Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений
Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х (в виде S=S(x)), то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси Ох плоскостями х=а, х=b, находится по формуле:
Вычисление объема тела вращения
Если криволинейная трапеция ограничена кривой y=f(x) и прямыми х=а, х=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вычисляется по формуле
Если криволинейная трапеция ограничена кривыми y1=f1(x), y2=f2(x) и прямыми х=а, х=b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вычисляется по формуле
Пример. Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
, у=0, х=3
Вычислим объём полученного тела по формуле:
Входной контроль
1.Запишите вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений
2.Запишите вычисление объема тела вращения
1.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой 
и прямой х=2
2.Найти объем фигуры, полученной вращением части синусоиды, заключенной между точками, абсциссы которых 
, 
3. Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми 
и 
Выходной контроль
1.(3 балла) Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , у=0, х=5
2. (4 балла) Найти объем фигуры, полученной вращением части косинусоиды, заключенной между точками, абсциссы которых 
, 
3.(4 балла) Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми 
и 
1.(3 балла) Вычислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , у=0, х=4
2.(4 балла) Найти объем фигуры, полученной вращением части косинусоиды, заключенной между точками, абсциссы которых 
,
3.(4 балла) Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми 
и
Критерии оценки:
Процент результативности (правильных ответов)
балл (отметка) вербальный аналог 11 90 ÷ 100 5 отлично 9-10 80 ÷ 89 4 хорошо 8 70 ÷ 79 3 удовлетворительно Менее 8 менее 70 2 неудовлетворительно
Практическое занятие № 18
Тема: Приближённое вычисление определённого интеграла
Цель: Научиться приближённо вычислять определённые интегралы
Теоретические основы
При решении физических и технических задач приходится находить определенные интегралы от функций, первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Это привело к необходимости вывода приближенных формул вычисления определенных интегралов.
Для приближённого вычисления интеграла функции f(x) используются методы приближённого интегрирования, наиболее употребительные из них основаны на замене интеграла конечной суммой.
Формула прямоугольников
Допустим, что 
Положим приближенно
высотой является левая ордината,
высотой является правая ордината,
где 
, т.е. площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции 
, аппроксимируется (заменяется)площадью прямоугольника, высота которого равна значению в средней точке основания трапеции.
Погрешность формулы: 
,
где k -наибольшее значение 
на отрезке [a, b]. а 2 = – 1.
2. Символ a + bi называют комплексным числом с действительной частью a и мнимой частью bi, где a и b – действительные числа, b – коэффициент мнимой части.
Комплексное число a + 0i отождествляется с действительным числом a, т.е. a + 0i = a, в частности, 0 + 0i = 0. Числа вида bi (b № 0) называют чисто мнимыми.
Например, комплексное число 2 + 3i имеет действительную часть – действительное число 2 и мнимую часть 3i, действительное число 3 – коэффициент мнимой части.
Комплексное число 2 – 3i имеет действительную часть число 2, мнимую часть – 3i, число – 3 – коэффициент при мнимой части.
3. Правило равенства. Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.
Т.е., если a + bi = c +di, то a = c, b = d: и, обратно, если a = c, b = d, то a + bi = c +di.
4. Правило сложения и вычитания комплексных чисел.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i.
(2 + 3i) + (5 + i) = (2 + 5) + (3 + 1)i = 7 + 4i;
(– 2 + 3i) + (1 – 8i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8))i = – 1 – 5i;
(– 2 + 3i) + (1 – 3i) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3))i = – 1 + 0i = – 1.
Вычитание комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению, и выполняется по формуле:
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i.
(5 – 8i) – (2 + 3i) = (3 – 2) + (– 8 – 3)i = 1 – 11i;
(3 – 2i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2))i = 2 + 0i = 2.
5. Правило умножения комплексных чисел.
(a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i.
Из определений 4 и 5 следует, что операции сложения, вычитания и умножения над комплексными числами осуществляются так, как будто мы выполняем операции над многочленами, однако с условием, что i 2 = – 1.
Действительно: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bdi 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i.
Например, (– 1 + 3i)(2 + 5i) = – 2 – 5i + 6i + 15i 2 = – 2 – 5i + 6i – 15 = – 17 + i; (2 + 3i)(2 – 3i) = 4 – 6i + 6i – 9i2 = 4 + 9 = 13.
6. Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di № 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле:
Формула теряет смысл, если c + di = 0, так как тогда c 2 + d 2 = 0, т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается.
Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю.
Входной контроль
1. Дайте определение комплексного числа
2. В чем заключаются действия над комплексными числами в алгебраической форме?
1.Решите квадратные уравнения:
1) 
2) 
3) 
2.Изобразите комплексные числа на координатной плоскости:
3.Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел заданных в алгебраической форме
1) 
2) z 1 =7+2 i и z 2 =3+7 i
Выходной контроль
1.Решите квадратные уравнения:
1) (1 балл) 
2) (1 балл) 
2.Изобразите комплексные числа на координатной плоскости:
1) (1 балл) z=3+i 2) (1 балл) z=-4+i 3) (1 балл) z=-i 4) z=7
3.Выполнить сложение(1 балл), вычитание(1 балл), умножение(2 балла) и деление(3 балла) комплексных чисел заданных в алгебраической форме
1.Решите квадратные уравнения:
1) (1 балл) 
2) (1 балл) 
2.Изобразите комплексные числа на координатной плоскости:
1)(1 балл) z=2+5i 2) (1 балл) z=7-i 3) (1 балл) z=3i 4) (1 балл) z=5
3.Выполнить сложение(1 балл), вычитание(1 балл), умножение(2 балла) и деление (3 балла) комплексных чисел заданных в алгебраической форме
Критерии оценки:
Процент результативности (правильных ответов)
балл (отметка) вербальный аналог 12-13 90 ÷ 100 5 отлично 10-11 80 ÷ 89 4 хорошо 9 70 ÷ 79 3 удовлетворительно Менее 9 менее 70 2 неудовлетворительно
Практическое занятие № 20
Тема: Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Цель: Научиться выполнять действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Источник
Подскажите формулу! Как найти обьем( и заодно платность) если известны площадь и толщина(толщина наверно значит высота)
лена лена
Ученик
(82),
закрыт
11 лет назад
Дополнен 12 лет назад
умножить?
Лучший ответ
Годы Счастливые Канули
Высший разум
(185773)
12 лет назад
Объем есть произведение площади основания на высоту,
а плотность находится по формуле
массу предмета разделить на оем
Остальные ответы
Ordinarius egoist
Мастер
(1245)
12 лет назад
Объем так и находится – площадь основания заданной емкости умноженная на ее высоту. Плотность находится из отношения “масса деленная на объем”.
Похожие вопросы
|
Один метр кубический является единицей объема. Чтобы найти объем какого-то предмета, имеющего КУБИЧЕСКУЮ форму (например, параллелепипед), нужно его длину (в метрах) умножить на ширину (тоже в метрах) и умножить на высоту (опять в метрах). Логично, не правда ли, что метр, умноженный сам на себя три раза превращается в метр кубический! Если требуется посчитать объем предмета НЕ КУБИЧЕСКОЙ формы (например, шар, призма, конус), то для вычисления их объема есть специальные формулы. Если они вам нужны, то советую посмотреть учебник по геометрии. автор вопроса выбрал этот ответ лучшим
Ксарфакс 5 лет назад Думаю, всем понятно, что формула расчёта объёма в кубических метрах для каждой геометрической фигуры будет разной. Поэтому нужно произвести все необходимые измерения, а затем воспользоваться соответствующей формулой. Если фигура имеет неправильную формулу, то разбиваем её на несколько стандартных фигур, а затем складываем их объёмы между собой. Нужно помнить, что все измерения проводятся именно в метрах. Например, если высота объекта 70 см, то её нужно перевести в метры: 70 см = 0,7 м. Самый простейший пример – объём помещения Для того, чтобы посчитать объём, нужно воспользоваться формулой нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда. V = abc. a – длина, b – ширина, c – высота. Таким образом, измеряем длину / ширину / высоту комнаты, а затем перемножаем эти значения между собой. Если вы знаете площадь, то посчитать объём ещё проще – достаточно измерить высоту и умножить это значение на данное значение. Например, длина комнаты = 6 м, ширина = 5 м, высота = 2,5 м. V = 6 * 5 * 2,5 = 75 м³.
Nelli4ka 5 лет назад Для примера возьмем прямоугольник и параллелепипед. Прямоугольник лежит на плоскости, и мы можем найти либо его периметр (т.е. длину всех сторон данной фигуры), либо его площадь, которая будет выражаться, скажем, в сантиметрах или метрах квадратных. Параллелепипед – фигура трехмерного пространства, у нее есть помимо ширины и длины еще и высота. Когда значения высоты, длины и ширины умножаются друг на друга, находится объем трехмерной фигуры, которая уже будет выражаться не в квадратных, а в кубических сантиметрах, метрах и т.д., но для каждого некубического случая существует своя индивидуальная формула.
Galina7v7 7 лет назад Если ваш вопрос трактовать так: “как посчитать объём 1 метра кубического , то V = 1м * 1 м = 1м = 1 м ^3 (1 метр кубический ) , и это единица измерения объёма в системе СИ. Если вас интересует тело в форме параллелепипеда ,где все соседние ребра перпендикулярны друг другу , то объём такого тела определяется путём произведения : длина *ширина * высота. ОБЪЁМ ТЕЛА = ДЛИНА (м) х ШИРИНА (м) х ВЫСОТА (м)Для того,чтобы получить объём в м^3 нужно все 3 параметра тоже выразить в метрах.
Zolotynka 5 лет назад В метрах кубических можно высчитать объем предмета, который представляет собой форму куба. Для этого следует воспользоваться формулой: длина*ширина*высота. ** Данная формула имеет важное практическое значение. Рассмотрим на примере: Предположим, нам нужно рассчитать, расход бетона для того, чтобы сделать пол в сарае, размер которого: ширина 2.0 м, длина 2.0 м, а желаемая толщина бетона – 100 мм. Формула для расчета объема бетона в м3 будет выглядеть следующими образом: 2,0 × 2,0 × 0,1 = 0.4m3
Математика обязательный предмет в школьной программе, но знания уходят, забываются формулы, как проводить вычисления уже не каждый вспомнит, остается в голове то, что используется нами ежедневно, и на работе требуется все время, поэтому формула расчета кубического метра может придти в голову не сразу, и придется искать эту информацию, для тех, кому нужно – длину умножить на ширину и умножить на высоту.
Kerbal Space Program 6 лет назад Крайне просто. Для этого достаточно брать длины и расстояния в метрах: будь то длина, высота и ширина или же радиус, при вычислении объема круга или цилиндра. Например, имеем: Параллелепипед длиной 1245 см, шириной 3 см и высотой 25 см. Эти длины переведем в метры и получим:
Считаем теперь объем: V=1,245*0,03*0,25=0,00933 метра кубических.
moreljuba 5 лет назад Посчитать объём в метрах кубических вы вполне спокойно можете. Для это вам необходимо иметь представление о значениях для таких величин как высота, ширина (толщина) и длина. Переводите в метры и перемножаете эти три составляющие и получаете в результате объём в метрах кубических.
FantomeRU 5 лет назад Чтобы вычислить объем необходимо умножить длину на ширину и на высоту. При этом, чтобы искомый результат был в кубических метрах, сначала нужно все стороны данного предмета выразить в метрах и только потом перемножать.
vksvovko 6 лет назад Один из распространенных способов найти объем предмета неправильной формы – это налить воду в измерительный сосут и опустить туда предмет. далее смотрим сколько он вытеснил воды и легко подсчитываем объем в м3.
EvgeniyAlekseevich 7 лет назад Высоту, выраженную в м3, умножить на длину и умножить на ширину. Знаете ответ? |
Как найти объем через площадь
Объем – мера вместимости, выраженная для геометрических фигур в виде формулы V=l*b*h. Где l – длина, b – ширина, h – высота объекта. При наличии только одной или двух характеристик вычислить объем в большинстве случаев нельзя. Однако при некоторых условиях представляется возможным сделать это через площадь.
Инструкция
Задача первая: вычислить объем, зная высоту и площадь. Это самая простая задача, т.к. площадь (S) – это произведение длинны и ширины (S= l*b), а объем – произведение длины, ширины и высоты. Подставьте в формулу вычисления объема вместо l*b площадь. Вы получите выражение V=S*h.Пример: Площадь одной из сторон параллелепипеда – 36 см², высота – 10 см. Найдите объем параллелепипеда.V = 36 см² * 10 см = 360 см³.Ответ: Объем параллелепипеда равен 360 см³.
Задача вторая: вычислить объем, зная только площадь. Это возможно, если вы вычисляете объем куба, зная площадь одной из его граней. Т.к. ребра куба равны, то извлекая из значения площади квадратный корень, вы получите длину одного ребра. Эта длина будет и высотой, и шириной.Пример: площадь одной грани куба – 36 см². Вычислите объем.Извлеките квадратный корень из 36 см². Вы получили длину – 6 см. Для куба формула будет иметь вид: V = a³, где а – ребро куба. Или V = S*a, где S – площадь одной стороны, а – ребро (высота) куба.V = 36 см² * 6 см = 216 см³. Или V = 6³см = 216 см³.Ответ: Объем куба равен 216 см³.
Задача третья: вычислить объем, если известна площадь и некоторые другие условия. Условия могут быть разные, помимо площади могут быть известны другие параметры. Длина или ширина могут быть равны высоте, больше или меньше высоты в несколько раз. Также могут даваться дополнительные сведения о фигурах, которые помогут в вычислениях объема.Пример 1: найдите объем призмы, если известно, что площадь одной стороны 60 см², длина 10 см, а высота равна ширине.S = l * b; l = S : b
l = 60 см² : 10 см = 6 см – ширина призмы. Т.к. ширина равна высоте, вычислите объем:
V=l*b*h
V = 10 см * 6 см *6 см = 360 см³Ответ:объем призмы 360 см³
Пример 2: найдите объем фигуры, если площадь 28 см², длина фигуры 7 см. Дополнительное условие: четыре стороны равны между собой, и соединены друг с другом по ширине.Для решения следует построить параллелепипед. l = S : b
l = 28 см² : 7 см = 4 см – ширинаКаждая сторона представляет собой прямоугольник, длина которого 7 см, а ширина 4 см. Если четыре таких прямоугольника соединить между собой по ширине, то получится параллелепипед. Длина и ширина в нем по 7 см, а высота 4 см. V = 7 см * 7 см * 4 см = 196 см³Ответ: Объем параллелепипеда = 196 см³.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Содержание:
Определение площади и объема:
В повседневной жизни нам довольно часто приходится иметь дело с определением таких величин, как площадь и объем. Представьте себе, что вам необходимо сделать ремонт в квартире (или доме): побелить стены и потолок, покрасить пол. Чтобы закупить необходимое количество материалов, нужно определить площадь поверхностей и объем краски.
Из уроков математики вам известно, как находить площадь некоторых фи-гур: квадрата, прямоугольника, параллелограмма.
|
Рис. 6.1. |
Рис. 6.2. |
Рис. 6.3 |
Площадь прямоугольника ABCD (рис. 6.1) вычисляется по формуле:
S = a · b, (6.1)
где a – ширина прямоугольника, b – высота.
Площадь параллелограмма ABCD (рис. 6.2) также находится по формуле 6.1. Площадь квадрата найти легко, поскольку его ширина и высота одинаковы:
S = a · a = a2 , (6.2)
Из рис. 6.1 видно, что площадь прямоугольного треугольника АBC можно найти по формуле:
, (6.3)
Проблема определения площади круга была решена еще в Древней Греции. Для этого нужно знать радиус круга и число «пи», приблизительное значение
которого π ≈ 3,14.
Площадь круга равняется
S = π · R2, (6.4) .
Значение числа 
можно получить, если разделить длину круга L на его диаметр. Причем не имеет значения, каков размер круга и в каких единицах измерены длина и диаметр (нужно только, чтобы это были одни и те же единицы).
Вычисление объема простых фигур
Каждое тело занимает определенный объем. Чем большую часть пространства занимает тело, тем больше его объем. Объем обозначают буквой V (от volume – объем). Чтобы найти объем прямоугольного бруска или ящика (математики называют эту геометрическую фигуру параллелепипедом) со сторона-ми a, b и h, надо их перемножить (рис. 6.4):
|
Рис. 6.4. |
Рис. 6.5. |
|
Рис. 6.6.V = a · b · h (6.4)
Поскольку S = a · b,
где S – это площадь основания ящика, то формулу (6.4) можно переписать и так:
V = S · h (6.5)
У куба все ребра равны, потому его объем равняется:
V = a · a · a = a3 (6.6)
Объем цилиндра (рис. 6.5) с радиусом основания R и высотой h можно также определить по формуле (6.5), то есть:
V = S · h = πR2 · h (6.7)
Объем шара (рис. 6.6)
(6.8)
Единицы измерения объема
Поскольку длину сторон измеряют в единицах длины (метр, дециметр, сантиметр и т. д.), то единицы измерения объема – это единицы длины, возведенные в третью степень.
Куб с ребром 1 м имеет объем 1 м3 (один кубический метр). Один литр (1 л) по определению – это объем куба с ребром 1 дм (рис. 6.7), то есть 1 л = 1 дм3 (дециметр кубический). Один литр равен 1000 кубических сантиметров: 1 л = 1000 см3. Объем в один сантиметр кубический еще называют миллилитром, то есть тысячной частью литра (1 мл = 0,001 л).
Рис. 6.7. Один литр – это 1дм3
Напомним, что дециметр – это десятая часть метра, а сантиметр – сотая часть метра
Таблица 6.1
| 1 м3 = 1 000 л | 1 м3 = 1 000 000 см3 |
| 1 л = 1 дм3 | 1 л = 1000 см3 |
| 1 дм3 = 1 000 см3 | 1 л = 1 000 мл |
| 1 см3 = 1 мл | 1 мл = 0,001 л |
- Заказать решение задач по физике
Измерение объема тел неправильной формы
Прибор для измерения объема называют мензуркой, или мерным цилиндром (рис. 6.8). Мензурка – это прозрачный сосуд с нанесенными делениями, которые обозначают объем в миллилитрах. Дома у вас наверняка есть мерный стакан, то есть та же мензурка. Литровой или поллитровой банкой, или стаканом (250 мл) также можно пользоваться, если не нужна большая точность. С помощью мензурки можно определить объем жидкости и тела неправильной формы. Для этого в мензурку нужно налить воду и определить объем этой воды. Потом полностью погрузить тело в воду и запомнить новое значение объема. Разница измеренных значений равна объему тела.
Рис. 6.8. Деления мензурки определяют объем в миллилитрах (то есть в см3)
История:
 |
Существует легенда, согласно которой первым такой способ определения объема изобрел древнегреческий ученый Архимед. Произошло это во время размышлений над довольно сложной зада-чей, предложенной царем Гиероном. Идея решения возникла тогда, когда Архимед влез в ванну и заметил, что уровень воды поднялся. Ученый понял, что вытесненный объем воды как раз равен объему погруженного в нее тела. Восторженный Архимед выпрыгнул из ванны и выбежал на улицу с криком «Эврика! Эврика!», что в переводе с древнегреческого значит «На-шел! Нашел!». |
Итоги:
- Площадь тел правильной формы равна произведению основы на высоту и измеряется в квадратных единицах длины S = a · b.
- Объем тел правильной формы определяется как произведение площади основы на высоту и измеряется в кубических единицах V = S · h.
- Объем тел произвольной формы определяют с помощью мензурки
- Площадь круга определяют по формуле S = π · R2.
- Объем шара равен
.
- Связь физики с другими науками
- Макромир, мегамир и микромир в физике
- Пространство и время
- Что изучает механика в физике
- Единая физическая картина мира
- Физика и научно-технический прогресс
- Физические величины и их единицы измерения
- Точность измерений и погрешности
