Как найти объем воздуха в воздушном шаре

На прошлом уроке мы познакомились с принципом плавания судов и их основными характеристиками. Но с давних времен люди хотели передвигаться не только по воде, но и по воздуху.

На данном уроке мы узнаем, как действует архимедова сила в воздухе, рассмотрим принцип воздухоплавания и необходимые условия для его осуществления.

Принцип воздухоплавания

Для начала дадим определение.

Воздухоплавание — это контролируемые или неконтролируемые полеты в атмосфере Земли на летательных аппаратах легче воздуха. 

Самый первый летательный аппарат, отправившийся в полет, — воздушный шар (рисунок 1). В начале развития воздухоплавания шары наполняли горячим воздухом, теперь — гелием или водородом. Рассмотрим, какие условия нужны, чтобы шар поднялся в воздух.

В прошлых уроках мы узнали условия плавания тел в жидкости. Эти же условия применимы и для тел, погруженных в газ. Так мы получаем первое условие:

Средняя плотность шара (оболочка и газ) должна быть меньше плотности воздуха.

На воздушный шар так же действуют две противоположно направленные силы: архимедова (выталкивающая сила) и сила тяжести (рисунок 2). Соответственно, для того, чтобы воздушный шар начал подниматься наверх, нам необходимо, чтобы архимедова сила была больше силы тяжести: $F_А > F_{тяж}$.

Вспомним формулу для определения архимедовой силы: $F_A = rho_{возд} gV$, где $rho_{возд}$ — это плотность воздуха, в котором находится воздушный шар, а $V$ — объем шара, заполненный газом (горячим воздухом, водородом или гелием).

Почему уменьшается выталкивающая сила, действующая на шар, по мере его подъема?
Плотность воздуха зависит от высоты — с увеличением высоты плотность становится меньше. Значит, архимедова сила при поднятии шара вверх уменьшается.

Дальше шар достигает предельной высоты своего подъема. Для того чтобы воздушный шар начал опускаться, из его оболочки выпускают часть газа с помощью специального клапана. 

Подъемная сила

Поднимаясь в небо, воздушный шар поднимает за собой определенный груз: кабину, оборудование, приборы, людей, сама оболочка тоже имеет свой вес. Но как узнать, какой груз способен поднять воздушный шар?

Главной характеристикой воздухоплавательного судна является его подъемная сила — сила, которую необходимо знать, чтобы определить, какой груз данное судно может поднять.

Рассмотрим пример. Пусть в воздух запущен воздушный шар объемом $50 space м^3$, который наполнен гелием ($rho_{He} = 0.189 frac{кг}{м^3}$).

Расчет подъемной силы

Как рассчитать подъемную силу шара, наполненного гелием?
Чтобы найти подъемную силу, нужно из архимедовой силы вычесть вес гелия.

Найдем вес гелия по формуле:
$P_{He} = gm_{He}$.

Выразим массу гелия через его плотность и объем:
$m_{He} = rho_{He} V$.

Тогда:
$P_{He} = grho_{He} V$,
$P_{He} = 9.8 frac{Н}{кг} cdot 0.189 frac{кг}{м^3} cdot 50 space м^3 approx 93 space Н$.

Архимедова сила, которая будет действовать на этот шар в воздухе, равна весу воздуха объемом $50 space м^3$. Плотность воздуха равна $1.3 frac{кг}{м^3}$.

Рассчитаем ее:
$F_А = grho_{возд}V$,
$F_А = 9.8 frac{Н}{кг} cdot 1.3 frac{кг}{м^3} cdot 50 space м^3 = 637 space Н$.

Значит, воздушный шар может поднять груз весом $637Н space – space 93 Н = 544 space Н$. Это и есть его подъемная сила.

Если мы рассчитаем подъемную силу для такого же шара, но наполненного водородом, то увидим, что его подъемная сила будет больше. Но водород — это горючий газ, поэтому гелий используют чаще из соображений безопасности.

Но самый простой способ управления — при заполнении шара горячим воздухом. Как регулируют высоту подъема воздушного шара, наполненного горячим воздухом?
С помощью горелки, установленной под отверстием в нижней части шара, можно регулировать температуру, а значит, его плотность и архимедову силу. Следовательно, таким образом можно контролировать высоту подъема шара.

При увеличении температуры шар поднимается, а при понижении — опускается. Когда вес шара и кабины будет равен архимедовой силе, шар повиснет в воздухе на одной высоте.

Виды воздухоплавательных судов

Рассмотрим, какие бывают воздухоплавательные суда.

Аэростат — это воздушный шар, летательный аппарат, который легче воздуха.

Этот термин происходит от греческого «аэр» — «воздух», «сато» — «стоять». Так, воздушный шар тоже является аэростатом.

Аэростаты могут контролируемо менять свою высоту, но перемещаться в горизонтальном направлении может только под действием ветра (рисунок 3).

Стратостат — это воздушный шар, который предназначен для полетов на высоту более 11 км.

Такие летательные аппараты помогают исследовать верхние слои атмосферы — стратосферу (рисунок 4).

Дирижабль — это управляемый аэростат.

До начала производства больших пассажирских самолетов именно эти летательные аппараты использовались для перевозки пассажиров и грузов. Дирижабль имеет удлиненную форму, гондолу для пассажиров/грузов и гондолу с двигателем, от которого работает пропеллер (рисунок 5).

История воздухоплавания

Воздушные шары

В 1709 году бразильский священник и естествоиспытатель Бартоломеу Лоренсу де Гусмао представил проект предположительно первого воздушного шара. Его оболочка была сделана из бумаги, вместо кабины был поддон с глиняным горшком. В горшке сгорали горючие материалы, шар наполнился горячим воздухом и поднялся в воздух.

В 1783 году во Франции был изобретен и поднят в воздух первый полноценный воздушный шар братьями Этьеном и Жозефом Монгольфье (рисунок 6).

В 1785 году состоялся удивительный полет через Ла-Манш на воздушном шаре Жан-Пьера Бланшара и Джона Джеффриса (рисунок 7). Во время пути шар начал терять подъемную силу, и естествоиспытатели, сбросив из кабины все, что было, благополучно приземлились в Кале (Франция).

В 1849 году воздушные шары были впервые применены в качестве военной техники. Австрия организовала бомбежку с помощью небольших аэростатов. Далее воздушные шары использовали как во время Первой мировой войны, так и во время Второй.

В годы холодной войны аэростаты стали использовать в разведывательных целях — их было практически невозможно засечь никакими локаторами или радарами.

Во Франции установлен мировой рекорд по количеству воздушных шаров, одновременно находящихся в небе, — 456 воздушных шаров.

Дирижабль

В 1852 году в воздух поднялся первый дирижабль (рисунок 9). Анри Жиффар поднялся в небо на шаре, который имел объем $2500 м^3$, и продемонстрировал, что теперь аэростат способен выполнять повороты.

Стратостаты

В 1931 году состоялся первый полет на стратостате (рисунок 10). Огюст Пикар и Пауль Кипфер поднялись на высоту 15 785 метров. Полет состоялся из города Аугсбург, Германия.

Беспилотный стратостат-рекордсмен BU60-1 был запущен в 2002 году японским космическим агентством JAXA и достиг высоты 53 км. Стратостат был сделан из очень тонкого материала (его вес составил менее 40 кг при размерах 75 на 54 метра).

В 2016 году британской компанией был запущен самый большой дирижабль Airlander 10 (рисунок 11). Максимальная грузоподъемность составляет почти 10 тонн, а в длину он составляет 92 метра.

Упражнения

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Посмотреть ответ

Скрыть

Содержание:

• § 1  Первый воздушный шар
• § 2  Движение воздушного шара
• § 3  Пример решения задачи на определение подъемной силы воздушного шара
• § 4  Конструкция воздушного шара
• § 5  Краткие итоги по теме урока

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала «Квант»

В наш век самолетов и ракет, для которых доступны любые высоты над поверхностью Земли, воздушные шары, громоздкие, ненадежные и неуправляемые, уже отошли в прошлое, хотя когда-то именно они дали человеку возможность подняться в воздух. Впрочем, в некоторых случаях воздушные шары очень удобны, они используются и сейчас. Например, с аэростата удобно обучать прыжкам с. парашютом, а метеорологи исследуют давление, температуру и воздушные потоки в атмосфере с помощью шаров-зондов.

Задачи о воздушных шарах даются иногда на вступительных экзаменах. Обычно их можно разделить на два типа:

1) задачи, в которых нужно найти связь между габаритами и наполнением шара и подъемной силой, действующей на шар у поверхности Земли;

2) задачи, в которых нужно определить максимальную высоту подъема шара; при этом задается какая-нибудь модель атмосферы, то есть закон изменения давления и температуры с высотой.

По существу, задачи обоих типов – это задачи на статику. Для их решения нужно уметь применять уравнение состояния газов и найти условие равновесия шара, на который действует сила притяжения Земли и выталкивающая сила со стороны окружающего шар воздуха. Если выталкивающая сила больше силы притяжения (разность этих сил называют подъемной силой), шар поднимается вверх. Но по мере подъема уменьшается плотность окружающего воздуха, а, следовательно, уменьшается и выталкивающая сила, по закону Архимеда равная

где ρ — плотность воздуха, а V — объем шара. На некоторой высоте выталкивающая сила окажется равной силе притяжения – это и будет максимальной высотой подъема шара.

Разберем теперь несколько конкретных задач, которые в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задача 1. Сферическая оболочка воздушного шара сделана из материала, квадратный метр которого имеет массу b = 1 кг/м². Шар наполнен гелием при нормальном атмосферном давлении. При каком минимальном радиусе шар поднимает сам себя? Температура гелия и температура окружающего воздуха одинаковы и равны 0 ºС. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль, молекулярная масса гелия 4 кг/кмоль.

При увеличении радиуса шара выталкивающая сила растет пропорционально кубу радиуса, а вес оболочки – пропорционально квадрату радиуса. Следовательно, выталкивающая сила растет быстрее и, начиная с какого-то значения радиуса, станет больше, чем вес оболочки. Тогда шар начнет подниматься. Обозначим этот радиус оболочки через r. При этом

откуда

Плотности воздуха ρ_в и гелия ρ_Не при данных условиях найдем с помощью закона Менделеева–Клапейрона  :

Окончательно получаем

Задача 2. Объем воздушного шара равен V = 230 м³, масса оболочки М = 145 кг. Шар наполнен горячим воздухом при нормальном атмосферном давлении. Какую температуру должен иметь воздух внутри оболочки, чтобы шар начал подниматься? Температура наружного воздуха t₀ = 0 ^оС.

При нагревании воздуха его плотность уменьшается, так как  (см. задачу 1). Шар начнет подниматься, если  (ρ₀ – плотность наружного воздуха). Подставляя выражения для плотности наружного воздуха и воздуха внутри шара ρ, получаем

Отсюда

значит,

T_min » 2T₀ = 546 ºK = 273 ºC.

Задача 3. Для удержания на поверхности Земли метеорологического шара-зонда с массой М = 20 кг необходимо приложить силу F = 1000 Н. Шар поднимается до такой высоты, где его объем увеличивается в два раза. Температура воздуха, измеренная на этой высоте с помощью зонда, оказалась равной t = –43 ºС. Вычислить давление воздуха на этой высоте, если на поверхности Земли давление р₀ = 754 мм рт. ст., а температура t₀= +17 °С.

Условие равновесия шара у поверхности Земли записывается так:

                                   (1)

где V — объем шара у поверхности Земли, а  — плотность воздуха. При этом масса шара М включает в себя массу оболочки, приборов и газа, заключенного внутри оболочки. Из условия известно, что объем шара при подъеме увеличивается. Следовательно, оболочка шара мягкая и герметичная. Объем увеличивается потому, что при мягкой оболочке давление газа внутри должно быть таким же, как давление окружающего воздуха, которое уменьшается с высотой. Если оболочка герметичная, масса шара не изменяется при подъеме и максимальная высота его подъема определяется условием

                                         (2)

где . Решая совместно уравнения (1) и (2), находим

Задача 4. Шар-зонд, наполненный водородом, имеет герметичную оболочку постоянного объема V = 50 м³. Масса шара вместе с водородом М = 5 кг. Определить, на какую максимальную высоту он сможет подняться, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые h = 5 км высоты. Температура в стратосфере t = –60 ºС. Молекулярная масса воздуха 29 кг/кмоль. Давление у поверхности Земли р₀ = 1 атм.

На максимальной высоте выталкивающая сила равна весу шара- зонда:

Выразив плотность окружающего воздуха через давление и температуру, получим

Таким образом, давление воздуха на этой высоте равно

Посмотрим теперь, во сколько раз давление р меньше давления у поверхности Земли р₀: .

Из условия известно, что давление падает в два раза через каждые 5 км подъема, то есть  , где Н — высота подъема, a h = 5 км. В нашем случае

Отсюда

H = 4h = 20 км.

Задача 5. Нерастяжимая оболочка шара-зонда объема V = 75 м³ имеет в нижней части небольшое отверстие. Масса оболочки t = 7 кг. Шар наполнен водородом. Определить, на какую максимальную высоту сможет подняться этот шар-зонд, если известно, что атмосферное давление уменьшается в два раза через каждые h = 5 км высоты. Температура воздуха в стратосфере t = –60 °С, температура водорода равна температуре окружающего воздуха. Давление у поверхности Земли р₀ = 1 атм.

Эта задача отличается от предыдущей тем, что оболочка шара не герметична, а имеет отверстие. Следовательно, давление внутри шара все время равно давлению в атмосфере, и по мере увеличения высоты подъема шара водород вытекает из отверстия. Будем, считать, что подъем происходит достаточно быстро и можно пренебречь диффузией воздуха внутрь оболочки, тогда условие равновесия шара на максимальной высоте

Плотности водорода и воздуха можно найти из уравнения Менделеева-Клапейрона:

Таким образом, давление на максимальной высоте

Отношение , и, следовательно, высота подъема Н = 20 км (см. решение предыдущей задачи).

Высота подъема в задаче 5 получилась такая же, как для герметичного шара в задаче 4, но не следует забывать, что мы рассматривали разные шары, с разными объемами и массами. А если оба шара совершенно одинаковы и отличаются только тем, что у одного оболочка герметичная, а у другого имеет отверстие, — какой из шаров поднимется выше в этом случае?

Выталкивающая сила будет одинакова для обоих шаров, так как их объемы равны. Если начальные массы шаров были одинаковы, то после подъема шар с отверстием окажется легче, так как часть наполняющего его газа вытечет при подъёме. Следовательно, шар с отверстием сможет подняться на большую высоту.

Обычно человеку, впервые задумавшемуся над этим вопросом, такой результат кажется странным. Часто задают вопрос: «Как вообще в шаре с отверстием возникает подъемная сила? Ведь снизу, там, где отверстие, воздух и газ внутри шара находятся в равновесии».

Давайте рассмотрим верхнюю точку шара. Если в нижней точке шара давление воздуха и газа равно р₀, в верхней точке давление воздуха , а давление газа  (h — высота шара). Если , то  и, следовательно, на оболочку снизу действует большая сила, чем сверху — возникает подъемная сила. Легко убедиться (вы сможете это сделать сами для тела достаточно простой формы), что именно эта разница давлений и дает результирующую выталкивающую силу, определяемую законом Архимеда. Недоумение часто возникает потому, что при расчетах плотности газа внутри шара обычно считают давление в шаре всюду одинаковым. Не нужно забывать, что это всего лишь приближение. Если мы определяем саму величину

то, так как h мало — всего несколько метров, , и мы можем считать . Если же нас интересует разность

то здесь оба члена одинаковы по порядку величины, и учитывать их надо оба. Кстати сказать, то, что мы считаем ρ_в и ρ_г постоянными, — тоже приближение, на самом деле они уменьшаются с высотой по мере уменьшения давления. Но учет этого обстоятельства дал бы значительно меньшую поправку к выталкивающей силе, этой поправкой можно пренебречь.

Упражнения

1. Определить подъемную силу воздушного шара, в котором находится t г водорода. Оболочка шара герметичная и сделана из легкого неупругого материала, который может свободно растягиваться.

2. На сколько градусов надо нагреть воздух внутри сообщающегося с атмосферой воздушного шара, сферическая оболочка которого имеет диаметр 10 м и весит 10 кг, для того чтобы шар взлетел? Атмосферное давление 735 мм. рт. ст., температура окружающего воздуха +27 °С.

3. Воздушный шар представляет собой баллон постоянного объема, наполненный гелием. Через отверстие в нижней части шар сообщается с атмосферой. Как изменится максимальная высота подъема шара, если гелий нагреть до температуры t₁? Температуру атмосферы считать постоянной и равной t₀, а давление изменяющимся по закону , где а — постоянная, h — высота подъема, р₀ — давление у поверхности Земли.

Ответы.

1. 13,5m·g.

2. Не менее чем на 5º.

3. .

Полное условие задачи

Сферическую оболочку воздушного шара делают из материала, квадратный метр которого имеет массу 1 кг. Шар наполняют гелием при нормальном атмосферном давлении. Определите минимальную массу оболочки, при которой шар начнет поднимать сам себя. Температура гелия и окружающего воздуха одинакова и равна 0 °С.

Краткое условие задачи

Решение задачи

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:

Перепишем его в проекциях на вертикальную ось OY:

или

Распишем силы, входящие в выражение (1). Сила Архимеда равна:

Объем шара равен:

Тогда:

Сила тяжести, действующая на гелий равна:

Подставляем формулу для объема шара и получим:

Сила тяжести, действующая на оболочку равна:

Площадь сферы находим по следующей формуле:

Тогда:

С учетом выражений (2), (3) и (4) перепишем выражение (1):

Выразим из последнего выражения радиус шара. Для этого разделим обе стороны уравнения на величину:

и получим:

Плотности гелия и воздуха получим из уравнения состояния идеального газа:

Так как

то

или

откуда находим плотность:

Плотность гелия:

Плотность воздуха:

Таким образом, радиус шара равен:

Находим теперь массу оболочки шара:

Подставляем данные и находим численный результат:

Ответ: 93 кг.