Как найти объем восьмиугольника правильного

In geometry, an octagon is a polygon with eight sides. A regular octagon has eight equal sides and equal angles. The regular octagon is commonly recognized from stop signs. An octahedron is an eight-sided polyhedron. A regular octahedron has eight triangles with edges of equal length. It is effectively two square pyramids meeting at their bases.

Octagon Area Formula

The formula for the area of a regular octagon with sides of length “a” is 2(1+sqrt(2))a^2, where “sqrt” indicates the square root.

Derivation

An octagon can be viewed as 4 rectangles, one square in the center and four isosceles triangles in the corners.

The square is of area a^2.

The triangles have sides a, a/sqrt(2) and a/sqrt(2), by the Pythagorean theorem. Therefore, each has an area of a^2/4.

The rectangles are of area a * a/sqrt(2).

The sum of these 9 areas is 2a^2 (1 + sqrt(2)).

Octahedron Volume Formula

The formula for the volume of a regular octahedron of sides “a” is a^3 * sqrt(2)/3.

Derivation

The area of a four-sided pyramid is area of base * height / 3. The area of a regular octagon is therefore 2 * base * height / 3.

Base = a^2 trivially.

Pick two adjacent vertices, say “F” and “C.” “O” is at the center. FOC is an isosceles right triangle with base “a,” so OC and OF have length a/sqrt(2) by the Pythagorean theorem. So height = a/sqrt(2).

So the volume of a regular octahedron is 2 * (a^2) * a/sqrt(2) / 3 = a^3 * sqrt(2) / 3.

Surface Area

The regular octahedron’s surface is the area of an equilateral triangle of side “a” times 8 faces.

To use the Pythagorean theorem, drop a line from the apex to the base. This creates two right triangles, with the hypotenuse of length “a” and one side length “a/2.” Therefore, the third side must be sqrt[a^2 – a^2/4] = sqrt(3)a/2. So the area of an equilateral triangle is height * base/2 = sqrt(3)a/2 * a/2 = sqrt(3)a^2/4.

With 8 sides, the surface area of a regular octahedron is 2 * sqrt(3) * a^2.

Teachs.ru

В геометрии восьмиугольник – это многоугольник с восемью сторонами. Правильный восьмиугольник имеет восемь равных сторон и равных углов. Правильный восьмиугольник обычно распознается по знакам остановки. Октаэдр – это восьмигранный многогранник. Правильный октаэдр имеет восемь треугольников с ребрами равной длины. Это фактически две квадратные пирамиды, встречающиеся у их основ

Формула восьмиугольника

Формула для площади правильного восьмиугольника со сторонами длины «a» равна 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, где «sqrt» обозначает квадратный корень.

отвлечение

Восьмиугольник можно рассматривать как 4 прямоугольника, один квадрат в центре и четыре равнобедренных треугольника в углах.

Квадрат имеет площадь ^ 2.

Треугольники имеют стороны a, a / sqrt (2) и a / sqrt (2) по теореме Пифагора. Следовательно, каждый имеет площадь ^ 2/4.

Прямоугольники имеют площадь a * a / sqrt (2).

Сумма этих 9 областей составляет 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).

Объемная формула октаэдра

Формула для объема правильного октаэдра сторон “а” есть ^ 3 * sqrt (2) / 3.

отвлечение

Площадь четырехгранной пирамиды равна площади основания * высоты / 3. Следовательно, площадь правильного восьмиугольника равна 2 * основания * высоты / 3.

База = ^ 2 тривиально.

Выберите две смежные вершины, скажем «F» и «C.» «О» находится в центре. FOC – равнобедренный прямоугольный треугольник с основанием «a», поэтому OC и OF имеют длину a / sqrt (2) по теореме Пифагора. Так что высота = а / кв.м (2).

Таким образом, объем правильного октаэдра составляет 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.

Площадь поверхности

Поверхность правильного октаэдра – это площадь равностороннего треугольника со стороной «а», умноженной на 8 граней.

Чтобы использовать теорему Пифагора, опустите линию от вершины до основания. Это создает два прямоугольных треугольника с гипотенузой длиной «а» и длиной одной стороны «а / 2». Следовательно, третья сторона должна быть sqrt = sqrt (3) a / 2. Таким образом, площадь равностороннего треугольника равна высоте * base / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.

С 8 сторон, площадь поверхности правильного октаэдра составляет 2 * sqrt (3) * a ^ 2.

Формула для расчета объема восьмиугольника

Содержание

• Формула для расчета площади восьмиугольника
• вывод
• Формула для расчета объема октаэдра
• вывод
• Площадь поверхности

В геометрии восьмиугольник – это восьмигранный многоугольник. Правильный восьмиугольник имеет восемь равных сторон и равных углов. Это общеизвестно по стоп-знакам. Октаэдр – это восьмигранный многогранник, а правильный октаэдр имеет восемь треугольников с ребрами одинаковой длины, то есть две квадратные пирамиды, встречающиеся у их оснований.

Формула для расчета площади восьмиугольника

Формула для расчета площади правильного восьмиугольника со сторонами длины «a»: 2 x (1 + root (2)) x a², где «root» обозначает квадратный корень.

вывод

Восьмиугольник можно рассматривать как четыре прямоугольника, один квадрат в центре и четыре равнобедренных треугольника в углах.

Площадь имеет площадь «а²».

Треугольники имеют стороны “a”, a / root (2) и a / root (2) по теореме Пифагора. Следовательно, каждый имеет площадь ^ 2/4.

Прямоугольники имеют площадь x a / root (2).

Сумма этих девяти областей составляет 2a² (1 + root (2)).

Формула для расчета объема октаэдра

Формула для объема правильного октаэдра сторон “а” имеет форму ³ x корень (2) / 3.

вывод

Площадь четырехгранной пирамиды: основание х высота / 3. Следовательно, площадь правильного восьмиугольника равна 2 x основания x высоты / 3.

База = а².

Выберите две смежные вершины, назовите «F» и «C». «О» это центр. FOC – это правильный равнобедренный треугольник с основанием «a», так что OC и OF имеют длину a / root (2) по теореме Пифагора. Таким образом, высота = a / root (2).

Следовательно, объем правильного октаэдра равен 2 x (a²) x a / root (2) / 3 = a³ x root (2) / 3.

Площадь поверхности

Поверхность правильного октаэдра – это площадь равностороннего треугольника со стороной «а», умноженной на восемь граней.

Чтобы использовать теорему Пифагора, проведите линию от вершины до основания. Это создает два треугольника с гипотенузой длиной «а» и длиной одной стороны «а / 2». Следовательно, третья сторона должна быть root [a² – a ^ 2/4] = root (3) a / 2. Таким образом, площадь равностороннего треугольника равна высоте x base / 2 = root (3) a / 2 x a / 2 = root (3) a ^ 2/4.

С восьми сторон, площадь поверхности правильного октаэдра составляет 2 x корень (3) a².

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 7 апреля 2021 года; проверки требуют 5 правок.

Восьмиугольник
Правильный восьмиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Рёбра	8
Символ Шлефли	{8}, t{4}
Диаграмма Коксетера — Дынкина
Вид симметрии	Диэдрическая группа (D8)
Площадь
Внутренний угол	135°
Свойства
выпуклый, вписанный, равносторонний, равноугольный[en], изотоксальный
Медиафайлы на Викискладе

Правильный восьмиугольник (или октагон от греч. οκτάγωνο) — геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов, все углы и стороны равны между собой.

Правильный восьмиугольник имеет символ Шлефли {8}^[1] и может быть построен также как квазиправильный усечённый квадрат, t{4}, в котором перемежаются два типа граней. Усечённый восьмиугольник (t{8}) является шестнадцатиугольником (t{16}).

Свойства[править | править код]

• Восьмиугольник можно построить проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.
• Сумма всех внутренних углов правильного восьмиугольника составляет 1080°
• Угол правильного восьмиугольника составляет

Формулы расчёта параметров правильного аборта[править | править код]

Пример:

• t — длина стороны восьмиугольника
• r — радиус вписанной окружности
• R — радиус описанной окружности
• S — площадь восьмиугольника
• k — константа, равная

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной , радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

• Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

• Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

Через радиус описанной окружности

Через апофему (высоту)

Площадь через квадрат[править | править код]

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

Тогда площадь равна:

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

Ещё одна простая формула площади:

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

Симметрия[править | править код]

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih₈ порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih₄, Dih₂ и Dih₁, а также 4 циклические подгруппы — Z₈, Z₄, Z₂ и Z₁. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 ^[2]. Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16
d8	g8	p8
d4	g4	p4
d2	g2	p2
a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, равноугольный^[en] восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются двойственным^[en] друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Разрезание правильного восьмиугольника[править | править код]

Коксетер утверждает, что любой 2m-угольник с параллельными противоположными сторонами можно разрезать на m(m-1)/2 ромбов. Для восьмиугольника m=4 и он разрезается на 6 ромбов, как показано на рисунке ниже. Это разрезание можно рассматривать как 6 из 24 граней проекции многоугольника Петри тессеракта ^[3].

Разрезание правильного восьмиугольника

На 6 ромбов

Тессеракт

Применение восьмиугольников[править | править код]

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и восьмиугольные церкви Норвегии^[en]. Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Другие использования[править | править код]

• 

  Зонты часто имеют восьмиугольную форму

• 

  Знаменитая восьмиугольная чашка с острова Белитунг

• 

Производные фигуры[править | править код]

Связанные многогранники[править | править код]

Восьмиугольник в качестве усечённого квадрата, является первым в последовательности усечённых гиперкубов:

Усечённые гиперкубы

							…
Восьмиугольник	Усечённый куб	Усечённый тессеракт	Усечённый 5-куб	Усечённый 6-куб	Усечённый 7-куб	Усечённый 8-куб

Восьмиугольник в качестве растянутого квадрата является первым в последовательности растянутых гиперкубов:

Расширенные гиперкубы

							…
Октаэдр	Ромбокубооктаэдр	Обструганный тессеракт	Обрубленный 5-куб	Пятиогранённый 6-куб	Шестиогранённый 7-куб	Семиогранённый 8-куб

См. также[править | править код]

• Восьмерик
• Восьмиугольное число
• Октаграмма
• Площадь Октогон в Будапеште, Венгрия
• Сглаженный восьмиугольник

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. — Москва: «Мир», 1986.
• Magnus J. Wenninger. Polyhedron Models. — Cambridge University Press, 1974. — 208 с. — ISBN 9780521098595. books.google Архивная копия от 2 января 2016 на Wayback Machine  (англ.) Есть перевод на русский Веннинджер, «Модели многогранников», но в ней символы Шлефли не приведены.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.