Как найти объем тетраэдра по его вершинам - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Определение тетраэдра

Тетраэдр – простейшее многогранное тело, гранями и основанием которого являются треугольники.

Онлайн-калькулятор объема тетраэдра

Тетраэдр имеет четыре грани, каждая их которых образована тремя сторонами. Вершин у тетраэдра четыре, из каждой выходит по три ребра.

Данное тело разделяется на несколько видов. Ниже приведена их классификация.

Равногранный тетраэдр — у него все грани являются одинаковыми треугольниками;
Ортоцентрический тетраэдр — все высоты, проведенные из каждой вершины на противолежащую грань, являются одинаковыми по длине;
Прямоугольный тетраэдр — ребра, исходящие из одной вершины, образуют друг с другом угол в 90 градусов;
Каркасный;
Соразмерный;
Инцентрический.

Формулы объема тетраэдра

Объем данного тела можно найти несколькими способами. Разберем их более подробно.

Через смешанное произведение векторов

Если тетраэдр построен на трех векторах с координатами:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем этого тетраэдра это смешанное произведение этих векторов, то есть такой определитель:

Объем тетраэдра через определитель

V=16⋅∣axayazbxbybzcxcycz∣V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}

Задача 1

Известны координаты четырех вершин октаэдра. A(1,4,9)A(1,4,9), B(8,7,3)B(8,7,3), C(1,2,3)C(1,2,3), D(7,12,1)D(7,12,1). Найдите его объем.

Решение

A(1,4,9)A(1,4,9)
B(8,7,3)B(8,7,3)
C(1,2,3)C(1,2,3)
D(7,12,1)D(7,12,1)

Первым шагом является определение координат векторов, на которых построено данное тело.
Для этого необходимо найти каждую координату вектора путем вычитания соответствующих координат двух точек. Например, координаты вектора AB→overrightarrow{AB}, то есть, вектора, направленного от точки AA к точке BB, это разности соответствующих координат точек BB и AA:

AB→=(8−1,7−4,3−9)=(7,3,−6)overrightarrow{AB}=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)

Далее, аналогично:

AC→=(1−1,2−4,3−9)=(0,−2,−6)overrightarrow{AC}=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, -2, -6)
AD→=(7−1,12−4,1−9)=(6,8,−8)overrightarrow{AD}=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)

Теперь найдем смешанное произведение данных векторов, для этого составим определитель третьего порядка, при этом принимая, что AB→=a⃗overrightarrow{AB}=vec{a}, AC→=b⃗overrightarrow{AC}=vec{b}, AD→=c⃗overrightarrow{AD}=vec{c}.

∣axayazbxbybzcxcycz∣=∣73−60−2−668−8∣=7⋅(−2)⋅(−8)+3⋅(−6)⋅6+(−6)⋅0⋅8−(−6)⋅(−2)⋅6−7⋅(−6)⋅8−3⋅0⋅(−8)=112−108−0−72+336+0=268begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}=
begin{vmatrix}
7 & 3 & -6 \
0 & -2 & -6 \
6 & 8 & -8 \
end{vmatrix}=7cdot(-2)cdot(-8) + 3cdot(-6)cdot6 + (-6)cdot0cdot8 – (-6)cdot(-2)cdot6 – 7cdot(-6)cdot8 – 3cdot0cdot(-8) = 112 – 108 – 0 – 72 + 336 + 0 = 268

То есть, объем тетраэдра равен:

V=16⋅∣axayazbxbybzcxcycz∣=16⋅∣73−60−2−668−8∣=16⋅268≈44.8 см3V=frac{1}{6}cdotbegin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}=frac{1}{6}cdot
begin{vmatrix}
7 & 3 & -6 \
0 & -2 & -6 \
6 & 8 & -8 \
end{vmatrix}=frac{1}{6}cdot268approx44.8text{ см}^3

Ответ

44.8 см3.44.8text{ см}^3.

Формула объема равногранного тетраэдра по его стороне

Эта формула справедлива только для вычисления объема равногранного тетраэдра, то есть такого тетраэдра, у которого все грани являются одинаковыми правильными треугольниками.

Объем равногранного тетраэдра

V=2⋅a312V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}

aa — длина ребра тетраэдра.

Задача 2

Определить объем тетраэдра, если дана его сторона, равная 11 см11text{ см}.

Решение

a=11a=11

Подставляем aa в формулу для объема тетраэдра:

V=2⋅a312=2⋅11312≈156.8 см3V=frac{sqrt{2}cdot a^3}{12}=frac{sqrt{2}cdot 11^3}{12}approx156.8text{ см}^3

Ответ

156.8 см3.156.8text{ см}^3.

На нашем сайте вы можете оформить выполнение контрольных работ на заказ онлайн!

Тест по теме «Объем тетраэдра»

Источник

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC. В результате получим треугольники ADC, CDB, ABD. Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC, ADC, CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC.
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Таким образом, тетраэдр – это простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

где

S – площадь любой грани,
H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

Все грани равны.
Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a. DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD.
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM, где DH, являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

$h_BM=2sqrt{p(p-BM)(p-DM)(p-BD)}/BM$ , где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
$h_BM=2sqrt{1/2a( sqrt{3}+1)(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a sqrt{3}/2 )(1/2a( sqrt{3}+1)-a)}/(a sqrt{3}/2)$
Вынесем 1/2a. Получим

$2sqrt{(1/2a)^{4}( sqrt{3}+1)*1*1*( sqrt{3}-1)}/(a sqrt{3}/2)$
Применим формулу разность квадратов
$2sqrt{(1/2a)^{4}*2}/(a sqrt{3}/2)$
После небольших преобразований получим
$(2a^{2}sqrt{2}*2)/(4a sqrt{3}) = sqrt{2/3}a$

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где $S=1/2aa sqrt{3}/2= sqrt{3}/4a^{2}$ ,

Подставив эти значения, получим
$V=1/3 sqrt{3}/4a^{2}a sqrt{3}/2 =sqrt{3}/12 a^{3}$

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

$V=sqrt{3}/12 a^{3}$

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины A_1 проведем векторы $overline{A_1A_2}$ , $overline{A_1A_3}$ , $overline{A_1A_4}$ .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
$overline{A_1A_2}(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$
$overline{A_1A_3}(x_3-x_1,y_3-y_1,z_3-z_1)$
$overline{A_1A_4}(x_4-x_1,y_4-y_1,z_4-z_1)$

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

$V= delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}$

$delim{|}{overline{A_1A_2},overline{A_1A_3},overline{A_1A_4}}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{x_2-x_1 y_2-y_1 z_2-z_1 x_3-x_1 y_3-y_1 z_3-z_1 x_4-x_1 y_4-y_1 z_4-z_1}}{|}$

Для закрепления материала рассмотрим пример использования формулы объема тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра равен 2 см³. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого в 3 раза больше ребра данного тетраэдра.
Объем правильного тетраэдра вычисляется по формуле $V=sqrt{3}/12 a^{3}$
Тогда $2=sqrt{3}/12 a^{3}$
Выразим куб стороны $a^{3}=24/sqrt{3}$
Если сторону увеличить в 3 раза, что его куб увеличиться в 27 раз. Тогда
${a_1} ^{3}=24*27/sqrt{3}$ м
Найдем объем

Источник

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

S – площадь любой грани,
H – высота, опущенная на эту грань

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Все грани равны.
Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем тетраэдра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Формула вычисления объема тетраэдра

1. Общая формула (через площадь основания и высоту)

Объем (V) тетраэдра считается также, как и объем любой пирамиды. Он равняется одной третьей произведения площади любой грани и высоты, опущенной на нее:

2. Объем правильного тетраэдра

В правильном тетраэдре все грани являются равносторонними треугольниками. Объем данной фигуры равен одной двенадцатой произведения длины его ребра в кубе на квадратный корень из числа 2.

Т.к. это правильный тетраэдр, все его ребра равны (AB = BC = AC = AD = BD = CD).

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из граней тетраэдра равна 24 см 2 , а высоту, опущенная на нее – 9 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим общую формулу и получаем:

Задание 2
Дан правильный тетраэдр, ребро которого равняется 8 см. Найдите его объем.

Решение:
Воспользуемся формулой для расчета объема правильной фигуры:

Объем тетраэдра площадь треугольника

Из основной формулы для объёма тетраэдра

(1),

где S – площадь любой грани, а H – опущенная на нее высота, можно вывести еще целый ряд формул, выражающих объём через различные элементы тетраэдра. Приведем эти формулы для тетраэдра ABCD.

(2) ,

где ∠ (AD,ABC) – угол между ребром AD и плоскостью грани ABC;

(3) ,

где ∠ (ABC,ABD) – угол между гранями ABC и ABD;

(4) ,

где |AB,CD| – расстояние между противоположными ребрами AB и CD, ∠ (AB,CD) – угол между этими ребрами.

Формулы (2)–(4) можно использовать для нахождения величин углов между прямыми и плоскостями; особенно полезна формула (4), с помощью которой можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми AB иCD.

Формулы (2) и (3) аналогичны формуле S = (1/2)absin C для площади треугольника. Формуле S = rp аналогична формула

(5) ,

где r – радиус вписанной сферы тетраэдра, Σ – его полная поверхность (сумма площадей всех граней). Имеется и красивая формула, связывающая объём тетраэдра с радиусом R его описанной сферы (формула Крелле):

(6) ,

где Δ – площадь треугольника, стороны которого численно равны произведениям противоположных ребер (AB × CD, AC × BD,AD × BC). Из формулы (2) и теоремы косинусов для трехгранных углов (см. Сферическая тригонометрия) можно вывести формулу, аналогичную формуле Герона для треугольников:

(7) ,

где α, β, γ – плоские углы BDC, CDA, ADB при вершине D, δ = (α+β+γ)/2 – их полусумма.

Наконец, приведем векторную формулу:

(8) ,

где внутри модуля стоит смешанное произведение векторов. С помощью этой формулы можно вычислять объём тетраэдра, зная координаты его вершин.

[spoiler title=”источники:”]

Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи

http://school-collection.edu.ru/dlrstore-wrapper/41cad97f-3245-422f-b97f-30dddea784f0/Obem_tetraedra.html

[/spoiler]

Источник

Как найти объем правильного тетраэдра

Тетраэдр является одним из пяти существующих правильных многогранников, т.е. многогранников гранями которых являются правильные многоугольники. Тетраэдр состоит из четырёх граней являющимися равносторонними треугольниками, шести рёбер и четырёх вершин.

Инструкция

Рассчитать объём правильно тетраэдра можно как по общим формулам для тетраэдров, так и по формуле для правильного тетраэдра.

Объём правильного тетраэдра находится по формуле

V = √2/12 * a³, где a – длина ребра тетраэдра.

Объём тетраэдра так же можно вычислить по следующим формулам.

V = 1/3 * S * h, где S – площадь грани тетраэдра, h – высота опущенная на эту грань.
V = sin∠γ * 2/3 * (Sα * Sβ)/AB, где Sα и Sβ – площади граней α и β, sin∠γ – угол между гранями α и β

Если тетраэдр задан координатами своих вершин в декартовой системе координат – r1(x1, y1, z1), r2(x2, y2, z2), r3(x3, y3, z3), r4(x4, y4, z4), то её объём можно рассчитать по формуле, приведённой на рисунке.

Видео по теме

Источники:

объем тетраэдра

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Формула вычисления объема тетраэдра
- 1. Общая формула (через площадь основания и высоту)
- 2. Объем правильного тетраэдра
Примеры задач

Формула вычисления объема тетраэдра

1. Общая формула (через площадь основания и высоту)

S – площадь грани ABC, в данном случае выступающего в роли основания
h – высота, опущенная на грань ABC

2. Объем правильного тетраэдра

Т.к. это правильный тетраэдр, все его ребра равны (AB = BC = AC = AD = BD = CD).

Примеры задач

Задание 1
Площадь одной из граней тетраэдра равна 24 см², а высоту, опущенная на нее – 9 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Применим общую формулу и получаем:

Задание 2
Дан правильный тетраэдр, ребро которого равняется 8 см. Найдите его объем.

Решение:
Воспользуемся формулой для расчета объема правильной фигуры:

Источник

Онлайн-калькулятор объема тетраэдра

Формулы объема тетраэдра

Через смешанное произведение векторов

Формула объема равногранного тетраэдра по его стороне

Тест по теме «Объем тетраэдра»

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Объем тетраэдра

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Нахождение объема тетраэдра: формула и задачи

Формула вычисления объема тетраэдра

1. Общая формула (через площадь основания и высоту)

2. Объем правильного тетраэдра

Примеры задач

Объем тетраэдра площадь треугольника

Как найти объем правильного тетраэдра

Формула вычисления объема тетраэдра

1. Общая формула (через площадь основания и высоту)

2. Объем правильного тетраэдра

Примеры задач

Вам также может понравиться

Как найти издержки обращения по формуле

Как найти общий вес формула

Как найти огненный меч

Добавить комментарий Отменить ответ