Как найти объем шарового пояса

Как найти объем шарового пояса

Формулы объема

Объем и площадь шарового слоя и шарового пояса.

Шаровой пояс и шаровой слой

Объем шара равен 4/3π3 , а площадь сферы равна 4πr2.

Шаровой слой – это часть шара между двумя параллельными плоскостями. На рисунке выше PQRS – шаровой слой.

Шаровой пояс – это сферическая поверхность шарового слоя.

Площадь шарового пояса на рисунке выше S=2 πhr;

Объем шарового слоя V=(πh/6)*(h2+3r12+3r22)

Пример1. Определение объема шарового слоя шара.

Определить объем шарового слоя шара с диаметром 50 см, если верхний и нижний диаметры слоя есть 25 и 40 см, а его высота 7,2 см.

Решение:

Как было сказано выше, объем шарового слоя

V=(πh/6)*(h2+3r12+3r22),

где h=7,2 см, r1= 25/2=12,5 см, r2=40/2=20 см

Следовательно, объем шарового слоя равен

V=(7,2π/6)*(7,22+3*12,52+3*202)=6483,18 см2 .

Пример 2. Определение площади шарового пояса.

Определить площадь шарового пояса из предыдущего примера.

Решение:

Площадь шарового пояса S=2πrh (как было определено выше), где радиус сферы r=50/2=25 см, а h=7,2 см.

Следовательно, площадь шарового пояса равна

S=2π*25*7,2=1130,4 см2

Пример 3. Определение объема заполнения сферического резервуара по уровню.

Сферический резервуар

Сферический резервуар наполнен жидкостью до высоты 30 см. Определить объем жидкости в резервуаре (1л=1000 см3), если его внутренний диаметр равен 40 см.

Жидкость представлена в виде заштрихованной области в показанном на рис. ниже сечении.

Объем жидкости включает полусферу и шаровой пояс высотой 6 см.

Следовательно, объем жидкости есть V=(2/3)*πr3+(πh/6)*(h2+ 3r12+3r22), где

r2=40/2=20 см и r1=(202-62)1/2=19,1 см

Объем жидкости V=2/3 π *203+(6π)/6*(62+3*19,12+3*202)=24064,22 см3

Поскольку 1 литр =1000 см3, то количество литров жидкости равно

24064,22/1000=24,06422 л.

Источник

Шаровой слой

Шар пересеченный двумя параллельными плоскостями

Шаровой слой — часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар[1].

Содержание

  • 1 Связанные определения
  • 2 Свойства
  • 3 Вариации и обобщения
  • 4 См. также
  • 5 Примечания

Связанные определения[править | править код]

  • Основания шарового слоя — это сечения шара, образовавшиеся в результате пересечения шара двумя параллельными плоскостями.
  • Высота шарового слоя — это расстояние между основаниями слоя.

Свойства[править | править код]

  • Объём шарового слоя можно найти как разность объёма двух шаровых сегментов:
        V=pi left[H_{1}^{2}left(R-{frac {1}{3}}H_{1}right)-H_{2}^{2}left(R-{frac {1}{3}}H_{2}right)right],
    где V — объём шарового слоя, H_1 — высота большего шарового сегмента, H_2 — высота меньшего шарового сегмента, R — радиус шара.
  • Площадь сферической части поверхности шарового слоя (так называемый сферический пояс) зависит только от высоты слоя и радиуса шара[2]:
    S=2pi Rh,
где S — площадь сферического пояса, h — высота шарового слоя, R — радиус шара.

Вариации и обобщения[править | править код]

  • В физике под шаровым слоем часто понимают слой, ограниченный сферами радиуса r и r+dr, для маленького dr. Объем шарового слоя в этом случае с точностью до O{displaystyle (dr^{2})} равен dV=4pi r^{2}dr.

См. также[править | править код]

  • Сферический слой

Примечания[править | править код]

  1. ↑ Мантуров О. В. и др. Словарь математических терминов. — М.: Просвещение, 1965. — С. 512.
  2. ↑ Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 638.
Источник

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить объем шарового слоя (среза шара), а также пример решения задачи для демонстрации их практического применения.

  • Определение шарового слоя

  • Формула для нахождения объема шарового слоя

  • Пример задачи

Определение шарового слоя

Шаровый слой (или срез шара) – это часть шара, оставшаяся между двумя  пересекающими его параллельными плоскостями. На рисунке ниже окрашен в желтый цвет.

Шаровый слой (срез шара)

  • R – радиус шара;
  • r1 – радиус первого основания среза;
  • r2 – радиус второго основания среза;
  • h – высота шарового слоя; перпендикуляр от центра первого основания до центра второго.

Формула для нахождения объема шарового слоя

Чтобы найти объем шарового слоя (среза шара), необходимо знать его высоту, а также радиусы двух его оснований.

Формула для расчета объема шарового слоя (среза шара)

Эта же формула может быть представлена слегка в другом виде:

Формула для расчета объема шарового слоя (среза шара)

Примечания:

  • если вместо радиусов оснований (r1 и r2) известны их диаметры (d1 и d2), последние нужно поделить на 2 для получения соответствующих им радиусов.
  • число π обычно округляется до 3,14.

Пример задачи

Найдите объем шарового слоя, если радиусы его оснований равны 3,4 см и 5,2 см, а высота составляет 2 см.

Решение

Все что нам нужно сделать в данном случае – это подставить известные значения в одну из формул, приведенных выше (в качестве примера выберем вторую):

Пример расчета объема шарового слоя (среза шара)

Источник

Объем шарового слоя, формула

Объем шарового слоя
Шаровой слой — это часть шара [шар, сфера], заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями.
Шаровой пояс или Шаровая зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания шарового пояса. Расстояние между основаниями ON — это высота шарового слоя.

Объем шарового слоя выражается формулой:

[ V = frac{1}{6} pi h^3 + frac{1}{2} pi (r_1^2 + r_2^2) h ]


r1, r2 — радиусы оснований шарового слоя.

Вычислить, найти объем шарового слоя по формуле (1)

Объем шарового слоя

 стр. 345
Источник

({color{red}{{small{textbf{Факт 1. Про шаровой сегмент}}}}})
(bullet) Шаровой сегмент – шасть шара, отсекаемая от него плоскостью ((alpha)).

(bullet) Если (O) – центр шара, (OB=R) – радиус шара, перпендикулярный плоскости (alpha), (A) – центр круга (основания шарового сегмента), а также точка пересечения радиуса (OB) c этим кругом, то
(H=AB) – высота шарового сегмента.
(bullet) Площадь сферического сегмента (часть сферы, отсекаемая от нее плоскостью (alpha)) вычисляется по формуле [S=2pi cdot RH] (bullet) Объем шарового сегмента вычисляется по формуле [V=pi H^2cdot left(R-frac13Hright)]

({color{red}{{small{textbf{Факт 2. Про шаровой слой}}}}})
(bullet) Шаровой слой – часть шара, ограниченная двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

(bullet) Основания шарового слоя – это сечения шара плоскостями.
(bullet) Высота (H=AB) шарового слоя – это расстояние между основаниями.
(bullet) Площадь сферической части шарового слоя равна [S=2pi RH] где (R) – радиус шара.
(bullet) Объем шарового слоя равен разности объемов двух шаровых сегментов: [V=V_{A}-V_{B}]

({color{red}{{small{textbf{Факт 3. Про шаровой сектор}}}}})
(bullet) Шаровой сектор – часть шара, ограниченная сферической частью шарового сегмента и боковой поверхностью конуса, имеющего то же основание, что и шаровой сегмент.

(bullet) Если (H=AB), то объем шарового сектора равен [V=dfrac23pi R^2cdot H]

Источник

Добавить комментарий