Как найти объем тела в математике

У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения).

Объём
V
Размерность L3
Единицы измерения
СИ м3
СГС см3

Объём — количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом. Объём тела определяется его формой и линейными размерами. Основное свойство объёма — аддитивность , то есть объём любого тела равен сумме объёмов его (непересекающихся) частей[1].

Единица объёма в СИ — кубический метр; от неё образуются производные единицы — кубический сантиметр, кубический дециметр (литр) и т. д. В разных странах для жидких и сыпучих веществ используются также различные внесистемные единицы объёма — галлон, баррель и др.

В формулах для обозначения объёма традиционно используется заглавная латинская буква V, являющаяся сокращением от лат. volume — «объём», «наполнение».

Слово «объём» также используют в переносном значении для обозначения общего количества или текущей величины. Например, «объём спроса», «объём памяти», «объём работ». В изобразительном искусстве объёмом называется иллюзорная передача пространственных характеристик изображаемого предмета художественными методами.

Вычисление объёма[править | править код]

На практике приблизительный объём тела, в том числе сложной формы, можно вычислить по закону Архимеда, погрузив это тело в жидкость: объём вытесненной жидкости будет равен объёму измеряемого тела.

Математически[править | править код]

Для объёмов тел простой формы имеются специальные формулы. Например, объём куба с ребром a вычисляется с помощью выражения V=a^{3}, а объём прямоугольного параллелепипеда — умножением его длины на ширину и на высоту.

Объём тела сложной формы вычисляется разбиением этого тела на отдельные части простой формы и суммированием объёмов этих частей. В интегральном исчислении объёмы частей, из которых складывается объём всего тела, рассматриваются как бесконечно малые величины.

Сводка формул[править | править код]

Форма тела Формула для вычисления объёма Обозначения
Куб {displaystyle V=a^{3};} Wuerfel-1-tab.svg
Прямоугольный параллелепипед {displaystyle V=abc} Quader-1-tab.svg
Призма

(B: площадь основания)

{displaystyle V=Bh} Prisma-1-e.svg
Пирамида

(B: площадь основания)

{displaystyle V={frac {1}{3}}Bh} Pyramide-46-e.svg
Параллелепипед {displaystyle V=abc{sqrt {K}}}

{displaystyle {begin{aligned}K=1&+2cos(alpha )cos(beta )cos(gamma )\&-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(beta )-cos ^{2}(gamma )end{aligned}}}

Parallelepiped-1-tab.svg
Тетраэдр {displaystyle V={{sqrt {2}} over 12}a^{3},} Tetraeder-1-tab.svg
Шар {displaystyle V={frac {4}{3}}pi r^{3}} Kugel-1-tab.svg
Эллипсоид {displaystyle V={frac {4}{3}}pi abc} Ellipsoid-1-tab.svg
Прямой круговой цилиндр {displaystyle V=pi r^{2}h} Zylinder-1-tab.svg
Конус {displaystyle V={frac {1}{3}}pi r^{2}h} Kegel-1-tab.svg
Тело вращения {displaystyle V=pi cdot int _{a}^{b}f(x)^{2}mathrm {d} x} Vase-1-tab.svg

Через плотность[править | править код]

Зная массу (m) и среднюю плотность (ρ) тела, его объём рассчитывают по формуле: V={frac  {m}{rho }}.

Единицы объёма жидкости[править | править код]

  • 1 литр = 1 кубический дециметр = 1,76 пинты = 0,23 галлона

Русские[2][править | править код]

  • Ведро = 12,3 литра
  • Бочка = 40 вёдер = 492 литра

Английские[править | править код]

  • 1 пинта = 0,568 литра
  • 1 кварта (жидкостная) = 2 пинтам = 1,136 литра
  • 1 галлон = 8 пинтам = 4,55 литра
  • 1 галлон (амер.) = 3,785 литра

Античные[править | править код]

  • Котила = 0,275 литра

Немецкие[править | править код]

  • Шоппен

Древнееврейские[3][править | править код]

  • Эйфа = 24,883 литра
  • Гин = 1/6 эйфы = 4,147 литра
  • Омер = 1/10 эйфы = 2,4883 литра
  • Кав = 1/3 гина = 1,382 литра

Единицы объёма сыпучих веществ[править | править код]

Русские[править | править код]

  • Четверик = 26,24 литра (1 пуд зерна)
  • Гарнец = 3,28 литра
  • Четверть = 1/4 ведра = 3,075 литра
  • Штоф = 1/8 ведра = 1,54 литра
  • Кружка = 1/10 ведра = 1,23 литра
  • Бутылка (винная) = 1/16 ведра = 0,77 литра
  • Бутылка (пивная) = 1/20 ведра = 0,61 литра
  • Чарка = 1/10 кружки = 0,123 литра
  • Шкалик (косушка) = 1/2 чарки = 0,0615 литра

Английские[править | править код]

  • 1 бушель = 8 галлонов = 36,36872 литра
  • 1 баррель = 163,65 литра

Прочие единицы[править | править код]

  • 1 унция (англ.) = 2,841⋅10−5 м³
  • 1 унция (амер.) = 2,957⋅10−5 м³
  • 1 кубический дюйм = 1,63871⋅10−5 м³
  • 1 кубический фут = 2,83168⋅10−2 м³
  • 1 кубический ярд = 0,76455 м³
  • 1 кубическая астрономическая единица =3,348⋅1024 км³
  • 1 кубический световой год = 8,466⋅1038 км³
  • 1 кубический парсек = 2,938⋅1040 км³
  • 1 кубический килопарсек = 1 000 000 000 пк³ = 2,938⋅1049 км³

Примечания[править | править код]

  1. Математическая энциклопедия, 1982, с. 1149.
  2. Меры объёма в Древней Руси. Дата обращения: 17 ноября 2013. Архивировано 14 июля 2014 года.
  3. «ТЕГИЛАТ ГАШЕМ» — ISBN 965-310-008-4

Литература[править | править код]

  • Объём // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  • Объём // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Ссылки[править | править код]

  • Формулы объёма и программы для расчета объёма. Дата обращения: 26 ноября 2020. Архивировано 24 ноября 2020 года.


Загрузить PDF


Загрузить PDF

Объем фигуры представляет собой занимаемое этой фигурой трехмерное пространство.[1]
Представьте себе объем как количество жидкости (или воздуха, или песка), которым можно заполнить данную фигуру. Объем измеряется в кубических единицах (мм3, см3, м3).[2]
Эта статья расскажет вам, как вычислять объем шести трехмерных фигур. Вы можете заметить, что многие формулы для вычисления объема схожи, что упрощает их запоминание.

  1. Изображение с названием Calculate Volume Step 1

    1

    Куб – это трехмерная фигура, которая имеет шесть одинаковых квадратных граней, то есть все ее стороны (ребра) равны.[3]

    • Например, игральная кость – это куб.
  2. Изображение с названием Calculate Volume Step 2

    2

    Формула нахождения объема куба: V = s3, где V – объем, а s – длина ребра.

    • Возведение в куб аналогично следующему умножению: s3 = s * s * s
  3. Изображение с названием Calculate Volume Step 3

    3

    Найдите длину стороны (ребра) куба. Она будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой). Так как ребра куба равны, измеряйте любое ребро.

    • Если вы не уверены, что ваша фигура является кубом, измерьте каждую сторону, чтобы убедиться, что они равны. Если они не равны, перейдите к следующему разделу.
  4. Изображение с названием Calculate Volume Step 4

    4

    Подставьте длину ребра куба в формулу V = s3. Например, если ребро куба равно 5 см, напишите формулу следующим образом: V = 53 = 5 * 5 * 5 = 125 см3 – это объем куба.

  5. Изображение с названием Calculate Volume Step 5

    5

    К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребро куба измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах. Если, например, сторона куба равна 3 см, то V = 33 = 27см3.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Volume Step 6

    1

    Прямоугольный параллелепипед или прямоугольная призма – это трехмерная фигура с шестью гранями, каждая из которых является прямоугольником (вспомните коробку из под обуви). [4]

    • Куб – это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все ребра равны.
  2. Изображение с названием Calculate Volume Step 7

    2

    Формула нахождения объема прямоугольного параллелепипеда или прямоугольной призмы: V = l*w*h, где V = объем, l = длина, w = ширина, h = высота.[5]

  3. Изображение с названием Calculate Volume Step 8

    3

    Длина прямоугольного параллелепипеда – это самое длинное ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Длина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).

    • Пример: длина прямоугольного параллелепипеда равна 4 см, то есть l = 4 см.
    • Не беспокойтесь о том, какие ребра выбрать в качестве длины, ширины и высоты. В любом случае в итоге вы получите правильный ответ (только измерьте три ребра, перпендикулярные друг другу).
  4. Изображение с названием Calculate Volume Step 9

    4

    Ширина прямоугольного параллелепипеда – это самое короткое ребро верхней или нижней грани, то есть грани, на которой стоит параллелепипед (нижняя грань) или параллельной ей грани (верхняя грань). Ширина будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).

    • Пример: ширина прямоугольного параллелепипеда равна 3 см, то есть w = 3 см.
    • Если вы измеряете ребра параллелепипеда линейкой или рулеткой, не забудьте измерить их в одинаковых единицах измерения. Не измеряйте одно ребро в миллиметрах, а другое в сантиметрах.
  5. Изображение с названием Calculate Volume Step 10

    5

    Высота прямоугольного параллелепипеда – это расстояние между его нижней и верхней гранями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).

    • Пример: высота прямоугольного параллелепипеда равна 6 см, то есть h = 6 см.
  6. Изображение с названием Calculate Volume Step 11

    6

    Подставьте найденные значения в формулу V = l*w*h.

    • В нашем примере l = 4, w = 3 и h = 6. Поэтому V = 4*3*6 = 72.
  7. Изображение с названием Calculate Volume Step 12

    7

    К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере ребра измерялись в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 72 см3.

    • Если в прямоугольной призме l = 2 см, w = 4 см, h = 8 см, то V = 2*4*8 = 64 см3

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Volume Step 13

    1

    Цилиндр – это трехмерная фигура, ограниченная цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими ее.[6]

    • Например, банка или батарейка АА имеют форму цилиндра.
  2. Изображение с названием Calculate Volume Step 14

    2

    Формула нахождения объема цилиндра: V = πr2h, где V – объем, h – высота, r – радиус основания и πr2 – площадь основания цилиндра.

    • В некоторых задачах ответ требуется представить с пи, а в некоторых вместо пи подставить 3,14.
    • Формула для нахождения объема цилиндра на самом деле очень похожа на формулу вычисления объема прямоугольной призмы, то есть вы перемножаете высоту и площадь основания. В прямоугольной призме площадь основания равна l*w, а в цилиндре она равна πr2.
  3. Изображение с названием Calculate Volume Step 15

    3

    Найдите радиус основания. Он, скорее всего, дан в задаче. Если дан диаметр, разделите его на 2, чтобы найти радиус (d = 2r).

  4. Изображение с названием Calculate Volume Step 16

    4

    Если радиус не дан, измерьте его. Для этого измерьте основание цилиндра при помощи линейки или рулетки. Измеряйте основание в его самой широкой части (то есть измерьте диаметр основания), а затем разделите полученное значение на 2, чтобы найти радиус.

    • Другой вариант – измерьте длину окружности цилиндра (то есть измерьте обхват цилиндра) при помощи рулетки, а затем найдите радиус по формуле r = с/2π, где с – обхват (длина окружности) цилиндра (2π = 6,28).
    • Например, если обхват цилиндра равен 8 см, то радиус будет равен 1,27 см.
    • Если вам нужно точное измерение, вы можете использовать оба метода, чтобы убедиться, что значения радиуса совпадают (нахождение радиуса через длину окружности является более точным методом).
  5. Изображение с названием Calculate Volume Step 17

    5

    Вычислите площадь круглого основания. Для этого подставьте радиус в формулу πr2.

    • Если радиус основания равен 4 см, то площадь основания равна π42.
    • 42 = 4 * 4 = 16. 16*π = 16*3,14 = 50,24 см2
    • Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус.
  6. Изображение с названием Calculate Volume Step 18

    6

    Найдите высоту цилиндра. Это расстояние между двумя круглыми основаниями. Высота будет дана в задаче или вам нужно измерить ее (линейкой или рулеткой).

  7. Изображение с названием Calculate Volume Step 19

    7

    Умножьте площадь основания на высоту цилиндра, чтобы найти его объем. Или же просто подставьте значения соответствующих величин в формулу V = πr2h. В нашем примере, когда радиус основания равен 4 см, а высота равна 10 см:

    • V = π4210
    • π42 = 50,24
    • 50,24 * 10 = 502,4
    • V = 502,4
  8. Изображение с названием Calculate Volume Step 20

    8

    К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 502,4 см3.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Volume Step 21

    1

    Пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а грани являются треугольниками, имеющими общую вершину. [7]
    Правильная пирамида – это трехмерная фигура, в основании которой лежит правильный многоугольник (с равными сторонами), а вершина проецируется в центр основания.[8]

    • Обычно мы представляем пирамиду, имеющую квадратное основание, но в основании пирамиды может лежать многоугольник с 5, 6 или даже со 100 сторонами!
    • Пирамида с круглым основанием называется конусом, который будет обсуждаться в следующем разделе.
  2. Изображение с названием Calculate Volume Step 22

    2

    Формула нахождения объема правильной пирамиды: V = 1/3bh, где b – площадь основания пирамиды, h – высота пирамиды (перпендикуляр, соединяющий основание и вершину пирамиды).

    • Эта формула для вычисления объема пирамиды одинаково годна как для правильных пирамид (в которых вершина проецируется в центр основания), так и для наклонных (в которых вершина не проецируется в центр основания).
  3. Изображение с названием Calculate Volume Step 23

    3

    Вычислите площадь основания. Формула будет зависеть от фигуры, лежащей в основании пирамиды. В нашем примере в основании пирамиды лежит квадрат со стороной 6 см. Площадь квадрата равна s2, где s – сторона квадрата. Таким образом, в нашем примере площадь основания пирамиды равна 62 = 36 см2

    • Площадь треугольника равна 1/2bh, где h – высота треугольника, b – сторона, к которой проведена высота.
    • Площадь любого правильного многоугольника можно вычислить по формуле: А = 1/2ра, где А – площадь, р – периметр фигуры, а – апофема (отрезок, соединяющий центр фигуры с серединой любой стороны фигуры). Для получения дополнительной информации о нахождении площади многоугольников прочитайте эту статью.[9]
  4. Изображение с названием Calculate Volume Step 24

    4

    Найдите высоту пирамиды. Высота будет дана в задаче. В нашем примере высота пирамиды равна 10 см.

  5. Изображение с названием Calculate Volume Step 25

    5

    Умножьте площадь основания пирамиды на ее высоту, а затем разделите полученный результат на 3, чтобы найти объем пирамиды. Формула для вычисления объема пирамиды: V = 1/3bh. В нашем примере площадь основания равна 36, а высота равна 10, поэтому объем: 36*10*1/3 = 120.

    • Если, например, дана пирамида с пятиугольным основанием площадью 26, а высота пирамиды равна 8, то объем пирамиды: 1/3*26*8 = 69,33.
  6. Изображение с названием Calculate Volume Step 26

    6

    К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 120 см3.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Volume Step 27

    1

    Конус – это трехмерная фигура, которая имеет круглое основание и одну вершину. Или конус – это особый случай пирамиды с круглым основанием.[10]

    • Если вершина конуса находится непосредственно над центром круглого основания, то конус называется прямым; в противном случае конус называется наклонным. Но формула для вычисления объема конуса одинаковая для обоих типов конуса.
  2. Изображение с названием Calculate Volume Step 28

    2

    Формула для вычисления объема конуса: V = 1/3πr2h, где r – радиус круглого основания, h – высота конуса.

    • b = πr2 – это площадь круглого основания конуса. Таким образом, формулу для вычисления объема конуса можно записать так: V = 1/3bh, что совпадает с формулой нахождения объема пирамиды!
  3. Изображение с названием Calculate Volume Step 29

    3

    Вычислите площадь круглого основания. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр основания, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Для вычисления площади круглого основания подставьте радиус в формулу πr2.

    • Например, радиус круглого основания конуса равен 3 см. Тогда площадь этого основания равна π32.
    • π32 = π(3*3) = 9π.
    • = 28,27 см2
  4. Изображение с названием Calculate Volume Step 30

    4

    Найдите высоту конуса. Это перпендикуляр, опущенный из вершины к основанию пирамиды. В нашем примере высота конуса равна 5 см.

  5. Изображение с названием Calculate Volume Step 31

    5

    Перемножьте высоту конуса и площадь основания. В нашем примере площадь основания равна 28,27 см2, а высота равна 5 см, поэтому bh = 28,27 * 5 = 141,35.

  6. Изображение с названием Calculate Volume Step 32

    6

    Теперь умножьте полученный результат на 1/3 (или просто разделите его на 3), чтобы найти объем конуса. В описанном выше шаге вы нашли объем цилиндра, а объем конуса всегда в 3 раза меньше объема цилиндра.

    • В нашем примере: 141,35 * 1/3 = 47,12 – это объем конуса.
    • Или: 1/3π325 = 47,12
  7. Изображение с названием Calculate Volume Step 33

    7

    К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 47,12 см3.

    Реклама

  1. Изображение с названием Calculate Volume Step 34

    1

    Шар – это идеально круглая трехмерная фигура, каждая точка поверхности которой равноудалена от одной точки (центра шара). [11]

  2. Изображение с названием Calculate Volume Step 35

    2

    Формула для вычисления объема шара: V = 4/3πr3, где r – радиус шара.[12]

  3. Изображение с названием Calculate Volume Step 36

    3

    Найдите радиус шара. Радиус должен быть дан в задаче. Если дан диаметр шара, то помните, что d = 2r. Вам нужно разделить диаметр пополам, чтобы найти радиус. Например, радиус шара равен 3 см.

  4. Изображение с названием Calculate Volume Step 37

    4

    Если радиус не дан, вычислите его. Для этого измерьте длину окружности шара (например, теннисного мяча) в его самой широкой части при помощи веревки, нити или другого подобного предмета. Затем измерьте длину веревки, чтобы найти длину окружности. Разделите полученное значение на 2π (или на 6,28), чтобы вычислить радиус шара.

    • Например, если вы измерили мяч и нашли, что длина его окружности равна 18 см, разделите это число на 6,28 и получите, что радиус мяча равен 2,87 см.
    • Проделайте 3 измерения окружности шара, а затем усредните полученные значения (для этого сложите их и сумму разделите на 3), чтобы убедиться, что вы получили значение, близкое к истинному.
    • Например, в результате трех измерений длины окружности вы получили следующие результаты: 18 см, 17,75 см, 18,2 см. Сложите эти значения: 18 + 17,5 + 18,2 = 53,95, а затем разделите их на 3: 53,95/3 = 17,98. Используйте это среднее значение в расчетах объема шара.
  5. Изображение с названием Calculate Volume Step 38

    5

    Возведите радиус в куб (r3). То есть r3 = r*r*r. В нашем примере r = 3, поэтому r3 = 3 * 3 * 3 = 27.

  6. Изображение с названием Calculate Volume Step 39

    6

    Теперь умножьте полученный результат на 4/3. Вы можете использовать калькулятор или выполнить умножение вручную, а затем упростить дробь. В нашем примере: 27*4/3 = 108/3 = 36.

  7. Изображение с названием Calculate Volume Step 40

    7

    Умножьте полученный результат на π (3,14), чтобы найти объем шара.

    • В нашем примере: 36*3,14 = 113,09.
  8. Изображение с названием Calculate Volume Step 41

    8

    К ответу обязательно припишите соответствующие единицы измерения. В приведенном примере все величины измерялась в сантиметрах, поэтому объем будет измеряться в кубических сантиметрах: 113,09 см3.

    Реклама

Об этой статье

Эту страницу просматривали 74 580 раз.

Была ли эта статья полезной?

Геометрия, 11 класс

Урок №11

Понятие объёма

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

Понятие объёма.

Свойства объёмов.

Объём прямоугольного параллелепипеда.

Формула объёма прямоугольного параллелепипеда.

Тезаурус

Объём тела– величина, характеризующая часть пространства, занимаемую телом, и определяемая формой и линейными размерами этого тела.

Основные свойства объёма:

– равные тела имеют равные объёмы;

– если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Основная литература:

Атанасян Л. С. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы [текст]: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 255 с. С. 130–133.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С понятием объёмного тела, отличающегося от плоской фигуры, мы познакомились ещё в начальной школе.

Объёмом принято называть положительную величину, характеризующую часть пространства, занимаемую телом, и определяемую формой и линейными размерами этого тела.

Мы можем вычислить объём тела точно так же, как ранее находили площадь фигуры. Объём принято измерять в единицах измерения объёма (единицах измерения размера пространства, занимаемого телом), то есть в кубических метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (обозначение: см3). По аналогии, можно за единицу измерения объёма принять кубический миллиметр (1 мм3), кубический метр (1 м3) и тому подобное.

Объём выражается в положительных числах. Это число показывает, сколько единиц измерения содержится в теле. Например, сколько кубических миллиметров в аквариуме, сколько кубических метровв бассейне и так далее.

Объём обозначается заглавной латинской буквой V.

Пример:

Объём книги400 кубических сантиметров запишут: V = 400см3.

Рассмотрим свойства объёмов.

Свойство № 1. Равные тела имеют равные объёмы. Это означает, что если два тела идентичны, то есть имеют равное количество единиц измерения и частей, то равны и их объёмы. Например, 2 одинаковых пакета молока равны в объёме.

Свойство № 2. Если тело составлено из нескольких тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.

Следствие из основных свойств объёмов.

Объём куба с ребром 1/n равен 1/n3

Доказательство. Рассмотрим куб, объём которого принят за единицу измерения объёмов, тоесть равный некоторому числукубических сантиметров. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьём каждое ребро этого куба на произвольное количество частей – nтак, чтобы провести плоскости, перпендикулярные к этому ребру.

По второму свойству объёмов, сумма объёмов всех кубиков равна объёму всего куба (1 см3). Следовательно, поскольку мы разбили каждое ребро на n частей, то каждый маленький куб внутри большого куба будет иметь ребро

Объём каждого из маленьких кубиков при этом будет равен 1/n3.

Объём прямоугольного параллелепипеда

Теорема

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

Доказательство

Обозначимизмеренияпрямоугольного параллелепипеда P буквами a,b,c, его объём буквой V, и докажем, что V = a ∙ b ∙ c.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай первый. Измерения a, b и c представляют собой конечные десятичные дроби, у которых число знаков после запятой не превосходит n (можно считать, что n больше или равно 1). В этом случае числа a ∙10n, b∙10n, c∙10n, являются целыми. Разобьём каждое ребро параллелепипеда на равные части длины: 1/10n и через точки разбиения проведём плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Параллелепипед P разобьётся на abc∙103n равных кубов с ребром 1/10n. Так как объём каждого куба равен 1/103n, что мы доказали ранее, то объём всего параллелепипеда P = abc, что и требовалось доказать.

Случай второй.

Хотя бы одно из измерений a, b, c представляет собой бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим конечные десятичные дроби: an, bn, cn, которые получаются из чисел a, b, c, если отбросить в каждом из них все цифры после запятой, начиная с n + 1. Очевидно, an ≤ a ≤ an’, где an’ = an+1 : 10n. Аналогичные неравенства справедливы для b и c. Перемножив эти неравенства, получим произведение anbncn ≤ abc ≤ an’bn’cn’, где bn’= bn+1 : 10n, cn’ = cn+1 : 10n

По доказанному в первом случае, левая часть неравенства представляет собой объём Vn прямоугольного параллелепипеда Pn с измерениями an, bn, cn, а правая часть – это объём Vn’ прямоугольного параллелепипеда Pn’ с измерениями an’, bn’, cn’. Так как параллелепипед P содержит в себе параллелепипед Pn, а сам содержится в параллелепипеде Pn’, то объём V параллелепипеда P заключён между Vn, = anbncn и Vn’= an’bn’cn’. Будем неограниченно увеличивать n. Тогда 1/10n будет становиться сколь угодно малым, и поэтому произведение an’bn’cn’ будет сколь угодно мало отличаться от числа, выраженного произведением anbncn. Отсюда следует, что число V сколь угодно мало отличается от числа, выраженного произведением anbncn, а значит, они равны.V = abc, что и требовалось доказать.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля.

№1.Длины сторон основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 см и 20 см. Высота параллелепипеда равна диагонали основания. Найдите объём этого параллелепипеда.

Решение:

Найдём длину диагонали основания, для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

А теперь найдём объём параллелепипеда:

V = 15 ∙ 20 ∙ 25 = 7500 см3

Ответ: V = 7500 см3.

№2.

Найдите площадь закрашенной фигуры, если объём прямоугольного параллелепипеда равен 960 см3, AB = 8 см, АА1 = 20 см.

Варианты ответов:

220 см2

100 см2

400 см2

200 см2

Решение.

Найдём длину АD:

AD = 960 : 8 : 20 = 6 см

Найдём АС, воспользовавшись теоремой Пифагора:

Закрашенная фигура – прямоугольник. Вычислим его площадь: 10∙20= 200 см2.

Ответ: площадь закрашенной фигуры 200 см2.

Верный ответ: 200 см2.

Статьи

Среднее общее образование

Геометрия

Математика

Объемы геометрических тел


Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

01 апреля 2019

Объемы геометрических тел

Раньше для определения объемов геометрических тел традиционно использовались интегралы. Сегодня есть и другие подходы, которые подробно представлены в учебниках нашей корпорации. В одном из вебинаров «Российского учебника» учитель высшей категории Алексей Доронин рассказал о методах определения объема разных геометрических тел с помощью принципа Кавальери и других аксиом.

Определение объема

Объем можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам:

  • V сохраняется при движениях.
  • V удовлетворяет принципу Кавальери.
  • Если внутренности многогранников M и N не пересекаются, то V(M ∪ N) = V(M) + V(N).
  • Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

Принцип Кавальери (итальянского математика, ученика Галилея). Если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m : n, то объемы данных тел относятся как m : n.

В открытом банке заданий ЕГЭ есть много задач для отработки этого способа определения объема.

Примеры

Задача 1. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Рисунок 1

Задача 2. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Рисунок 2

Задача 3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Рисунок 3

Разберем, как можно вычислять объемы изучаемых в школе фигур.

Объем призмы

Рисунок 4

В представленном случае известны площадь основания и высота призмы. Чтобы найти объем, используем принцип Кавальери. Рядом с призмой (Ф2) поместим прямоугольный параллелепипед (Ф1), в основании которого — прямоугольник с такой же площадью, как у основания призмы. Высота у параллелепипеда такая же, как у наклонного ребра призмы. Обозначим третью плоскость (α) и рассмотрим сечение. В сечении виден прямоугольник с площадью S и, во втором случае, многоугольник тоже с площадью S. Далее вычисляем по формуле:

V Sосн h

Математика. Геометрия. Углублённый уровень. 11 класс. Задачник.

Математика. Геометрия. Углублённый уровень. 11 класс. Задачник.

Задачник является Частью УМК для 10-11 классов, предназначенного для изучения предмета на углубленном уровне, и содержит более 1000 задач разной степени трудности, помогающих изучению и усвоению материала, изложенного в учебнике.
Пособие соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования.

Купить

Объем пирамиды

Лемма: две треугольные пирамиды с равновеликими основаниями и равными высотами равновелики. Докажем это, используя принцип Кавальери.

Рисунок 5

Возьмем две пирамиды одинаковой высоты и заключим их между двумя параллельными плоскостями α и β. Обозначим также секущую плоскость и треугольники в сечениях. Заметим, что отношения площадей этих треугольников связаны непосредственно с отношением оснований.

1/V2 = 1 <=> V1 = V2

Известно, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Данной теоремой апеллируют довольно часто. Однако откуда в формуле объема пирамиды появляется коэффициент 1/3? Чтобы понять это, возьмем призму и разобьем ее на 3 треугольные пирамиды:

Рисунок 6

V1 = V2


V
2 = V3


V
призмы S h = 3V


V = 1/3 Sh

Объем цилиндра

Рисунок 7

Возьмем прямой круговой цилиндр, в котором известны радиус основания и высота. Рядом поместим прямоугольный параллелепипед, в основании которого лежит квадрат. Рассмотрим:

Vцил = πh × R2

Объем конуса

Рисунок 8

Конус лучше всего сравнивать с пирамидой. Например, с правильной четырехугольной пирамидой с квадратом в основании. Две фигуры с равными высотами заключаем в две параллельные плоскости. Обозначив третью плоскость, в сечении получаем круг и квадрат. Представления о подобиях приводят к числу π.

SФ1/SФ2 = π


V
конуса = 1/3 πR2 h

Объем шара

Объем шара — одна из наиболее сложных тем. Если предыдущие фигуры можно продуктивно разобрать за один урок, то шар лучше отложить на последующее занятие.

Чтобы найти объем шара, шар часто предлагается сравнить со сложным геометрическим телом, которое связано с конусом и цилиндром. Но не стоит строить цилиндр, из которого вырезан конус, или вроде того. Возьмем половину шара с высотой R и радиусом R, а также конус и цилиндр с аналогичными высотами и радиусами оснований. Обратимся к полезным материалам на сайте
«Математические этюды», где объем шара рассматривается с использованием весов Архимеда. Цилиндр располагается на одной стороне уравновешенных весов, конус и половина шара — на другой.

Заключаем геометрические фигуры в две параллельные плоскости и смотрим, что получается в сечении. У цилиндра — круг с площадью πR2. Как известно, если внутренности геометрических тел не пересекаются, то объем их объединения равен сумме объемов. Пусть в конусе и в половине шара расстояние до плоскости сечения будет x. Радиус — тоже x. Тогда площадь сечения конуса — π ∙ x2. Расстояние от середины верха половины шара к краю сечения — R. Площадь сечения половины шара: π(R2 — x2).

Заметим, что: πR2 + πR2 — πR2 = πR2

Vцил = πR2 × R = πR3 = 1/3 R3 π + Vшара


V
шара = 4/3 πR3

Итак, чтобы найти объем нового, не изученного геометрического тела, нужно сравнить его с тем телом, которое наиболее на него похоже. Многочисленные примеры заданий из открытого банка задач показывают, что в работе с фигурами имеет смысл использовать представленные формулы и аксиомы.

#ADVERTISING_INSERT#

Рисунок куба, ребро

a – сторона куба

Формула объема куба, (V):

Формула объема куба

Изображение параллелепипеда

abc – стороны параллелепипеда

Еще иногда сторону параллелепипеда, называют ребром.

Формула объема параллелепипеда, (V):

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Рисунок шара, сферы

Rрадиус шара

π ≈ 3.14

По формуле, если дан радиус, можно найти объема шара, (V):

Формула для расчета объема шара, сферы

Цилиндр радиус высота

h – высота цилиндра

r – радиус основания

π ≈ 3.14

По формуле найти объема цилиндра, есди известны – его радиус основания и высота, (V):

формула объема цилиндра

конус радиус основания высота

R – радиус основания

H – высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема конуса, если известны радиус и высота (V):

Формула объема конуса

усеченный конус, радиусы оснований и высота

r –  радиус верхнего основания

R – радиус нижнего основания

h – высота конуса

π ≈ 3.14

Формула объема усеченного конуса, если известны – радиус нижнего основания, радиус верхнего основания и высота конуса  (V ):

Формула объема усеченного конуса

тетраэдр

Правильный тетраэдр – пирамида у которой все грани, равносторонние треугольники.

а – ребро тетраэдра

Формула, для расчета объема правильного тетраэдра (V):

Формула объема тетраэдра

Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой.

правильная четырехугольная пирамида

a – сторона основания

h – высота пирамиды

Формула для вычисления объема правильной четырехугольной пирамиды, (V):

формула объема правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида, у которой основание равносторонний треугольник и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной треугольной пирамидой.

Правильная треугольная пирамида

a – сторона основания

h – высота пирамиды

Формула объема правильной треугольной пирамиды, если даны – высота и сторона основания (V):

Формула объема правильной треугольной пирамиды

Пирамида в основании, которой лежит правильный многоугольник и грани равные треугольники, называется правильной.

правильная пирамида

h – высота пирамиды

a – сторона основания пирамиды

n – количество сторон многоугольника в основании

Формула объема правильной пирамиды, зная высоту, сторону основания и количество этих сторон (V):

Объем правильной пирамиды

Расчет объема пирамиды

h – высота пирамиды

S – площадь основания ABCDE

Формула для вычисления объема пирамиды, если даны – высота и площадь основания (V):

Формула объема пирамиды

Расчёт объёма усечённой пирамиды

h – высота пирамиды

Sниж – площадь нижнего основания, ABCDE

Sверх – площадь верхнего основания, abcde

Формула объема усеченной пирамиды, (V):

Формула объема усеченной пирамиды

Шаровый сегмент- это часть шара отсеченная плоскостью. В данном примере, плоскостью ABCD.

Объем шарового сегмента

R – радиус шара

h – высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула для расчета объема шарового сегмента, (V):

Формула объема шарового сегмента

Объем шарового сектора

R – радиус шара

h – высота сегмента

π ≈ 3.14

Формула объема шарового сектора, (V):

Формула объема шарового сектора

Объем шарового слоя

h – высота шарового слоя

R – радиус нижнего основания

r – радиус верхнего основания

π ≈ 3.14

Формула объема шарового слоя, (V):

Формула объема шарового слоя

Добавить комментарий