Как найти объем тела полученного при вращении - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи.

$$ V = pi int_a^b y^2 dx $$

В формуле $ a $ и $ b $ значения отложены по оси Ox. Фукция $ y (x) $ задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.

Строим график фигуры
Вычисляем определенный интеграл

Пример 1

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox: $ y = x^2 $ и $ a = 2, b = 3 $

Решение

Выполняем построение графика. Чертим на плоскости параболу $ y = x^2 $. Выставляем на чертеже оранжевые линии, соответствующие ограничениям $ a = 2, b = 3 $. Закрашиваемая область желтым цветом выделяет фигуру, объем вращения которой будем искать.

Подставляем в формулу функцию $ y = x^2 $ и пределы интегрирования. Вычисляем определенный интеграл $$ V = pi int_2^3 (x^2)^2 dx = pi int_2^3 x^4 dx = $$

Для взятия интеграла воспользуемся формулой $ int x^p dx = frac{x^{p+1}}{p+1} $

$$ = pi frac{x^5}{5} bigg |_2^3 = pi frac{243}{5} – pi frac{32}{5} = frac{211}{5} pi = 132.5 $$

Получили объем фигуры $ V = 132.5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ V = 132.5 $$

Пример 2

Найти объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox, заданной двумя функциями $$ y = x^2, y = x^3 $$

Решение

В данном примере необходимо найти точки пересечения двух графиков функций. Приравниваем их друг к другу и решаем уравнение относительно одной переменной $ x $: $$ x^2 = x^3 $$ Переносим всё в одну строну $$ x^3 – x^2 = 0 $$ Выносим за скобку неизвестную $ x^2 $ и получаем корни уравнения: $$ x^2(x-1) = 0 $$ $$ x^2 = 0, x-1=0 $$ $$ x_1=0, x_2=1 $$

Выполняем построение графиков функций для наглядности. На рисунке закрашиваем область, ограниченную двумя функциями.

Для того, чтобы найти объем тела вращения, заданного с помощью двух функций, необходимо воспользоваться идеей разности объемов. А имеенно, находим сначала объем фигуры вращения, заданной функцией $ y = x^2 $, затем отдельно $ y = x^3 $.

$$ V_1 = pi int_0^1 (x^2)^2 dx = pi frac{x^5}{5} bigg |_0^1 = frac{pi}{5} $$

$$ V_2 = pi int_0^1 (x^3)^2 dx = pi frac{x^7}{7} bigg |_0^1 = frac{pi}{7} $$

Получаем искомый объем с помощью разности объемов $$ V = V_1 – V_2 = frac{pi}{5} – frac{pi}{7} = frac{2pi}{35} $$

Ответ

$$ V = frac{2pi}{35} $$

Источник

Объемы тел вращения

Краткая теория

Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, ограниченной кривой

, осью

и двумя
вертикалями

, вокруг осей

, выражаются соответственно формулами:

Объем тела, образованного вращением
около оси

фигуры,
ограниченной кривой

, осью

и двумя
параллелями

, можно определять по формуле:

Если кривая задана в иной форме
(параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах
нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел,
образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми

(причем

) и прямыми

, вокруг координатных осей

, соответственно равны:

Объем тела, полученного при вращении
сектора, ограниченного дугой кривой

и двумя
полярными радиусами

, вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

Этой же формулой удобно пользоваться
при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры,
ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

Если

– площадь
сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем
за ось

), в точке с абсциссой

, то объем этого тела равен:

где

– абсциссы
крайних сечений тела.

Примеры решения задач

Задача 1

С помощью
определенного интеграла вычислить объем тела, полученного вращением фигуры

вокруг указанной оси координат.

вокруг
оси

Решение

Сделаем
чертеж:

Объем
тела, образованного вращением вокруг оси

фигуры можно найти по формуле:

В нашем
случае получаем

Ответ:

Задача 2

Найдите
объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Сделаем
чертеж:

Объем
тела можно найти по формуле:

Ответ:

Задача 3

Определить
объем, образованный вращением кривой

вокруг
полярной оси.

Решение

Ответ:

Задача 4

Вычислить
объем тела, ограниченного однополосным гиперболоидом

и
плоскостями

Решение

Здесь
удобнее рассмотреть сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси

. Тогда объем выразится
формулой:

где

– площадь получаемого сечения, зависящая от
точки с аппликатой

, через которую проходит
секущая плоскость. При пересечении однополосного гиперболоида плоскостью

получается эллипс, который можно определить
уравнениями:

откуда
следует, что полуоси эллипса:

Учитывая, что площадь эллипса с
полуосями

равна

, воспользовавшись параметрическим заданием эллипса:

мы можем записать аналитическое
выражение функции

Тогда искомый объем:

Ответ:

Источник

Рис. 67

Пусть требуется
вычислить объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох
фигуры,
ограниченной линиями:

)
(рис. 67).

Составим
интегральную сумму и перейдем к
пределу.

С помощью произвольно
выбранных точек

разобьем отрезок

на n
элементарных
отрезков длиной

i
= 1, 2, …, n.
Через точки деления проведем плоскости
перпендикулярно оси Ох.
Получим n
элементарных объемов тел вращения. На
каждом элементарном отрезке выберем
произвольно точку

и вычислим значение функции
.
Каждое элементарное тело вращения
заменим цилиндром с радиусом основания

и высотой
,
объем которого равен
.
Объем всего тела вращения приближенно
равен

Данная сумма
является интегральной. Перейдем к
пределу при
,

и получим точное значение объема

или

Если тело образуется
вращением вокруг оси Оy
фигуры, ограниченной линиями:
,
,
то его объем находится по формуле

Пример
5.15.

Рис. 68

Найти объем тела
(рис. 68), образованного вращением вокруг
оси Ох
эллипса
.

Найдем
.

Учитывая
симметричность фигуры, находим объем

Пример
5.16.
Найти объем тела, образованного вращением
вокруг оси Оy
фигуры, ограниченной линиями
.

Рис. 69

Находим

5.10.3. Длина дуги кривой

Требуется найти
длину отрезка кривой

при
.
Составим интегральную сумму и перейдем
к пределу. Разобьем отрезок

с помощью произвольно выбранных точек

на n
элементарных отрезков длиной
.

Рис. 70

На каждом
элементарном отрезке заменим дугу
кривой отрезком прямой

(рис. 70), длина
которого равна

,
.

Используем
теорему Лагранжа о конечном приращении
функции на каждом элементарном отрезке.
Найдем
,

Получим
.

Составим интегральную
сумму для нахождения приближенного
значения длины дуги отрезка кривой

Перейдем к пределу,
получим точное значение длины дуги
кривой

или

Пример
5.17.
Найти длину полукубической параболы
,
отсекаемой прямой

(рис. 71).

Рис. 71

Найдем
;
.

Учтем симметрию
кривой, получим

5.11. Численные методы нахождения определенных интегралов

Данные методы
основываются на геометрическом смысле
интеграла как площади криволинейной
трапеции.

Обычно интервал
интегрирования

разбивают на
n
равных элементарных отрезков. На каждом
элементарном отрезке подынтегральную
функцию заменяют или прямой, или кривой
задаваемого вида. Интеграл находится
приближенно как сумма площадей
элементарных криволинейных трапеций.
В зависимости от вида функции, которой
заменяют подынтегральную функцию на
элементарных отрезках получают различные
формулы для численных методов нахождения
определенных интегралов.

Пусть требуется
вычислить значение интеграла
.
С помощью точек

где
,
разобьем отрезок

на n
равных элементарных отрезков длиной
h.
Вычислим значения подынтегральной
функции в точках деления
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Объём тела вращения

Пусть — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

$V=pi intlimits_{a}^{b} f^2(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}y^2,dx,.$

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)leqslant S(x_2) , то это значит, что f(x_1)leqslant f(x_2) . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром , и из вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .

Чертёж тела вращения вокруг оси абсцисс

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

$V=pi intlimits_{a}^{b} S(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}f^2(x),dx,.$

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то

$V= pi intlimits_{a}^{b}y_2^2,dx- pi intlimits_{a}^{b}y_1^2,dx= piintlimits_{a}^{b}Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)Bigr)dx,.$

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок $[x_k;x_{k+1}]$ . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

$Delta V_k= pi y_k x_{k+1}^2- pi y_k x_k^2= pi y_k bigl(x_{k+1}+x_kbigr) bigl(x_{k+1}-x_kbigr).$

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

$2pi sum_{k=0}^{n-1} m_kx_kDelta x_k leqslant Vleqslant 2pi sum_{k=0}^{n-1} M_kx_kDelta x_k,.$

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат:

$V=2pi intlimits_{a}^{b} xy,dx,.$

(4)

Пример 4. Найдем объем шара радиуса .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

$frac{1}{2}V= piintlimits_{0}^{R}y^2,dx= piintlimits_{0}^{R} (R^2-x^2),dx= left.{pi!left(R^2x- frac{x^3}{3}right)}right|_{0}^{R}= pi!left(R^3- frac{R^3}{3}right)= frac{2}{3}pi R^3.$

Следовательно, объем всего шара равен $frac{4}{3}pi R^3$ .

Конус, образованный вращением прямой вокруг оси абсцисс

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого и радиус основания .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой запишется в виде $y=frac{r}{h},x$ .

Пользуясь формулой (3), получим:

$V=pi intlimits_{0}^{h} y^2,dx= pi intlimits_{0}^{h} frac{r^2}{h^2},x^2,dx= left.{frac{pi r^2}{h^2}cdot frac{x^3}{3}}right|_{0}^{h}= frac{pi}{3},r^2h,.$

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды $begin{cases}x=acos^3t,,\ y=asin^3t,.end{cases}$ (рис. 48).

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной пределы интегрирования.

Если x=acos^3t=0 , то $t=frac{pi}{2}$ , а если x=acos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2sin^6t и $dx=-3acos^2tsin{t},dt$ , получаем:

$V=pi intlimits_{a}^{b} y^2,dx= pi intlimits_{pi/2}^{0} a^2sin^6t bigl(-3acos^2tsin{t}bigr),dt= ldots= frac{16pi}{105},a^3.$

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет $frac{32pi}{105},a^3$ .

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды $begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}).end{cases}$ .

Решение. Воспользуемся формулой (4): $V=2pi intlimits_{a}^{b}xy,dx$ , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной от до 2pi . Таким образом,

$begin{aligned}V&= 2pi intlimits_{0}^{2pi} a(t-sin{t})a(1-cos{t})a(1-cos{t}),dt= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi} (t-sin{t})(1-cos{t})^2,dt=\ &= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi}bigl(t-sin{t}- 2tcos{t}+ 2sin{t}cos{t}+ tcos^2t- sin{t}cos^2tbigr),dt=\ &= left.{2pi a^3!left( frac{t^2}{2}+ cos{t}- 2tsin{t}- 2cos{t}+ sin^2t+ frac{t^2}{4}+ frac{t}{4}sin2t+ frac{1}{8}cos2t+ frac{1}{3}cos^3tright)}right|_{0}^{2pi}=\ &= 2pi a^3!left( 2pi^2+1-2+pi^2+frac{1}{8}+ frac{1}{3}-1+2- frac{1}{8}- frac{1}{3}right)= 6pi^3a^3. end{aligned}$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Рассмотрим ещё одно распространённое приложение определённого интеграла.

Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? … интересно, кто что представил… 🙂 Её площадь мы уже находили. Но, кроме того, данную фигуру можно ещё и вращать: вокруг оси или вокруг оси .
В рамках данного курса я остановлюсь на стандартном варианте:

Пример 17
Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси .

Решение: как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. Да, с точно такого же чертежа:

Искомая плоская фигура заштрихована серым цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате получается такое… загадочное яйцо.

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
, где – неотрицательная или неположительная функция, график которой ограничивает плоскую фигуру на отрезке . Заметьте, что здесь не нужно думать, над осью расположена криволинейная трапеция или под осью, т.к. возведение в квадрат стирает разницу между функциями и .

В нашей задаче:

Интеграл почти всегда получается простой, главное, быть ВНИМАТЕЛЬНЫМ.

Ответ: (кубических единиц – «кубиков» единичного объема)

Напоминаю, что , обычно принимают либо .

Пример 18
Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

Тренируемся и переходим к более содержательному случаю:

Пример 19
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и .

Решение: изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая, что уравнение задаёт ось :

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами. Объем этого бублика вычислим как разность объёмов с помощью стандартной формулы .

1) Фигура, обведённая красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Решение можно оформить и короче, примерно в таком духе:
., но, как вы уже поняли, за скорость приходится расплачиваться повышенным риском допустить ошибку.

И ещё хочу вас предостеречь от оценки результата «на глазок». При вычислении объёмов этого делать НЕ НАДО. Дело в том, что человек склонен неверно оценивать объёмы. Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составил чуть более 50 «кубиков», что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

И после лирического отступления уместно решить изящную и, конечно же, важную;) задачу:

Пример 20
Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , ,