Как найти объем шестиугольного многогранника формула

Объем правильной шестиугольной пирамиды, формула

Правильная шестиугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный шестиугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр правильного шестиугольника — основания из вершины.

Объем правильной шестиугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного шестиугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)

[ V = frac{sqrt{3}}{2} h a^2 ]

a — сторона правильного шестиугольника – основания правильной шестиугольной пирамиды

h — высота правильной шестиугольной пирамиды

Вычислить, найти объем правильной шестиугольной пирамиды

Определение объемов геометрических тел является одной из важных задач пространственной геометрии. В данной статье рассматривается вопрос, что такое призма с шестиугольным основанием, а также приводится формула объема правильной шестиугольной призмы.

Определение призмы

С точки зрения геометрии призмой называется фигура в пространстве, которая образована двумя одинаковыми многоугольниками, расположенными в параллельных плоскостях. А также несколькими параллелограммами, которые эти многоугольники соединяют в единую фигуру.

В трехмерном пространстве призму произвольной формы можно получить, если взять любой многоугольник и отрезок. Причем последний плоскости многоугольника принадлежать не будет. Тогда, располагая этот отрезок от каждой вершины многоугольника, можно получить параллельный перенос последнего в другую плоскость. Образованная таким способом фигура будет призмой.

Чтобы иметь наглядное представление о рассматриваемом классе фигур, приведем рисунок четырехугольной призмы.

Многие знают эту фигуру под названием параллелепипеда. Видно, что два одинаковых многоугольника призмы представляют собой квадраты. Их называют основаниями фигуры. Остальные четыре ее стороны – прямоугольники, то есть это частный случай параллелограммов.

Шестиугольная призма: определение и виды

Прежде чем приводить формулу, как определяется объем шестиугольной правильной призмы, необходимо четко понять, о какой фигуре пойдет речь. Шестиугольная призма имеет в основаниях шестиугольник. То есть, плоский многоугольник с шестью сторонами, углов столько же. Боковые стороны фигуры так же, как и для любой призмы, в общем случае являются параллелограммами. Сразу отметим, что шестиугольное основание может быть представлено как правильным, так и неправильным шестиугольником.

Расстояние между основаниями фигуры – это ее высота. Далее мы будем обозначать ее буквой h. Геометрически высота h представляет собой отрезок, перпендикулярный обоим основаниям. Если этот перпендикуляр:

• опущен с геометрического центра одного из оснований;
• пересекает второе основание также в геометрическом центре.

Фигура в этом случае называется прямой. В любом другом случае призма будет косоугольной или наклонной. Разницу между этими видами шестиугольной призмы можно увидеть с первого взгляда.

Прямая шестиугольная призма – это фигура, имеющая в основании правильные шестиугольники. При этом она является прямой. Рассмотрим подробнее ее свойства.

Элементы правильной шестиугольной призмы

Чтобы понять, как вычислить объем правильной шестиугольной призмы (формула приведена ниже в статье), необходимо также разобраться, из каких элементов состоит фигура, а также какими свойствами она обладает. Чтобы было легче анализировать фигуру, покажем ее на рисунке.

Главными ее элементами являются грани, ребра и вершины. Количества этих элементов подчиняется теореме Эйлера. Если обозначить Р – число ребер, В – количество вершин и Г – граней, тогда можно записать равенство:

Р = Г + В – 2.

Проверим его. Число граней рассматриваемой фигуры равно 8. Две из них – это правильные шестиугольники. Шесть граней представляет собой прямоугольники, это видно из рисунка. Число вершин составляет 12. Действительно, 6 вершин принадлежат одному основанию, и 6 другому. Согласно формуле, число ребер должно равняться 18, что является справедливым. 12 ребер лежат в основаниях и 6 образуют параллельные друг другу стороны прямоугольников.

Переходя к получению формулы объема правильной шестиугольной призмы, следует остановить свое внимание на одном важном свойстве этой фигуры: прямоугольники, образующие боковую поверхность, равны между собой и перпендикулярны обоим основаниям. Это приводит к двум важным следствиям:

1. Высота фигуры равна длине ее бокового ребра.
2. Любое сечение боковой поверхности пирамиды, выполненное с помощью секущей плоскости, которая параллельна основаниям, является правильным шестиугольником, равным этим основаниям.

Площадь шестиугольника

Можно интуитивно догадаться, что эта площадь основания фигуры появится в формуле объема правильной призмы шестиугольной. Поэтому в данном пункте статьи найдем эту площадь. Правильный шестиугольник, разделенный на 6 одинаковых треугольников, вершины которых пересекаются в его геометрическом центре, показан ниже:

Каждый из этих треугольников является равносторонним. Доказать это не очень сложно. Поскольку вся окружность имеет 360^o, то углы треугольников вблизи геометрического центра шестиугольника равны 360^o/6=60^o. Расстояния от геометрического центра до вершин шестиугольника являются одинаковыми.

Последнее означает, что все 6 треугольников будут равнобедренными. Поскольку один из углов равнобедренных треугольников равен 60^o, значит, два остальных угла тоже равны по 60^o. ((180^o-60^o)/2) – треугольники равносторонние.

Обозначим длину стороны шестиугольника буквой a. Тогда площадь одного треугольника будет равна:

S₁ = 1/2*√3/2*a*a = √3/4*a².

Формула получена на основании стандартного выражения для площади треугольника. Тогда площадь S₆ для шестиугольника будет:

S₆ = 6*S₁ = 6*√3/4*a² = 3*√3/2*a².

Формула определения объема правильной шестиугольной призмы

Чтобы записать формулу для объема рассматриваемой фигуры, следует учесть приведенную выше информацию. Для произвольной призмы объем пространства, ограниченный ее гранями, вычисляется так:

V = h*S_o.

То есть, V равен произведению площади основания S_o на высоту h. Поскольку мы знаем, что высота h равна длине бокового ребра b для шестиугольной правильной призмы, а площадь ее основания соответствует S₆, то формула объема правильной шестиугольной призмы примет вид:

V₆ = 3*√3/2*a²*b.

Пример решения геометрической задачи

Дана шестиугольная правильная призма. Известно, что она вписана в цилиндр радиусом 10 см. Высота призмы в два раза больше стороны ее основания. Необходимо найти объем фигуры.

Чтобы найти требуемую величину, необходимо знать длину стороны и бокового ребра. При рассмотрении правильного шестиугольника было показано, что его геометрический центр расположен в середине описанной вокруг него окружности. Радиус последней равен расстоянию от центра до любой из вершин. То есть он равен длине стороны шестиугольника. Эти рассуждения приводят к следующим результатам:

a = r = 10 см;

b = h = 2*a = 20 см.

Подставляя эти данные в формулу объема правильной шестиугольной призмы, получим ответ: V₆≈5196 см³ или около 5,2 литра.

Стереометрия, как раздел геометрии в пространстве, изучает свойства призм, цилиндров, конусов, шаров, пирамид и других объемных фигур. Данная статья посвящена подробному рассмотрению характеристик и свойств шестиугольной правильной пирамиды.

Какая пирамида будет изучаться

Правильная шестиугольная пирамида представляет собой фигуру в пространстве, которая ограничена одним равносторонним и равноугольным шестиугольником, и шестью одинаковыми треугольниками равнобедренными. Эти треугольники могут быть также равносторонними при определенных условиях. Эта пирамида ниже показана.

Здесь изображена одна и та же фигура, только в одном случае она повернута боковой гранью к читателю, а в другом – боковым ребром.

Правильная шестиугольная пирамида имеет 7 граней, которые были названы выше. Также ей принадлежат 7 вершин и 12 ребер. В отличие от призм, у всех пирамид имеется одна особая вершина, которая образована пересечением боковых треугольников. Для правильной пирамиды она играет важную роль, поскольку опущенный с нее на основание фигуры перпендикуляр является высотой. Далее высоту будем обозначать буквой h.

Показанная пирамида называется правильной по двум причинам:

• в ее основании находится шестиугольник с равными длинами сторон a и с одинаковыми углами по 120^o;
• высота пирамиды h пересекает шестиугольник точно в его центре (точка пересечения лежит на одинаковом расстоянии от всех сторон и от всех вершин шестиугольника).

Площадь поверхности

Свойства правильной пирамиды шестиугольной начнем рассматривать с определения ее площади. Для этого сначала полезно привести развертку фигуры на плоскости. Схематическое ее изображение показано ниже.

Видно, что площадь развертки, а значит, и всей поверхности рассматриваемой фигуры, равна сумме площадей шести одинаковых треугольников и одного шестиугольника.

Для определения площади шестиугольника S₆ воспользуемся универсальной формулой для правильного n-угольника:

S_n = n/ a²*ctg(pi/n) =>

S₆ = 3*√3/2*a².

Где буквой a обозначена длина стороны шестиугольника.

Площадь треугольника S₃ боковой стороны найти можно, если знать величину его высоты h_b:

S₃ = 1/2*h_b*a.

Поскольку все шесть треугольников равны между собой, то получаем рабочее выражение для определения площади шестиугольной пирамиды с правильным основанием:

S = S₆ + 6*S₃ = 3*√3/2*a² + 6*1/2*h_b*a = 3*a*(√3/2*a + h_b).

Объем пирамиды

Так же, как и площадь, объем шестиугольной правильной пирамиды является важным ее свойством. Этот объем рассчитывается по общей формуле для всех пирамид и конусов. Запишем ее:

V = 1/3*S_o*h.

Здесь символом S_o названа площадь шестиугольного основания, то есть S_o = S₆.

Подставляя в формулу для V записанное выше выражение для S₆, приходим к конечному равенству для определения объема пирамиды шестиугольной правильной:

V = √3/2*a² *h.

Пример геометрической задачи

В шестиугольной пирамиде правильной боковое ребро в два раза больше длины стороны основания. Зная, что последнее равно 7 см, необходимо вычислить площадь поверхности и объем данной фигуры.

Как можно догадаться, решение этой задачи предполагает использование полученных выше выражений для S и V. Тем не менее сразу ими воспользоваться не получится, поскольку мы не знаем апофему и высоту правильной пирамиды шестиугольной. Займемся их вычислением.

Апофему h_b можно определить, рассмотрев треугольник прямоугольный, построенный на сторонах b, a/2 и h_b. Здесь b – длина бокового ребра. Используя условие задачи, получаем:

h_b = √(b²-a²/4) = √(14²-7²/4) = 13,555 см.

Высоту h пирамиды определить можно точно так же, как апофему, только рассматривать теперь следует треугольник со сторонами h, b и a, находящийся внутри пирамиды. Высота будет равна:

h = √(b² – a²) = √(14² – 7²) = 12,124 см.

Видно, что рассчитанное значение высоты меньше такового для апофемы, что справедливо для любой пирамиды.

Теперь можно воспользоваться выражениями для объема и площади:

S = 3*a*(√3/2*a + h_b) = 3*7*(√3/2*7 + 13,555) = 411,96 см²;

V = √3/2*a²*h = √3/2*7²*12,124 = 514,48 см³.

Таким образом, для однозначного определения любой характеристики правильной шестиугольной пирамиды необходимо знать два любых ее линейных параметра.