Как найти объем треугольной призмы формула треугольной

Была ли эта статья полезной?

Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Призма треугольная — определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы.

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

 Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=S_осн ^. h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

S_бок=P_осн^.h 

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн^.h, то получим:

S_{полн.пов.}=P_осн^.h+2S_осн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см², то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см³ . Если площадь основания в мм², то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм³ и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2  · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение: 

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k² = S₁2² = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

A triangular prism is a 3-D prism made up of a triangular base. It is defined as a three-dimensional solid shape with flat sides and equal bases. It has no bases and faces that are either parallelograms or rectangles. Three rectangular planes and two parallel triangle bases make up a triangular prism. Let’s learn about the volume of a Triangular Prism, its formula, and others in detail.

What is the Volume of a Triangular Prism?

Volume of the triangular prism is the space occupied by it in 3 dimensions. It is calculated by multiplying the base area of the triangle by its length. the volume of a triangular prism is measured in unit³, cm³, m³, and others.  The formula for the Volume of a Triangular Prism can easily be understood if we know about a triangular prism. Now learning about Triangular Prism,

Triangular Prism Definition

A triangular prism is a polyhedron with 2 triangular parallel bases and three rectangular side faces. A triangular prism has,

• 2 Triangular Bases
• 3 Rectangular Side Faces
• 9 Edges
• 6 Vertices

Volume of Triangular Prism Formula

The volume of a triangular prism is defined as the amount of space it takes. In other words, the enclosed area or region of the prism is called its volume. To calculate the volume of a triangular prism, the values of its base area and length are required. Its formula equals the product of base area and length. Its unit of measurement is cubic meters (m³).

V = B × l

where,
V is the volume,
B is the base area,
l is the length of prism.

The formula for the base area of a triangular prism is given by,

B = 1/2 × b × h

where,
B is the base area,
b is the triangular base,
h is the height of prism.

How to find the Volume of a Triangular Prism?

Let’s take an example to understand how we can calculate the volume of a triangular prism.

Example: Calculate the volume of a triangular prism with a base area of 100 sq. m and a length of 3 m.

Solution:

Step 1: Note the base area and length of the triangular prism. In this example, the base area of the prism is 100 sq. m and length is 3 m.

Step 2: We know that the volume of a triangular prism is equal to B × l. Substitute the given value of base area and length in the formula.

Step 3: So, the volume of triangular prism is calculated as, V = 100 × 3 = 300 cu. m.

Read, More

• Volume of a Cone
• Volume of a Cylinder
• Volume of a Sphere

Solved Example on Volume of Triangular Prism

Example 1: Calculate the volume of a triangular prism with a triangular base length of 8 m and triangular base height of 15 m and a length of 4 m.

Solution:

We have, For triangular base,

b = 8 m, h = 15 cm

Area of base(B) = 1/2 × b × h
                         = 1/2 × 8 × 15
                         = 60

l = 4

Using the formula we get,

V = B × l
   = 60 × 4
   = 240 cu. m

Example 2: Calculate the volume of a triangular prism with a base area of 30 sq. m and a length of 2 m.

Solution:

We have,

B = 30

l = 2

Using the formula we get,

V = B × l

   = 30 × 2

   = 60 cu. m

Example 3: Calculate the base area of a triangular prism if its volume is 350 cu. m and length are 7 m.

Solution:

We have,

V = 350
l = 7

Using the formula we get,

V = B × l

B = V/l

B = 350/7

B = 50 sq. m

Example 4: Calculate the length of a triangular prism if its volume is 400 cu. m and the base area is 150 sq. m.

Solution:

We have,

V = 400
B = 150

Using the formula we get,

V = B × l

l = V/B

l = 400/150

l = 2.67 m

Example 5: Calculate the volume of a triangular prism if its base is 7 m, height is 10 m and length is 8 m.

Solution:

We have, 

b = 7
h = 10
l = 8

Using the formula we have,

V = B × l

   = 1/2 × b × h × l

   = 1/2 × 7 × 10 × 8

   = 7 × 5 × 12

   = 420 cu. m

FAQs on Volume of Triangular Prism

Question 1: What is the volume of a triangular prism?

Answer:

The volume of a triangular prism is the space occupied by the triangular prism. It can also be comprehended as the total liquid that a prism can hold. It is measured in cubic units, m³, cm³.

Question 2: What is the formula for finding the volume of a triangular prism?

Answer:

Formula for finding the volume of a Triangular Prism, 

Volume = B× L

where,
B is the Area of triangular base
L is the length of triangular prism

Question 3: How many Faces does a Triangular Prism have?

Answer:

A triangular prism has 5 faces

• 2 Triangular Bases
• 3 Rectangular Side Face

Question 4: How to find the Height of a Triangular Prism with its Volume?

Answer:

Formula for finding the volume of a Triangular Prism, 

Volume = B× L

where,
B is the Area of triangular base
L is the length of triangular prism

Now, the length of triangular prism can be called the height of triangular prism so its height can be calculated by dividing its volume by its base area.

Last Updated :
20 Feb, 2023

Like Article

Save Article

Объем правильной треугольной призмы

У правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник.

Объем правильной треугольной призмы равен произведению площади основания, т.е. площади правильного треугольника на высоту призмы.

[ V = Sh = frac{sqrt{3}}{4}a^2 h ]

(a – сторона равностороннего треугольника лежащего в основании призмы, h – высота призмы)

Вычислить, найти объем правильной треугольной призмы

Объем правильной треугольной призмы	стр. 359

Определение призмы

Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.

Такие параллелограммы в призме называются боковыми.

Онлайн-калькулятор объема призмы

Призмы разделяют на некоторые типы:

1. Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
2. Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
3. Пентапризма — пятиугольная призма.

Деление, в общем, продолжается до бесконечности.

Виды призм

Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.

Формула объема призмы

Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.

Объем призмы

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.

Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.

Задача

Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.

Решение

a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10

Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,

где ll — высота равнобедренного треугольника.

Отсюда:

l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2

l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}

l=25−9l=sqrt{25-9}

l=4l=4

Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:

S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12

В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:

S=SоснS=S_{text{осн}}

Тогда объем призмы найдется по формуле:

V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3

Ответ

120 см3.120text{ см}^3.

На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!

Тест по теме «Объем призмы»