В предыдущем уроке мы с вами освоили основной принцип решения любых дробных уравнений. Это — ликвидация дробей. Кто читал, тот понял, что ничего сложного в этом нет.
Однако, даже в самых простых (казалось бы!) дробных уравнениях нас может поджидать сюрприз не из приятных. С ним, с сюрпризом, надо разобраться! Разберёмся?)
Основная проблема в решении дробных уравнений.
Сейчас мы с вами научимся обходить одну из самых коварных ловушек на ЕГЭ и контрольных! Попадаются в неё все — и троечники и отличники. Я специально поставил её в самое примитивное уравнение, чтобы с ней (с ловушкой) хорошенько разобраться. Но для начала посмотрим, попадёте вы в неё или нет.)
Допустим, надо решить вот такое нехитрое уравнение:
Дело уже привычное и знакомое. Умножаем всё уравнение на знаменатель (х+1) и получаем:
Напоминаю, что со скобками (х+1) работаем целиком, как будто бы это одно число! Производим умножение:
Сокращаем знаменатель и избавляемся от дроби:
3x2 + 2x — 1 = 5(x+1)
Раскрываем оставшиеся скобки, переносим всё влево, приводим подобные:
3x2 + 2x — 1 = 5x + 5
3x2 – 3x — 6 = 0
Делим всё уравнение на 3 и получаем:
х2 — х — 2 = 0
Отлично. Самое обычное квадратное уравнение. Решаем и получаем два корня:
х1 = -1
х2 = 2
Предположим, в задании на ЕГЭ сказано записать в ответ меньший из корней, если корней более одного. Что писать будем?)
Если вы решили, что ответ -1, то вы попали в ловушку. И задание вам не засчитают, да. Зря старались. Правильный ответ был 2… Два, а не минус один.
Так в чём же дело? А вы попробуйте проверку сделать. Подставьте каждый из найденных иксов в исходное уравнение. И, если при х=2 у вас всё славненько срастётся, получится тождество 5=5, то при х=-1 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Нет такой операции ни в природе, ни в математике…
Что это значит? Это значит, что х=-1 — так называемый посторонний корень. Или лишний корень. Он не является корнем нашего дробного уравнения и в ответе никак не учитывается. Ибо его подстановка даёт бессмыслицу. Его мы просто отбрасываем. Окончательный корень один.
А именно: х=2.
Так, стоп, что-то тут не так! Нам же говорили, что всё уравнение можно умножать на одно и то же выражение! Это же тождественное преобразование!
Да, тождественное. Я не спорю. Но при одном маленьком ограничении, которое многие попросту игнорируют. А именно — выражение, на которое умножаем (делим), отлично от нуля! А скобочка (х+1) при х=-1 обращается в ноль! Так что всё честно.
И что нам теперь делать? Совсем не умножать? Тогда мы вообще ничего не решим! Каждый раз проверку делать? Это с ума сойдёшь. Особенно, если уравнение навороченное.
Нет, мы с вами пойдём красивым и элегантным путём. Обратимся за помощью к трём волшебным буквам! Догадались? Да! Это ОДЗ! Область Допустимых Значений.
Что же такое ОДЗ?
Это такие значения икса, которые могут быть в принципе. Или которые разрешены для данного примера.
Например, в уравнении
мы ещё пока не знаем, чему равен икс, верно? Мы уравнение пока не решили. Но зато мы железно знаем, что икс не может равняться нулю ни в коем случае! На ноль делить нельзя. На любое другое число — целое, дробное, отрицательное, иррациональное — ради бога. А вот на ноль — никак. Стало быть, в этом примере ОДЗ:
х — любое число, кроме нуля.
Зато все остальные иксы — абсолютно безопасны. Хоть 41, хоть -17, хоть -1,3 — весь бесконечный набор чисел.
Идея ясна?
Как записывать ОДЗ? Как работать с ОДЗ?
Тоже легко. На первом этапе всегда внимательно осматриваем исходный пример и ищем опасные места. Что значит опасные места?
Это места, где возможны запретные действия. Действия, которые при каких-то иксах могут оказаться недопустимыми с точки зрения математики. В нашей теме такое действие всего одно — деление. Нельзя делить на ноль. Есть ещё запреты в корнях чётной степени, в логарифмах и в тригонометрии. Их мы тоже рассмотрим в соответствующих уроках.
Как только опасные места найдены, рядышком с примером выписываем условия, которые не приводят к бессмыслице. После этого, глядя на эти условия, вычисляем запретные иксы. И исключаем их из ОДЗ. Вот и всё.
Я специально акцентирую внимание на словах “исходный пример”. Любое преобразование (сокращение, приведение подобных и т.п.) может изменить ОДЗ, и мы можем получить неверный ответ.
Важно! Для поиска ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем всего лишь маленькие кусочки примера для нахождения запретных иксов.
“Многа букаффф”, да. Но на практике вся процедура выглядит до ужаса элементарно.
Итак, берём наше уравнение:
Ничего пока что не трогаем, а внимательно осматриваем исходное уравнение. Осмотрев, мы сразу замечаем операцию деления на х+1.
Это потенциально опасная операция: при каких-то значениях икса выражение х+1 может оказаться равным нулю. На который делить нельзя. Поэтому обезопасим себя вот такой записью:
х+1 ≠ 0
х ≠ -1
Во-о-т. Минус один категорически не подходит нам в качестве ответа. Это и будет ОДЗ для нашего уравнения. Все иксы, кроме минус единички.
На практике запись и нахождение ОДЗ обычно оформляют так:
Иногда ОДЗ записывают и в другой форме, через промежутки. Вот так:
x ∈ (-∞; -1) U (-1; +∞)
Читается эта запись так: “Икс принадлежит интервалу от минус бесконечности до минус единицы (не включая), и от минус единицы (не включая) до плюс бесконечности.”
Перевод с математического на человеческий: “Икс — любое число, кроме минус единицы.”
Вот и всё. Как только мы себя обезопасили такой записью, дальше мы имеем полное право делать с уравнением всё что хотим — переносить члены, домножать, сокращать… Вот и домножаем всё уравнение на (х+1). Дробь-то убирать всё равно надо! Это по-прежнему будет не совсем тождественным преобразованием, но все вредные последствия от нарушения тождественности мы исключим по ОДЗ.
Умножаем:
3x2 + 2x — 1 = 5(x+1)
Как вы думаете, в какой же момент мы с вами попали в ловушку элементарного примера? Как раз в момент домножения всего уравнения на знаменатель дроби! Знаменатель исчез, и вместе с ним исчезли и соответствующие ограничения на иксы. Бесследно. И для нового уравнения, без дроби, на икс уже не накладывается никаких запретов! Любым может быть икс…
В математике это явление называется расширение ОДЗ.
Но теперь мы уже с вами народ бдительный. Исходные ограничения (х≠-1) мы записали и сохранили.
Поэтому дальше спокойно решаем уравнение безо всяких дробей и получаем два корня:
х1 = -1
х2 = 2
А вот теперь стыкуем наши результаты и условия ОДЗ. И видим в наших кандидатах на ответ один из иксов в качестве запретного! Минус один. Это означает, что в окончательный ответ его включать нельзя. Это посторонний корень, появившийся в процессе решения без нашего желания.
Да, это законный корень нашего вспомогательного квадратного уравнения, но никак не корень исходного дробного уравнения!
Стало быть, минус единицу мы безжалостно вычёркиваем и в ответ не включаем. Вот и всё.)
А в других уравнениях прошлого урока? Там что, нет ОДЗ? Есть, разумеется. Есть деление на икс — есть и ОДЗ.
В первом уравнении:
Во втором уравнении:
И так далее.
Я специально в тех примерах ничего не сказал про ОДЗ. Чтобы вас не перегрузить раньше времени.) В всех уравнениях прошлого урока (и домашнего задания к нему) ОДЗ никак не сказывалась на ответе. Так бывает. Но в заданиях ОГЭ и ЕГЭ ОДЗ в 99% случаев влияет на ответ! Так что мы с ОДЗ дружить будем. И во всех темах, где это необходимо, мы будем про ОДЗ вспоминать. Чтобы не упасть лицом в грязь.)
Итак, про ОДЗ поговорили. Убедились, что работать с ней тоже совсем не сложно. Теперь можно перейти и к общему алгоритму решения любого дробного уравнения.
Решаем дробные уравнения по алгоритму!
Для успешного решения любого дробного уравнения необходимо выполнить (правильно) пять пунктов:
1. Разложить знаменатели всех дробей на множители (если требуется). До упора. Переписать уравнение с учётом этого факта.
2. Найти ОДЗ, записать рядышком с уравнением и временно (до конца решения) забыть про неё.
3. Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли полностью.
4. Выполнить это самое умножение и решить новое уравнение, уже безо всяких дробей. Найти решения (кандидаты в ответ).
5. Вспомнить про ОДЗ и состыковать найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.
А теперь, вооружившись таким мощным супероружием, как ОДЗ, и общим алгоритмом, разберём очередной пример. Супердетально разберём!
Решить уравнение:
Решаем строго по пунктам. Выполняем пункт первый:
1. Разложить все знаменатели на множители (если требуется). До упора. Переписать пример с учётом этого факта.
Знаменатели наших дробей НЕ разложены на множители. Вот и приступаем. Вынесение общего множителя за скобки и формула разности квадратов — мощные штуки.)
2x — x2 = x(2-x)
2x + x2 = x(2+x)
4 — x2 = 22 — x2 = (2-x)(2+x)
Вот так. А теперь переписываем уравнение с учётом наших разложений:
Готово. Все знаменатели разложены до упора.) Можно приступать ко второму пункту.
2. Найти ОДЗ, записать рядышком с примером и временно (до конца решения) забыть про неё.
Итак, начинаем осматривать исходный пример на наличие опасных операций.
Внимание! Ничего не трогаем и не решаем! Не складываем дроби, не приводим подобные, не сокращаем!!!
Подобные преобразования запросто могут изменить ОДЗ, что может привести к неверному ответу! Оно нам надо?! Ещё раз напоминаю: ДО поиска ОДЗ с исходным примером мы не делаем НИЧЕГО! Кроме разложения на множители. Оно — безопасно и даже полезно.)
Берём и именно осматриваем исходный пример. И замечаем три опасных места: каждая из дробей таит в себе возможное деление на ноль.
Вот и пишем:
Знак системы (фигурная скобка) здесь не зря поставлен. Она означает, что все три условия должны выполняться одновременно! Мы ведь ОДЗ записываем не для каждой дроби по отдельности, а для всего примера целиком.)
Ну и как? Нашли ОДЗ? Не-а…)
Мы записали кусочек примера, записали три требования, которые должны выполняться железно. Но этого мало. Нужно ещё найти иксы, которые обеспечивают эти железные требования. ОДЗ ведь к иксам относится, а не к кусочкам примера…
Как же найти значения иксов, которые не превращают знаменатели дробей в ноль? Их же очень много? Очень просто! Мы поступим элегантно. Найдём иксы, которые наоборот, превращают знаменатели дробей в ноль. Это и будут запретные иксы.
Вот и решаем эти неравенства методом “от противного”. То есть, делаем из неравенств уравнения:
x(2-x) = 0
x(2+x) = 0
(2-x)(2+x) = 0
Именно из этих трёх уравнений мы и будем искать запретные иксы. Уравнения очень простые: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Вот и приравниваем (в уме или на черновике) каждый множитель к нулю.
Для первого уравнения получаем: x1 = 0; x2 = 2.
Вспомнив, что это запретные иксы, получим:
х ≠ 0; x ≠ 2.
Точно так же решаем и два оставшихся уравнения.
Для второго уравнения получаем:
x ≠ 0; x ≠ -2.
И, наконец, для третьего уравнения получаем:
x ≠ 2; x ≠ -2.
Видно, что некоторые запретные значения иксов повторяются. Разумеется, для окончательной записи ОДЗ мы их не будем дублировать. Итого ОДЗ для нашего уравнения будет выглядеть вот так:
ОДЗ:
Видите, насколько полезно предварительно раскладывать знаменатели на множители! В уме ОДЗ ищется! Поэтому эта процедура и стоит первым пунктом в алгоритме.)
Можно приступать к третьему пункту.
3. Сообразить, на что надо умножить обе части уравнения, чтобы все дроби исчезли полностью.
И тут разложение на множители тоже здорово играет на руку!
Понятно, что для ликвидации первой дроби, надо её домножать на x(2-x), вторую — на x(2+x) и третью – на (2-x)(2+x).
Но чтобы сразу сократить все дроби, надо скомбинировать такое выражение, которое одинаково хорошо делится и на х(2-х), и на х(2+х), и на (2-х)(2+х).
Вот оно, это выражение:
х(2-x)(2+x)
Как же я до него додумался? Очень просто: составил произведение всех неповторяющихся множителей всех знаменателей. Чтобы ничего не забыть и лишнего не взять.) Приступаем к четвёртому пункту:
4. Выполнить это самое умножение и решить новое уравнение, уже безо всяких дробей. Получить решения (кандидаты в ответ).
Итак, умножаем:
И снова, чтобы не заплутать в трёх соснах, используем скобки:
Производим умножение. Большие скобки раскрываем, малые — не трогаем!
Сокращаем все дроби:
2 + x + (x-4)(2-x) = 2x
Всё. От дробей избавились. Как обычно, раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем все члены слева:
2 + x + 2x — x2 — 8 + 4x — 2x = 0
–х2 + 5x — 6 = 0
Помним, что минус впереди крайне неудобен, посему умножаем всё на (-1):
x2 — 5x + 6 = 0
Решаем простенькое квадратное уравнение и получаем корни:
x1 = 2
x2 = 3
Нашли кандидатов в ответ. Самое время вспомнить про ОДЗ. Про самый последний пункт:
5. Вспомнить про ОДЗ и состыковать найденные решения с условиями ОДЗ. Те решения, которые не входят в ОДЗ, безжалостно выбросить. Записать окончательный ответ.
Итак, наши решения:
x1 = 2
x2 = 3
Условия ОДЗ:
Сопоставляем и… Оп-па! А ведь двойка — запретное значение! Нас не проведёшь! ОДЗ — штука жёсткая. В отвал двойку!
Окончательный ответ: х = 3.
Именно так и решаются все дробные уравнения. В пять шагов. Зачем же я распинался, рассказывая целый урок про избавление от дробей, затем ещё пол-урока про ОДЗ? Мог бы сразу дать общий алгоритм и соответствующий пример!
На этот вопрос отвечу так. Если бы вы знали, сколько народу спотыкается на применении тупо заученного алгоритма! А уж при малейшем отклонении от шаблона простой пример становится вообще нерешаемым… Если понимать смысл, то шанс решить есть всегда. Понимание всегда побеждает механическую память.)
Вот, собственно, и всё, что я хотел сказать. И напоследок очередная порция примеров для самостоятельного решения.
Решить уравнения:
Ответы (по традиции, в беспорядке):
x = 3
x = -1
x = 4
x1 = -1; x2 = -9
x = -2
Всё совпало! Поздравляю! У вас иксов побольше будет? Хм… Про ОДЗ не забыли, случаем? Кое-какие корни выбрасывать надо! ОДЗ учли, а всё равно не выходит? Да-а-а… Проблемка. Такие уравнения надо уметь решать: слишком уж они популярны во многих темах математики. Особенно — в текстовых задачках! Но не отчаивайтесь!
Перечитайте этот и предыдущий уроки ещё раз и прогуляйтесь по смежным темам: разложение на множители, квадратные уравнения, линейные уравнения и (особенно!) тождественные преобразования уравнений. И всё получится. Я в вас верю!)
В этой статье я подробно расскажу о том, что такое область допустимых значений (ОДЗ) выражения, опишу, как её искать, приведу несколько примеров с поиском ОДЗ выражений, содержащих дроби, корни чётных степеней и логарифмы.
Что такое ОДЗ выражения
Область допустимых значений выражения (ОДЗ выражения) – это множество значений переменной, при которых выражение имеет смысл.
Хочу заострить внимание читателя на некоторых ключевых моментах определения:
Во-первых, аббревиатура ОДЗ употребляется вместе с термином выражение, то есть термин “ОДЗ выражения” является более правильным, чем “ОДЗ“, но почему-то в устной речи школьников, репетиторов и учителей чаще можно услышать именно второй (“менее правильный”) вариант.
Во-вторых, ОДЗ выражения – это множество. Поэтому формально следующая запись является некорректной:
Дело в том, что запись “х >= 5” НЕ является множеством, а является предикатом (то есть высказыванием, содержащим переменную). Другими словами, выше записано следующее: “утверждение – это множество”. Но утверждение это не множество. Утверждение – это один математический объект, а множество – другой. Более корректная запись выглядит так:
Здесь всё записано корректно: “множество – это множество”. На ЕГЭ к таким тонкостям не придираются и баллы не снимают, но строгое отношение к терминам позволит быстрее и глубже разобраться в теме. Поэтому запоминаем, что ОДЗ выражения – это множество!
Как искать ОДЗ выражений
Поиск ОДЗ выражений обычно проводят в том случае, если выражение содержит дроби, корни чётных степеней или логарифмы. При этом используют следующие правила поиска ОДЗ выражений:
Эти правила не описывают поиск ОДЗ выражений, содержащих тригонометрических функции и степени. Про поиск ОДЗ выражений с тригонометрическими функциями и степенями будет отдельная статья.
Примеры поиска ОДЗ выражений
Ниже представлены 3 картинки с поиском ОДЗ выражений. Используйте стрелочки справа и слева, чтобы листать изображения:
Если вам понравилась статья, не забудьте поставить палец вверх. Если остались вопросы – задавайте их в комментариях. Спасибо за внимание!
Область определения алгебраической дроби
В дробном выражении, определенные числа не всегда могут выступать в качестве переменной в случае, если знаменатель приобретает значение, равное нулю. Все допустимые вставки определяются, как область допустимых значений $D$.
!
Запомните
Область значений – это набор чисел, которыми это выражение определено.
Она выражается следующим образом:$D=mathbb{Q}backslash{text{число}}$ (Область – это все рациональные числа без “числа”)
i
Подсказка
- Выпишите знаменатель алгебраической дроби и приравняйте его к нулю
- Вычислите значение переменной
- Определите область, исключая полученные числа
Пример
Определите область допустимых значений алгебраической дроби: $frac{15}{x+4}$
-
Выписываем знаменатель алгебраической дроби и приравниваем его к нулю
$x+4=0$
-
Вычисляем значение переменной
$x+4=0quad|-4$
$x=-4$
=> $x$ не может равняться -4, иначе дробь будет делится на 0 -
Определяем область значений
Областью определения являются все рациональные числа, за исключением -4, потому что, если мы подставим -4, алгебраическая дробь станет недопустимой.
$ mathbb{D}=mathbb{Q}backslash{-4}$
На прошлом уроке мы начали знакомиться с дробными рациональными уравнениями и рассмотрели один из вариантов решения: с помощью введения дополнительной переменной. Сегодня мы рассмотрим область допустимых значений (ОДЗ).
ОДЗ: определение
Область допустимых значений (ОДЗ) в решении дробных рациональных уравнений – это множество значений переменных, которые могут быть использованы в уравнении без нарушения его условий.
Для дробных рациональных уравнений, имеющих переменные в знаменателе, ОДЗ определяется так, чтобы исключить значения переменных, при которых знаменатель обращается в нуль.
Алгоритм решения
Алгоритм решения уравнений с ОДЗ состоит из нескольких шагов:
- Выражаем уравнение в виде дроби.
- Определяем ОДЗ по всем переменным, которые содержатся в дроби.
- Решаем уравнение, исключая значения переменных, не принадлежащих ОДЗ.
- Проверяем решение на соответствие области допустимых значений.
Для решения уравнений с ОДЗ, содержащих переменные в знаменателе, нужно найти значения переменных, при которых знаменатель равен нулю, и исключить их из области допустимых значений. После определения таких значений можно решить уравнение, как обычно.
Чтобы проверить решение на соответствие ОДЗ, мы должны подставить его в исходное уравнение и проверить, что знаменатель не равен нулю.
Для решения уравнений с ОДЗ, которые содержат переменные и в числителе, и знаменателе, нужно определить область допустимых значений для каждой переменной. Исходите из условий, содержащихся в уравнении.
Другие ограничения
Для уравнений с корнями ОДЗ может быть определена таким образом, чтобы исключить значения переменных, вызывающих отрицательное подкоренное выражение. Область допустимых значений может также содержать ограничения (по условию) на знаки переменных или на значения, которые переменные могут принимать.
Почему корень не может быть отрицательным? Корень – это операция, позволяющая найти число, возведенное в степень, возвращающее заданное. Например, корнем квадратным из 9 является число 3, так как 3 в квадрате равно 9.
Корень всегда является неотрицательным числом. Это связано с тем, что при возведении числа в четную степень знак числа меняется, а при возведении в нечетную – сохраняется. Например, (-2) в квадрате равно 4, а (-2) в кубе равно -8.
Поделиться статьей в соцсетях
Значение области допустимых значений в математике: способы нахождения
Содержание:
- Допустимые и недопустимые значения переменных
- Что такое ОДЗ
-
Как найти ОДЗ: примеры, решения
- Общие принципы нахождения области допустимых значений
- Примеры нахождения ОДЗ
- Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
-
Функции, для которых важна ОДЗ
- ОДЗ обратной зависимости
- ОДЗ степенной функции
- ОДЗ показательной функции
- ОДЗ логарифмической функции
- ОДЗ тригонометрических функций
Допустимые и недопустимые значения переменных
Перед тем, как вводить понятие области допустимых значений функции, необходимо определиться с самим термином «допустимое значение».
Допустимое значение переменной — такое значение переменной, при котором зависимая от нее функция имеет смысл. Это значит, что, подставив данное значение переменной в выражение функции, можно получить конкретный результат. Сама функция в алгебре — это уравнение, в котором каждому значению x соответствует одно значение y.
Например, для функции обратной пропорциональности (y=frac1x) допустимыми значениями для переменной x будут: 1; 2,7; -5, (sqrt{126}), — в общем, все действительные числа. При подстановке их на место x, функция принимает конкретное значение. Исключениями из этого перечня будут 0, (-infty )и (+infty), так как когда x принимает такие значения, функция не имеет смысла.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Что такое ОДЗ
Область допустимых значений (область определения) функции — совокупность всех значений переменных, при которых функция имеет смысл, то есть решается. Для примера из предыдущего пункта, (y=frac1x), область допустимых значений будет иметь следующий вид: ((-infty;;0)cup(0;;+infty)). Это значит, что в область определения функции ( y=frac1x) входят все числа в промежутках от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.
У записи области определения есть некоторые особенности, которые важно иметь в виду. Круглые скобки — () — применяются, когда область допустимых значений заканчивается на данном числе, причем оно не входит в ОДЗ. Квадратные скобки — [] — применяются в ситуациях, когда в область определения входит число, на котором она заканчивается. Знак объединения — (cup) — по сути означает союз «и». Он используется, когда ОДЗ является системой из нескольких числовых промежутков.
Как найти ОДЗ: примеры, решения
Чтобы найти область допустимых значений для какой-либо функции, не имеет смысла перебирать все числа, при подстановке которых ее можно решить. Рациональнее найти те значения, при которых функция не имеет смысла и исключить их из всего множества чисел.
Общие принципы нахождения области допустимых значений
- деление на 0. Практически во всех стандартных математических выражениях такая операция не имеет смысла. У этого действия есть конкретный результат только при нахождении предела последовательности или функции. Пример бессмысленных выражений: (y=frac50;)
- извлечение корня из отрицательного числа. При работе с действительными числами, найти корень любой степени отрицательного числа невозможно. Эта операция приобретает смысл только при переходе к комплексным числам. Пример: (y=sqrt{-11};)
- возведение в степень. У данного действия есть свои ограничения: нельзя возводить 0 в отрицательную и нулевую степень, отрицательные числа в положительную дробную степень и неположительные (отрицательные и 0) в дробную степень со знаком минус. Примеры: (y=0^{-3};;y=0^0;;y=({-7}^{textstylefrac32});;y=({-6}^{-{textstylefrac17}});)
- нахождение логарифма. Так как логарифм равняется степени, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить логарифмируемое число, некоторые операции не имеют смысла. К ним относятся логарифмирование неположительного числа, положительного числа по отрицательному основанию или единице. Примеры:( y=log_3left(-9right);;y=log_2left(0right);;y=log_{-4}left(64right);;y=log_1left(5right);)
- тригонометрические функции. Для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса никаких ограничений нет. Но для тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса они появляются, исходя из их формул. Так как тангенс является частным при делении синуса на косинус, последний не может равняться нулю. То же самое справедливо и для котангенса, но там уже синус не должен принимать значение 0.
Арксинус и арккосинус могут быть определены только в промежутке от -1 до 1 включительно — (lbrack-1;;1rbrack.)
Примеры нахождения ОДЗ
Пример №1. Найти область определения функции (y=sqrt{1-x^2})
Из обозначенных выше принципов следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным, значит 1-x^2geq0. Приведем данное неравенство к общему виду: (1-x^2geq0Rightarrow1geq x^2Rightarrow x^2leq1)
Вычислим квадратный корень для обеих частей неравенства:
(x^2leq1Rightarrowsqrt{x^2}leqsqrt1Rightarrowleft|xright|leq1)
Раскроем модуль согласно правилу:
(left|xright|leq1Rightarrow-1leq xleq1)
Из этого следует, что область допустимых значений функции (y=sqrt{1-x^2}) лежит в пределах между -1 и 1, включая эти числа. Таким образом, ОДЗ данной функции: (xinlbrack-1;;1rbrack)
Пример №2. Найти ОДЗ функции (y=lgleft(xright))
(lgleft(xright)) является краткой формой записи десятичного логарифма (log_{10}left(xright)). Так как 10 — положительное число, не равное единице, единственным условием остается x>0. Таким образом, область определения функции (y=lgleft(xright)) будет включать в себя все числа в промежутке от нуля до (+infty). Так как неравенство x>0 — строгое, ОДЗ будет иметь следующий вид: (xin(0;;+infty)).
Почему важно учитывать ОДЗ при проведении преобразований
Тождественные преобразования могут приводить к расширению или сужению области допустимых значений. В этом случае значение, подходящее к изначальной функции, после преобразования может оказаться вне области определения. Поэтому стоит избегать сужающих ОДЗ преобразований или находить область допустимых значений уже после них.
Функции, для которых важна ОДЗ
Сама по себе область допустимых значений — важная характеристика для всех функций. Чтобы правильно решать математические задачи, следует всегда находить ее. При этом, для многих, если не большинства, функций она включает в себя все множество действительных чисел. Например, линейная (y=kcdot x+b) или квадратичная (y=acdot x^2+bcdot x+c) функции. Рассмотрим некоторые функции, для которых это не так.
ОДЗ обратной зависимости
Функция обратной пропорциональности (y=frac kx) уже упоминалась выше. Ее область определения содержит все действительные числа, за исключением нуля: (xin(-infty;;0)cup(0;;+infty).)
ОДЗ степенной функции
Для степенной функции y=x^n следует учитывать обозначенные выше принципы нахождения ОДЗ, справедливые для возведения в степень и извлечения корня. Рассмотрим области определения переменной x в зависимости от значения n:
- при n>0 и (ninmathbb{Z}), то есть n — целое положительное число: ( xin(-infty;;+infty);)
- для n>0, причем n — дробное число: ( xinlbrack0;;+infty);)
- для n=0:( xin(-infty;0)cup(0;;+infty);)
- при n<0 и (ninmathbb{Z}: xin(-infty;;0)cup(0;;+infty);)
- для n<0, причем n — дробное число: (xin(0;;+infty).)
ОДЗ показательной функции
Показательная функция y=a^x очень похожа на степенную, но, в отличие от нее, здесь переменная не в основании, а в степени. Область допустимых значений для нее определяется по тем же правилам, что и для степенной функции:
- для a>0: (xin(-infty;;+infty);)
- для a=0: (xin(0;;+infty);)
- для a<0: (xin(-infty;;+infty)), причем x должен быть целым числом.
ОДЗ логарифмической функции
Логарифмическая функция (y=log_aleft(xright)) является обратной для показательной. Согласно свойствам логарифмирования, область определения такой функции будет включать все положительные числа: (xin(0;;+infty).)
ОДЗ тригонометрических функций
Как уже упоминалось выше, для синуса, косинуса, арктангенса и арккотангенса область допустимых значений включает в себя все действительные числа: (xin(-infty;;+infty)). Рассмотрим ОДЗ еще четырех тригонометрических функций:
- тангенс: (xin(-infty;;frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n)cup(frac{mathrmpi}2+mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
- котангенс: (xin(-infty;;mathrmpicdotmathrm n)cup(mathrmpicdotmathrm n;;+infty), где ninmathbb{Z};)
- арксинус и арккосинус: (xinlbrack-1;;1rbrack.)
