Здравствуйте! В этой статье мы с вами рассмотрим задачи с шарами. Вернее здесь будет комбинация тел: шар вписанный в цилиндр или другими словами цилиндр описанный около шара (что одно и тоже) и куб вписанный в шар.
На блоге уже рассмотрена группа задач с шарами, посмотрите. В представленных заданиях речь пойдёт о нахождении объёма и площади поверхности указанных тел. Формулы которые необходимо знать!
Формула объёма шара:
Формула площади поверхности шара:
Формула объёма цилиндра:
Формула площади поверхности цилиндра:
Подробнее о площади боковой поверхности цилиндра:
Она представляет собой «скрученный» в цилиндр прямоугольник одна сторона которого равна длине окружности основания — это 2ПiR, другая сторона равна высоте цилиндра — это Н.
Что стоит отметить касаемо представленных задач?
1. Если шар вписан в цилиндр, то у них общий радиус.
2. Высота цилиндра описанного около шара равна двум его радиусам (или диаметру).
3. Если куб вписан в шар, то диагональ этого куба равна диаметру шара.
245348. Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
Формула объёма шара:
Необходимо найти радиус шара.
У шара и у цилиндра общий радиус. Основание цилиндра это круг с радиусом R, высота цилиндра равна двум радиусам. Значит объём цилиндра вычисляется по формуле:
Подставим данный в условии объём в формулу и выразим радиус:
Оставим выражение в таком виде, выражать радиус (извлекать корень третьей степени) не обязательно, так как нам понадобится именно R3.
Таким образом, объём шара будет равен:
Ответ: 22
245349. Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
Эта задача обратная предыдущей.
Формула объёма шара:
Объём цилиндра вычисляется по формуле:
Так как объём шара известен, то мы можем выразить радиус и уже далее найти объём цилиндра:
Таким образом:
Ответ: 36
316557. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Формула поверхности шара:
Формула поверхности цилиндра:
Упростим:
Так как площадь поверхности шара нам дана, то мы можем выразить радиус:
Далее подставим его в формулу площади поверхности цилиндра и вычислить её, таким образом:
Ответ: 166,5
245355. Куб вписан в шар радиус которого равен корню из трёх. Найдите объем куба.
Чтобы вычислить объём куба необходимо знать чему равно его ребро. Радиус шара равен половине диагонали куба:
*Диагональ куба равна диаметру шара.
Значит диагональ куба будет равна двум корням из трёх. Обозначим диагональ буквой d, а ребро куба буквой a. Нам известна формула выражающая взаимосвязь диагонали куба и его ребра:
Значит мы можем вычислить ребро куба:
Таким образом, объём куба будет равен 23 = 8.
Ответ: 8
Если подвести небольшой итог, то можно сказать следующее:
Используя указанные формулы при данных величинах объёма или площади поверхности всегда можно найти (выразить) радиус. А затем зная радиус, далее уже можно его использовать при вычислениях.
В любом случае знание формул обязательно!!! Без этого никак. На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 2 № 269289 
i
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 12. Найдите объем шара.
Решение.
Это задание ещё не решено, приводим решение прототипа.
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
##
Выразим из формулы для объёма цилиндра 
и подставим в формулу для объёма шара
Ответ: 22.
Аналоги к заданию № 245348: 269309 513619 269265 … Все
Классификатор стереометрии: Комбинации круглых тел, Объём цилиндра, конуса, шара
Прототип задания
·
Видеокурс
|
Цилиндр описан около шара. Найдите объем шара, если известно, что объем цилиндра равен 60.
Объем цилиндра V=1/4πD²H В данном случае H=D Формула превращается V=1/4πD³ Можем найти D=³√ (4V/π) Объем шара V=1⅓πR³ или V = 1/6πD³ Подставляем V = 1/6πD³= 1/6 π * (4V/π)=2/3 V=40 cм³ Т.е. отношение объема шара, вписанного в цилиндр, относится к объему шара как 2/3 система выбрала этот ответ лучшим
Дмитрий755 3 года назад Это задание относится к тренировочному варианту ЕГЭ №199. Высота нашего цилиндра равна двум радиусам вписанного шара. Обозначим радиус шара (он же радиус основания цилиндра) за R, объём цилиндра за V1, объём шара – V. Получим V1=S*h=πR²*2R=2πR³=60 R³=30/π Объём шара будет: V=4/3*πR³=4/3π*30/π=40 Ответ: объём шара 40.
Евгений трохов 3 года назад Пусть объём шара- V.Объём цилиндра равен 60. Имеем равенства: 60=πr^2*2r( здесь 2r-высота цилиндра,r- радиус основания= радиусу шара. V=4πr^3/3. Делим почленно: 60 /V=(2πr^3)*3/4πr^3=6/4=3/2,отсюда: V=(2/3)*60=40 куб.см Знаете ответ? |
sierghieipienk
+15
Решено
10 лет назад
Алгебра
10 – 11 классы
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 18. Найдите объем шара?
Смотреть ответ
1
Ответ проверен экспертом
4
(34 оценки)
74
OlyaSmy17
10 лет назад
Светило науки – 14 ответов – 277 раз оказано помощи
1. V цил= Пи R^2 *h
V шара=4/3*Пи r^3
Т.к. цил-р описан около шара, то шар касается цил-ра в 4-х точках, отсюда радиус цил-ра равен рад. шара. Высота цил-ра равна диаметру шара.
r=R
Получаем ПиR^2*D=18
4/3Пи R^3 = V, R=1/2 D
4/3Пи R^2*R= 4/3Пи R^2* 1/2D= V
ПиR^2*D=18 и 4/3Пи R^2* 1/2D= V
Уничтожаем общие члены ПиR^2 и D.
Осталось V= 18*4/6 = 12.
Ответ: объем шара 12.
(34 оценки)
https://vashotvet.com/task/656423
Решение
Из рисунка видно, что, с одной стороны, диаметр шара является диаметром окружности основания цилиндра, а с другой стороны, является высотой цилиндра. Пусть радиус шара равен R, тогда его диаметр равен 2R, значит, высота цилиндра H равна 2R. Находим объём цилиндра: Vцил. = Sосн. · H =pi R^2 cdot 2R = 2pi R^3. По условию 66 = 2pi R^3. Отсюда pi R^3 = 33. Так как Vшара = R^3, то искомый объём равен frac43cdot33=44.
Ответ
44
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
