Как найти объем тела вращения примеры - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Объемы тел вращения

Краткая теория

Объемы тел, образованных вращением
криволинейной трапеции, ограниченной кривой

, осью

и двумя
вертикалями

, вокруг осей

, выражаются соответственно формулами:

Объем тела, образованного вращением
около оси

фигуры,
ограниченной кривой

, осью

и двумя
параллелями

, можно определять по формуле:

Если кривая задана в иной форме
(параметрически, в полярных координатах и т.д.), то в приведенных формулах
нужно сделать соответствующую замену переменной интегрирования.

В более общем случае объемы тел,
образованных вращением фигуры, ограниченной кривыми

(причем

) и прямыми

, вокруг координатных осей

, соответственно равны:

Объем тела, полученного при вращении
сектора, ограниченного дугой кривой

и двумя
полярными радиусами

, вокруг полярной оси, может быть вычислен по формуле:

Этой же формулой удобно пользоваться
при отыскании объема тела, полученного вращением вокруг полярной оси фигуры,
ограниченной некоторой замкнутой кривой, заданной в полярных координатах.

Если

– площадь
сечения тела плоскостью, перпендикулярной к некоторой прямой (которую принимаем
за ось

), в точке с абсциссой

, то объем этого тела равен:

где

– абсциссы
крайних сечений тела.

Примеры решения задач

Задача 1

С помощью
определенного интеграла вычислить объем тела, полученного вращением фигуры

вокруг указанной оси координат.

вокруг
оси

Решение

Сделаем
чертеж:

Объем
тела, образованного вращением вокруг оси

фигуры можно найти по формуле:

В нашем
случае получаем

Ответ:

Задача 2

Найдите
объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции,
ограниченной линиями:

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Сделаем
чертеж:

Объем
тела можно найти по формуле:

Ответ:

Задача 3

Определить
объем, образованный вращением кривой

вокруг
полярной оси.

Решение

Ответ:

Задача 4

Вычислить
объем тела, ограниченного однополосным гиперболоидом

и
плоскостями

Решение

Здесь
удобнее рассмотреть сечения данного тела плоскостями, перпендикулярными к оси

. Тогда объем выразится
формулой:

где

– площадь получаемого сечения, зависящая от
точки с аппликатой

, через которую проходит
секущая плоскость. При пересечении однополосного гиперболоида плоскостью

получается эллипс, который можно определить
уравнениями:

откуда
следует, что полуоси эллипса:

Учитывая, что площадь эллипса с
полуосями

равна

, воспользовавшись параметрическим заданием эллипса:

мы можем записать аналитическое
выражение функции

Тогда искомый объем:

Ответ:

Источник

Определение
3. Тело
вращения – это тело, полученное вращением
плоской фигуры вокруг оси, не
пересекающей фигуру и лежащей с ней в
одной плоскости.

Ось вращения может
и пересекать фигуру, если это ось
симметрии фигуры.

Теорема
2. Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осьюи отрезками прямыхивращается вокруг оси.
Тогда объём получающегося тела вращения
можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство.
Для такого тела сечение с абсциссой
– это круг радиуса,
значити формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура
ограничена графиками двух непрерывных
функций
и,
и отрезками прямыхи,
причёми,
то при вращении вокруг оси абсцисс
получим тело, объём которого

Пример
3. Вычислить
объём тора, полученного вращением круга,
ограниченного окружностью вокруг оси абсцисс.

Решение.
Указанный круг снизу ограничен графиком
функции
,
а сверху –.
Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком
подынтегральной функции является
верхняя полуокружность, поэтому
написанный выше интеграл – это площадь
полукруга).

Пример 4.
Параболический сегмент с основанием
,
и высотой,
вращается вокруг основания. Вычислить
объём получающегося тела («лимон»
Кавальери).

Решение.
Параболу расположим как показано на
рисунке. Тогда её уравнение
,
причем.
Найдём значение параметра:.
Итак, искомый объём:

Теорема
3. Пусть
криволинейная трапеция, ограниченная
графиком непрерывной неотрицательной
функции
,
осьюи отрезками прямыхи,
причём,
вращается вокруг оси.
Тогда объём получающегося тела вращения
может быть найден по формуле

(3)

Идея
доказательства.
Разбиваем отрезок
точками,
на части и проводим прямые.
Вся трапеция разложится на полоски,
которые можно считать приближенно
прямоугольниками с основаниеми высотой.

Получающийся при
вращении такого прямоугольника цилиндр
разрежем по образующей и развернём.
Получим «почти» параллелепипед с
размерами:
,и.
Его объём.
Итак, для объёма тела вращения будем
иметь приближенноё равенство

Для получения
точного равенства надо перейти к пределу
при .
Написанная выше сумма есть интегральная
сумма для функции ,
следовательно, в пределе получим интеграл
из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание
1. В теоремах
2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще
нечувствительна к знаку,
а в формуле (3) достаточнозаменить на.

Пример
5.
Параболический сегмент (основание
,
высота)
вращается вокруг высоты. Найти объём
получающегося тела.

Решение.
Расположим
параболу как показано на рисунке. И хотя
ось вращения пересекает фигуру, она –
ось – является осью симметрии. Поэтому
надо рассматривать лишь правую половину
сегмента. Уравнение параболы
,
причем,
значит.
Имеем для объёма:

Замечание
2. Если
криволинейная граница криволинейной
трапеции задана параметрическими
уравнениями
,,и,то можно использовать формулы (2) и (3) с
заменойнаинапри измененииt
от
до.

Пример
6. Фигура
ограничена первой аркой циклоиды
,,,
и осью абсцисс. Найти объём тела,
полученного вращением этой фигуры
вокруг: 1) оси;
2) оси.

Решение.
1) Общая формула
В нашем случае:

2) Общая формула
Для нашей фигуры:

Предлагаем
студентам самостоятельно провести все
вычисления.

Замечание
3. Пусть
криволинейный сектор, ограниченный
непре-рывной линией
и лучами,,
вращается вокруг полярной оси. Объём
получающегося тела можно вычислить по
формуле.

Пример
7. Часть
фигуры, ограниченной кардиоидой
,
лежащая вне окружности,
вращается вокруг полярной оси. Найти
объём тела, которое при этом получается.

Решение.
Обе линии, а значит и фигура, которую
они ограничивают, симметричны относительно
полярной оси. Поэтому необходимо
рассматривать лишь ту часть, для которой

.
Кривые пересекаются прии

при
.
Далее, фигуру можно рассматривать как
разность двух секторов, а значит и объём
вычислять как разность двух интегралов.
Имеем:

Задачи
для самостоятельного решения.

1. Круговой сегмент,
основание которого ,
высота
,
вращается вокруг основания. Найти объём
тела вращения.

2. Найти объём
параболоида вращения, основание которого
,
а высота равна.

3. Фигура, ограниченная
астроидой
,вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела, которое получается при этом.

4. Фигура, ограниченная
линиями
ивращается вокруг оси абсцисс. Найти
объём тела вращения.

Соседние файлы в папке Лекции по мат.анализу

Источник

Для того, чтобы найти объем фигуры, образованной вращением вокруг оси Ox нужно вычислить определенный интеграл от квадрата функции, задающей график и умножить на число Пи.

$$ V = pi int_a^b y^2 dx $$

В формуле $ a $ и $ b $ значения отложены по оси Ox. Фукция $ y (x) $ задаёт график фигуры, объем вращения которой необходимо вычислить.

Строим график фигуры
Вычисляем определенный интеграл

Пример 1

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox: $ y = x^2 $ и $ a = 2, b = 3 $

Решение

Выполняем построение графика. Чертим на плоскости параболу $ y = x^2 $. Выставляем на чертеже оранжевые линии, соответствующие ограничениям $ a = 2, b = 3 $. Закрашиваемая область желтым цветом выделяет фигуру, объем вращения которой будем искать.

Подставляем в формулу функцию $ y = x^2 $ и пределы интегрирования. Вычисляем определенный интеграл $$ V = pi int_2^3 (x^2)^2 dx = pi int_2^3 x^4 dx = $$

Для взятия интеграла воспользуемся формулой $ int x^p dx = frac{x^{p+1}}{p+1} $

$$ = pi frac{x^5}{5} bigg |_2^3 = pi frac{243}{5} – pi frac{32}{5} = frac{211}{5} pi = 132.5 $$

Получили объем фигуры $ V = 132.5 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ V = 132.5 $$

Пример 2

Найти объем тела вращения фигуры вокруг оси Ox, заданной двумя функциями $$ y = x^2, y = x^3 $$

Решение

В данном примере необходимо найти точки пересечения двух графиков функций. Приравниваем их друг к другу и решаем уравнение относительно одной переменной $ x $: $$ x^2 = x^3 $$ Переносим всё в одну строну $$ x^3 – x^2 = 0 $$ Выносим за скобку неизвестную $ x^2 $ и получаем корни уравнения: $$ x^2(x-1) = 0 $$ $$ x^2 = 0, x-1=0 $$ $$ x_1=0, x_2=1 $$

Выполняем построение графиков функций для наглядности. На рисунке закрашиваем область, ограниченную двумя функциями.

Для того, чтобы найти объем тела вращения, заданного с помощью двух функций, необходимо воспользоваться идеей разности объемов. А имеенно, находим сначала объем фигуры вращения, заданной функцией $ y = x^2 $, затем отдельно $ y = x^3 $.

$$ V_1 = pi int_0^1 (x^2)^2 dx = pi frac{x^5}{5} bigg |_0^1 = frac{pi}{5} $$

$$ V_2 = pi int_0^1 (x^3)^2 dx = pi frac{x^7}{7} bigg |_0^1 = frac{pi}{7} $$

Получаем искомый объем с помощью разности объемов $$ V = V_1 – V_2 = frac{pi}{5} – frac{pi}{7} = frac{2pi}{35} $$

Ответ

$$ V = frac{2pi}{35} $$

Источник

Объём тела вращения

Пусть — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a и x=b и графиком непрерывной функции y=f(x) .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

$V=pi intlimits_{a}^{b} f^2(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}y^2,dx,.$

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве выберем плоскость Oyz , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии от плоскости Oyz , является кругом радиуса f(x) и его площадь S(x) равна pi f^2(x) (рис. 46). Поэтому функция S(x) непрерывна в силу непрерывности f(x) . Далее, если S(x_1)leqslant S(x_2) , то это значит, что f(x_1)leqslant f(x_2) . Но проекциями сечений на плоскость Oyz являются круги радиусов f(x_1) и f(x_2) с центром , и из вытекает, что круг радиуса f(x_1) содержится в круге радиуса f(x_2) .

Чертёж тела вращения вокруг оси абсцисс

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

$V=pi intlimits_{a}^{b} S(x),dx= pi intlimits_{a}^{b}f^2(x),dx,.$

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , то

$V= pi intlimits_{a}^{b}y_2^2,dx- pi intlimits_{a}^{b}y_1^2,dx= piintlimits_{a}^{b}Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)Bigr)dx,.$

Формулой (3) можно воспользоваться и для вычисления объема тела вращения в случае, когда граница вращающейся фигуры задана параметрическими уравнениями. В этом случае приходится пользоваться заменой переменной под знаком определенного интеграла.

В некоторых случаях оказывается удобным разлагать тела вращения не на прямые круговые цилиндры, а на фигуры иного вида.

Например, найдем объем тела, получаемого при вращении криволинейной трапеции вокруг оси ординат. Сначала найдем объем, получаемый при вращении прямоугольника с высотой y#, в основании которого лежит отрезок $[x_k;x_{k+1}]$ . Этот объем равен разности объемов двух прямых круговых цилиндров

$Delta V_k= pi y_k x_{k+1}^2- pi y_k x_k^2= pi y_k bigl(x_{k+1}+x_kbigr) bigl(x_{k+1}-x_kbigr).$

Но теперь ясно, что искомый объем оценивается сверху и снизу следующим образом:

$2pi sum_{k=0}^{n-1} m_kx_kDelta x_k leqslant Vleqslant 2pi sum_{k=0}^{n-1} M_kx_kDelta x_k,.$

Отсюда легко следует формула объёма тела вращения вокруг оси ординат:

$V=2pi intlimits_{a}^{b} xy,dx,.$

(4)

Пример 4. Найдем объем шара радиуса .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси , образует шар. Уравнение окружности имеет вид x^2+y^2=R^2 , поэтому y^2=R^2-x^2 . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

$frac{1}{2}V= piintlimits_{0}^{R}y^2,dx= piintlimits_{0}^{R} (R^2-x^2),dx= left.{pi!left(R^2x- frac{x^3}{3}right)}right|_{0}^{R}= pi!left(R^3- frac{R^3}{3}right)= frac{2}{3}pi R^3.$

Следовательно, объем всего шара равен $frac{4}{3}pi R^3$ .

Конус, образованный вращением прямой вокруг оси абсцисс

Пример 5. Вычислить объем конуса, высота которого и радиус основания .

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось совпала с высотой h (рис. 47), а вершину конуса примем за начало координат. Тогда уравнение прямой запишется в виде $y=frac{r}{h},x$ .

Пользуясь формулой (3), получим:

$V=pi intlimits_{0}^{h} y^2,dx= pi intlimits_{0}^{h} frac{r^2}{h^2},x^2,dx= left.{frac{pi r^2}{h^2}cdot frac{x^3}{3}}right|_{0}^{h}= frac{pi}{3},r^2h,.$

Пример 6. Найдем объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды $begin{cases}x=acos^3t,,\ y=asin^3t,.end{cases}$ (рис. 48).

Объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс астроиды

Решение. Построим астроиду. Рассмотрим половину верхней части астроиды, расположенной симметрично относительно оси ординат. Используя формулу (3) и меняя переменную под знаком определенного интеграла, найдем для новой переменной пределы интегрирования.

Если x=acos^3t=0 , то $t=frac{pi}{2}$ , а если x=acos^3t=a , то t=0 . Учитывая, что y^2=a^2sin^6t и $dx=-3acos^2tsin{t},dt$ , получаем:

$V=pi intlimits_{a}^{b} y^2,dx= pi intlimits_{pi/2}^{0} a^2sin^6t bigl(-3acos^2tsin{t}bigr),dt= ldots= frac{16pi}{105},a^3.$

Объем всего тела, образованного вращением астроиды, будет $frac{32pi}{105},a^3$ .

Пример 7. Найдем объем тела, получаемого при вращении вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и первой аркой циклоиды $begin{cases}x=a(t-sin{t}),\ y=a(1-cos{t}).end{cases}$ .

Решение. Воспользуемся формулой (4): $V=2pi intlimits_{a}^{b}xy,dx$ , и заменим переменную под знаком интеграла, учитывая, что первая арка циклоиды образуется при изменении переменной от до 2pi . Таким образом,

$begin{aligned}V&= 2pi intlimits_{0}^{2pi} a(t-sin{t})a(1-cos{t})a(1-cos{t}),dt= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi} (t-sin{t})(1-cos{t})^2,dt=\ &= 2pi a^3 intlimits_{0}^{2pi}bigl(t-sin{t}- 2tcos{t}+ 2sin{t}cos{t}+ tcos^2t- sin{t}cos^2tbigr),dt=\ &= left.{2pi a^3!left( frac{t^2}{2}+ cos{t}- 2tsin{t}- 2cos{t}+ sin^2t+ frac{t^2}{4}+ frac{t}{4}sin2t+ frac{1}{8}cos2t+ frac{1}{3}cos^3tright)}right|_{0}^{2pi}=\ &= 2pi a^3!left( 2pi^2+1-2+pi^2+frac{1}{8}+ frac{1}{3}-1+2- frac{1}{8}- frac{1}{3}right)= 6pi^3a^3. end{aligned}$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Содержание:

Говоря об объеме, имеют ввиду вместимость пространственной фигуры. Как вы думаете, емкость какого из цилиндров на рисунке больше?

Призмой, вписанной (описанной) в цилиндр, называется призма, основания которой вписаны (описаны) в основания цилиндра.

Объем цилиндра

Пусть в цилиндр с радиусом

При бесконечном возрастании площадь оснований данных призм приближаются к площади основания цилиндра, а их объемы к объему цилиндра:

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.

Практическая работа. Какая связь существует между объемами призмы и пирамиды, если они имеют одинаковые высоты и основания? Можно ли эту связь применить для объемов цилиндра и конуса?

Сделайте из картона модели сосудов в виде конуса и цилиндра, радиусы оснований и высоты которых одинаковы. Заполните цилиндрический сосуд при помощи сосуда в виде конуса (песком, рисом, и т. п.).

Сколько таких сосудов понадобится, чтобы заполнить цилиндрический сосуд? Верно ли утверждение, что цилиндрический сосуд можно заполнить тремя полными сосудами в виде конуса?

Обобщите соответствующую информацию о вычислении объема призмы, цилиндра, пирамиды и конуса, записав ответ в закрашенные ячейки.

Объем призмы и цилиндра:

Объем = площадь основания

Объем пирамиды и конуса:

Объем = объем призмы или цилиндра, имеющих одинаковые

основание и высоту.

Объем конуса

Объем конуса равен произведению одной третьей площади основания на высоту.

Пример №1

Образующая конуса 9 см, высота 6 см. Найдите объем конуса.

Решение:

Объем шара и его частей

Практическая работа.

1. Возьмите мяч. Определите его диаметр.

2. Изобразите на бумаге развертку цилиндра, диаметр и высота которого равны диаметру шару.

3. Вырежьте и сверните полученную развертку в цилиндр без верхней крышки. Скрепите развертку при помощи клейкой ленты. Разделите высоту цилиндра на 3 равные части и сделайте соответствующие разметки.

4. Обверните мяч фольгой или плотным материалом и сделайте мешок сферической формы. Наполните его песком.

5. Пересыпьте песок в цилиндр. Какая часть цилиндра заполнится?

Если разделить поверхность шара сеткой из вертикальных и горизонтальных линий и маленький “прямоугольный” кусочек сферы соединить с центром шара, то можно представить, что шар состоит из множества “маленьких пирамид”.

Объем шара можно выразить через сумму объемов “маленьких пирамид” высота которых равна радиусу шара. Бесконечно уменьшая размеры оснований, количество пирамид будет бесконечно расти.

Сумма площадей оснований “маленьких пирамид” будет равна площади поверхности шара. Учитывая, что площадь поверхности шара равна получим формулу для нахождения объема шара:

Объем шара:

Объем шара равен произведению и куба радиуса.

Пример №2

Найдите: а) объем шара радиуса 3 см

b) радиус шара объемом 288

Решение:

а)

Сектор шара и сегмент шара

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная конической поверхностью с вершиной в центре шара. Шаровой сектор-объеденение конуса и шарового сегмента.

Так как шаровой сектор можно рассмотреть как предел суммы объемов маленьких пирамид, вершины которых находятся в центре шара, а основания касаются его поверхности, то

Здесь радиус шара, высота соответствующего сегмента

С другой стороны,

Проектная работа.

Отношение между объемами цилиндра, конуса и шара, которое получил Архимед.

Архимед нашел формулу для нахождения объема шара, исследовав связь между объемом цилиндра, описанного вокруг шара радиуса и объемом конуса, вписанного в данный цилиндр. Попробуйте и вы выполнить это исследование.

Если – расстояние от центра шара до плоскости сечения, то для шара радиуса представьте зависимость площади сечения от выполнив следующие шаги.

a) Вычислите следующие значения функции

Для примера найдено значение

b) Представьте свои суждения о значениях и сечений.

c) Запишите общую формулу для определения площади сечения, расположенного на расстоянии от центра шара радиуса

d) Свяжите формулу, полученную в пункте и следующий рисунок.

e) Чтобы понять умозаключения Архимеда, вернемся к начальному рисунку.

При “извлечении” конуса из цилиндра в поперечном сечении получаем кольца, параллельные основанию.

На одном и том же уровне поперечное сечение шара является кругом. Из подобия треугольников можно доказать, что площадь кольца каждого слоя равна Поскольку площади этих плоских сечений равны, по принципу Кавальери равны и объемы этих тел.

Объемы подобных фигур

Отношения соответствующих линейных размеров подобных пространствнных фигур должны быть равны.

По заданным соответствующим размерам подобных пространственных фигур можно найти неизвестные размеры.

Пример №3

Конусы и подобны. По данным рисунка найдите образующую конуса

Решение: Запишем отношение линейных размеров: Радиус А Образующая А

Известно, что отношение площадей поверхностей двух подобных пространственных фигур равно квадрату отношения соответствующих линейных размеров или квадрату коэффициента подобия:

Объемы подобных пространственных фигур

Отношение объемов подобных пространственных фигур и равно кубу отношения соответствующих линейных размеров или кубу коэффициента подобия:

Пример №4

Отношение боковых поверхностей двух подобных цилиндров равно 4:9. Зная, что разность объемов равна куб.ед., найдите объемы цилиндров.

Решение: по условию тогда Значит С другой стороны, принимая во внимание, что получим:

Объемы тел в высшей математике

Под телом Т будем подразумевать ограниченное множество в пространстве.
Будем рассматривать тела, имеющие внутренние точки и границу, которая также принадлежит телу (замкнутые тела), причем такие, что любые две внутренние
точки можно соединить непрерывной линией, проходящей внутри тела.

Определение 1. Рассмотрим тело составленное из конечного числа многогранников, содержащихся в Т, и тело , составленное из многогранников и покрывающее тело Т:
Пусть Тело называется кубируемым, если . При этом число (1) называется объемом тела Т (по Жордану).

Замечание. Для кубируемости тела Т необходимо и достаточно, чтобы такие, что (2)

Пусть для кубируемого тела Т известны площади s=s(x) его сечения плоскостями перпендикулярными оси Ох, проходящими через точки (х, 0, 0), – непрерывна

Разобьем отрезок [ a b ] на n частичных отрезков точками и обозначим это разбиение . Пусть
– диаметр разбиения, тогда (3)
Где это – объем цилиндрического тела высотой и площадью основания
Пусть k − -ый слой тела Т между плоскостями, проходящими через точки и перпендикулярными оси Ох.

Так как Т – кубируемо, то – также кубируемо и где

Тогда
∀n ∈ N, или

Гдеэто – нижняя и верхняя суммы Дарбу функции s(x) для разбиения
ПоэтомуТаким образом (6)

Замечание. Нужно заметить, что неравенство (4), которое использовалось для вывода формулы (6), выполняется, когда любые два рассматриваемые сечения
тела Т при проекции на плоскость yOz полностью содержатся одно в другом.
Однако формула (6) верна и в общем случае. Для этого достаточно потребовать,
чтобы тело Т было кубируемым и функция s (x) – непрерывной.

Пример №5

Найти объем тела ограниченного поверхностями (ниже параболоида).

Решение.

Из системы уравнений следует, что z=h.

В сечении тела плоскостью проходящей через точку (0, 0, z) перпендикулярно оси Оz получается кольцо

Радиус внешней окружности равен R, радиус внутренней равен
Поэтому по формуле (6):

Формулу (6) удобно применять к телам вращения. Пусть y=f(x) – непрерывна на отрезке Будем вращать криволинейную трапецию

вокруг оси Ох. Получим тело:

Тогда сечением полученного тела плоскостью проходящей через точку (х,0,0) и перпендикулярной оси Ох будет круг радиуса и по формуле (6):
Где y=f(x).
Аналогично, если то при вращении вокруг оси Ох фигуры

Получим тело, объем которого

Пример №6

Рассмотрим фигуру Φ ограниченную эллипсом
Найдем объем эллипсоида полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры Φ .

Решение.

По формуле (7):
Пусть функция x=x(y) – непрерывна при Тогда, аналогично, при вращении вокруг оси Оу фигуры

Получим тело, объем которого (9)
Если же вращать вокруг оси Оу трапецию

то (10)

Пример №7

Рассмотрим тело Т из примера 1. Оно получается, если вращать вокруг оси Oz фигуру, ограниченную линиями:

Из первого уравнения найдем поэтому по формуле (9):

Пример №8

Объем при вращении фигуры из примера 3 вокруг оси Oz можно также найти и по формуле (10):

Пример №9

Фигура Ф ограничена линиями Найти

Решение.

Абсциссы точек пересечения: (см. пример 1 § 30). По формуле (8):

Замечание. Для непрерывной функции рассмотрим криволинейную трапецию

Пусть – непрерывно-дифференцируема на промежуткеТогда по формуле (7): по формуле (1) § 26

Где – параметрическое задание линии Таким образом или (12)
(кривая обходится так, чтобы область Ф оставалась слева).

Аналогично, для непрерывной функции рассмотрим криволинейную трапецию

Пусть – непрерывно-дифференцируема на промежутке Тогда по формуле (9): по формуле (1) § 26

Где – параметрическое задание линии

Таким образом (13) (кривая обходится так, чтобы область Ф оставалась слева).

Рассмотрим область ,ограниченную простой замкнутой кривой
(кривая лежит по одну сторону от оси Ox ). Тогда объем можно находить по формуле (12):
(кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).

Аналогично ,для области ограниченной простой замкнутой кривой
(кривая лежит по одну сторону от оси Oy )объем можно находить по формуле (13): (кривая обходится так, чтобы область оставалась слева).