Как найти объем треугольной пирамиды с вершинами

Skip to content

Объём треугольной пирамиды, построенной на векторах

Рисунок — Треугольная пирамида, построенная на векторах

Объём треугольной пирамиды (см. рисунок выше), построенной на векторах вычисляется по формуле:

Пример

Найти объём треугольной пирамиды, построенной на векторах ABCD c вершинами

А(2; -1; 1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3).

Решение

Находим координаты векторов

$overrightarrow {AB}  = left{ {left( {5 — 2} right);left( {5 — left( { — 1} right)} right);left( {4 — 1} right)} right} = left{ {3;6;3} right}$

$overrightarrow {AC}  = left{ {left( {3 — 2} right);left( {2 — left( { — 1} right)} right);left( { — 1 — 1} right)} right} = left{ {1;3; — 2} right}$

$overrightarrow {AD}  = left{ {left( {4 — 2} right);left( {1 — left( { — 1} right)} right);left( {2 — 1} right)} right} = left{ {2;2;2} right}$

Искомый объём равен $frac{1}{6}$ объём параллелепипеда, построенного на рёбрах,

$overrightarrow {AB} $, $overrightarrow {AС} $, $overrightarrow {AD} $, следовательно объем равен:

$V =  pm frac{1}{6}left| {begin{array}{*{20}{c}}3&6&3 \ 1&3&{ — 2} \ 2&2&2 end{array}} right|=$

$ =  pm frac{1}{6}cdotleft( {3cdotleft( {3cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) — 6cdotleft( {1cdot2 — left( { — 2} right)cdot2} right) + 3cdotleft( {1cdot2 — 3cdot2} right)} right) = 3$

Решая, находим определитель матрицы третьего порядка и получаем искомый объём треугольной пирамиды V=3

17630

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

Данный онлайн-сервис вычисляет (показываются промежуточные расчёты) следующие параметры треугольной пирамиды (тетраэдра):

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Часто в задачах школьного курса геометрии приходится решать задания, которые требуют использования комплексного подхода. Одной из таких задач является вычисление объема пирамиды по координатам вершин. Как решить эту геометрическую задачу – ответит приведенная ниже статья.

Что представляет собой пирамида?

Говоря простыми словами, под этой фигурой понимают пространственный объект, ограниченный треугольными сторонами и одной многоугольной гранью, которая называется основанием. Многоугольное основание может быть произвольным n-угольником на плоскости, например, правильным треугольником, параллелограммом и так далее.

Вам будет интересно:Какую роль играет репродуктивная клетка животных и растений?

Любая пирамида имеет n + 1 грань, 2 * n ребер и n + 1 вершину. Вершины фигуры не являются равноправными. Так, существует единственная вершина, которая не принадлежит основанию. Она называется главной. Расстояние от нее до плоскости основания – это высота фигуры.

Пирамиды могут быть наклонными, если высота пересекает основание не в его центре, или прямыми, когда высота с основанием пересекается в геометрическом центре последнего. Также фигуры могут быть неправильными и правильными. Пирамиды правильные состоят из равноугольного и равностороннего основания и нескольких равнобедренных треугольников, которые друг другу равны.

Как рассчитывается объем пирамиды?

Прежде чем приводить методику вычисления по координатам вершин объема пирамиды, следует привести формулу, при помощи которой можно рассчитать эту величину для фигуры любого типа из рассматриваемого класса. Итак, объем пирамиды рассчитывается так:

V = 1 / 3 * So * h.

Здесь So – это основания площадь, h – расстояние от главной вершины до основания, то есть высота пирамиды.

Таким образом, любая геометрическая задача на нахождение объема пирамиды сводится к расчету величин So и h.

Как найти объем пирамиды по координатам вершин: методика

Пирамида может быть представлена произвольным n-угольным основанием. Чтобы рассчитать его площадь, следует внимательно изучить условие задачи, в котором должно быть сказано, о каком типе n-угольника идет речь. Если это треугольник или параллелограмм, то расчет его площади по известным координатам очень прост: необходимо лишь найти векторное произведение соответствующих векторов сторон.

Вычислить высоту пирамиды также не представляет особого труда. Для этого следует из любых трех точек основания получить уравнение плоскости в общем виде, а затем нужно воспользоваться формулой расстояния между плоскостью и точкой (вершиной пирамиды). Формула имеет вид:

d = |(A * x1 + B * y1 + C * z1 + D)| / √(A2 + B2 + C2).

Здесь (x1; y1; z1) – координаты точки.

Уравнение плоскости имеет вид:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Задача с треугольной пирамидой

Решим задачу на примере самой простой пирамиды – треугольной. Условие простое: ниже даны координаты вершин пирамиды, объем найти нужно для фигуры, которая на этих координатах построена:

• A(1; 0; 3);
• B(0; 2; -1);
• C(3; 3; 1);
• D(4; 3; 4).

Положим, что основание пирамиды является треугольником ABC. Найдем длины векторов AB¯ и AC¯:

AB¯ = (-1; 2; -4);

AC¯ = (2; 3; -2).

Векторное произведение AB¯ и AC¯ даст нам, с одной стороны, двойную площадь треугольника, то есть 2 * So, а с другой стороны, мы получим координаты нормального к плоскости вектора n¯, имеем:

n¯ = [AB¯ * AC¯] = (8; -10; -7).

Площадь треугольного основания равна полудлине вектора n¯, то есть:

So = √(82 + 102 + 72) / 2 = 7,3.

Прежде чем рассчитывать расстояние от D до плоскости ABC, необходимо записать уравнение плоскости. Три его коэффициента (A, B, C) мы уже знаем, они соответствуют координатам нормали n¯. Свободный член можно получить, подставив в уравнение координаты любой точки плоскости, например точки A, имеем:

D = -1 * (A * x1 + B * y1 + C * z1) = -1 * (8 * 1 + (-10) * 0 + (-7) * 3) = 13.

Тогда уравнение плоскости основания пирамиды принимает форму:

8 * x – 10 * y – 7 * z + 13 = 0.

Теперь применяем приведенную выше формулу для расчета расстояния от точки D(4; 3; 4) до найденной плоскости, получаем:

d = |(8 * 4 – 10 * 3 – 7 * 4 + 13)| / √(82 + 102 + 72) = 0,89.

Поскольку найденное значение расстояния d соответствует высоте пирамиды треугольной h, то можно воспользоваться формулой для объема фигуры:

V = 1 / 3 * So * h = 1 / 3 * 7,3 * 0,89 ≈ 2,166.

Полученное значение объема выражено в кубических единицах выбранной координатной системы.

Уставление
компланарности векторов в пространстве

Пример
12: Доказать
компланарность векторов
=
1
1; 3 ,

= 0

2 -
1 ,

= 1
– 1
4 .

Решение.
Найдем смешанное произведение векторов

:

=

(определитель
вычислен путем его разложения по
элементам первого столбца).

Так
как смешанное произведение векторов
,

и

равно нулю, то эти векторы компланарны.

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Пример
13:Найти объём
треугольной пирамиды с вершинами в
точках

Решение.
Найдем
координаты векторов
,,,
на которых построена пирамида:

Вычислим
смешанное произведение этих векторов

Объём
треугольной пирамиды, построенной на
векторах
,,,
равен

Определение взаимной ориентации векторов

Определение
взаимной ориентации векторов
,,
_{основано
на следующих соображениях. Если
>0,
то тройка векторов правая, если
<
0, то тройка векторов левая.}

2. Задачи для самостоятельной работы

1.
По данным векторам а
и b
построить следующие их линейные
комбинации: а) 2а
+ b;
б) а
— Зb;
в) — а
+ 4-b;

2.
Векторы
служат сторонами треугольника ABC.
Выразить через а,
b,
с
векторы

совпадающие с медианами треугольника.

3.
В треугольной пирамиде SABC известны
векторы Найти вектор
,
если точка О является центром масс

треугольника
ABC.

4.
Дана прямоугольная трапеция ABCD, длины
оснований AD н ВС которой соответственно
равны 4 и 2, а угол D равен 45°. Найти проекции
векторов
на
ось

определяемую вектором
.

5.
Вектор а
составляет с координатными осямн Ох и
Оу углы
.
Вычислить его координаты, если |а|
=2.

6.
Найти длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах

7.
Векторы
определяют
стороны треугольника ABC. Найти длину
вектора
,
совпадающего с медианой, проведенной
из вершины С.

8.В
параллелограмме ABCD
даны стороны

Выразить
через
ивекторы

9.
В ТреугольникеABCпроведины меридианыaAK,BLиCM.
Выразить
и
через векторыи.

10.
Даны векторыи.
Найти векторы:
;.

11.
Найти направляющие
косинусы вектора

12.Дано
=5,=6.
Найти скалярное произведение векторови,
если уголмежду ними равен 120°

13.
Найти угол А в треугольнике с вершинами
A(1;2;-1),B(5;5;11),C(13;18;20)

14.
Даны векторы
,,.
Найти проекцию векторана вектор.

15.
Даны векторы
,и.
Найти проекцию векторана вектор.

16.
Найти
,
если

17.
Даны векторы
и.
При каком значенииm
эти векторы перпендикулярны?

18.Даны
три последовательные вершины
параллелограмма А (-3;-2;0), В(3;-3;1) и С(5;0;2).
Найти четвёртую вершину D
и угол между векторами
и.

19.
Даны векторы
и.
При каком значенииm
векторы перпендикулярны?

20.
Найти площадь треугольника с вершинами
А (2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).

21.
Упростить:

22.
Известно, что
а
угол между
иравен
Найти
.

23.
Найти площадь треугольника с вершинами
в точках

24.
Вычислить площадь треугольника с
вершинами А (1;1;1), В (2;3;4), С (4;3;2).

25.
Вычислить площадь и высоту параллелограмма,
построенного на векторах

26.
Найти площадь параллелограмма,
построенного на векторах
и,
где.

27.
Вычислить диагонали и площадь
параллелограмма, построенного на
векторах
и.

28.
Найти значения α и β, при которых векторы
=и=являются коллинеарными.

29.
На оси аппликат найти точку, равноудаленную
от точек А(3;9;-1) и В(7;-3;9)

30.
Определите координаты концов P
и Q
отрезка, который точками М(3;1;3) и N(6;-1;1)
разделён на три части.

31.
Проверить, является ли векторы
компланарными?

32.
Найти объём тетраэдра с вершинами в
точках А (-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;-1), D(1;0;-2).

33.
Вычислить объём параллелепипеда,
построенного на векторах
и.

34.
Установить, лежат ли в одной плоскости
точки А (4;3;10), В (5;1;5), С (2;2;5), D
(3;4;12).

35.
В тетраэдре с вершинами D
(-3;-3;-3), A
(2;-1;-3), B
(-1;2;3) и

C(-2;-2;1).
Найти площадь грани АВС и длину высоты,
проведённой к этой грани.

36.Выяснить,
компланарны ли векторы
?

34.
Определить
,
при котором компланарны векторы
и

37.
Найти объем тетраэдра с вершинами в
точках А (-1; 1; 0 ), В ( 2; -2; 1 ), С (3; 1; -1 ),
D
=(1; 0; -2 ).

38.
На прямой проходящей через точки А
(-3;8;2) и B
(1;-2;0) найти точку С, абсцисса которой

39.
Найти объём треугольной пирамиды с
вершинами в точках

40.
Найти точку пересечения медиан
треугольника, если вершинами его служат
точки А(7;-4;5), В(-1;8;-2), С(-12;-1;6).

41.
Найти все значения m, при
которых вектора (1;m;
3) линейно выражается через векторыb(2;3;7),c(3;-2;4),d(-1;1;-1).

42.
Предприятие выпускает 4 вида продукции
Р₁, Р₂;
Р_3,
Р₄
в количествах 50, 80, 20,120 единиц. При этом
нормы расхода сырья составляют
соответственно 7; 3,5; 10; 4 кг. Определите
суммарный расход сырья и его изменение
при изменениях выпуска продукции Р₁,
Р₂; Р_3,
Р₄ соответственно
+5, -4, -2, +10 единиц.

43.
Предприятие выпускает три вида продукции
Р₁, Р₂;
Р₃
в количестве 15, 25, 40 штук, реализуемых
по ценам 30, 40, 50 усл. Ед. соответственно.
Найти выручку предприятия от реализации
продукции и ее изменение при изменении
Р₁, Р₂;
Р₃цен
продукции соответственно на +5, -3, +2 усл.
ед.

44.
Выяснить, являются ли векторы а₁=(4;-5;2;6),
а₂=(2;-2;1;3),
а₃=(6;-3;3;9),
а₄=(4;
-1;5;6) линейно зависимыми?

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #