Как найти объем в математике прямоугольного параллелепипеда

Математика

5 класс

Урок №32

Объём прямоугольного параллелепипеда. Единицы объёма

Перечень рассматриваемых вопросов:

– куб;

– параллелепипед;

– элементы параллелепипеда;

– объём прямоугольного параллелепипеда, куба.

Тезаурус

Прямоугольный параллелепипед – это шестигранник, у которого все грани являются прямоугольниками.

Высота, длина и ширина – это измерения прямоугольного параллелепипеда.

Единичный куб – куб, ребро которого равно линейной единице.

Обязательная литература

1. Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5 класс.// П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как вы думаете, что больше занимает места– 1 кг ваты или 1 кг гвоздей? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать величину, которая называется объём. В данной задаче ответ очевиден, так как мы можем представить предметы визуально. Но не всегда ответ может быть таким простым. Чаще всего нужно произвести определённые вычисления.

Сегодня мы рассмотрим объём прямоугольного параллелепипеда и научимся его находить.

Объём можно измерить. Его измеряют в кубических миллиметрах, кубических сантиметрах, кубических метрах, литрах и т. д.

Найдём соотношение между единицами измерения объёма.

Так как 1 см = 10 дм, то 1 см³ = 1 000 мм³.

1 дм³ = 1000 см³ = 1 л

1 м³ = 1000 дм³

1 км³ = 1000000000 м³

В древности в разных частях планеты люди по-разному измеряли объём. Например, в Древней Греции использовали глиняные мерные сосуды для зерна или жидкостей. Причём это были амфоры разного размера. Поэтому значение единицы объёма менялось от 2 до 26 литров.

На Руси основной мерой жидкостей считалось ведро, в котором 10 кружек или 12 литров. Также для подсчётов объём ведра делили пополам, то есть на два полуведра, которые, в свою очередь, тоже можно было поделить пополам. Для торговли с иностранцами использовали меру объёма, называемую бочка, которая равнялась 40 вёдрам.

Дадим определение единичного куба – это куб, ребро которого равно линейной единице. Его тоже принимают за единицу объёма.

Если прямоугольный параллелепипед можно разрезать на К единичных кубов, то говорят, что его объём V равен К кубическим единицам.

Например, на рисунке объём параллелепипеда равен 24 кубическим единицам.

V = 24 куб. единиц

Введём формулу объёма прямоугольного параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений, то есть произведению длины а, ширины bи высоты c, или произведению площади основания S на высоту c.

V = а · b · c = S · с

Так как куб является прямоугольным параллелепипедом, у которого все измерения равны, то его объём равен третьей степени длины его ребра а.

V = а³

Решим задачу.

Мальчик купил аквариум в форме прямоугольного параллелепипеда, который имеет площадь дна, равную 1400 см³, и высоту 6 дм. Какой объём воды он налил в аквариум, если уровень жидкости не доходил до края 5 см? Выразите ответ в кубических сантиметрах.

Чтобы решить эту задачу переведём единицы измерения длины в сантиметры.

6 дм = 60 см

Получается, что высота аквариума равна 60 см. Но по условию задачи требуется определить объём налитой жидкости, а её высота соответствует разности между высотой аквариума и уровнем жидкости, не доходящей до края:

с = 60 см – 5 см = 55 см

Получается, что высота жидкости в сосуде соответствует 55 см.

Теперь можно определить объём воды, которая налита в аквариум.

Для этого используем следующую формулу:

V = S · с = 1400 см² · 55 см = 77000 см³

Ответ: мальчик налил в аквариум 77000 см³ воды.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№ 1. Чему равен объём куба, если длина его ребра равна 3 см?

Решение: для нахождения объёма куба нужно воспользоваться формулой.

V = а³ = (3 см)³ = 27 см³

Ответ: 27 см³.

№2. Как изменится объём прямоугольного параллелепипеда, если его длину увеличить в три раза. Подчеркните правильный ответ.

Решение: чтобы ответить на вопрос, нужно воспользоваться формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

V = а · b · c, где а – длина прямоугольного параллелепипеда.

Если длина возрастет в три раза, то объём, соответственно, увеличится в три раза, так как, длина – это один из трёх множителей, входящих в формулу объёма прямоугольного параллелепипеда:

V = 3 · а · b · c

Ответ: объём увеличится в три раза.

Определение параллелепипеда

Параллелепипед — это призма, основанием которой является параллелограмм.

Онлайн-калькулятор объема параллелепипеда

Как и у куба, у этого многогранного тела есть двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин. Вид параллелепипеда зависит от геометрической фигуры, лежащей в основании, и от угла, образованного им при пересечении с гранями.

Если его гранями являются прямоугольники, то он называется прямоугольным.
Если такие прямоугольники имеют отношение только к боковым граням, то он называется прямым.
Иногда бывают случаи, когда эти грани образуют не прямой угол с основанием. Тогда в данном случае параллелепипед является наклонным.
Если он состоит исключительно из равных ромбов, то он называется ромбоэдром.
Если все грани параллелепипеда являются одинаковыми квадратами, то получаем куб. Таким образом, куб — это частный случай параллелепипеда.

Формула объема прямоугольного параллелепипеда

Объемом такого параллелепипеда называется произведение всех его трех измерений: длины, ширины, высоты. Вычисляется он так:

Объем прямоугольного параллелепипеда

V=a⋅b⋅cV=acdot bcdot c

a,b,ca, b, c — длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда.

Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1

Найти объем прямоугольного параллелепипеда, если известны его длина, равная 5 см.5text{ см.}, ширина, имеющая длину 10 см.10text{ см.} и высота длиной в 7 см.7text{ см.}

Решение

a=5a=5
b=10b=10
c=7c=7

Сразу подставляем в формулу численные значения:

V=a⋅b⋅c=5⋅10⋅7=350 см3V=acdot bcdot c=5cdot 10cdot 7=350text{ см}^3

Ответ

350 см3.350text{ см}^3.

Формула объема наклонного параллелепипеда

Объем наклонного параллелепипеда

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания наклонного параллелепипеда;
hh — его высота.

Задача 2

Вычислить объем наклонного параллелепипеда, если в его основании лежит прямоугольник со сторонами в 4 см.4text{ см.} и 5 см.5text{ см.}, а высота его равна 10 см.10text{ см.}

Решение

a=4a=4
b=5b=5
h=10h=10

Находим площадь основания, то есть площадь прямоугольника:

Sосн=a⋅b=4⋅5=20S_{text{осн}}=acdot b=4cdot 5=20

Сам объем равен:

V=Sосн⋅h=20⋅10=200 см3V=S_{text{осн}}cdot h=20cdot 10=200text{ см}^3

Ответ

200 см3.200text{ см}^3.

Формула объема параллелепипеда через определитель

Альтернативным способом нахождения объема параллелепипеда является вычисление смешанного произведения векторов, на которых построен данный параллелепипед.

Пусть параллелепипед построен на векторах a⃗vec{a}, b⃗vec{b} и c⃗vec{c} с координатами:

a⃗=(ax,ay,az)vec{a}=(a_x, a_y, a_z)
b⃗=(bx,by,bz)vec{b}=(b_x, b_y, b_z)
c⃗=(cx,cy,cz)vec{c}=(c_x, c_y, c_z),

тогда объем соответствующего параллелепипеда это определитель, составленный из этих координат:

Объем параллелепипеда как определитель

V=∣axayazbxbybzcxcycz∣V=begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \
b_x & b_y & b_z \
c_x & c_y & c_z \
end{vmatrix}

Задача 3

Найти объем параллелепипеда через смешанное произведение векторов, координаты которых таковы: a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5), b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4), c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7).

Решение

a⃗=(2,3,5)vec{a}=(2, 3, 5)
b⃗=(1,4,4)vec{b}=(1, 4, 4)
c⃗=(3,5,7)vec{c}=(3, 5, 7)

По формуле:

V=∣235144357∣=2⋅4⋅7+3⋅4⋅3+5⋅1⋅5−5⋅4⋅3−2⋅4⋅5−3⋅1⋅7=56+36+25−60−40−21=−4V=begin{vmatrix}
2 & 3 & 5 \
1 & 4 & 4 \
3 & 5 & 7 \
end{vmatrix}=2cdot4cdot7 + 3cdot4cdot3 + 5cdot1cdot5 – 5cdot4cdot3 – 2cdot4cdot5 – 3cdot1cdot7 = 56 + 36 + 25 – 60 – 40 – 21 = -4

Мы должны взять модуль этого числа, так как объем это неотрицательная величина:

V=4 см3V=4text{ см}^3

Ответ

4 см3.4text{ см}^3.

У вас не получается решить задачу по геометрии? Наши эксперты помогут вам!

Тест по теме «Объем параллелепипеда»

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем параллелепипеда и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

• Формула вычисления объема параллелепипеда
  • 1. Общая формула

  • 2. Объем прямоугольного параллелепипеда

• Примеры задач

Формула вычисления объема параллелепипеда

1. Общая формула

Объем любого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.

V = S_осн ⋅ h

• S_осн – площадь основания (ABCD или EFHG, равны между собой);
• h – высота.

Данная формула справедлива для всех видов геометрической фигуры:

• наклонной – боковые грани не перпендикулярны основаниям;
• прямой – все боковые грани (4 шт.) являются прямоугольниками;
• прямоугольной – все грани (боковые и основания) являются прямоугольниками;
• ромбоэдра – все грани являются равными ромбами;
• куба – все грани представляют собой равные квадраты.

2. Объем прямоугольного параллелепипеда

Объем фигуры равен произведению его длины на ширину на высоту.

V = a ⋅ b ⋅ c

Формула следует из следующих утверждений:

• Основанием фигуры является прямоугольник, площадь которого считается как произведение его длины (a) на ширину (b).
• Высота фигуры – это длина боковой грани (c).

Примеры задач

Задание 1
Найдите объем параллелепипеда, если известно, что площадь его основания равняется 20 см², а высота – 7 см.

Решение:
Используем первую формулу, подставив в нее известные нам значения:
V = 20 см² ⋅ 7 см = 140 см³.

Задание 2
Дан прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина его основания равны 9 см и 5 см, соответственно, а высота составляет 6 см. Найдите объем фигуры.

Решение:
Воспользуемся формулой для данного типа фигуры:
V = 9 см ⋅ 5 см ⋅ 6 см = 270 см³.