Двойной интегралесть круговое кольцо, ограниченное окружностями Двойной интегралДвойной интеграл (рис. 257). Область Двойной интеграл не является стандартной. Для расстановки пределов интегрирования в интервале (13) разбиваем область Двойной интеграл на четыре стандартные относительно оси Двойной интеграл области Двойной интеграл как указано на рисунке. Используя уравнение окружностей Двойной интеграл

Двойной интеграл

имеем

Двойной интеграл

Аналогичная формула получится, если мы будем расставлять пределы интегрирования в другом порядке.

Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах

Предположим для определенности, что область интегрирования Двойной интеграл представляет собой криволинейную трапецию (рис. 249) Двойной интеграл

Двойной интеграл

где Двойной интеграл— однозначные непрерывные функции на отрезке Двойной интеграл Такую область будем называть стандартной относительно оси Двойной интеграл Заметим, что вертикаль, проходящая через точку Двойной интегралоси Двойной интеграл при Двойной интегралпересекает границу Двойной интегралобластиДвойной интеграл только в двух точках Двойной интеграл («точка входа») и Двойной интеграл («точка выхода»).

Пусть Двойной интеграл — функция, непрерывная в области Двойной интеграл и = Двойной интеграл— ее двойной интеграл.

1) Предположим сначала, что Двойной интеграл в области Двойной интеграл Тогда двойной интеграл Двойной интеграл представляет собой объем цилиндроида (рис. 250), ограниченного снизу областью Двойной интегралсверху поверхностью Двойной интеграли с боков прямой цилиндрической поверхностью

Двойной интеграл

Для вычисления объема Двойной интегралприменим метод сечений (гл. XV, § 5). А именно, пусть Двойной интеграл — площадь сечения цилиндроида плоскостью Двойной интеграл перпендикулярной оси Двойной интегралв точке ее Двойной интеграл (рис. 250).

Тогда имеем Двойной интеграл

Но Двойной интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной снизу отрезком Двойной интеграл и сверху кривой Двойной интеграл

Поэтому Двойной интеграл

Можно доказать, что при наших условиях Двойной интеграл непрерывна при Двойной интеграл

Подставляя выражение (4) в формулу (3), получим окончательно Двойной интеграл

Таким образом, двойной интеграл равен соответствующему повторному интегралу (5), т. е. вычисление двойного интеграла сводится к двум квадратурам. Заметим, что при вычислении внутреннего интеграла в формуле (5) Двойной интеграл рассматривается как постоянная величина.

2) В случае знакопеременной функции Двойной интеграл например, если Двойной интеграл при Двойной интеграли Двойной интеграл при Двойной интеграл двойной интеграл (2) равен алгебраической сумме объемов Двойной интеграл цилиндроидов, построенных соответственно на основаниях Двойной интеграл (pиc. 251),

Двойной интеграл

т. е. Двойной интеграл Можно доказать, что формула (5) справедлива и в этом случае.

Отметим один важный случай: пусть Двойной интеграл — прямоугольник Двойной интеграл (рис. 252) и Двойной интеграл где Двойной интеграл— функция, непрерывная на Двойной интеграл и зависящая только от Двойной интеграл и Двойной интеграл — функция, непрерывная на Двойной интеграли зависящая только от Двойной интеграл

В силу формулы (5) имеем Двойной интеграл

Но внутренний интеграл в формуле (7) есть постоянное число, поэтому его можно вынести за знак внешнего интеграла и мы получим Двойной интеграл

т. е. двойной интеграл (8) равен произведению двух однократных интегралов.

Замечание 1. Если областьДвойной интеграл — стандартная относительно оси Двойной интеграл(рис. 253) Двойной интеграл то по аналогии с формулой (5) получаем Двойной интеграл

В частности, если область Двойной интеграл есть прямоугольник: a Двойной интегралДвойной интеграл есть прямоугольник: a то имеем Двойной интеграл

Двойной интеграл

Отсюда получаем Двойной интеграл

т е. если пределы интегрирования в повторном интеграле от непрерывной функции конечны и постоянны, то результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования.

Двойной интеграл в полярных координатах

Пусть в двойном интегралеДвойной интеграл

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам Двойной интеграл и Двойной интеграл, полагая

Двойной интеграл

Область интегрирования Двойной интеграл разобьем на элементарные ячейки Двойной интеграл с помощью координатных линий Двойной интеграл (окружности) и Двойной интеграл = Двойной интеграл(лучи) (рис. 258). Двойной интеграл

Введем обозначения Двойной интегралТак как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Двойной интеграл с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями Двойной интеграл поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна Двойной интеграл

Что касается ячеек Двойной интеграл неправильной формы, примыкающих к границе Двойной интеграл области интегрирования Двойной интеграл то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла (ср. § 1, формула (8)) и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Двойной интеграл для простоты выберем вершину ячейки Двойной интеграл с полярными координатами Двойной интеграл и Двойной интеграл Тогда декартовы координаты точки Двойной интеграл равны

Двойной интеграл

и, следовательно, Двойной интеграл

Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости. Поэтому, учитывая формулы (3) и (3′)» получаем Двойной интеграл

где Двойной интеграл— максимальный диаметр ячеек Двойной интеграл и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области Двойной интеграл

С другой стороны, величины Двойной интеграл и Двойной интеграл суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовы координаты некоторых точек плоскости Двойной интегралТаким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

Двойной интеграл

соответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами Двойной интеграл и Двойной интеграл Следовательно, Двойной интегралДвойной интеграл

Выравнивая формулы (4) и (5), получаем окончательно Двойной интеграл

Выражение Двойной интегралназывается двумерным элементом площади в полярных координатах (ср. гл. XV, § 2).

Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты Двойной интеграл и Двойной интеграл заменить по формулам (2), а вместо элемента площади Двойной интеграл и подставить выражение (7).

Для вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования Двойной интеграл определяется неравенствами Двойной интеграл

где Двойной интеграл — однозначные непрерывные функции на отрезке Двойной интеграл (рис. 259) Тогда по аналогии с прямоугольными координатами (см. § 2) имеем Двойной интеграл

где Двойной интеграл

Пример 6.

Переходя к полярным координатам Двойной интеграл и Двойной интегралвычислить двойной интеграл Двойной интеграл где Двойной интеграл первая четверть круга радиуса Двойной интеграл с центром в точке Двойной интеграл (рис. 260). Так как Двойной интеграл то , применяя формулу (6), получаем

Двойной интеграл

Область Двойной интегралопределяется неравенствами Двойной интегралПоэтому на основании формулы (8) имеем

Двойной интеграл

Пример 7.

В интеграле

Двойной интеграл перейти к полярным координатам.

Область интегрирования здесь есть треугольник.Двойной интеграл ограниченный прямыми Двойной интеграл (рис. 261).

Двойной интеграл

В полярных координатах уравнения этих прямых записываются следующим образом: Двойной интеграли, следовательно, областьДвойной интеграл определяется неравенствами Двойной интеграл Отсюда на основании формул (6) и (8), учитывая, что Двойной интегралимеем Двойной интеграл

Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, теорема существования

Понятие «двойной интеграл» является естественным обобщением понятия «определенный интеграл» на случай функции двух переменных. Поэтому его определение принципиально не отличается от определения определенного интеграла и вводится аналогичным образом.

Пусть функция Двойной интеграл или Двойной интеграл где Двойной интеграл определена и непрерывна в замкнутой области Двойной интеграл плоскости Двойной интеграл то есть на множестве точек координатной плоскости, ограниченная сомкнуты линией (или линиями) Двойной интеграл, с учетом точек линии Двойной интеграл – пределы области.

Выполним такую (стандартную) процедуру:

1) разобьем область Двойной интеграл произвольным образом какими-либо линиями на n частичных областей с площадями Двойной интеграл (или просто – на Двойной интеграл плоскостей Двойной интеграл (рис. 26.1) и самую большую из расстояний между двумя точками границы плоскости назовем диаметром плоскости Двойной интеграл а максимальный среди них Двойной интегралдиаметром разбиения области Двойной интеграл
2) выберем на каждой из плоскостей произвольным образом по точке Двойной интегралДвойной интеграл вычислим Двойной интеграл и найдем произведения Двойной интеграл
3) составим сумму всех таких произведений

Двойной интеграл

которую назовем интегральной суммой для функции Двойной интеграл в области Двойной интеграл
4) вычислим границу (если она существует) интегральной суммы (26.1) при условии, что диаметр разбиения стремится к нулю при неограниченном росте Двойной интеграл то естьДвойной интеграл вместе с Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.1

Конечна граница Двойной интеграл интегральной суммы Двойной интеграл когда диаметр разбиения стремится к нулю Двойной интеграл а Двойной интеграл называется двойным интегралом (от) функции Двойной интеграл по области Двойной интеграл и обозначается так:

Двойной интеграл или Двойной интеграл

где Двойной интеграл– знак (символ) двойного интеграла;

Двойной интеграл– область интегрирования;

Двойной интеграл– подынтегральная функция;

Двойной интеграл– подынтегральное выражение;

Двойной интеграл– переменные интегрирования;

Двойной интегралэлемент площади, или дифференциал площади.

Следовательно, по определению

Двойной интеграл

Теорема 26.1 (существование двойного интеграла). Если задана функция двух переменных непрерывна в рассматриваемой замкнутой области, то существует конечное предел интегральной суммы (то есть двойной интеграл), и она не зависит ни от способа разбиения области на плоскости, ни от выбора точек в них для составления интегральной суммы.

Теорему приводим без доказательства.
Функция Двойной интеграл для которой существует двойной интеграл по области Двойной интеграл называется интегрируемой на этой области.

Согласно теореме 26.1 разбиения области Двойной интеграл можно осуществлять простым из возможных способов (рис. 26.2), а именно: в декартовой системе координат Двойной интеграл – прямыми, параллельными координатным осям.

Двойной интеграл

Рис. 26.2

В этом случае плоскость – прямоугольник со сторонами Двойной интеграл который образуется при переходе от точки Двойной интеграл к точке Двойной интеграл где Двойной интеграл Поэтому Двойной интеграл потому приросты независимых переменных Двойной интеграл равны их дифференциалам: Двойной интеграл

Таким образом, можно записать:

Двойной интеграл

Геометрический смысл двойного интеграла

В дальнейшем тело, ограниченное поверхностью Двойной интеграл плоскостью Двойной интеграл и цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Двойной интеграл а направляющей предел Двойной интеграл области Двойной интеграл (рис. 26.3), коротко будем называть цилиндрическим телом для функции Двойной интеграл на (области) Двойной интеграл

Анализируя с геометрической точки зрения процедуру, которая предшествовала определению двойного интеграла для неотъемлемой в области Двойной интеграл функции Двойной интеграл приходим к выводу: каждое слагаемоеДвойной интеграл интегральной суммы численно равен объему прямой призмы с площадью основания Двойной интеграл и высотой Двойной интеграл (рис. 26.3), а интегральная сумма численно дает приближенное значение Двойной интеграл объема Двойной интеграл цилиндрического тела для функции Двойной интеграл на области Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.3

Свойства двойного интеграла

Сравнивая определение двойного интеграла и определение определенного интеграла функции одной переменной, можно сделать вывод, что по структуре эти определения аналогичны. Поэтому свойства двойного интеграла, а также их доведения почти повторяют соответствующие свойства определенного интеграла. Приведем эти свойства.

1. Двойной интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме двойных интегралов от слагаемых:

Двойной интеграл

2. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла:

Двойной интеграл

3. Если область Двойной интеграл разбить на две области Двойной интеграл и Двойной интеграл которые не имеют общих внутренних точек, и функция Двойной интеграл непрерывна в области Двойной интеграл то

Двойной интеграл

4. Если Двойной интегралв области Двойной интеграл то

Двойной интеграл

5. Если в каждой точке области Двойной интеграл функции Двойной интеграл и Двойной интеграл непрерывны и удовлетворяют условию Двойной интеграл то

Двойной интеграл

6. Если функция Двойной интеграл непрерывна в области Двойной интеграл и удовлетворяет двойное неравенство Двойной интеграл где Двойной интеграл и Двойной интеграл – наименьшее и наибольшее значение функции Двойной интеграл в области Двойной интеграл, то

Двойной интеграл

где Двойной интеграл – площадь области Двойной интеграл

7. Если функция Двойной интеграл  непрерывна в области Двойной интеграл то в этой области существует такая точка Двойной интеграл что

Двойной интеграл

где Двойной интеграл – площадь области Двойной интеграл

Значение Двойной интеграл называется средним значением функции Двойной интеграл в области Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Установим формулы для вычисления двойного интеграла Двойной интеграл опираясь на его геометрический смысл (26.3) и формулу вычисления объема тела с помощью определенного интеграла: Двойной интеграл (26.11) где Двойной интеграл – площадь поперечного сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Двойной интеграл а Двойной интеграл и Двойной интеграл = – уравнение плоскостей, ограничивающих данное тело.

Область Двойной интеграл плоскости Двойной интеграл называется правильной, или простой, в направлении оси Двойной интеграл если она ограничена прямыми Двойной интеграл и двумя непрерывными кривыми Двойной интеграл и Двойной интеграл а любая прямая Двойной интеграл параллельная оси Двойной интеграл пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис. 26.4 а, б).

Двойной интеграл

Рис. 26.4

Рассмотрим цилиндрическое тело для функции Двойной интеграл на правильной в направлении оси Двойной интеграл области Двойной интеграл (рис. 26.5). Проведем произвольную плоскость, параллельную плоскости Двойной интеграл В сечении цилиндрического тела этой плоскостью получаем криволинейную трапецию, площадь которой выражается интегралом от функции Двойной интеграл где Двойной интеграл фиксировано, а Двойной интеграл меняется от Двойной интеграл Таким образом, площадь сечения равна:

Двойной интеграл

Согласно формуле (26.11) объем данного цилиндрического тела равна:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.5

С другой стороны, на основании геометрического смысла двойного интеграла имеем:

Двойной интеграл

Сопоставляя последние две формулы, окончательно получаем:

Двойной интеграл

или в более удобной (для использования) форме:

Двойной интеграл

Правую часть формулы (26.12) как определенный интеграл от определенного интеграла называют двукратным или повторным интегралом от функции Двойной интеграл по области Двойной интеграл В нем интеграл по переменной y называют внутренним, а по переменной Двойной интегралвнешним интегралом

Согласно формуле (26.12) сначала проводят интегрирования по переменной Двойной интеграл то есть находят внутренний интеграл Двойной интеграл (при этом переменная Двойной интеграл считается постоянной), после чего полученную функцию от Двойной интеграл интегрируют в пределах от Двойной интеграл до Двойной интеграл с переменной Двойной интеграл то есть вычисляют внешний интеграл.

Аналогично область Двойной интеграл плоскости Двойной интеграл называется правильной, или простой, в направлении оси Двойной интеграл если она ограничена прямыми Двойной интеграл и Двойной интегралДвойной интеграл и двумя непрерывными кривыми Двойной интеграл и Двойной интеграл а любая прямая Двойной интеграл Двойной интеграл, параллельная оси Двойной интеграл пересекает каждую из этих кривых только в одной точке (рис.26.6 а, б).

Двойной интеграл

Рис. 26.6

Для правильной в направлении оси Двойной интеграл области вычисления двойного интеграла сводится к вычислению двукратного или повторного, интеграла по формуле:

Двойной интеграл

Как итог рассматриваемого наведем порядок нахождения двойного интеграла:

1) строим область интегрирования Двойной интеграл ограниченную заданными линиями;
2) анализируем ее с целью установления того, является ли она правильной в направлении хотя бы одной из осей координат, и определяем границы интегрирования;
3) применяем одну из формул, (26.12) или (26.13), и находим сначала внутренний интеграл (как правило, со сменными пределами интегрирования), а затем – внешний (с постоянными пределами интегрирования).

Двойной интеграл

Рис. 26.7

Если область Двойной интеграл не является правильной, то ее подают в виде объединения правильных областей, осуществив ее разбиение на части прямыми, параллельными координатным осям, и применяют свойство 3 двойного интеграла, а именно:

Двойной интеграл

Формулы приведения двойного интеграла к повторным (26.12) и (26.13) существенно упрощаются, если область Двойной интеграл является прямоугольником со сторонами, параллельными осям координат (рис. 26.7).

В этом случае пределы интегрирования являются постоянными не только для внешнего, но и для внутреннего интеграла:

Двойной интеграл

и в каком порядке интегрировать сначала по переменной Двойной интеграл а затем по переменной Двойной интеграл или наоборот, не имеет значения.

Вычислим Двойной интеграл если область Двойной интеграл – прямоугольник: Двойной интеграл Двойной интеграл

По формуле (26.15) имеем:

Двойной интеграл

Если подынтегральная функция является произведением функции от Двойной интеграл с функцией от Двойной интеграл и пределы интегрирования постоянные, то двойной интеграл равен произведению определенных интегралов по каждой переменной.

Вычислим Двойной интеграл если область Двойной интеграл ограничена линиями: Двойной интегралДвойной интеграл и Двойной интеграл

Построим область интегрирования Двойной интеграл (рис. 26.8). Она является правильным в направлении оси Двойной интеграл поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной Двойной интеграл а внешнее – по Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.8

Вычислим Двойной интеграл если область Двойной интеграл ограничена линиями:
Двойной интеграл и Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл (рис. 26.9).

Двойной интеграл

Рис. 26.9

Она является правильной в направлении оси Двойной интеграл поэтому внутреннее интегрирование проводим по переменной Двойной интеграл а внешнее – по Двойной интеграл

Двойной интеграл

Вычислим Двойной интеграл если область Двойной интеграл ограничена линиями:
Двойной интеграл и Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл (рис. 26.10).
Находим точки взаимного пересечения каждой пары линий, ограничивающих Двойной интеграл.
Линии Двойной интеграл – пересекаются в начале координат Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.10

Область Двойной интеграл не является правильным ни в направлении оси Двойной интеграл ни в направлении оси Двойной интеграл Разобьем ее прямой Двойной интеграл на две правильные в направлении оси Двойной интеграл области Двойной интеграл и Двойной интеграл По формуле (26.14) имеем:

Двойной интеграл

Двойной интеграл в полярных координатах

При переходе в двойном интеграле от декартовых координат Двойной интеграл и Двойной интеграл к полярным Двойной интеграл и Двойной интеграл используют связь между координатами Двойной интеграл и Двойной интеграл (24.4):

Двойной интеграл

и выражение для дифференциала площади в полярных координатах:

Двойной интеграл

Соответствующая формула перехода имеет вид:

Двойной интеграл

где Двойной интеграл и Двойной интеграл – полярные координаты точек области Двойной интеграл

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах сводится к вычислению двукратного (повторного) интеграла по переменными Двойной интеграл и Двойной интеграл.

Если область Двойной интеграл является разностью двух криволинейных секторов (рис. 26.11), то есть фигурой, ограниченной лучами, которые образуют с полярной осью Двойной интеграл углы Двойной интеграл и Двойной интеграл и кривыми Двойной интеграл и Двойной интеграл где Двойной интегралДвойной интегралто

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.11

Если область Двойной интеграл ограничена сомкнутой линией Двойной интеграл и начало координат лежит внутри области, то

Двойной интеграл

Переход к полярным координатам в двойном интеграле целесообразно делать, если область интегрирования представляет собой круг, кольцо или их частями, то есть граница области Двойной интеграл содержит дуги кругов и отрезки лучей, исходящих из полюса Двойной интеграл

Вычислим Двойной интеграл где Двойной интеграл– круг Двойной интеграл

Пределом области Двойной интеграл является окружность радиуса 2 с центром в точке Двойной интеграл

Двойной интеграл

Применим формулы перехода от декартовых координат к полярным:Двойной интегралДвойной интеграл

В координатах Двойной интеграл уравнение границы области Двойной интеграл примет вид:

Двойной интеграл

Построим в декартовых координатах круг Двойной интеграл или Двойной интеграл (рис. 26.12). В полярных координатах соответствующая область интегрирования – криволинейный сектор, ограниченный лучами Двойной интеграл а полярный радиус Двойной интеграл меняется от Двойной интеграл до Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.12

По формуле (26.17) имеем:

Двойной интеграл

Вычислим с помощью двойного интеграла в полярных координатах несобственный интеграл Эйлера-Пуассона:

Двойной интеграл

Для этого рассмотрим двойной интеграл Двойной интеграл где Двойной интеграл– четверть круга некоторого радиуса Двойной интеграл расположенного в первом квадранте декартовой системы координат: Двойной интеграл Для вычисления Двойной интеграл перейдем к полярным координатам: Двойной интеграл Двойной интегралтогда

Двойной интеграл

Если теперь неограниченно увеличивать радиус Двойной интеграл то получим несобственный интеграл по всей первой четверти (рис. 26.13), так как при Двойной интеграл область Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.13

расширяется так, что любая точка первой четверти Двойной интеграл попадет в Двойной интеграл и останется в ней, а Двойной интеграл направляться в Двойной интеграл

Двойной интеграл

С другой стороны, при Двойной интеграл и Двойной интеграл и Двойной интеграл поэтому можно записать:

Двойной интеграл

поскольку определенный интеграл (а с ним и несобственный) не зависит от обозначения переменной интегрирования.

Таким образом, Двойной интегралоткуда: Двойной интеграл

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла

Если в формуле (26.3): Двойной интегралположить Двойной интегралДвойной интегралто интегральная сумма для функции Двойной интеграл в области Двойной интеграл давать приближенно площадь этой области Двойной интеграл

Двойной интеграл

а за ее точное значение принимается значение интеграла:

Двойной интеграл

Если область Двойной интеграл – разность двух криволинейных секторов (рис. 26.11) – заданная в полярной системе координат неровностямиДвойной интеграл Двойной интеграл то

Двойной интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Двойной интеграл

Построим плоскую фигуру (рис. 26.14) и определим точки пересечения заданных линий – гиперболы и прямой, – решив систему их уравнений:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Рис. 26.14

Решим первое уравнение: Двойной интегралДвойной интегралоткуда Двойной интегралДвойной интеграл тогда Двойной интегралДвойной интегралСледующим образом: Двойной интеграл. (Вторая ветвь гиперболы Двойной интеграл не показаны, поскольку она не имеет общих точек с прямой Двойной интеграл

Заданная фигура является областью, правильной и в направлении оси Двойной интеграл и в направлении оси Двойной интеграл Для вычисления ее площади воспользуемся формулой (26.19). В соответствующем повторном интеграле внешний интеграл берем по переменной Двойной интеграл от Двойной интеграл до Двойной интеграл а внутренний – по переменной Двойной интеграл от Двойной интеграл к Двойной интеграл

Двойной интеграл

Вычислим площадь плоской области Двойной интегралограниченной кругом Двойной интеграл и прямыми Двойной интеграл

Построим область Двойной интеграл для чего предварительно сведем уравнение окружности Двойной интеграл к каноническому виду Двойной интеграл (рис. 26.15).

Площадь заданной области целесообразно вычислить в полярных координатах:Двойной интеграл Двойной интеграл Запишем уравнение окружности Двойной интегралДвойной интеграл в координатах Двойной интеграл или Двойной интеграл По уравнениям заданных прямых устанавливаем, что угол Двойной интеграл изменяется от Двойной интеграл до Двойной интеграл Таким образом, согласно формуле (26.20) имеем:

Двойной интеграл

Вычисление объема тела с помощью двойного интеграла

По определению двойного интеграла и его геометрическим смыслом было доказано, что двойной интеграл Двойной интеграл равен объему тела, ограниченного поверхностью Двойной интеграл областью Двойной интеграл плоскости Двойной интеграл и цилиндрической поверхностью, направляющей которой является граница области Двойной интеграл и образующими, параллельными оси Двойной интеграл а именно:

Двойной интеграл

Найдем объем тела, ограниченного поверхностями: Двойной интегралДвойной интегралДвойной интеграл

Проанализируем уравнение поверхностей и построим область интегрирования Двойной интеграл Заданное пространственное тело ограничено: сверху – плоскостью Двойной интеграл боков – двумя параболическими цилиндрами Двойной интеграл и Двойной интеграл с образующими, параллельными оси Двойной интеграл снизу – областью Двойной интеграл которая «вырезается» на плоскости Двойной интеграл цилиндрическими поверхностями и плоскостью Двойной интеграл (рис. 26.16).

Двойной интеграл

Рис. 26.16

По формуле (26.3) получаем:

Двойной интеграл

Найдем объем тела, ограниченного параболоидом Двойной интеграл и плоскостями Двойной интегралДвойной интеграл (в I октанте).

Построим область интегрирования Двойной интеграл согласно условию задачи (рис. 26.17).
Вычислим объем Двойной интеграл осуществив в двойном интеграле переход к полярным координатам, при этом уравнение окружности Двойной интеграл запишется как Двойной интеграл а прямые Двойной интеграл и Двойной интеграл образуют с осью Двойной интеграл углы Двойной интеграл и Двойной интеграл в соответствии.

Двойной интеграл

Рис. 26.17
Итак, по формуле (26.17) получим:

Двойной интеграл

Рассмотрим две задачи, в которых двойной интеграл применяется для вычислений в сфере экономики.

1. Пусть Двойной интеграл – областьь посевов некоторой сельскохозяйственной культуры. В каждой точке Двойной интеграл известна урожайность Двойной интеграл этой культуры (например, по наблюдениям из космоса). Тогда величина Двойной интеграл численно равна урожая, который можно собрать с области Двойной интеграл при отсутствии потерь.

2. Аналогично, если функция Двойной интеграл описывает плотность населения в точке Двойной интеграл некоторого региона-области Двойной интеграл то величина Двойной интеграл численно равна численности населения этого региона.

В обоих задачах аналитическое выражение подынтегральной функции устанавливается как эмпирическая формула.

Подводя итоги темы «двойной интеграл», отметим, что рядом с двойными существуют также и многомерные (Двойной интеграл-мерные, Двойной интеграл) интегралы. Определение соответствующих интегралов вводятся аналогично тому, как это было сделано при определении двойного интеграла, а их вычисления сводится к вычислению Двойной интеграл-кратных определенных интегралов. Наиболее распространенными являются тройные интегралы от функции Двойной интеграл по пространственной (трехмерной) области Двойной интеграл ограниченной некоторой замкнутой поверхностью. Взятие тройного интеграла сводится к последовательному вычисления трех определенных интегралов.

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Лекции:

  • Асимптотическое поведение функций. Сравнение бесконечно малых функций
  • Прямая линия на плоскости
  • Выпуклость и вогнутость графика функции
  • Матанализ для чайников
  • Производные некоторых элементарных функций
  • Система показательных уравнений
  • Поверхность второго порядка
  • Уравнения с одной переменной
  • Найдите координаты точки пересечения графиков
  • Геометрический смысл производной в точке

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой обласДвойной интегралти D плоскости Оху задана непрерывная функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей» Двойной интеграл площади которых обозначим через Двойной интеграл а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) — через Двойной интеграл(см. рис. 214).

Двойной интеграл

В каждой области Двойной интеграл выберем произвольную точку Двойной интегралумножим значение Двойной интеграл функции в этой точке на Двойной интеграл и составим сумму всех таких произведений:

Двойной интеграл

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x; у) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремится к бесконечности таким образом, что Двойной интеграл Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается

Двойной интеграл

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

Двойной интеграл

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; Dобласть интегрирования; х и у — переменные интегрирования; dx dy (или dS) — элемент площади.

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без доказательства.

Теорема:

Достаточное условие интегрируемости функции. Если функция z = f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

Замечания:

  1. Далее будем рассматривать только функции, непрерывные в области интегрирования, хотя двойной интеграл может существовать не только для непрерывных функций.
  2. Из определения двойного интеграла следует, что для интегрируемой в области D функции предел интегральных сумм существует и не зависит от способа разбиения области. Таким образом, мы можем разбивать область D на площадки прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом Двойной интеграл равенство (53.2) можно записать в виде

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу. Объем цилиндрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностьюДвойной интеграл, снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произвольным образом на п областей Двойной интеграл, площади которых равны AДвойной интеграл Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями ограниченные сверху кусками поверхности z = f(x;y) (на рис. 216 один из них выделен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием Двойной интеграл через Двойной интеграл, получим

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку Двойной интеграл и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием Двойной интеграл и высотой Двойной интеграл Объем этого цилиндра приближенно равен объему Двойной интеграл цилиндрического столбика, т. е. Двойной интеграл Тогда получаем:

Двойной интеграл

Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «элементарных областей» Двойной интеграл,. Естественно принять предел суммы (53.3) при условии, что число площадок Двойной интеграл неограниченно увеличивается Двойной интеграл а каждая площадка стягивается в точку Двойной интеграл за объем V цилиндрического тела, т. е.

Двойной интеграл

или, согласно равенству (53.2),

Двойной интеграл

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу m плоской пластинки D. зная, что ее поверхностная плотность Двойной интеграл есть непрерывная функция координат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей Двойной интеграл площади которых обозначим через Двойной интеграл. В каждой области Двойной интеграл возьмем произвольную точку Двойной интеграл и вычислим плотность в ней: Двойной интеграл

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке Двойной интеграл мало отличается от значения Двойной интегралСчитая приближенно плотность в каждой точке области Двойной интеграл постоянной, равной Двойной интеграл, можно найти ее массу Двойной интеграл Так как масса m всей пластинки D равна Двойной интеграл Для ее вычисления имеем приближенное равенство

Двойной интеграл

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии Двойной интеграл

Двойной интеграл

или, согласно равенству (53.2),

Двойной интеграл

Итак, двойной интеграл от функции Двойной интеграл численно равен массе пластинки, если подынтегральную функцию Двойной интеграл считать плотностью этой пластинки в точке (х; у). В этом состоит физический смысл двойного интеграла.

Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтегральные функции интегрируемыми.

Двойной интеграл

3.Если область D разбить линией на две области Двойной интеграл такие, что Двойной интеграла пересечение Двойной интеграл состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Двойной интеграл

Двойной интеграл

4.Если в области D имеет место неравенство Двойной интеграл то иДвойной интеграл Если в области D функции f(x;y) и Двойной интеграл удовлетворяют неравенству Двойной интеграл то и

Двойной интеграл

6.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой Двойной интеграл— соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точкаДвойной интеграл, что Двойной интеграл Величину

Двойной интеграл

называют средним значением функции f(x; у) в области D.

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.

Пусть требуется вычислить двойной интеграл Двойной интеграл где функция Двойной интеграл непрерывна в области D. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x;y). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что

Двойной интеграл

Двойной интеграл

где S(x) — площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а х = а, х = b — уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми x = a и x = b и кривымиДвойной интеграл, причем функции Двойной интеграл непрерывны и таковы, что Двойной интеграл для всех Двойной интеграл (см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Двойной интеграл

Двойной интеграл

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями

Двойной интеграл

(см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Двойной интеграл

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

Двойной интеграл

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции Двойной интегралпо области D. Следовательно,

Двойной интеграл

Это равенство обычно записывается в виде

Двойной интеграл

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции f(x;y) по области D. При этом Двойной интеграл называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до b.

Если же область D ограничена прямыми Двойной интеграл кривыми

Двойной интеграл

для всех Двойной интеграл т. е. область Dправильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью у = const, аналогично получим:

Двойной интеграл

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.

Замечания:

  1. Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когдаДвойной интеграл
  2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
  3. Если область D не является правильной ни «по x», ни «по у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
  4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

Пример:

Вычислить Двойной интегралгде область D ограничена линиями уДвойной интеграл

Двойной интеграл

Решение:

На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная в направлении оси Ох. Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует разбить на две области: Двойной интеграл. Получаем:

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Ответ, разумеется, один и тот же.

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Двойной интеграл

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

Двойной интеграл

а функция f(х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Двойной интеграл

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами Двойной интеграл

В качестве инь возьмем полярные координаты Двойной интегралОни связаны с декартовыми координатами формулами Двойной интеграл (см. п. 9.1).

Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (53.10) как

Двойной интеграл

Формула замены переменных (53.11) принимает вид:

Двойной интеграл

где D* — область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лучамиДвойной интеграл и кривыми Двойной интеграл где Двойной интеграл т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы (53.12) можно записать в виде

Двойной интеграл

Внутренний интеграл берется при постоянном Двойной интеграл

Двойной интеграл

Замечания:

  1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид Двойной интеграл область D есть круг, кольцо или часть таковых.
  2. На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены Двойной интеграл уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по Двойной интеграл (исследуя закон изменения Двойной интегралточки Двойной интеграл при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

Пример:

Вычислить Двойной интеграл где область D — круг Двойной интеграл

Решение: Применив формулу (53.12), перейдем к полярным координатам:

Двойной интеграл

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см. рис. 222) Двойной интеграл Заметим: область D —круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. Поэтому, согласно формуле (53.13), имеем:

Двойной интеграл

Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), объем цилиндрического тела находится по формуле

Двойной интеграл

где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

Двойной интеграл

или, в полярных координатах,

Двойной интеграл

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с переменной плотностью Двойной интеграл находится по формуле

Двойной интеграл

Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см. п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

Двойной интеграл

а координаты центра масс фигуры по формулам

Двойной интеграл

Моменты инерции плоской фигуры

Моментом инерции материальной точки массы m относительно оси l называется произведение массы m на квадрат расстояния d точки до оси, т. е. Двойной интеграл Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох и Оу могут быть вычислены по формулам:

Двойной интеграл

Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле Двойной интеграл

Замечание:

Приведенными примерами не исчерпывается применение двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Пример:

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Двойной интеграл

Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

Двойной интеграл

Двойной интеграл

находим уравнение линии их пересечения:

Двойной интеграл

Искомый объем равен разности объемов двух цилиндрических тел с одним основанием (круг Двойной интеграл) и ограниченных сверху соответственно поверхностями Двойной интегралИспользуя формулу (53.4), имеем

Двойной интеграл

Переходя к полярным координатам, находим:

Двойной интеграл

Пример:

Найти массу, статические моментыДвойной интеграл и координаты центра тяжести фигуры, лежащей в первой четверти, ограниченной эллипсом Двойной интеграл и координатными осями (см. рис. 224). Поверхностная плотность в каждой точке фигуры пропорциональна произведению координат точки.

Двойной интеграл

Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию, Двойной интеграл — коэффициент пропорциональности.

Двойной интеграл

Находим статические моменты пластинки:

Двойной интеграл

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Двойной интеграл

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Решение заданий и задач по предметам:

  • Математика
  • Высшая математика
  • Математический анализ
  • Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

  1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
  2. Функции и графики
  3. Преобразования графиков функций
  4. Квадратная функция и её графики
  5. Алгебраические неравенства
  6. Неравенства
  7. Неравенства с переменными
  8. Прогрессии в математике
  9. Арифметическая прогрессия
  10. Геометрическая прогрессия
  11. Показатели в математике
  12. Логарифмы в математике
  13. Исследование уравнений
  14. Уравнения высших степеней
  15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
  16. Комплексные числа
  17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
  18. Алгебраические уравнения
  19. Неопределенные уравнения
  20. Соединения
  21. Бином Ньютона
  22. Число е
  23. Непрерывные дроби
  24. Функция
  25. Исследование функций
  26. Предел
  27. Интеграл
  28. Тройной интеграл
  29. Интегрирование
  30. Неопределённый интеграл
  31. Определенный интеграл
  32. Криволинейные интегралы
  33. Поверхностные интегралы
  34. Несобственные интегралы
  35. Кратные интегралы
  36. Интегралы, зависящие от параметра
  37. Квадратный трехчлен
  38. Производная
  39. Применение производной к исследованию функций
  40. Приложения производной
  41. Дифференциал функции
  42. Дифференцирование в математике
  43. Формулы и правила дифференцирования
  44. Дифференциальное исчисление
  45. Дифференциальные уравнения
  46. Дифференциальные уравнения первого порядка
  47. Дифференциальные уравнения высших порядков
  48. Дифференциальные уравнения в частных производных
  49. Тригонометрические функции
  50. Тригонометрические уравнения и неравенства
  51. Показательная функция
  52. Показательные уравнения
  53. Обобщенная степень
  54. Взаимно обратные функции
  55. Логарифмическая функция
  56. Уравнения и неравенства
  57. Положительные и отрицательные числа
  58. Алгебраические выражения
  59. Иррациональные алгебраические выражения
  60. Преобразование алгебраических выражений
  61. Преобразование дробных алгебраических выражений
  62. Разложение многочленов на множители
  63. Многочлены от одного переменного
  64. Алгебраические дроби
  65. Пропорции
  66. Уравнения
  67. Системы уравнений
  68. Системы уравнений высших степеней
  69. Системы алгебраических уравнений
  70. Системы линейных уравнений
  71. Системы дифференциальных уравнений
  72. Арифметический квадратный корень
  73. Квадратные и кубические корни
  74. Извлечение квадратного корня
  75. Рациональные числа
  76. Иррациональные числа
  77. Арифметический корень
  78. Квадратные уравнения
  79. Иррациональные уравнения
  80. Последовательность
  81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
  82. Тригонометрические функции произвольного угла
  83. Тригонометрические формулы
  84. Обратные тригонометрические функции
  85. Теорема Безу
  86. Математическая индукция
  87. Показатель степени
  88. Показательные функции и логарифмы
  89. Множество
  90. Множество действительных чисел
  91. Числовые множества
  92. Преобразование рациональных выражений
  93. Преобразование иррациональных выражений
  94. Геометрия
  95. Действительные числа
  96. Степени и корни
  97. Степень с рациональным показателем
  98. Тригонометрические функции угла
  99. Тригонометрические функции числового аргумента
  100. Тригонометрические выражения и их преобразования
  101. Преобразование тригонометрических выражений
  102. Комбинаторика
  103. Вычислительная математика
  104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
  105. Прямая и плоскость
  106. Линии и уравнения
  107. Прямая линия
  108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
  109. Кривые второго порядка
  110. Кривые и поверхности второго порядка
  111. Числовые ряды
  112. Степенные ряды
  113. Ряды Фурье
  114. Преобразование Фурье
  115. Функциональные ряды
  116. Функции многих переменных
  117. Метод координат
  118. Гармонический анализ
  119. Вещественные числа
  120. Предел последовательности
  121. Аналитическая геометрия
  122. Аналитическая геометрия на плоскости
  123. Аналитическая геометрия в пространстве
  124. Функции одной переменной
  125. Высшая алгебра
  126. Векторная алгебра
  127. Векторный анализ
  128. Векторы
  129. Скалярное произведение векторов
  130. Векторное произведение векторов
  131. Смешанное произведение векторов
  132. Операции над векторами
  133. Непрерывность функций
  134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
  135. Предел и непрерывность функции одной переменной
  136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
  137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
  138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  139. Матрицы
  140. Линейные и евклидовы пространства
  141. Линейные отображения
  142. Дифференциальные теоремы о среднем
  143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
  144. Функции комплексного переменного
  145. Преобразование Лапласа
  146. Теории поля
  147. Операционное исчисление
  148. Системы координат
  149. Рациональная функция
  150. Интегральное исчисление
  151. Интегральное исчисление функций одной переменной
  152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  153. Отношение в математике
  154. Математическая логика
  155. Графы в математике
  156. Линейные пространства
  157. Первообразная и неопределенный интеграл
  158. Линейная функция
  159. Выпуклые множества точек
  160. Система координат

Добавить комментарий