Зачастую в рамках решения задач по тригонометрии нам приходится искать множество значений функции на области определения или отрезке. Например, такой поиск нужно делать, если приходится решать разные типы неравенств, при оценке выражений и др.
В рамках этого материала мы расскажем, что из себя представляет область значений функции, приведем основные методы, которыми можно вычислить область значения и область определения функции, и разберем задачи различной степени сложности. Для наглядности отдельные положения проиллюстрированы графически. Прочитав эту статью, вы получите исчерпывающее представление о том, что такое область значения функции.
Начнем с базовых определений.
Множество значений функции y = f(x) – это множество всех значений на некотором интервале x, которые данная функция принимает при переборе всех значений x∈X.
Область значений функции y=f(x) – это множество всех ее значений, которые она может принять при переборе значений x из области x∈(f).
Область значений некоторой функции обычно принято называть и обозначать E(f).
Обратите внимание, что понятие множества значений функции не всегда тождественно области ее значений. Эти понятия будут равнозначны только в том случае, если интервал значений x при нахождении множества значений совпадет с областью определения функции.
Важно также различать область значений и область допустимых значений переменной x для выражения в правой части y=f(x). Область допустимых значений x для выражения f(x) и будет областью определения данной функции.
Ниже приводится иллюстрация, на которой показаны некоторые примеры, как построить графики функций и их построение. Синие линии – это графики функций, красные – асимптоты, рыжие точки и линии на оси ординат – это области значений функции.
Как найти область значения функции? Очевидно, что область или множество значений функции можно найти или получить при проецировании графика функции на ось Oy. При этом она может представлять собой как одно число, так и множество чисел, отрезок, интервал, открытый луч, объединение числовых промежутков и др.
Рассмотрим основные способы, как определить область значения функции.
Первый этап – определить тип функции. Функция может быть квадратичной, а также содержать дроби и корни.
Начнем с определения множества значений непрерывной функции y = f(x) на некотором отрезке, обозначенном [a; b]. Мы знаем, что функция, непрерывная на некотором отрезке, достигает на нем своего минимума и максимума, то есть наибольшего maxx∈a; bf(x) и наименьшего значения minx∈a; bf(x). Значит, у нас получится отрезок minx∈a; bf(x); maxx∈a; bf(x), в котором и будут находиться множества значений исходной функции. Тогда все, что нам нужно сделать, – это найти на этом отрезке указанные точки минимума и максимума.
Возьмем задачу, в которой нужно определить область значений арксинуса.
Условие: найдите область значений y = arcsin x.
Решение
В общем случае область определения арксинуса располагается на отрезке [-1; 1]. Нам надо определить наибольшее и наименьшее значение указанной функции на нем.
y’ = arcsin x’=11-x2
Мы знаем, что производная функции будет положительной для всех значений x, расположенных в интервале [-1; 1], то есть на протяжении всей области определения функция арксинуса будет возрастать. Значит, самое маленькое значение она примет при x, равном -1, а самое большое – при x, равном 1.
minx∈-1; 1arcsin x=arcsin-1=-π2maxx∈-1; 1arcsin x=arcsin 1=π2
Таким образом, область значений функции арксинус будет равна E(arcsin x)=-π2; π2.
Ответ: E(arcsin x)=-π2; π2
Условие: вычислите область значений y=x4-5×3+6×2 на заданном отрезке [1; 4].
Решение
Как найти значение функции? Все, что нам нужно сделать, – это вычислить наибольшее и наименьшее значение функции в заданном интервале.
Для определения точек экстремума надо произвести следующие вычисления:
y’=x4-5×3+6×2’=4×3+15×2+12x=x4x2-15x+12y’=0⇔x(4×2-15x+12)=0x1=0∉1; 4 или 4×2-15x+12=0D=-152-4·4·12=33×2=15-338≈1.16∈1; 4; x3=15+338≈2.59∈1; 4
Теперь найдем значения заданной функции в концах отрезка и точках x2=15-338; x3=15+338:
y(1)=14-5·13+6·12=2y15-338=15-3384-5·15-3383+6·15-3382==117+16533512≈2.08y15+338=15+3384-5·15+3383+6·15+3382==117-16533512≈-1.62y(4)=44-5·43+6·42=32
Как найти множество значений функции? Значит, множество значений функции будет определяться отрезком 117-16533512; 32.
Ответ: 117-16533512; 32.
Перейдем к нахождению множества значений непрерывной функции y = f(x) в промежутках (a; b), причем a; +∞, -∞; b, -∞; +∞.
Начнем с определения наибольшей и наименьшей точки, а также промежутков возрастания и убывания на заданном интервале. После этого нам нужно будет вычислить односторонние пределы в концах интервала и/или пределы на бесконечности. Иными словами, нам надо определить поведение функции в заданных условиях. Для этого у нас есть все необходимые данные.
Условие: вычислите область значений функции y=1×2-4 на интервале (-2; 2).
Решение
Определяем наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке
y’=1×2-4’=-2x(x2-4)2y’=0⇔-2x(x2-4)2=0⇔x=0∈(-2; 2)
У нас получилось максимальное значение, равное 0, поскольку именно в этой точке происходит перемена знака функции и график переходит к убыванию. См. на иллюстрацию:
То есть, y(0)=102-4=-14 будет максимальным значением функции.
Теперь определим поведение функции при таком x, который стремится к -2 с правой стороны и к +2 с левой стороны. Иными словами, найдем односторонние пределы:
limx→-2+01×2-4=limx→-2+01(x-2)(x+2)==1-2+0-2-2+0+2=-14·1+0=-∞limx→2+01×2-4=limx→2+01(x-2)(x+2)==12-0-22-0+2=14·1-0=-∞
У нас получилось, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до -14 тогда, когда аргумент изменяется в пределах от -2 до 0. А когда аргумент меняется от 0 до 2, значения функции убывают к минус бесконечности. Следовательно, множеством значений заданной функции на нужном нам интервале будет (-∞; -14].
Ответ: (-∞; -14].
Условие: укажите множество значений y=tg x на заданном интервале -π2; π2.
Решение
Нам известно, что в общем случае производная тангенса в -π2; π2 будет положительной, то есть функция будет возрастать. Теперь определим, как ведет себя функция в заданных границах:
limx→π2+0tg x=tg-π2+0=-∞limx→π2-0tg x=tgπ2-0=+∞
Мы получили рост значений функции от минус бесконечности к плюс бесконечности при изменении аргумента от -π2 до π2,и можно сказать, что множеством решений данной функции будет множество всех действительных чисел.
Ответ: -∞; +∞.
Условие: определите, какова область значений функции натурального логарифма y = ln x.
Решение
Нам известно, что данная функция является определенной при положительных значениях аргумента D(y)=0; +∞. Производная на заданном интервале будет положительной: y’=ln x’=1x. Значит, на нем происходит возрастание функции. Далее нам нужно определить односторонний предел для того случая, когда аргумент стремится к 0 (в правой части), и когда x стремится к бесконечности:
limx→0+0ln x=ln(0+0)=-∞limx→∞ln x=ln+∞=+∞
Мы получили, что значения функции будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности при изменении значений x от нуля до плюс бесконечности. Значит, множество всех действительных чисел – это и есть область значений функции натурального логарифма.
Ответ: множество всех действительных чисел – область значений функции натурального логарифма.
Условие: определите, какова область значений функции y=9×2+1.
Решение
Данная функция является определенной при условии, что x – действительное число. Вычислим наибольшие и наименьшие значения функции, а также промежутки ее возрастания и убывания:
y’=9×2+1’=-18x(x2+1)2y’=0⇔x=0y’≤0⇔x≥0y’≥0⇔x≤0
В итоге мы определили, что данная функция будет убывать, если x≥0; возрастать, если x≤0; она имеет точку максимума y(0)=902+1=9 при переменной, равной 0.
Посмотрим, как же ведет себя функция на бесконечности:
limx→-∞9×2+1=9-∞2+1=9·1+∞=+0limx→+∞9×2+1=9+∞2+1=9·1+∞=+0
Из записи видно, что значения функции в этом случае будут асимптотически приближаться к 0.
Подведем итоги: когда аргумент изменяется от минус бесконечности до нуля, то значения функции возрастают от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до плюс бесконечности, соответствующие значения функции будут убывать от 9 до 0. Мы отобразили это на рисунке:
На нем видно, что областью значений функции будет интервал E(y)=(0; 9]
Ответ: E(y)=(0; 9]
Если нам надо определить множество значений функции y = f(x) на промежутках [a; b), (a; b], [a; +∞), (-∞; b], то нам понадобится провести точно такие же исследования. Эти случаи мы пока не будем разбирать: далее они нам еще встретятся в задачах.
А как быть в случае, если область определения некоторой функции представляет из себя объединение нескольких промежутков? Тогда нам надо вычислить множества значений на каждом из этих промежутков и объединить их.
Условие: определите, какой будет область значений y=xx-2.
Решение
Поскольку знаменатель функции не должен быть обращен в 0, то D(y)=-∞; 2∪2; +∞.
Начнем с определения множества значений функции на первом отрезке -∞; 2, который представляет из себя открытый луч. Мы знаем, что функция на нем будет убывать, то есть производная данной функции будет отрицательной.
limx→2-0xx-2=2-02-0-2=2-0=-∞limx→-∞xx-2=limx→-∞x-2+2x-2=limx→-∞1+2x-2=1+2-∞-2=1-0
Тогда в тех случаях, когда аргумент изменяется по направлению к минус бесконечности, значения функции будут асимптотически приближаться к 1. Если же значения x меняются от минус бесконечности до 2, то значения будут убывать от 1 до минус бесконечности, т.е. функция на этом отрезке примет значения из интервала -∞; 1. Единицу мы исключаем из наших рассуждений, поскольку значения функции ее не достигают, а лишь асимптотически приближаются к ней.
Для открытого луча 2; +∞ производим точно такие же действия. Функция на нем также является убывающей:
limx→2+0xx-2=2+02+0-2=2+0=+∞limx→+∞xx-2=limx→+∞x-2+2x-2=limx→+∞1+2x-2=1+2+∞-2=1+0
Значения функции на данном отрезке определяются множеством 1; +∞. Значит, нужная нам область значений функции, заданной в условии, будет объединением множеств -∞; 1 и 1; +∞.
Ответ: E(y)=-∞; 1∪1; +∞.
Это можно увидеть на графике:
Особый случай – периодические функции. Их область значения совпадает с множеством значений на том промежутке, который отвечает периоду этой функции.
Условие: определите область значений синуса y = sin x.
Решение
Синус относится к периодической функции, а его период составляет 2 пи. Берем отрезок 0; 2π и смотрим, каким будет множество значений на нем.
y’=(sin x)’=cos xy’=0⇔cos x=0⇔x=π2+πk, k∈Z
В рамках 0; 2π у функции будут точки экстремума π2 и x=3π2. Подсчитаем, чему будут равны значения функции в них, а также на границах отрезка, после чего выберем самое большое и самое маленькое значение.
y(0)=sin 0=0yπ2=sin π2=1y3π2=sin3π2=-1y(2π)=sin(2π)=0⇔minx∈0; 2πsin x=sin3π2=-1, maxx∈0; 2πsin x=sinπ2=1
Ответ: E(sin x)=-1; 1.
Если вам нужно знать области значений таких функций, как степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая, обратная тригонометрическая, то советуем вам перечитать статью об основных элементарных функциях. Теория, которую мы приводим здесь, позволяет проверить указанные там значения (или указать). Их желательно выучить, поскольку они часто требуются при решении задач. Если вы знаете области значений основных функций, то легко сможете находить области функций, которые получены из элементарных с помощью геометрического преобразования.
Условие: определите область значения y=3arccosx3+5π7-4.
Решение
Нам известно, что отрезок от 0 до пи есть область значений арккосинуса. Иными словами, E(arccos x)=0; π или 0≤arccos x≤π. Мы можем получить функцию arccosx3+5π7 из арккосинуса, сдвинув и растянув ее вдоль оси Ox, но такие преобразования нам ничего не дадут. Значит, 0≤arccosx3+5π7≤π.
Функция 3arccosx3+5π7 может быть получена из арккосинуса arccosx3+5π7 с помощью растяжения вдоль оси ординат, т.е. 0≤3arccosx3+5π7≤3π. Финалом преобразований является сдвиг вдоль оси Oy на 4 значения. В итоге получаем двойное неравенство:
0-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4⇔-4≤3arccosx3+5π7-4≤3π-4
Мы получили, что нужная нам область значений будет равна E(y)=-4; 3π-4.
Ответ: E(y)=-4; 3π-4.
Еще один пример запишем без пояснений, т.к. он полностью аналогичен предыдущему.
Условие: вычислите, какова будет область значений функции y=22x-1+3.
Решение
Перепишем функцию, заданную в условии, как y=2·(2x-1)-12+3. Для степенной функции y=x-12 область значений будет определена на промежутке 0; +∞, т.е. x-12>0. В таком случае:
2x-1-12>0⇒2·(2x-1)-12>0⇒2·(2x-1)-12+3>3
Значит, E(y)=3; +∞.
Ответ: E(y)=3; +∞.
Теперь разберем, как найти область значений функции, которая не является непрерывной. Для этого нам надо разбить всю область на промежутки и найти множества значений на каждом из них, после чего объединить то, что получилось. Чтобы лучше понять это, советуем повторить основные виды точек разрыва функции.
Условие: дана функция y=2sinx2-4, x≤-3-1, -3<x≤31x-3, x>3. Вычислите область ее значений.
Решение
Данная функция является определенной для всех значений x. Проведем ее анализ на непрерывность при значениях аргумента, равных -3 и 3:
limx→-3-0f(x)=limx→-32sinx2-4=2sin-32-4=-2sin32-4limx→-3+0f(x)=limx→-3(1)=-1⇒limx→-3-0f(x)≠limx→-3+0f(x)
Имеем неустранимый разрыв первого рода при значении аргумента -3. При приближении к нему значения функции стремятся к -2sin32-4, а при стремлении x к -3 с правой стороны значения будут стремиться к -1.
limx→3-0f(x)=limx→3-0(-1)=1limx→3+0f(x)=limx→3+01x-3=+∞
Имеем неустранимый разрыв второго рода в точке 3. Когда функция стремится к нему, ее значения приближаются к -1, при стремлении к той же точке справа – к минус бесконечности.
Значит, вся область определения данной функции является разбитой на 3 интервала (-∞; -3], (-3; 3], (3; +∞).
На первом из них у нас получилась функция y=2sinx2-4. Поскольку -1≤sin x≤1, получаем:
-1≤sinx2<1⇒-2≤2sinx2≤2⇒-6≤2sinx2-4≤-2
Значит, на данном промежутке (-∞; -3] множество значении функции – [-6;2].
На полуинтервале (-3; 3] получилась постоянная функция y =-1. Следовательно, все множество ее значений в данном случае будет сводится к одному числу -1.
На втором промежутке 3; +∞ у нас есть функция y=1x-3. Она является убывающей, потому что y’=-1(x-3)2<0. Она будет убывать от плюс бесконечности до 0, но самого 0 не достигнет, потому что:
limx→3+01x-3=13+0-3=1+0=+∞limx→+∞1x-3=1+∞-3=1+∞+0
Значит, множество значений исходной функции при x > 3 представляет собой множество 0; +∞. Теперь объединим полученные результаты: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.
Ответ: E(y)=-6; -2∪-1∪0; +∞.
Решение показано на графике:
Условие: есть функция y=x2-3ex. Определите множество ее значений.
Решение
Она определена для всех значений аргумента, представляющих собой действительные числа. Определим, в каких промежутках данная функция будет возрастать, а в каких убывать:
y’=x2-3ex’=2xex-ex(x2-3)e2x=-x2+2x+3ex=-(x+1)(x-3)ex
Мы знаем, что производная обратится в 0, если x=-1 и x=3. Поместим эти две точки на ось и выясним, какие знаки будет иметь производная на получившихся интервалах.
Функция будет убывать на (-∞; -1]∪[3; +∞) и возрастать на [-1; 3]. Точкой минимума будет -1, максимума –3.
Теперь найдем соответствующие значения функции:
y(-1)=-12-3e-1=-2ey(3)=32-3e3=6e-3
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
limx→-∞x2-3ex=-∞2-3e-∞=+∞+0=+∞limx→+∞x2-3ex=+∞2-3e+∞=+∞+∞==limx→+∞x2-3’ex’=limx→+∞2xex=+∞+∞==limx→+∞2x'(ex)’=2limx→+∞1ex=2·1+∞=+0
Для вычисления второго предела было использовано правило Лопиталя. Изобразим ход нашего решения на графике.
На нем видно, что значения функции будут убывать от плюс бесконечности до -2e тогда, когда аргумент меняется от минус бесконечности до -1. Если же он изменяется от 3 до плюс бесконечности, то значения будут убывать от 6e-3 до 0, но при этом 0 достигнут не будет.
Таким образом, E(y)=[-2e; +∞).
Ответ: E(y)=[-2e; +∞)
Загрузить PDF
Загрузить PDF
В каждой функции есть две переменные – независимая переменная и зависимая переменная, значения которой зависят от значений независимой переменной. Например, в функции y = f(x) = 2x + y независимой переменной является «х», а зависимой – «у» (другими словами, «у» – это функция от «х»). Допустимые значения независимой переменной «х» называются областью определения функции, а допустимые значения зависимой переменной «у» называются областью значений функции.[1]
-
1
Определите тип данной вам функции. Областью значений функции являются все допустимые значения «х» (откладываются по горизонтальной оси), которым соответствуют допустимые значения «у». Функция может быть квадратичной или содержать дроби или корни. Для нахождения области определения функции сначала необходимо определить тип функции.
- Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c:[2]
f(x) = 2x2 + 3x + 4 - Функция, содержащая дробь: f(x) = (1/x), f(x) = (x + 1)/(x – 1) (и так далее).
- Функция, содержащая корень: f(x) = √x, f(x) = √(x2 + 1), f(x) = √-x (и так далее).
- Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c:[2]
-
2
Выберите соответствующую запись для области определения функции. Область определения записывается в квадратных и/или круглых скобках. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область определения функции; если значение не входит в область определения, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей определения, между ними ставится символ «U».[3]
- Например, область определения [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
-
3
Постройте график квадратичной функции. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Так как парабола возрастает или убывает на всей оси Х, то областью определения квадратичной функции являются все действительные числа. Другими словами, областью определения такой функции является множество R (R обозначает все действительные числа).[4]
- Для лучшего уяснения понятия функции выберите любое значение «х», подставьте его в функцию и найдите значение «у». Пара значений «х» и «у» представляют собой точку с координатами (х,у), которая лежит на графике функции.
- Нанесите эту точку на плоскость координат и проделайте описанный процесс с другим значением «х».
- Нанеся на плоскость координат несколько точек, вы получите общее представление о форме графика функции.
-
4
Если функция содержит дробь, приравняйте ее знаменатель к нулю. Помните, что делить на нуль нельзя. Поэтому, приравняв знаменатель к нулю, вы найдете значения «х», которые не входят в область определения функции.[5]
- Например, найдите область определения функции f(x) = (x + 1)/(x – 1).
- Здесь знаменатель: (х – 1).
- Приравняйте знаменатель к нулю и найдите «х»: х – 1 = 0; х = 1.
- Запишите область определения функции. Область определения не включает 1, то есть включает все действительные числа за исключением 1. Таким образом, область определения функции: (-∞,1) U (1,∞).
- Запись (-∞,1) U (1,∞) читается так: множество всех действительных чисел за исключением 1. Символ бесконечности ∞ означает все действительные числа. В нашем примере все действительные числа, которые больше 1 и меньше 1, включены в область определения.
-
5
Если функция содержит квадратный корень, то подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю. Помните, что квадратный корень из отрицательных чисел не извлекается. Поэтому любое значение «х», при котором подкоренное выражение становится отрицательным, нужно исключить из области определения функции.[6]
- Например, найдите область определения функции f(x) = √(x + 3).
- Подкоренное выражение: (х + 3).
- Подкоренное выражение должно быть больше или равно нулю: (х + 3) ≥ 0.
- Найдите «х»: х ≥ -3.
- Область определения этой функции включает множество всех действительных чисел, которые больше или равны -3. Таким образом, область определения: [-3,∞).
Реклама
-
1
Убедитесь, что вам дана квадратичная функция. Квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c: f(x) = 2x2 + 3x + 4. График такой функции представляет собой параболу, ветви которой направлены либо вверх, либо вниз. Существуют различные методы нахождения области значений квадратичной функции.[7]
- Самый простой способ найти область значений функции, содержащей корень или дробь, – это построить график такой функции при помощи графического калькулятора.
-
2
Найдите координату «х» вершины графика функции. В случае квадратичной функции найдите координату «х» вершины параболы. Помните, что квадратичная функция имеет вид: ax2 + bx + c. Для вычисления координаты «х» воспользуйтесь следующим уравнением: х = -b/2a. Это уравнение является производной от основной квадратичной функции и описывает касательную, угловой коэффициент которой равен нулю (касательная к вершине параболы параллельна оси Х).[8]
- Например, найдите область значений функции 3x2 + 6x -2.
- Вычислите координату «х» вершины параболы: х = -b/2a = -6/(2*3) = -1
-
3
Найдите координату «у» вершины графика функции. Для этого в функцию подставьте найденную координату «х». Искомая координата «у» представляет собой предельное значение области значений функции.
- Вычислите координату «у»: y = 3x2 + 6x – 2 = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = -5
- Координаты вершины параболы этой функции: (-1,-5).
-
4
Определите направление параболы, подставив в функцию по крайней мере одно значение «х». Выберите любое другое значение «х» и подставьте его в функцию, чтобы вычислить соответствующее значение «у». Если найденное значение «у» больше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вверх. Если же найденное значение «у» меньше координаты «у» вершины параболы, то парабола направлена вниз.
- Подставьте в функцию х = -2: y = 3x2 + 6x – 2 = y = 3(-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Координаты точки, лежащей на параболе: (-2,-2).
- Найденные координаты свидетельствуют о том, что ветки параболы направлены вверх. Таким образом, область значений функции включает все значения «у», которые больше или равны -5.
- Область значений этой функции: [-5, ∞)
-
5
Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».[9]
- Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
Реклама
-
1
Постройте график функции. Во многих случаях проще найти область значений функции, построив ее график. Областью значений многих функций с корнями является (-∞,0] или [0,+∞), так как вершина параболы, направленной вправо или влево, лежит на оси Х. В этом случае область значений включает все положительные значения «у», если парабола возрастает, или все отрицательные значения «у», если парабола убывает. Функции с дробями имеют асимптоты, которые определяют область значений.[10]
- Вершины графиков некоторых функций с корнями лежат выше или ниже оси Х. В этом случае область значений определяется координатой «у» вершины параболы. Если, например, координата «у» вершины параболы равна -4 (у = -4), а парабола возрастает, то область значений равна [-4,+∞).
- Самый простой способ построить график функции – это воспользоваться графическим калькулятором или специальным программным обеспечением.
- Если у вас нет графического калькулятора, постройте приблизительный график, подставив в функцию несколько значений «х» и вычислив соответствующие значения «у». Нанесите найденные точки на координатную плоскость, чтобы получить общее представление о форме графика.
-
2
Найдите минимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет минимальное значение. Если наглядного минимума нет, то он не существует, а график функции уходит в -∞.
- Область значений функции включает все значения «у» за исключением значений асимптот. Зачастую, области значений таких функций записываются так: (-∞, 6) U (6, ∞).
-
3
Определите максимум функции. Построив график функции, вы увидите на нем точку, в которой функция имеет максимальное значение. Если наглядного максимума нет, то он не существует, а график функции уходит в +∞.
-
4
Область значений функции записывается аналогично области определения функции. Квадратная скобка применяется в том случае, когда значение входит в область значений функции; если значение не входит в область значений, используется круглая скобка. Если у функции несколько несмежных областей значений, между ними ставится символ «U».[11]
- Например, область значений [-2,10) U (10,2] включает значения -2 и 2, но не включает значение 10.
- С символом бесконечности ∞ всегда используются круглые скобки.
Реклама
Об этой статье
Эту страницу просматривали 351 831 раз.
Была ли эта статья полезной?
Вспомним кратко основные определения функции в математике.
Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».
Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:
у = 2x
- « x » называют независимым аргументом функции;
- « y » зависимой переменной или значением функции.
Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».
Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.
| x | y = 2x | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x = −2 | у = 2 · (−2) = −4 | ||||||
| x = 0 | y = 2 · 0 = 0 | ||||||
x =
|
y = 2 ·
= 1 |
||||||
| x = 3 | y = 2 · 3 = 6 |
Запомните!
Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).
Обозначают область определения функции как:
D(y)
Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.
Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».
| x | y = 2x | ||
|---|---|---|---|
| −2 | −4 | ||
| 0 | 0 | ||
|
1 | ||
| 3 | 6 |
Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.
Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:
- −2
- 0
- 10
- 30,5
- 1 000 000
- и так далее…
Запомните!
Областью определения функции называют множество чисел,
которые можно подставить вместо « x ».
В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.
Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.
у = 2x
D(y): x — любое действительное число
Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.
Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».
Запишем результат по правилам записи неравенств.
D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)
Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.
Запишем окончательный ответ для области определения функции.
Ответ:
D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)
По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».
Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.
Область определения функции с дробью
Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции
« f(x) = ».
По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.
Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.
x + 5 ≠ 0
Решим полученное линейное уравнение.
Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».
Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.
Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.
Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.
Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».
x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».
Ответ:
D(y): x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)
Область определения функции с корнем
Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.
Разбор примера
Найти область определения функции:
y = √6 − x
Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.
Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.
6 − x ≥ 0
Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».
6 − x ≥ 0
−x ≥ −6 | ·(−1)
x ≤ 6
Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.
x ∈ (−∞ ; 6]
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.
Ответ:
D(y): x ∈ (−∞ ; 6]
Правило для определения области определения функции
Запомните!
Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:
- на ноль делить нельзя (другими словами, знаменатели дробей с « x » не должны быть равны нулю);
- подкоренные выражения корней чётной степени должны быть больше или равны нулю.
При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:
- есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
- есть ли корни четной
степени с « x »?
Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.
Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.
Разбор примера
Найдите область определения функции:
Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.
В функции «
f(x) = √x + 3 +
»
есть дробь «
»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x 2 − 9 »
не может быть равен нулю.
Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
x2 − 9 ≠ 0
x1;2 =
| −0 ± √02 − 4 · 1 · (−9) |
| 2 · 1 |
x1;2 ≠
x1;2 ≠
x1;2 ≠
x1;2 ≠ ±3
Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции
«
f(x) = √x + 3 +
»
корень четной степени.
В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».
Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.
x + 3 ≥ 0
Решим линейное неравенство.
x + 3 ≥ 0
x ≥ −3
Объединим полученные ответы по обоим вопросам:
- знаменатель дроби
«
» не равен нулю ; - подкоренное выражение «
√x + 3
» должно быть больше или равно нулю.
Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.
Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.
Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.
Ответ:
D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)
Примеры определения области определения функции
Разбор примера
Найти область определения функции:
y = 6√x +
5√1 + x
Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.
Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?
Ответ: в формуле функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
нет дробей.
Задаем
второй вопрос.
Есть ли в функции корни четной степени?
Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«6√x».
Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «6√x»
должно быть больше или равно нулю.
x ≥ 0
В формуле функции «y = 6√x +
5√1 + x»
также есть корень пятой степени
«5√1 + x
».
Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.
Получается, что единственное ограничение области определения функции
«y = 6√x +
5√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«6√x».
x ≥ 0
Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.
Ответ:
D(y): x ∈ [0 ; +∞)
Разбор примера
Найдите область определения функции:
Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.
Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.
| √x + 2 ≠ 0 | |
| x2 − 7x + 6 ≠ 0 |
Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.
| √x + 2 ≠ 0 (1) | |
| x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2) |
Решаем первое уравнение.
√x + 2 ≠ 0 (1)
Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,
значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»
также не должно быть равно нулю.
√x + 2 ≠ 0 (1)
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.
x1;2 =
x2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)
x1;2 =
| −(−7) ± √(−7)2 − 4 · 1 · 6 |
| 2 · 1 |
x1;2 =
x1;2 =
x1;2 =
Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.
Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .
В формуле функции
«f(x) =
+
»
есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.
Решим полученную
систему неравенств.
Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.
Выпишем результат решения системы неравенств.
x ≥ 4
Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:
- проверка, что знаменатели
дробей
с « x »
не равны нулю; - проверка, что
подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.
| Условие проверки | Результат |
|
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю |
|
|
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю |
x ≥ 4 |
Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.
Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =
+
»
с использованием математических символов.
Ответ:
D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
17 декабря 2016 в 18:02
Татьяна Цыганова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Татьяна Цыганова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Найти ОДЗ функции у=?(р1+р2х+x2)
Я не могу понять за какое число воспринимать p1, p2
0
Спасибо
Ответить
17 декабря 2016 в 19:10
Ответ для Татьяна Цыганова
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 60
x2 + p2x + p1 ? 0.
0
Спасибо
Ответить
24 февраля 2016 в 20:29
Влад Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Влад Алексеев
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Постройте график функции y=-
. Укажите область определения функции
0
Спасибо
Ответить
25 февраля 2016 в 8:10
Ответ для Влад Алексеев
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Область определения функции: знаменатель не равен 0.
x+1?0
x?-1
Графиком является гипербола, смещеная влево относительно оси Y.
0
Спасибо
Ответить
5 февраля 2018 в 14:30
Ответ для Влад Алексеев
Кирилл Косован
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Кирилл Косован
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
11 февраля 2018 в 15:44
Ответ для Влад Алексеев
Татьяна Мирная
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Татьяна Мирная
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
у=-
0
Спасибо
Ответить
7 октября 2015 в 21:21
Катерина Яроцкая
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Катерина Яроцкая
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Помогите найти область определения функции
0
Спасибо
Ответить
12 сентября 2016 в 15:59
Ответ для Катерина Яроцкая
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
К сожалению, картинка не отражается.
0
Спасибо
Ответить
Область значений функции, ее свойства и примеры решения
В данном материалы мы подробно рассмотрим значение функции. Определим основные методы ее вычисления. Изучим множество значений функции.
Подробно, разберем на примерах, методы нахождения функции. Прежде, чем начать изучение материала, охарактеризуем основное определение значению функции.
Определение
Функция — это определенное соответствие между двумя множествами, каждому элементу значению первого множества соответствует только один элемент второго множества.
Функции удобно изображать в виде графических прямых или кривых.
Понятие области определения функции
Функция задается тогда, когда любому значению, например x соответствует любое значение y. Независимой переменной называют значение х или по другому аргументом. Числовое значение y, как правило является зависимой переменной.
Данная зависимость между x и y в алгебре называют функциональной. Записывают ее в виде функции y = f(x)
Другими словами, функция, это когда значения одной переменной зависят от значений другой переменной.
Далее можно сформулировать определение область функции. То есть, на какой промежуток действе функции распространяется.
Область функции можно выразить геометрически. Например, в виде графика. Где за основу берутся оси х и y.
Например:
Область значений функции y = z2 — это все значения, которые будут больше либо равные нулю. В виде записи это выглядит следующим образом: f(у): у ≥ 0. Не все функции обозначаются одинаковыми формулировками, в основном D(f). Но тригонометрические функции обозначаются немного иначе. D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус. Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = x. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1]. Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.
Для указания множества чисел в определенном промежутке, необходимо выполнить следующие действия:
- назначается левая и правая границы, два числа через запятую или точку с запятой;
- ставится круглая или квадратная скобка; это зависит, входит ли граница в промежуток;
- круглая скобка, ставится, в том случае, если граница не входит в заданный промежуток;
- квадратная, в обратном случае.
Если у промежутка нет правой границы, записываем знак бесконечности или плюс бесконечности. Если отсутствует левая граница, записываем знак минус бесконечности.
В случае, если записывается множество, которое состоит из нескольких промежутков, ставится знак объединение.
Рассмотрим на примерах
Все действительные числа от 1 до 9, можно выразить в следующей записи. [1;9]
Все положительные числовые значения, имеют следующий вид: (0; +);
Так как ноль, не является положительным число, то возле него ставится круглая скобка.
Область значения и определения функции
Область определения — y(x) любые числовые значения аргумента x.
Чаще всего область определения выражают как функцию D(y).
В математике существует две главных запрещенных (недопустимых) операции:
- деление любого числового значения на ноль;
- извлечение квадратного корня, из числа, которое имеет отрицательное значение.
При определении области функции, вступают в силу два основных ограничения:
- В функции может быть деление на любую переменную. Таким образом, знаменатель, будет равен нулю и получим недопустимое значение. В таком случае, принято считать областью определения все действительные числа.
- Функция имеет действие: как извлечение квадратного корня. Подкоренное выражение обязательно не должно быть отрицательным. Множество решений этого неравенства и будет областью определения функции.
Область определения постоянной функции
Постоянная функция записывается обычной формулой y = N, а именно f(x) = N, где N — любое действительное число. Иными словами, принято называть константа.
Определение
Постоянная функция — это функция, при которой всегда наблюдается одно и то же числовое значение, независимо от того какое числовое значения имеет аргумент.
Область определения степенной функции
Степенная функция выглядит следующим образом: y = xk, то есть, f(x) = xk, где x — переменный показатель в основании степени, a — любое число в степени.
Область определения степенной функции, всегда имеет непосредственную зависимость, от значений показателя степени.
Рассмотрим основные моменты:
Если k — неотрицательное целое число, то областью определения данной функции является множество любых, обязательно, действительных чисел: (-∞, +∞).
Когда степенной показатель, является не целое число, то функция имеет следующий вид D(f) = [0, +∞).
Когда k — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой (-∞, 0) ∪ (0, +∞).
Для остальных действительных отрицательных, a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).
Если k равно нулю, то функция определена для всех чисел, кроме нуля. Так как ноль нельзя возвести в степень, а любое другое число в нулевой степени равно 1.
То есть, при k = 0, y =x0 = 1, на заданной области определения (-∞, 0) ∪ (0, +∞).
Область определения показательной функции
Показательная функция записывается как: y=kx
где значение x — показатель степени;
k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.
Область определения показательной функции — это множество значений R.
Основные примеры показательных функций:
Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: (−∞, +∞).
Область определения логарифмической функции
Логарифмическая функция выражается как: y=log nk
Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы. Область определения логарифма и логарифмической функции — это множество положительных значений и действительных чисел.
Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.
Пример №1
y=ln x, определить область определения натурального логарифма. D(y)=(0;+).
На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.
[y=ln x=frac{1}{x}]
Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.
Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.
Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.
Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.
Область определения и множество значений функций косинус, синус, тангенс, котангенс
Множество значений всех действительных чисел, будет являться областью определения функций синус и косинус, и записываться следующим образом.
Функции являются ограниченными, как сверху, так и снизу.
y = sin x и y = cos x
Промежуток их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1
Областью определения функции тангенс tg x, является выражение [x neq frac{pi}{2}+pi k, k in z].
Областью определения функции y = сtg x является множество чисел [x neq frac{pi}{2}, k in z].
На нижеприведенных примерах подробно расписано решение задач, при определении области функции, при заданных промежутках значений.
Пример №1
Определить область значения функции sin x
Данный вид функции относится к категории периодической. Ее период равняется 2π
Определяем множество значений на следующем отрезке: (0;2π).
Пример №2
Необходимо определить область значения функции cos x.
Наименьшее значение равно -1;
Минимальное значение косинуса равняется -1, потому что наименьшее значение х, на окружности стремится к этому значению и, следовательно, равняется -1.
Максимальное значение косинуса будет соответственно 1. Поскольку значение на окружности х имеет число 1.
Область значение, следовательно, будет от минус одно до плюс одного. [-1;1].
Применяем двойное неравенство и записывает следующее выражение:
[-1 leq cos 1 leq 1]
Область значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражен в виде сложного выражения. Где имеют место ограничения касающиеся области определения и области значения.
Таким образом, минимальное значение cos x, cos (15α), cos(5-11x) и так далее, будет однозначно равняться -1;
Самым максимальным значением cos x, cos(4φ), cos(5х+3) равняется 1.
Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].
Область значения квадрата косинуса, будет промежуток от нуля до единицы [0;1]. Потому что число в четной степени, является не отрицательным.
Аналогичным образом находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1]
[0 leq(cos alpha) leq 1]
Пример №3
y = tgx на определенном интервале [left(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{1}right)].
Решение:
Из правил алгебры, известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Соответственно функция будет иметь возрастающую характеристику.
Далее необходимо определить поведение функции, в заданных пределах.
Выполнив решение, мы получаем рост значений от минус до плюс бесконечности. Решение будет сводится к следующему: множество решение заданной функции, будет множество всех действий функции.
Пример №4
[y=(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}] на определенном интервале (-1;1).
Решение:
Для всех значений x производная будет положительной, в пределах от -1;1
Следовательно, область значения арксинуса равняется:
[ E=(arcsin x)=-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]
Пример №5
Разберем функцию 2sinx2-4, где значение х меньше либо равно значению 3. Необходимо вычислить область значений.
[frac{1}{x-3}] , где x > 3
Функция является для всех значений x определенной.
Наблюдаем недопустимый вид при значении аргумента − 3.
При приближении к данному аргументу функция стремится к [-2 sin frac{3}{2}-4]. При стремлении x к − 3 с правой стороны значения будут стремиться к − 1.
Наблюдается разрыв в точке 3. Когда функция стремится к данному разрыву ее числовые значения приближаются к -1. Минус бесконечность будет наблюдаться при стремлении к такой точке, но только с правой стороны.
Из этого следует вся область значений данной функции разбивается на три интервала. (-;−3], (−3 ;3], (3;+)(-;-3], (-3; 3], (3;+).
Первый интервал имеет функцию, следующего вида [y=2 sin frac{3}{2}-4]. Так как синус должен быть, меньше либо равен 1, или больше либо равен -1. Получаем следующие выражения:
[-1 leq sin frac{3}{2} leq 1] из этого следует [-2 leq 2 sin frac{3}{2} leq 2 Rightarrow-6 leq 2 sin frac{3}{2}-4 leq-2]
На промежутке -∞;-3, функция имеет следующие значения [-6;-2].
Функция y=-1, получается на полуинтервале (−3;3]. Следовательно, все значения будут сводится на данном интервале к одному числу, а именно -1.
Проанализируем второй промежуток (3;-+∞). Так как функция [y=frac{1}{x-3}] меньше нуля, она будет убывающей [y=frac{-1}{(x-) 2}<0]. Промежуток ее убывания будет от плюс бесконечности до нуля, однако значение ноль она не достигнет.
Если значение x больше значения 3, то большинство множеств функции будет в промежутке от нуля до +∞.
f(x)=-6;-2-1]∪(0;+∞).
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Таблица областей определения функций
Составим таблицу, где покажем взаимосвязь области определения функции и самой функции.
Способы задания функции
Аналитический способ в виде формулы. К примеру:
y = x4-5x3+6x2 ;
y = x2-3x3+6x2 ;
y = x3-2x2+6x2.
Таблица из множеств значений (x; y).
Графическим способом. Два значения (x; y) изображаются на координатной плоскости
Методы определения области значения функции
- определение значений сложных аргументов функции;
- способ оценки;
- использование свойств непрерывности и монотонности функции;
- применение производной значений;
- использование максимального и минимального значения функции;
- построение графика;
- вводные параметры;
- обратная функция и ее особенности.
Функции подразделяются на две категории:
- четные.
- нечетные
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = xy и другие.
А области их определения изучаем, как свойства.
Определения области значения функции x
На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.
Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).
Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.
Пример №1
Необходимо вычислить область значений уравнения
y = x4-5x3+6x2 на отрезке [1;4 ][1;4].
Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:
Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.
Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)].
Пример №2
Необходимо вычислить область значений уравнения
y = x4-7x3+5x2 на отрезке [1;4] [1;4]
Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:
Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.
Ответ: [left(frac{231-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 34right)].
Пример №3
На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.
Для этого, первоначально вычислим:
- наименьшее и наибольшее значение;
- определим промежуток возрастания и убывания функции;
- односторонние пределы;
- предел бесконечности.
Решение:
Для решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).
Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.
Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.
А именно: [y=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}];
[-frac{1}{4}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.
Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).
В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.
Решение выглядит следующим образом.
В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от -∞ до [-frac{1}{4}]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к -∞.
Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале -∞ до [-frac{1}{4}].
Ответ: [left(infty-frac{1}{4}right)].
Пример №4
Для решения возьмем функцию [y frac{1}{x^{2}-6}] и вычислим область значений на промежутке (-2;3).
Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.
Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.
А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-6}=-frac{1}{6}];
[-frac{1}{6}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.
Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+4).
В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.
Решение выглядит следующим образом.
В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от -∞ до [-frac{1}{6}]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к -∞.
Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале -∞ до[-frac{1}{6}].
Ответ: (-∞ [-frac{1}{6}]).
Область определения функции y
Пример №1
Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. D(y) = (0;+).
Производная будет иметь следующий вид: [y=(ln x)=frac{1}{x}].
Так как функция имеет положительное значение, то всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От -∞ до +∞.
Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.
Пример №2
У функции [y=frac{9}{z^{2}-1}];
Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.
Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.
Если значение x будет больше, либо равным 0, то функция будет убывать.
Если значение x будет меньше либо равным нулю, функция будет возрастать.
Затем рассмотрим поведение функции и ее значения на бесконечной прямой.
Вывод: если аргумент изменяется от -∞ до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до+∞, значения функции будут уменьшаться от 9 до 0.
Пример №3
Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];
По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: D(y)=(-∞;2)(+∞;2).
Определим множества на первом отрезке (-∞;2). На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.
Функция асимметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.
Определим множества на втором отрезке (+∞;2). На этом отрезке функция будет также убывающей.
Вывод: E(y) = (∞;1)∪(1;∞).
Пример №4
Вычислить область значений функции [y=frac{2}{sqrt{2 x-1}}+3]
[y=2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}+3]
Функцию и получаем следующий вид уравнения: [y=x^{-frac{1}{2}}];
Промежуток значений будет следующим: (0;+∞);
[(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0]
В таком случае: [(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0 Rightarrow 2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0 Rightarrow 2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}+3>3]
Значит, E(y) = (3;+∞).
Пример №5
Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];
По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: D(y)=(-∞;2)(+∞;2).
Определим множества на первом отрезке от минус бесконечности до двух (-∞;2). На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.
Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.
Определим множества на втором отрезке (+∞;2). На этом отрезке функция будет также убывающей
Вывод решения: E(y) = (+∞;1)∪(1;+∞).
Подводя итоги рассмотренного изученного материала стоит отметить следующие моменты:
Для вычисления и определения области значения функции, нужно обязательно знать основные правила математики.
Всегда помнить, что на ноль делить, ни в коем случае нельзя, это недопустимое действие. Число, из которого необходимо вычислить корень числа, также должно быть положительным.
Все основные законы определения области значения, очень удобно сводить в таблицу и пользоваться ею в процессе обучения.
Содержание материала
- Что такое функция в алгебре
- Видео
- Область определения показательной функции
- Области определения основных элементарных функций
- Как найти область значений функции по уравнению
- Методы нахождения
- Перебор значений
- Графический метод
- Учет непрерывности и монотонности
- Производная, min и max
- Дробная функция
- Разница между областью значения и областью определения функции
Что такое функция в алгебре
Определение
Функция в алгебре — некое математическое выражение y=f(x), где каждому значению переменной x соответствует одно значение переменной y.
Из этого следует, что решений у функции может быть много. Для обозначения совокупностей таких решений вводятся особые термины.
Определние
Множество значений функции y=f(x) — совокупность значений переменной y, которые она принимает при переборе всех значений переменной x на заданном отрезке X.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Определение
Областью значений функции y=f(x) называется такое множество значений, которые функция y принимает при переборе всех значений аргумента x из области определения. Область значений обозначается как E(f).
Определение
Область допустимых значений (область определения) функции — такое множество всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается.
Область значений функции вместе с областью ее определения формирует границы для отображения данной функции в виде графика.
Видео
Область определения показательной функции
Показательная функция записывается как: y=kx
где значение x — показатель степени;
k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.
Область определения показательной функции — это множество значений R.
Основные примеры показательных функций:
Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: (−∞, +∞).
Области определения основных элементарных функций
Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.
На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = xy и другие.
А области их определения изучаем, как свойства.
Как найти область значений функции по уравнению
Нахождение области значений функции по заданному уравнению также сводится к вычислению экстремумов.
Рассмотрим два случая:
- Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором заданном отрезке.
- Нахождение области значений функции, непрерывной на некотором интервале. Сюда же отнесем случаи, когда функция не существует в какой-либо точке. Например, точка нуля знаменателя, в которой функция не существует, а область определения терпит разрыв.
Алгоритм поиска области значений для первого случая:
- Находим производную функции.
- Приравниваем производную к нулю, находим корни уравнения f′(x)=0 и точки, в которых производная не существует — критические точки.
- Отмечаем корни, критические точки и границы заданного интервала на прямой и определяем знаки производной на каждом получившемся промежутке.
- Находим минимумы и максимумы функции. Если в некоторой точке x1 производная меняет знак с «+» на «-», то точка x1 — максимум, если с «-» на «+» — минимум.
- Подставляя значения аргументов для минимума и максимума функции в выражение f(x), находим минимальное и максимальное значения функции. В том случае, если имеются точки, в которых производная не существует, значение функции вычисляем через пределы по формулам: limx→x1—f(x) и limx→x1+f(x).
- Записываем область значений функции.
Для второго случая:
- Находим производную, приравниваем ее к нулю и определяем знаки производной на каждом промежутке.
- Определяем значение функции в каждой из точек. Для определения значения функции в граничных точках, а также в точках разрыва или точках, в которых производная не существует, вычисляем пределы функции аналогично указанным в пункте 5 для первого случая.
- Определяем и записываем область значений.
Методы нахождения
Поиск области значений функции несколько сложнее, чем определение ОДЗ. В зависимости от вида и типа функции, а также условий задачи для этого могут применяться различные методы.
Перебор значений
Самый простой и ограниченный способ. При его помощи можно находить область значений на небольшом промежутке целых чисел (xin(a;;b)). В таком случае заданные значения переменной поочередно подставляются в уравнение и вычисляются значения функции, соответствующие им.
Графический метод
Как ясно из названия способа, для его реализации необходимо построить график исследуемой функции. По внешнему виду кривой уже можно делать некоторые выводы. Если линия графика соответствует одному из видов элементарных функций, например, является параболой, то в качестве области значений берется промежуток, соответствующий данному графику.
Примечание
Если по условию задачи необходимо найти область значений функции на определенном промежутке значений переменной x, то на графике максимальные и минимальные точки становятся очевидными. Это могут быть как общие точки экстремума, так и локальные максимальные и минимальные значения.
Учет непрерывности и монотонности
Данный метод вытекает из предыдущего и позволяет делать некоторые прогнозы об области значений функции исходя из ее свойств. Если на графике видно, что функция не прерывается и монотонно убывает или возрастает на определенном промежутке, можно предположить, что эта тенденция сохранится и дальше.
Например, график квадратичной функции f(x)=x^2 имеет вид параболы с точкой перегиба с координатами (0, 0). Кривая непрерывна, то есть не имеет разрывов в области определения. Для того, чтобы определить область значений данной функции, достаточно построить ее график на ограниченном промежутке. Для примера возьмем (xinlbrack-4;;4rbrack):
Рисунок 1. Значение непрерывности и монотонности функции для области определения
На графике видно, что функция монотонно убывает на промежутке (lbrack-4;;0rbrack) и монотонно возрастает на промежутке( lbrack0;;4rbrack). Исходя из этого и непрерывности функции, можно экстраполировать данную закономерность на всю область определения. Так как минимальное значение данной функции равняется нулю, область значений будет следующей:
(mathrm E(mathrm f)=lbrack0;;+infty))
Производная, min и max
Описанные выше способы подходят не для всех ситуаций. В общем случае, задача по определению области значений функции всегда сводится к нахождению ее минимального и максимального значения или точек экстремума.
Определение
Согласно теореме Ферма, в точках локального экстремума производная исследуемой функции равняется нулю.
Важно понимать, что сами локальный экстремум не обязательно является максимумом или минимумом для функции в целом. Такие точки называются критическими или стационарными. Поэтому, кроме самих точек необходимо определять промежутки возрастания и убывания:
- если при переходе через критическую точку производная функции меняет знак с (+) на (-), то эта точка является максимумом;
- если при переходе через критическую точку производная меняет знак с (-) на (+), то такая точка является минимумом;
- если при переходе знак производной не меняется, то экстремума в данной точке нет.
Кроме того, экстремумы функции можно определять по второй производной. Предположим, при исследовании функции обнаружилась некая критическая точка x_1. Для нее справедливы следующие неравенства:
Если (f»(x_1)>0), то (x_1) — точка минимума.
Если (f»(x_1)<0), то (x_1) — точка максимума.
Дробная функция
Определение:рациональной $f(x)=dfrac{a_nx^n+cdots+a_1x+a_0}{b_nx^n+cdots+b_1x+b_0}=dfrac{P(x)}{Q(x)}$ $D_f=mathbb{R} — lbrace x| Q(x)=0 rbrace$ Пример:Решение: $x^2-1=0 rightarrow x=pm 1$ $D_f=mathbb{R}- lbrace pm 1 rbrace$ $y(x^2-1)=x^2+1 rightarrow yx^2-x^2=y+1 rightarrow x^2=dfrac{y+1}{y-1} \ rightarrow x= pm sqrt{dfrac{y+1}{y-1}} rightarrow dfrac{y+1}{y-1} geq 0 \ rightarrow y leq -1 ,, or ,, y > 1 rightarrow R_f=(-infty,-1] cup (1,+infty).$ 
Пример:Решение: $x^2-2x+1=0 rightarrow (x-1)^2=0 rightarrow x=1 rightarrow D_f=mathbb{R}-lbrace 1 rbrace$ $y=dfrac{x^2+3x-4}{(x-1)^2}=dfrac{x+4}{x-1} rightarrow xy-y=x+4 rightarrow x=dfrac{y+4}{y-1} rightarrow R_f=mathbb{R}- lbrace 1 rbrace$ 
Пример:Решение: $x(x+1)(x^2-4)=0 rightarrow x=0 ,,,,, x=-1 ,,,,, x= pm 2 rightarrow D_f=mathbb{R}-lbrace 0,-1 , pm 2 rbrace$ $f(x)=dfrac{1}{x-2}$ $f(0)=-dfrac{1}{2} ,,,,, f(-1)=-dfrac{1}{3} ,,,,, f(-2)=-dfrac{1}{4}$ $y=dfrac{1}{x-2} rightarrow x=dfrac{1}{y}+2$ $R_f=mathbb{R}-lbrace -dfrac{1}{2},-dfrac{1}{3},-dfrac{1}{4},0 rbrace$ 
Разница между областью значения и областью определения функции
Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».
Определение 3
Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$, при которых существует функция $y(x)$.
Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$. В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $mathbb{R}$, а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $mathbb{R}^+$, так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $mathbb{R}^+$.
Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений. В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$. За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $mathbb{R}$, а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $mathbb{R}$.
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
