Как найти объем выборки заданной статистическим распределением

Пусть
для изучения количественного (дискретного
или непрерывного) признака Х из генеральной
совокупности извлечена выборка, причем
значение x1
наблюдалось n1
раз, значение x2
наблюдалось n2
раз, …, значение xk
наблюдалось nk
раз.

Наблюдаемые
значения xi
(i
= 1, 2, …, n)
признака Х называют вариантами, а
последовательность всех вариант,
записанных в возрастающем порядке, –
вариационным
рядом
.
Числа наблюдений ni
называют частотами,
их сумма
объем
выборки.
Отношения частот к объему выборки
относительными
частотами
.

Статистическим
распределением выборки

называют перечень вариант xi
вариационного ряда и соответствующих
им частот ni
(сумма всех частот равна объему выборки
n)
или относительных частот Wi
(сумма всех относительных частот равна
единице). Статистическое распределение
можно задать также в виде последовательности
интервалов и соответствующих им частот
(в качестве частоты, соответствующей
интервалу, принимают сумму частот,
попавших в этот интервал).

Заметим,
что в теории вероятностей под распределением
понимают соответствие между возможными
значениями случайной величины и их
вероятностями, а в математической
статистике – соответствие между
наблюдаемыми вариантами и их частотами
(или относительными частотами).

Пример.
Задано распределение частот выборки
объема n
= 20:

2

6

12

3

10

7

В
данной выборке получены следующие
варианты x1
= 2; x2
= 6; x3
= 12,

соответствующие
частоты n1
= 3; n2
= 10; n3
= 7.

Напишем
распределение относительных частот.

Решение.
Найдем относительные частоты, для чего
разделим частоты на объем выборки
= 3 + 10 + 7 = 20.


─ относительные
частоты:


Напишем распределение
относительных частот:

2

6

12

0,15

0,50

0,35

Контроль:
сумма всех относительных частот
равна единице:

.

§14. Эмпирическая функция распределения

Пусть
известно статистическое распределение
частот количественного признака Х.
Введем обозначения:

число наблюдений, при которых наблюдалось
значение признака, меньше х; n
– общее число наблюдений (объем выборки).
Ясно, что относительная частота события
Х<х равна
.
Если х изменяется, то, вообще говоря,
изменится и относительная частота, то
есть относительная частотаесть функция от х. Так как эта функция
находится эмпирическим (опытным) путем,
то ее называют эмпирической.

Определение.
Эмпирическая
функция распределения

(функция распределения выборки) –
функция F*(x),
определяющая для каждого значения х
относительную частоту события X<x.

,

где
─ число вариант, меньших х;n
– объем выборки.

Например,
для того чтобы найти F*(x2),
надо число вариант, меньших x2,
разделить на объем выборки:

.

В
отличие от эмпирической функции
распределения выборки функцию
распределения F(x)
генеральной совокупности называют
теоретической
функцией распределения
.
Различие между эмпирической и теоретической
функциями состоит в том, что теоретическая
функция F(x)
определяет вероятность события X<x,
а эмпирическая функция F*(x)
определяет относительную частоту этого
же события.

Из
теоремы Бернулли следует, что относительная
частота события X<x,
то есть F*(x),
стремится по вероятности к вероятности
этого события, то есть к значению F(x).
Другими словами, при больших значениях
n
числа F*(x)
и F(x)
мало отличаются одно от другого в том
смысле, что
.
Уже отсюда следует целесообразность
использования эмпирической функции
распределения выборки для приближенного
представления теоретической (интегральной)
функции распределения генеральной
совокупности. Такое заключение
подтверждается и тем, что F*(x)
обладает всеми свойствами F(x).

Из
определения функции F*(x)
вытекают следующие ее свойства:

  1. Значения
    эмпирической функции принадлежит
    отрезку [0; 1];

  2. F*(x)
    – неубывающая функция;

  3. Если
    x1
    ─ наименьшая варианта, то F*(x)
    = 0 при х < х1;

если
хk
─ наибольшая варианта, то F*(x)
= 1 при х > xk.

Итак,
эмпирическая функция распределения
выборки служит для оценки теоретической
функции распределения генеральной
совокупности.

Пример.
Построить эмпирическую функцию по
данному распределению выборки:

Варианты

2

6

10

Частоты

12

18

30

Решение.
Найдем объем выборки (сумма всех частот
ni):

n
= n1
+ n1
+ n1
= 12 + 18 + 30 = 60.

Наименьшая
варианта равна 2 (x1
= 2), следовательно, F*(x)
= 0 при х ≤ 2 (по свойству 3 функции F*(x));

значения,
меньшие 6 (х<6), а именно x1
= 2, наблюдались n1
= 12 раз, следовательно,
при 2<x≤6;

значения
х<10, а именно x1
= 2, x1
= 2 наблюдались n1
+ n2
= 12 + 18 = 30 раз, следовательно
при 6<х≤10.

Так
как х =10 – наибольшая варианта, то F*(x)
= 1 при х>10 (по свойству 4 функции F*(x)).

Искомая
эмпирическая функция имеет вид:

Ниже приведен график
полученной эмпирической функции.

На графике на
соответствующих осях откладывают
значения функции F*(x)
и интервалы вариант

Рис.
5. График эмпирической функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объ­ема П, в которой значение X1 некоторого исследуемого призна­ка Х наблюдалось П1 раз, значение X2 — п2 раз, …, значение XKNk раз. Значения Xi называются Вариантами, а их после­довательность, записанная в возрастающем порядке,— Вариационным рядом. Числа Ni называются Частотами, а их отно­шения к объему выборки

Относительными частотами. При этом Ni = П. Модой Мo называется варианта, имеющая наибольшую частоту. Ме­дианой те называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части с одинаковым числом вариант в каждой. Если число вариант нечетно, т. е. K = 2L + 1, то Me = Xl+1; если же число вариант четно (k = 2L), То те = (Xl + Xl+1)/2. Разма­хом варьирования называется разность между максимальной и минимальной вариантами или длина интервала, которому принадлежат все варианты выборки:

Перечень вариант и соответствующих им частот называ­ется Статистическим распределением выборки. Здесь имеет­ся аналогия с законом распределения случайной величины: в теории вероятностей — это соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — это соответствие между наблюда­емыми вариантами и их частотами (относительными частота­ми). Нетрудно видеть, что сумма относительных частот равна единице: Wi = 1.

Пример 2. Выборка задана в виде распределения частот:

Найти распределение относительных частот и основные харак­теристики вариационного ряда.

Решение. Найдем объем выборки: П = 2 + 4 + 5 + 6 + 3 = 20. Относительные частоты соответственно равны W1 = 2/20 = 0,1; W2 = 4/20 = 0,2; W3 = 5/20 = 0,25; W4 = 6/20 = 0,3; W5 = 3/20 = 0,15. Контроль: 0,1 + 0,2 + 0,25 + 0,3 + 0,15 = 1. Искомое распределение относительных частот имеет вид

Мода этого вариационного ряда равна 12. Число вариант в дан­ном случае нечетно: K = 2 ∙ 2 + 1, поэтому медиана Me = X3 = 8. Размах варьирования, согласно формуле (18.48), R = 17 – 4 = 13.

< Предыдущая   Следующая >

Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Узнать стоимость

Статистическое распределение выборки

Содержание:

  • Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач
  • Статистический интервальный ряд распределения

Предположим случай, когда из генеральной совокупности извлекается некоторая выборка, при этом каждому значению соответствует некоторый параметр, означающий количество раз, когда появлялось данное значение. Здесь $x_1$ было зафиксировано $n_1$ раз, $x_2$ было обнаружено $n_2$$x_k$ выявлено $n_k$. При этом

$sum_{i=1}^{k}n_i=n$

Где n — объём рассматриваемой выборки.

Определение 1

Используется следующая терминология: $x_k$ носят наименование вариантов, а последовательность таких вариантов, зафиксированный по возрастанию именуется вариационным рядом. Количество наблюдений каждого из вариантов носят название частот. При этом частное частот и выборки называют относительными частотами.

Определение 2

Статистическое распределение —это название всего набора вариантов и частот, которые с ними соотносятся. Чаще всего задаётся с помощью специальной таблицы, где представлены частоты, а также интервалы им соответствующие.

$x_1$ $x_2$ $x_k$
$n_1$ $n_2$ $n_k$
$frac{n_1}{n}$ $frac{n_2}{n}$ $frac{n_k}{n}$

Здесь в первой строке представлены варианты, во второй частоты, в третьеq взяты относительные частоты.

Для определения размера интервала используется следующее выражение:

$d=frac{x_{max}- x_{min}}{1+3,332cdot lg n}$

Здесь $x_{max}$, $x_{min}$ наибольшее и наименьшее значения ряда вариантов, а n характеризуем объём выборки.

Примеры использования формул и таблиц для решения практических задач

Пример 1

В ходе проведения измерений в однородных группах, были определены следующие значения выборки: 71, 72, 74, 70, 70, 72, 71, 74, 71, 72, 71, 73, 72, 72, 72, 74, 72, 73, 72, 74. Необходимо использовать данные значения, что определить ряд распределения частот и ряд распределения относительных частот.

Решение.

1) Составим статистический ряд распределения частот:

xi 70 71 72 73 74
ni 2 4 8 2 4

2) Рассчитаем суммарный размер выборки: n=2+4+8+2+4=20. Определим относительные частоты, для этого используем формулы: ni/n=wi: wi=2/20=0.1; w2=4/20=0.2; w3=0.4; w4=4/20=0.1; w5=2/20=0.2. Теперь зафиксируем в таблице распределение относительных частот:

xi 70 71 72 73 74
wi 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2

Контрольная сумма должна равняться единице: 0,1+0,2+0,4+0,1+0,2=1.

Полигон частот

Название «полигоном частот» применяют для обозначения ломаной линии, каждый отрезок, которой соединяют точки $(х_1,n_1),(х_2,n_2),…,(х_k,n_k)$. Для построения на графике полигона частот по оси абсцисс отмечают варианты $х_2$, при этом на оси ординат отсчитывают– соответствующие частоты $n_i$. Когда полученные точки $(х_i,n_i)$ соединяются с помощью отрезков, то автоматически получают полигон частот.

Статистический интервальный ряд распределения.

Статистическим дискретным рядом (или эмпирической функцией распределения) обычно пользуются, если число различающихся вариант в полученной выборке не слишком большое. Также применение возможно, когда дискретность имеет важное значение для экспериментатора. В тех случаях, когда важный для задачи признак генеральной совокупности Х распределяется непрерывным образом, либо его дискретность нет возможности учесть, то варианты предпочтительнее всего группировать, чтобы получить интервалы.

Статистическое распределение допустимо задавать в том числе в качестве последовательности интервалов и частот, соответствующих этим интервалам. При это за частоту какого-либо интервала принимается сумма всех частот, вошедших в данный интервал.

Особенно следует отметить ,что $h_i-h_{i-1}=h$ при всех i, т.е. группировка проводится с равным шагом h. Также в вопросе группировки можно ориентироваться на ряд полученных опытным путём рекомендацийу, касающихся таких параметров, как а, k и $h_i$:

1. $Rраз_{мах}=X_{max}-X_{min}$

2. $h=R/k$; k-число групп

3.$ kgeq 1+3.321lgn$ (формула Стерджеса)

4. $a=x_{min}, b=x_{max}$

5.$ h=a+h_i, i=0,1…k$

Определённую в ходе решения задачи группировку удобнее всего скомпоновать и перевести в вид специальной таблицы, которая также может именоваться — «статистический интервальный ряд распределения»:

Интервалы группировки [h0;h1) [h1;h2) [hk-2;hk-1) [hk-1;hk)
Частоты n1 n2 nk-1 nk

Таблицу подобного вида можно сделать, поменяв частоты $n_i$ на относительные частоты:

Интервалы группировки [h0;h1) [h1;h2) [hk-2;hk-1) [hk-1;hk)
Отн. частоты w1 w2 wk-1 wk

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

На склад пришла крупная партия деталей. Из них методом случайного отбора взято 50 экземпляров. Рассматривая изделия по одному, особенно интересующему признаку — размеру, определённому с точностью до 1 см, получим следующий вариационный ряд: 22, 47, 26, 26, 30, 28, 28, 31, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 33, 33, 34, 34, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 36, 36, 36, 36, 37, 37, 37, 37, 37, 37, 38, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 41, 43, 44, 44, 45, 45, 47, 50. Требуется произвести расчёт и определить статистический интервальный ряд распределения.

Решение

Найдём параметры выборки используя сведения из условия задачи.

$k geq1+3,321cdot lg50=1+3.32lg(5cdot10)=1+3.32(lg5+lg10)=6.6$

Получили a=22, k=7, h=(50-22)/7=4, hi=22+4i, i=0,1,…,7.

Интервалы группировки 22-26 26-30 30-34 34-38 38-42 42-46 46-50
Частоты 1 4 10 18 9 5 3
Отн. частоты 0.02 0.08 0.2 0.36 0.18 0.1 0.06

Десятичные логарифмы от 1 до 10

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lnn≈ 0 0.3 0.48 0.6 0.7 0.78 0.85 0.9 0.95 1

Не получается написать работу самому?

Доверь это кандидату наук!

При планировании научного исследования представляет интерес получение оценки минимального объёма выборки. Как правило, объем выборки вычисляют для распределений случайных величин, близких к гауссовскому в соответствии со следующим выражением [1]:
Screenshot_1-1801-020cc0.png

Для случая негауссовского закона распределения в формуле [2] предложено другое выражение для оценки объема выборки:
Screenshot_2-1801-780db0.png

Приведенные выше выражения применяются, в основном, при небольших объемах выборки (условно до 40-50) в случае оценивания выборочных моментов первого и второго порядков – среднего и дисперсии. При большом объеме выборки законы распределения выборочных среднего и дисперсии близки к гауссовскому, и оценка объема выборки может быть получена сравнительно просто из выражения для построения доверительного интервала.

Более подробно изучить этот вопрос помогут [3][4] и, конечно, наш курс математики для Data Science.

Список источников:
1 Койчубеков Б.К. Определение размера выборки при планирования научного исследования / Койчубеков Б.К., Сорокина М.А., Мхитарян К.Э. – Международный журнал прикладных и фундаментальных исследований. 2014. №4.
2 Дианов В.Н. Перспективные направления повышения надежности вычислительной техники и систем управления // Надежность. 2004. №3 (10). С. 33–47
3 Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М., 1964. – 576 с.
4 https://applied-research.ru/ru/article/view?id=5074

Приступим к изучению элементов математической статистики, в которой разрабатываются научно обоснованные методы сбора статистических данных и их обработки.

Пусть требуется изучить множество однородных объектов (это множество называют статистической совокупностью) относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить соответствие детали стандартам, а количественным — контролируемый размер детали.

Лучше всего осуществить сплошное обследование, т. е. изучить каждый объект. Однако в большинстве случаев по разным причинам это сделать невозможно. Препятствовать сплошному обследованию может большое число объектов, их недоступность и т. п. Если, например, нужно знать среднюю глубину воронки при взрыве снаряда из опытной партии, то, проводя сплошное обследование, мы должны будем уничтожить всю партию.

Если сплошное обследование невозможно, то из всей совокупности выбирают для изучения часть объектов.

Статистическая совокупность, из которой отбирают часть объектов, называется генеральной совокупностью. Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называется выборкой.

Число объектов генеральной совокупности и выборки называется соответственно объемом генеральной совокупности и объемом выборки.

Пример. Плоды одного дерева (200 шт.) обследуют на наличие специфического для данного сорта вкуса. Для этого отбирают 10 шт. Здесь 200 —объем генеральной совокупности, а 10 —объем выборки.

Если выборку отбирают по одному объекту, который обследуют и снова возвращают в генеральную совокупность, то выборка называется повторной. Если объекты выборки уже не возвращаются в генеральную совокупность, то выборка называется бесповторной. На практике чаще используется бесповторная выборка. Если объем выборки составляет небольшую долю объема генеральной совокупности, то разница между повторной и бесповторной выборками незначительна

Свойства объектов выборки должны правильно отражать свойства объектов генеральной совокупности, или, как говорят, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Считается, что выборка репрезентативна, если все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку, т. е. выбор осуществляется случайно. Например, для того чтобы оценить будущий урожай, можно сделать выборку из генеральной совокупности еще не созревших плодов и исследовать их характеристики (массу, качество и пр.). Если вся выборка будет взята с одного дерева, то она не будет репрезентативной. Репрезентативная выборка должна состоять из случайно выбранных плодов со случайно выбранных деревьев.

Статистическое распределение выборки. Полигон. Гистограмма

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем Генеральная совокупность и выборка, наблюдалось Генеральная совокупностьраз, Генеральная совокупность раз, Генеральная совокупностьраз и Генеральная совокупность объем выборки. Наблюдаемые значения Генеральная совокупность называются вариантами, а последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке,— вариационным рядом. Числа наблюдений Генеральная совокупность называют частотами, а их отношения к объему выборки Генеральная совокупностьГенеральная совокупностьотносительными частотами. Отметим, что сумма относительных частот равна единице:

Генеральная совокупность

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (непрерывное распределение). В качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот вариант, попавших в этот интервал.

Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.

Пример:

Перейдем от частот к относительным частотам в следующем распределении выборки объема n = 20:

Генеральная совокупность

Найдем относительные частоты:

Генеральная совокупность

Поэтому получаем следующее распределение:

Генеральная совокупность

Для графического изображения статистического распределения используются полигоны и гистограммы.

Для построения полигона в декартовых координатах на оси Ох откладывают значения вариант Генеральная совокупность на оси Оу— значения частот Генеральная совокупность (относительных частот Генеральная совокупность).

Пример:

Рис. 14 представляет собой полигон следующего распределения:

Генеральная совокупность

Полигоном обычно пользуются в случае небольшого количества вариант. В случае большого количества вариант и в случае непрерывного распределения признака чаще строят гистограммы. Для этого интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов шириной h и находят для каждого частичного интервала Генеральная совокупность — сумму частот вариант, попавших в і-й интервал. Затем на этих интервалах как на основаниях строят прямоугольники с высотами Генеральная совокупность (или Генеральная совокупность, где n —объем выборки). Площадь i-го частичного прямоугольника равна Генеральная совокупность

Генеральная совокупность

Генеральная совокупность

(или Генеральная совокупность). Следовательно, площадь гистограммы равна сумме всех частот (или относительных частот), т. е. объему выборки (или единице).

Пример:

Рис. 15 показывает гистограмму непрерывного распределения объема n =100, заданного следующей таблицей:

Генеральная совокупность

Оценки параметров генеральной совокупности по ее выборке

Выборка как набор случайных величин

Пусть имеется некоторая генеральная совокупность, каждый объект которой наделен количественным признаком X. При случайном извлечении объекта из генеральной совокупности становится известным значение х признака X этого объекта. Таким образом, мы можем рассматривать извлечение объекта из генеральной совокупности как испытание, X—как случайную величину, а х —как одно из возможных значений X.

Допустим, что из теоретических соображений удалось установить, к какому типу распределений относится признак X. Естественно, возникает задача оценки (приближенного определения) параметров, которыми описывается это распределение. Например, если известно, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности нормально, то необходимо оценить, т. е. приближенно найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, так как эти два параметра полностью определяют нормальное распределение.

Обычно в распоряжении исследователя имеются лишь данные выборки генеральной совокупности, например значения количественного признака Генеральная совокупность полученные в результате n наблюдений (здесь и далее наблюдения предполагаются независимыми). Через эти данные и выражают оцениваемый параметр.

Опытные значения признака X можно рассматривать и как значения разных случайных величин Генеральная совокупность с тем же распределением, что и X, и, следовательно, с теми же числовыми характеристиками, которые имеет X. Значит, Генеральная совокупность Величины Генеральная совокупность можно считать независимыми в силу независимости наблюдений. Значения Генеральная совокупность в этом случае называются реализациями случайных величин Генеральная совокупность Отсюда и из предыдущего следует, что найти оценку неизвестного параметра — это значит найти функцию от наблюдаемых случайных величин Генеральная совокупностьГенеральная совокупность которая и дает приближенное значение оцениваемого параметра.

Генеральная и выборочная средние. Методы их расчета

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема N относительно количественного признака X.

Определение:

Генеральной средней Генеральная совокупность (или а) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

Если все значения Генеральная совокупность признака генеральной совокупности объема N различны, то

Генеральная совокупность

Если же значения признака Генеральная совокупность имеют соответственно частоты Генеральная совокупность причем Генеральная совокупность то

Генеральная совокупность

или

Генеральная совокупность

Как уже отмечалось (п. 1), извлечение объекта из генеральной совокупности есть наблюдение случайной величины X.

Пусть все значения Генеральная совокупность различны. Так как каждый объект может быть извлечен с одной и той же вероятностью 1/N, то

Генеральная совокупность

т. е.

Генеральная совокупность

Такой же итог следует, если значения Генеральная совокупность имеют соответственно частоты Генеральная совокупность

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают Генеральная совокупность

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака X произведена выборка объема n.

Определение:

Выборочной средней Генеральная совокупность, называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.

Если все значения Генеральная совокупность признака выборки объема n различны, то

Генеральная совокупность

Если же значения признака Генеральная совокупность имеют соответственно частоты Генеральная совокупность причем Генеральная совокупность, то

Генеральная совокупность

или

Генеральная совокупность

Пример:

Выборочным путем были получены следующие данные о массе 20 морских свинок при рождении (в г): 30, 30, 25, 32, 30, 25, 33, 32, 29, 28^27, 36, 31, 34, 30, 23, 28, 31, 36, 30. Найдем выборочную среднюю Генеральная совокупность

Согласно формуле (4.4), имеем:

Генеральная совокупность

Итак, Генеральная совокупность

Далее, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения Генеральная совокупность признака различными.

Разумеется, выборочная средняя для различных выборок того же объема n из той же генеральной совокупности будет получаться, вообще говоря, различной. И это не удивительно — ведь извлечение і-го по счету объекта есть наблюдение случайной величины Генеральная совокупность а их среднее арифметическое

Генеральная совокупность

есть тоже случайная величина.

Таким образом, всевозможные получающиеся выборочные средние есть возможные значения случайной величины Генеральная совокупность, которая называется выборочной средней случайной величиной.

Найдем Генеральная совокупность, пользуясь тем, что Генеральная совокупность (см. п. 1).

С учетом свойств математического ожидания (см. гл. II) получаем:

Генеральная совокупность

Итак, Генеральная совокупность (математическое ожидание выборочной средней) совпадает с а (генеральной средней).

Теперь найдем Генеральная совокупность Так как Генеральная совокупность (п. 1) и Генеральная совокупность независимы, то, согласно свойствам дисперсии (см. гл. II), получаем

Генеральная совокупность

T. e.

Генеральная совокупность

Наконец, отметим, что если варианты Генеральная совокупность—большие числа, то для облегчения вычисления выборочной средней применяют следующий прием. Пусть С — константа.

Так как

Генеральная совокупность

то формулу (4.3) можно преобразовать к виду

Генеральная совокупность

За константу С (так называемый ложный нуль) берут некоторое среднее значение между наименьшим и наибольшим значениями х, (і- 1, 2, …, n).

Пример:

Имеется выборка:

Генеральная совокупность

Требуется найти Генеральная совокупность

Возьмем С =72,00 и вычислим разности Генеральная совокупность

Генеральная совокупность

Их сумма: Генеральная совокупность их среднее арифметическоеГенеральная совокупность Выборочная средняя

Генеральная совокупность

Генеральная и выборочная дисперсии

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние значений количественного признака X генеральной совокупности вокруг своего среднего значения, вводят следующую характеристику — генеральную дисперсию.

Определение:

Генеральной дисперсией D, называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней Генеральная совокупность

Если все значения Генеральная совокупность признака генеральной совокупности объема N различны, то

Генеральная совокупность

Если же значения признака Генеральная совокупность имеют соответственно
частоты Генеральная совокупность причем Генеральная совокупность то

Генеральная совокупность

Пример:

Генеральная совокупность задана таблицей распределения:

Генеральная совокупность

Найдем генеральную дисперсию.

Согласно формулам (4.1) и (4.7), имеем:

Генеральная совокупность

Генеральным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется Генеральная совокупность

Пусть все значения Генеральная совокупностьразличны.

Найдем дисперсию признака X, рассматриваемого как случайная величина:

Генеральная совокупность

Так как Генеральная совокупность(см. п. 2), то

Генеральная совокупность

т. е.

Генеральная совокупность

Таким образом, дисперсия D(X) равна Генеральная совокупность

Такой же итог можно получить, если значения Генеральная совокупность имеют соотвественно частоты Генеральная совокупность

В случае непрерывного распределения признака X по определению полагают

Генеральная совокупность

С учетом формулы (4.8) формула (4.5) (п. 2) перепишется в виде

Генеральная совокупность

откуда Генеральная совокупность или Генеральная совокупность Величина Генеральная совокупность называется средней квадратической ошибкой.

Для того чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения Генеральная совокупность вводят выборочную дисперсию.

Определение:

Выборочной дисперсией Генеральная совокупность, называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака X от выборочной средней Генеральная совокупность

Если все значения Генеральная совокупностьпризнака выборки объема n различны, то

Генеральная совокупность

Если же значения признака Генеральная совокупность имеют соответственно частоты Генеральная совокупность причем Генеральная совокупность то

Генеральная совокупность

Пример:

Пусть выборочная совокупность задана таблицей распределения:

Генеральная совокупность

Найдем выборочную дисперсию. Согласно формулам (4.4) и (4.10), имеем:

Генеральная совокупность

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) называется квадратный корень из выборочной дисперсии:

Генеральная совокупность

В условиях примера 2 получаем, что Генеральная совокупность

Далее, не уменьшая общности рассуждений, будем считать значения Генеральная совокупностьпризнака различными.

Выборочную дисперсию, рассматриваемую нами как случайная величина, будем обозначать Генеральная совокупность

Генеральная совокупность

Теорема:

Математическое ожидание выборочной дисперсии равно Генеральная совокупность т.е.

Генеральная совокупность

Доказательство:

С учетом свойств математического ожидания (см. гл. II) получаем

Генеральная совокупность

Вычислим одно слагаемое Генеральная совокупность Имеем

Генеральная совокупность

Вычислим по отдельности эти математические ожидания.

Согласно свойству I дисперсии (см. гл. И) и формулам (4.2), (4.8) имеем

Генеральная совокупность

Далее, с учетом свойства 4 математического ожидания (см. гл. II)

Генеральная совокупность

но слагаемое этой суммы, у которого второй индекс равен і, т.е. Генеральная совокупность, равно Генеральная совокупность У всех остальных слагаемых Генеральная совокупность индексы разные. Поэтому в силу независимости Генеральная совокупность (см. гл. II)

Генеральная совокупность

Так как имеется n-1 таких слагаемых, то

Генеральная совокупность

В силу свойства 1 дисперсии (см. гл. П) получаем

Генеральная совокупность

Нами уже найден (см. пп. 2 и 3):

Генеральная совокупность

Поэтому

Генеральная совокупность

Таким образом,

Генеральная совокупность

и не зависит от индекса суммирования і. Поэтому

Генеральная совокупность

Что и требовалось доказать.

В заключение этого пункта отметим, что если варианты Генеральная совокупность— большие числа, то для облегчения вычисления выборочной дисперсии Генеральная совокупность, формулу (4.9) преобразуют к следующему виду:

Генеральная совокупность

где С—ложный нуль.

Действительно, с учетом формулы (4.3) имеем

Генеральная совокупность

откуда

Генеральная совокупность

Пример:

Для выборки, указанной в примере 2 из п. 2, найдем Генеральная совокупность (ложный нуль остается прежним С= 72,00)

Генеральная совокупность

Наконец, согласно формуле (4.11)

Генеральная совокупность

Оценки параметров распределения

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины X по данным выборки. При этом в теоретических рассуждениях считают, что генеральная совокупность бесконечна. Это делается для того, чтобы можно было переходить к пределу при Генеральная совокупность где n — объем выборки. Для оценки параметров распределения X из данных выборки составляют выражения, которые должны служить оценками неизвестных параметров. Например, Генеральная совокупность (см. п. 2) является оценкой генеральной средней, а Генеральная совокупность (см. п. 3) — оценкой генеральной дисперсии Генеральная совокупность Обозначим через Генеральная совокупность оцениваемый параметр, через Генеральная совокупность — оценку этого параметраГенеральная совокупность является выражением^ составленным из Генеральная совокупность (см. п. 1)]. Для того чтобы оценка Генеральная совокупность давала хорошее приближение, она должна удовлетворять определенным требованиям. Укажем эти требования.

Несмещенной называют оценку Генеральная совокупность математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру Генеральная совокупность, т. е. Генеральная совокупность в противном случае оценка называется смещенной.

Пример:

Оценка Генеральная совокупность является несмещенной оценкой генеральной средней а, так как Генеральная совокупность (см. п. 2).

Пример:

Оценка Генеральная совокупность является смещенной оценкой генеральной дисперсии Генеральная совокупность так как, согласно установленной выше теореме (см. п. 3),

Генеральная совокупность

Пример:

Наряду с выборочной дисперсией Генеральная совокупность рассматривают еще так называемую исправленную дисперсию Генеральная совокупность которая является также оценкой генеральной дисперсии. Для Генеральная совокупность с учетом установленной выше теоремы (см. п. 3) имеем

Генеральная совокупность

Таким образом, оценка Генеральная совокупность в отличие от оценки Генеральная совокупность является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. Явное выражение для Генеральная совокупность имеет вид

Генеральная совокупность

T. e.

Генеральная совокупность

Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

Состоятельной называют такую оценку Генеральная совокупность параметра Генеральная совокупность, что для любого наперед заданного числа Генеральная совокупность вероятность Генеральная совокупность при Генеральная совокупностьстремится к единице*. Это значит, что при достаточно больших n можно с вероятностью, близкой к единице, т. е. почти наверное, утверждать, что оценка Генеральная совокупность отличается от оцениваемого параметра Генеральная совокупность меньше, чем на Генеральная совокупность

Очевидно, такому требованию должна удовлетворять всякая оценка, пригодная для практического использования.

Заметим, что несмещенная оценка Генеральная совокупность будет состоятельной, если при Генеральная совокупность дисперсия стремится к нулю: Генеральная совокупность Это следует из неравенства Чебышева ((2.33) см. § 2.8, п. 1).

Пример:

Как было установлено (см. п. 3), Генеральная совокупность. Отсюда следует, что несмещенная оценка Генеральная совокупность является и состоятельной, так как

Генеральная совокупность

Можно показать, что несмещенная оценка Генеральная совокупность является также состоятельной. Поэтому в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную дисперсию. Заметим, что оценки Генеральная совокупность отличаются множителемГенеральная совокупность, который стремится к 1 при Генеральная совокупность. На практике Генеральная совокупность не различают при n > 30.

Для оценки генерального среднего квадратического отклонения используют исправленное среднее квадратическое отклонение, которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

Генеральная совокупность

Левые части формул (4.12), (4.13), в которых случайные величины Генеральная совокупность заменены их реализациями Генеральная совокупностьвыборочной средней Генеральная совокупность будем обозначать соответственно через Генеральная совокупностьи s

Отметим, что если варианты Генеральная совокупность — большие числа, то для облегчения вычисления Генеральная совокупность формулу для Генеральная совокупность аналогично формуле (4.9) преобразуют к виду

Генеральная совокупность

где С—ложный нуль.

Оценки, обладающие свойствами несмещенности и состоятельности, при ограниченном числе опытов могут отличаться дисперсиями.

Ясно, что чем меньше дисперсия оценки, тем меньше вероятность грубой ошибки при определении приближенного значения параметра. Поэтому необходимо, чтобы дисперсия оценки была минимальной. Оценка, обладающая таким свойством, называется эффективной.

Из отмеченных требований, предъявляемых к оценке, наиболее важными являются требования несмещенности и состоятельности.

Пример:

С плодового дерева случайным образом отобрано 10 плодов. Их массы Генеральная совокупность (в граммах) записаны в первой колонке приведенной ниже таблицы. Обработаем статистические данные выборки. Для вычисления Генеральная совокупность и s пo формулам (4.6) и (4.14) введем ложный нуль С=250 и все необходимые при этом вычисления сведем в указанную таблицу:

Генеральная совокупность

Следовательно,

Генеральная совокупность

Генеральная совокупность

Отсюда Генеральная совокупность

Итак, оценка генеральной средней массы плода равна 243 г со средней квадратической ошибкой 9 г.

Оценка генерального среднего квадратического отклонения массы плода равна 28 г.

Пример:

Через каждый час измерялось напряжение в электросети. Результаты измерений (в вольтах) представлены в следующей таблице:

Генеральная совокупность

Найти оценки для математического ожидания и дисперсии результатов измерений. Оценки для математического ожидания и дисперсии найдем по формулам (6) и (14), положив С=220. Все необходимые вычисления приведены в нижеследующей таблице:

Генеральная совокупность

Следовательно,

Генеральная совокупность

Доверительные интервалы для параметров нормального распределения

Пусть Генеральная совокупность — оцениваемый параметр, Генеральная совокупность — его оценка, составленная из Генеральная совокупность

Если известно, что оценка Генеральная совокупность является несмещенной и состоятельной, то по данным выборки вычисляют значение Генеральная совокупность и считают его приближением истинного значения Генеральная совокупность. При этом среднее квадратическое отклонение (если его вообще вычисляют) оценивает порядок ошибки. Такие оценки называются точечными. Например, в предыдущем параграфе речь шла о точечных оценках генеральной средней и генеральной дисперсии. В общем случае, когда о распределении признака X ничего неизвестно, это уже немало.

Если же о распределении имеется какая-либо информация, то можно сделать больше.

Здесь речь будет идти об оценке параметров а и Генеральная совокупность случайной величины, имеющей нормальное распределение. Это очень важный случай. Например (см. § 2.7), результат измерения имеет нормальное распределение. В этом случае становится возможным применять так называемое интервальное оценивание, к изложению которого мы и переходим.

Пусть Генеральная совокупность — некоторое число. Если выполняется неравенство Генеральная совокупность что можно записать в виде Генеральная совокупностьГенеральная совокупность то говорят, что интервал Генеральная совокупность покрывает параметр Генеральная совокупность. Однако невозможно указать оценку Генеральная совокупность такую, чтобы событие Генеральная совокупность было достоверным, поэтому мы будем говорить о вероятности этого события. Число Генеральная совокупность называется точностью оценки Генеральная совокупность

Определение:

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки Генеральная совокупность параметра Генеральная совокупность0 для заданного Генеральная совокупность называется вероятность Генеральная совокупность того, что интервал Генеральная совокупность покроет параметр Генеральная совокупность, т. е.

Генеральная совокупность

Заметим, что после того, как по данным выборки вычислена оценка Генеральная совокупность, событие Генеральная совокупность становится или достоверным, или невозможным, так как интервал Генеральная совокупность или покрывает Генеральная совокупность, или нет. Но дело в том, что параметр Генеральная совокупность нам неизвестен. Поэтому мы называем надежностью Генеральная совокупность уже вычисленной оценки Генеральная совокупность вероятность того, что интервал Генеральная совокупность, найденный для произвольной выборки, покроет Генеральная совокупность. Если мы сделаем много выборок объема n и для каждой из них построим интервал Генеральная совокупность, то доля тех выборок, чьи интервалы покроют Генеральная совокупность, равна Генеральная совокупность.

Иными словами, Генеральная совокупность есть мера нашего доверия вычисленной оценке Генеральная совокупность
Ясно, что, чем меньше число Генеральная совокупность, тем меньше надежность Генеральная совокупность.

Определение:

Доверительным интервалом называется найденный по данным выборки интервал Генеральная совокупность, который покрывает параметр Генеральная совокупность с заданной надежностью Генеральная совокупность.

Надежность Генеральная совокупность обычно принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999.

Конечно, нельзя категорически утверждать, что найденный доверительный интервал покрывает параметр Генеральная совокупность. Но в этом можно быть уверенным на 95% при Генеральная совокупность = 0,95, на 99% при Генеральная совокупность=0,99 и т. д. Это значит, что если сделать много выборок, то для 95% из них (если, например, Генеральная совокупность = 0,95) вычисленные доверительные интервалы действительно покроют Генеральная совокупность.

Доверительный интервал для математического ожидания при известном

Доверительный интервал для математического ожидания при известном Генеральная совокупность

В некоторых случаях среднее квадратическое отклонение о ошибки измерения (а вместе с нею и самого измерения) бывает известно. Например, если измерения осуществляются одним и тем же прибором при одних и тех же условиях.

Итак, пусть случайная величина X распределена нормально с параметрами а и Генеральная совокупность, причем Генеральная совокупность известно. Построим доверительный интервал, покрывающий неизвестный параметр а с заданной надежностью Генеральная совокупность. Данные выборки есть реализации случайных величин Генеральная совокупность имеющих нормальное распределение с параметрами а и Генеральная совокупность (§ 4.2, п. 1). Оказывается, что и выборочная средняя случайная величина Генеральная совокупность тоже имеет нормальное распределение (это мы примем без доказательства). При этом (см. § 4.2, пп. 2, 3)

Генеральная совокупность

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение Генеральная совокупность где Генеральная совокупность—заданная надежность. Пользуясь формулой (2.27) (§ 2.7, п. 2), получим

Генеральная совокупность

или

Генеральная совокупность

где

Генеральная совокупность

Найдя из равенства (4.15) Генеральная совокупность можем написать

Генеральная совокупность

Так как Р задана и равна Генеральная совокупность, то окончательно имеем (для получения рабочей формулы выборочную среднюю заменяем на Генеральная совокупность):

Генеральная совокупность

Смысл полученного соотношения таков: с надежностью у можно утверждать, что доверительный интервал Генеральная совокупность покрывает неизвестный параметр а; точность оценки Генеральная совокупность. Здесь число t определяется из равенства Генеральная совокупность(оно следует из Генеральная совокупность по таблице приложения 3.

Как уже упоминалось, надежность Генеральная совокупность обычно принимают равной или 0,95 или 0,99, или 0,999.

Пример:

Признак X распределен в генеральной совокупности нормально с известным Генеральная совокупность = 0,40. Найдем по данным выборки доверительный интервал для а с надежностью Генеральная совокупность = 0,99, если n = 20, Генеральная совокупность = 6,34.

Для Генеральная совокупность находим по таблице приложения 3
t=2,58. Следовательно, Генеральная совокупность. Границы доверительного интервала 6,34 — 0,23 = 6,11 и 6,34 + 0,23 = 6,57. Итак, доверительный интервал (6,11; 6,57) покрывает а с надежностью 0,99.

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном

Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном Генеральная совокупность.

Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с неизвестными нам параметрами а и Генеральная совокупность. Оказывается, что случайная величина (ее возможные значения будем обозначать через t)

Генеральная совокупность

где n —объем выборки; Генеральная совокупность — выборочная средняя; S—исправленное среднее квадратическое отклонение, имеет распределение, не зависящее от а и Генеральная совокупность. Оно называется распределением Стьюдента*.

Плотность вероятности распределения Стьюдента дается формулой

Генеральная совокупность

где коэффициент Генеральная совокупность зависит от объема выборки.

Потребуем, чтобы выполнялось соотношение

Генеральная совокупность

где Генеральная совокупность—заданная надежность.

Так как S(t, n) — четная функция от t, то, пользуясь формулой
(2.15) (см. § 2.5), получим

Генеральная совокупность

Отсюда

Генеральная совокупность

Следовательно, приходим к утверждению: с надежностью Генеральная совокупность можно утверждать, что доверительный интервал Генеральная совокупность покрывает неизвестный параметр а, точность оценки Генеральная совокупность-. Здесь случайные величины Генеральная совокупность и S заменены неслучайными величинами Генеральная совокупность и s, найденными по выборке.

В приложении 4 приведена таблица значений Генеральная совокупность для различных значений n и обычно задаваемых значений надежности.

Заметим, что при Генеральная совокупность распределение Стьюдента практически не отличается от нормированного нормального распределения
(см. § 2.7, п. 2). Это связано с тем, что Генеральная совокупность

Пример. Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найдем доверительный интервал для Генеральная совокупность с надежностью Генеральная совокупность =0,99, если Генеральная совокупность Для надежности Генеральная совокупность =0,99 и n = 20 находим по таблице приложения 4 Генеральная совокупность Следовательно, Генеральная совокупность. Концы доверительного интервала 6,34-0,26 =
= 6,08 и 6,34 + 0,26 = 6,60. Итак, доверительный интервал (6,08; 6,60) покрывает Генеральная совокупность с надежностью 0,99.

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

Для нахождения доверительного интервала для среднего квадратического отклонения Генеральная совокупность будем использовать следующее предложение, устанавливаемое аналогично двум предыдущим (пп. 2 и 3).

С надежностью Генеральная совокупность можно утверждать, что доверительный интервал Генеральная совокупность покрывает неизвестный параметр Генеральная совокупность; точность оценки Генеральная совокупность

В приложении 5 приведена таблица значений Генеральная совокупность для различных значений n и обычно задаваемых значений надежности Генеральная совокупность.

Пример:

Признак X распределен в генеральной совокупности нормально. Найдем доверительный интервал для Генеральная совокупность с надежностью Генеральная совокупность=0,95, если n = 20, s = 0,40.

Для надежности Генеральная совокупность=0,95 и n = 20 находим в таблице приложения 5 q = 0,37. Далее, sq = 0,40 0,37 = 0,15. Границы доверительного интервала 0,40-0,15 = 0,25 и 0,40 + 0,15 = 0,55. Итак, доверительный интервал (0,25; 0,55) покрывает Генеральная совокупность с надежностью 0,95.

Пример:

На ферме испытывалось влияние витаминов на прибавку в массе телят. С этой целью было осмотрено 20 телят одного возраста. Средняя масса их оказалась равной 340 кг, а «исправленное» среднее квадратическое отклонение — 20 кг.

Определим: 1) доверительный интервал для математического ожидания а с надежностью 0,95; 2) доверительный интервал для среднего квадратического отклонения с той же надежностью.

При решении задачи будем исходить из предположения, что данные пробы взяты из нормальной генеральной совокупности.

Решение:

1) Согласно условиям задачи, Генеральная совокупностьn = 20.

Пользуясь распределением Стьюдента, для надежности у=0,95 и n = 20 находим в таблице приложения 4 Генеральная совокупность Следовательно, Генеральная совокупность Границы доверительного интервала 340-9,4 =
= 330,6 и 340 + 9,4 = 349,4. Итак, доверительный интервал (330,6; 349,4) покрывает а с надежностью 0,95.

Можно считать, что в данном случае истинная масса измерена 9 4 достаточно точно (отклонение порядка Генеральная совокупность).

2) Для надежности у =0,95 и n = 20 находим в таблице приложения 5 q = 0,37. Далее, sq = 20 * 0,37 = 7,4. Границы доверительного интервала 20 — 7,4 = 12,6 и 20 + 7,4 = 27,4. Таким образом, 12,6 < Генеральная совокупность < 27,4, откуда можно заключить, что Генеральная совокупность определено неудовлетворительно (отклонение порядка Генеральная совокупность — почти половина!). Чтобы сузить доверительный интервал при той же надежности, необходимо увеличить число проб n.

Примечание. Выше предполагалось, что q<1. Если q> 1, то, учитывая, что Генеральная совокупность>0, получаем 0<Генеральная совокупность<s + sq. Значения q и в этом случае определяются по таблице приложения 5.

Пример:

Признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 10 найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 0,16. Найдем доверительный интервал для Генеральная совокупность с надежностью 0,999.

Для надежности у = 0,999 и n= 10 по таблице приложения 5 находим q=1,80.

Следовательно, искомый доверительный интервал таков’

Генеральная совокупность

или

Генеральная совокупность

Оценка истинного значения измеряемой величины

Пусть проводится n независимых равноточных измерений* некоторой физической величины, истинное значение а которой неизвестно. Будем рассматривать результаты отдельных измерений как случайные величины Генеральная совокупность Эти величины независимы (измерения независимы), имеют одно и то же математическое ожидание а (истинное значение измеряемой величины), одинаковые дисперсии Генеральная совокупность (измерения равноточны) и распределены нормально (такое допущение подтверждается опытом). Таким образом, все предположения, которые были сделаны при выводе доверительных интервалов в пп. 2 и 3 настоящего параграфа, выполняются, следовательно, мы вправе использовать полученные в них предложения. Так как обычно Генеральная совокупность неизвестно, следует пользоваться предложением, найденным в п. 3 данного параграфа.

Пример:

По данным девяти независимых равноточных измерений физической величины найдены среднее арифметическое результатов отдельных измерений Генеральная совокупность и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s = 5,0. Требуется оценить истинное значение а измеряемой величины с надежностью у = 0,99.

Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном Генеральная совокупность) при помощи доверительного интервала

Генеральная совокупность

покрывающего а с заданной надежностью у=0,99.

Пользуясь таблицей приложения 4 по у=0,99 и n = 9, находим Генеральная совокупность

Найдем точность оценки:

Генеральная совокупность

Границы доверительного интервала

Генеральная совокупность

и

Генеральная совокупность

Итак, с надежностью у=0,99 истинное значение измеренной величины а заключено в доверительном интервале 36,719<а< 47,919.

Оценка точности измерений

В теории ошибок принято точность измерений (точность прибора) характеризовать с помощью среднего квадратического отклонения Генеральная совокупность случайных ошибок измерений. Для оценки Генеральная совокупность используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. Поскольку обычно результаты измерений независимы, имеют одно и то же математическое ожидание (истинное значение измеряемой величины) и одинаковую дисперсию (в случае равноточных измерений), то утверждение, приведенное в п. 4, применимо для оценки точности измерений.

Пример:

По 16 независимым равноточным измерениям найдено «исправленное» среднее квадратическое отклонение s=0,4. Найдем точность измерений с надежностью у = 0,99.

Как отмечено выше, точность измерений характеризуется средним квадратическим отклонением о случайных ошибок измерений. Поэтому задача сводится к отысканию доверительного интервалаГенеральная совокупность покрывающего Генеральная совокупность с заданной надежностью у=0,99 (см. п. 4). По таблице приложения 5 по у = 0,99 и n=16 найдем q = 0,70. Следовательно, искомый доверительный интервал таков:

Генеральная совокупность

или

Генеральная совокупность

Решение заданий и задач по предметам:

  • Теория вероятностей
  • Математическая статистика

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

  1. Случайные события и их вероятности
  2. Случайные величины
  3. Функции случайных величин
  4. Числовые характеристики случайных величин
  5. Законы больших чисел
  6. Статистические оценки
  7. Статистическая проверка гипотез
  8. Статистическое исследование зависимостей
  9. Теории игр
  10. Вероятность события
  11. Теорема умножения вероятностей
  12. Формула полной вероятности
  13. Теорема о повторении опытов
  14. Нормальный закон распределения
  15. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных
  16. Системы случайных величин
  17. Нормальный закон распределения для системы случайных величин
  18. Вероятностное пространство
  19. Классическое определение вероятности
  20. Геометрическая вероятность
  21. Условная вероятность
  22. Схема Бернулли
  23. Многомерные случайные величины
  24. Предельные теоремы теории вероятностей
  25. Оценки неизвестных параметров

Добавить комментарий