Как найти область изменения функции 11 класс

Общая информация

У каждой функции y = f (x) есть два типа переменных: зависимые и независимые. Переменная «х» является независимой, поскольку она может принимать любые значения, кроме тех, которые «превращают» функцию в пустое множество (этого необходимо избегать). Они бывают с одной или несколькими независимыми переменными. Необходимо выяснить все значения зависимой переменной.

Существует несколько методов решения задач такого типа. К ним относятся следующие способы: автоматизированный и ручной. Решение первым подразумевает использование специальных программных оболочек и web-приложений, позволяющих найти область значения функции. Онлайн-калькулятор с решением применяется для тех, кто выполняет большое количество вычислений или проверку вычислений.

В различных дисциплинах необходимо исследовать поведение функций. Например, при проектировании какого-либо программного продукта. Программисты занимаются поиском «багов», при которых происходит некорректная работа приложения. Если заданы недопустимые параметры независимой переменной, то произойдет ошибка. Это называется исключением, и его всегда следует обрабатывать. При проектировании различных устройств нужно также уметь находить область значения функции.

Основные понятия

Руководствуясь некоторыми данными, можно сделать вывод: областью значений некоторой функции называются все ее допустимые значения. Обозначается она буквой «E», т. е. E (f) или E (y). Когда y = f (x) является сложной (w = f (x, y, z)), тогда можно ее обозначить «E (w)».

Независимая переменная, принимающая некоторые значения, называется аргументом. Для конкретного случая существует определенный алгоритм. Можно сразу определить E (f), но в некоторых ситуациях нужно выполнить некоторые преобразования.

Например, нужно найти область значений квадратичной функции y = 3x ² — 2x — 1. Следует записать уравнение 3x ² — 2x — 1 = 0. Ордината вычисляется таким образом: y0 = -D / 4a = -[b ² — 4ac] / 4a = -[(-2)^2 — 4 * 3 * (-1)] / (4 * 3) = -16 / 12 = -4/3. Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх. Следовательно, E (y) = (-4/3;+бесконечность).

Специалисты-математики утверждают, что важным аспектом является определение типа функции. Следовательно, следует разобраться в их классификации. Для этого необходимо знать их графики и названия.

Типы функций

Перед тем, как найти все допустимые значения, нужно знать область значения некоторых элементарных функций. Для каждой из них существует свой промежуток:

1. (-бесконечность;+бесконечность): y =kx + b, y = x^(2n+1), y = x^(1/(2n+1)), y = log (x) с основанием а, y = tg (x) и y = ctg (x).
2. [0;+бесконечность): y = x^(2n), y = x^(1/(2n)) и y = a^x.
3. (-бесконечность;0] U [0;+бесконечность) только для y = k / x (гипербола).
4. [-1;1]: y = sin (x) и y = cos (x).
5. [0;Pi]: y = arccos (x) и arcsin (x).
6. [-Pi/2;Pi/2]: y = arctg (x) и arcsin (x).

Если функция является многочленом четной степени, то для нее существует интервал [m;+бесконечность). Значение «m» — наименьшее значение многочлена. На промежутке (-бесконечность;n) число n — наибольшее его значение.

Довольно сложной задачей считается нахождение области значений тригонометрических функций. Примером одной из них считается y = cos (2x) + 2cos (x). Кроме того, при нахождении E (f) необходимо руководствоваться не только табличными значениями. Этих данных мало, поскольку нужно также знать о свойствах некоторых функций и способы нахождения E.

Важные свойства

Для качественного исследования нужно знать свойства простых функций: монотонность, непрерывность, дифференцируемость, четность или нечетность, периодичность, область определения и значения. Среди свойств можно выделить несколько основных:

1. В случае, когда функция f (x) является непрерывной, и наблюдается ее возрастание или убывание на отрезке [a;b], то множество значений — интервал [f (a);f (b)].
2. Если y = f (x) обладает непрерывностью на промежутке [a;b], и существует некоторое минимальное m и максимальное М ее значения, то множеством ее значений является интервал [m;M].
3. При непрерывности и дифференцируемости функции на промежутке [a;b], она имеет минимальное и максимальное значения на данном промежутке.

Последние два свойства применяются для непрерывных функций. Простое решение позволяет получить первое свойство. При этом очень важно доказать ее монотонность. Задача существенно упрощается, когда удается доказать четность или нечетность функции, а также ее периодичность. По необходимости следует проверять и использовать некоторые ее свойства: непрерывность (при разрыве нужно определить его точку или интервал), монотонность, дифференцируемость, периодичность, четность или нечетность и т. д.

Методы нахождения

Существует много способов нахождения области значений. Однако для решения задач нужно подбирать оптимальный метод, поскольку следует избегать лишних вычислений. Например, если функция является простой, то нет необходимости применять сложные алгоритмы решения. К методам нахождения относятся следующие:

1. Отдельное нахождение значений элементов сложной функции.
2. Оценочный.
3. Учет непрерывности и монотонности.
4. Взятие производной.
5. Использование max и min функции.

Для каждого из методов существует определенный алгоритм. Хотя встречаются случаи, когда целесообразно применить два простых метода. Нужно руководствоваться минимальным количеством вычислений и затраченным временем.

Для каждого элемента

Иногда в задачах следует найти E (f) при условии, когда функция является сложной. Очень распространенная методика разбиения задачи на подзадачи, которая применяется не только в дисциплинах с физико-математическим уклоном, но в экономике, бизнесе и других направлениях. Решение с помощью метода последовательного нахождения E (f) каждой из функций. Алгоритм имеет такой вид:

1. Выполнить необходимые преобразования — упростить выражение.
2. Разбить выражение на элементы.
3. Выполнить поиск E (f) для каждого элемента.
4. Произвести замену.
5. Анализ.
6. Результат решения.

Однако довольно сложно ориентировать по данному алгоритму, поскольку нужно разобрать решение примера с его помощью. Дана функция y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x). Решается задача таким образом:

1. Упростить (выделить квадрат): y = log0.5 (4 — 2 * 3^x — 9^x) = log0.5 [5 — (1 — 2 * 3^x — 9^x)] = log0.5 [5 — (3^x + 1)].
2. Разбить на элементарные функции: y = 3^x, y = 3^x + 1, y = [-(3^x + 1)]^2 и y = [5 — (3^x + 1)]^2.
3. Определить для каждого элемента E (f): E (3^x) = (0;+бесконечность), E (3^x + 1) = (1;+бесконечность), E ([-(3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;-1) и E ([5 — (3^x + 1)]^2) = (-бесконечность;4).
4. Произвести замену: t = 5 — (3^x + 1)]^2 (-бесконечность <= t <=4).
5. Анализ: поскольку E (f) на луче (-бесконечность;4) совпадает с интервалом (0;4), то функция непрерывна и убывает. Необходимо отметить, что интервал (0;4) получен при пересечении луча (-бесконечность;4) с областью определения функции логарифмического типа (0;+бесконечность). На интервале (0;4) эта функция непрерывна и убывает. Если t>0, то она стремится к бесконечности. Когда t = 4, ее значение равно -2.
6. Результат решения — искомый интервал: E (f) = (-2;+бесконечность).

Необходимо обратить внимание на пункты 1, 3 и 5. Они являются очень важными, поскольку от них зависит правильность решения. Очень важно уметь анализировать полученную функцию в 4 пункте.

Оценочный способ

Еще одним методом определения E (f) является способ оценки. Необходимо оценить непрерывную функцию в нижнем и верхнем направлениях. Еще следует доказать достижение нижней и верхней границ. Для этой цели существует также алгоритм. Он немного проще предыдущего. Суть его заключается в следующем:

1. Доказать непрерывность.
2. Составить неравенство или неравенства для нескольких функций.
3. Узнать оценку.
4. Записать интервал.

Необходимо разобрать алгоритм на примере функции y = cos (7x) + 5 * cos (x). Следует учитывать, что известен только один знак неравенства. Второй нужно доказать оценочным методом. Решение задачи имеет такой вид:

1. Функция вида y = cos (x) является непрерывной.
2. Неравенства: -1<=cos (7x)?1 и -5<=5 * cos (x)?5.
3. Оценка получает при объединении неравенств: -6<=y?6. При значениях независимой переменной x = Pi и x = 0 функция принимает значения -6 и 6 соответственно (нижняя и верхняя границы). Функция состоит из двух элементов, следовательно, она является линейной и непрерывной.
4. Интервал: E (y) = [-6;6].

Метод позволяет найти решение без использования дополнительных вычислений. Но при его использовании легко ошибиться.

Учет непрерывности и монотонности

Одним из простых способов решения, который специалисты рекомендуют новичкам, является метод учета непрерывности и монотонности. Для этого существует специальный алгоритм:

1. Упростить выражение.
2. Выполнить замену при необходимости.
3. Найти вершину графика.
4. Определить промежуток.
5. Вычислить максимальное и минимальное значения.
6. Записать E (f).

Например, существует некоторая функция y = cos (2x) + 2cos (x). Необходимо найти ее E. Искать следует по алгоритму решения методом учета монотонности и непрерывности:

1. Упростить (по формуле двойного угла): y = 2 * (cos (x))^2 + 2cosx — 1.
2. Замена t = cos (x): y = 2 * t ² + 2 * t — 1 = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
3. Показательная функция является параболой. Она монотонна, непрерывна и имеет вершину по оси ОУ -1,5. Промежуток, который рассматривается — [-1;1], поскольку E (cos (x)) = [-1;1].
4. Минимальное значение равно -1,5, так как ветви направлены вверх. Максимальное на промежутке [-1;1] – MAX (y) = 3. Для его нахождения нужно построить график параболы y = 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5.
5. Искомый интервал — E (cos (2x) + 2cos (x)) = [-1,5;3].

Чтобы построить график параболы, нужно найти ее вершину и точки пересечения с осью абсцисс. Последние находятся при решении уравнения 2 * (t + 0,5)^2 — 1,5 = 0. Однако существует способ намного проще. Для этого следует привести выражение к виду 2 * (t + 0,5)^2 = 1,5. Отсюда t = – 0,5. Следовательно, координаты вершины — (-0,5;-1,5). Корни уравнения при его решении: t1 = -[(1 + (3)^0.5)] / 2 и t2 = -[(1 — (3)^0.5)] / 2.

Производная, min и max

Одним из простейших способов нахождения E (f) является взятие производной функции. Этот метод можно комбинировать с определением максимального и минимального значений. Математики рекомендуют простейший алгоритм:

1. Найти производную.
2. Анализ.
3. Указать MAX (f) и MIN (f).
4. Запись интервала в формате (MIN (f);MAX (f)).

Практическое применение алгоритма — решение задачи этим методом. Например, нужно найти E (arcsin (x)). Решение выполняется по нескольким этапам:

1. Производная: y’ = [arcsin (x)]’ = 1 / [(1 — x ² )^0.5].
2. Функция возрастает на интервале (-1;1).
3. Минимум и максимум на отрезке (-1;1): MIN (arcsin (-1)) = -Pi/2 MAX (arcsin (1)) = Pi/2.
4. Интервал: E (arcsin (x)) = [-Pi/2;Pi/2].

В некоторых случаях рекомендуется вычислять пределы, поскольку часть задач решается только с их применением. Существует определенный тип задач, в которых нужно доказать, что отрезок является E (f) конкретной функции. Например, следует выяснить принадлежность [-1;1] функции sin (x). Для этого необходимо воспользоваться вышеописанным алгоритмом:

1. Производная: y’ = [sin (x)]’ = cos (x).
2. Период функции равен 2Pi. Следует взять отрезок [0;2Pi]. Для нахождения множества значений на нем нужно приравнять производную функции к 0, т. е. cos (x) = 0. Найти х = Pi/2 + Pi * к, где «к» принадлежит Z. Точки экстремума равны Pi/2 и 3Pi/2.
3. Минимум и максимум на отрезке [0;2Pi): MIN ([sin (3Pi/2)]) = -1 и MAX ([sin (3Pi/2)]) = 1.
4. E (sin (x)) = [-1;1].

Отрезок [-1;1] является E (sin (x)). Оптимальный метод — нахождение производной и определение E (f). В этом примере необходимо знать и проверить периодичность.

Таким образом, существует несколько способов нахождения E (f), но всегда необходимо выбирать метод, приводящий к минимуму вычислений. Нет смысла усложнять решение, поскольку большинство алгоритмов направлены на оптимизацию вычислений.

Презентация “Область определения и область изменения функции. Ограниченность функции”

Для исследования
различных явлений полезно знать, как
изменение одних величин влияет на другие
величины.

Понятие функции
связано с установлением зависимости
(связи) между двумя (несколькими)
переменными величинами при их совместном
изменении, или установлением зависимости
между элементами двух (нескольких)
множеств.

Определение.

Пусть даны две
переменные х
и y
с областями изменения Х
и Y.
Переменная y
называется функцией
от х,
если по некоторому правилу или закону
каждому значению
ставится в соответствие одно определенное
значение.

Для указания этого
факта, что y
есть функция от х,
пишут:
,,и т.п.

Можно также сказать,
что функция f
отображает
множество Х
на множество Y.
Это обозначается так
(рис.1.1).

Рис. 1.1

Переменная х
называется независимой
переменной
или аргументом.

Переменная y
называется зависимой
переменной
или функцией.

Относительно самих
величин х
и y
говорят, что они находятся в функциональной
зависимости.

1.3. Область определения и изменения функции

Определение.

Совокупность всех
значений независимой переменной х,
для которых функция y
определена, называется областью
определения
или областью
существования
этой функции.

Определение.

Множество Х
называется областью
определения
функции и обозначается
.

Обычно областью
определения функции являются:

• отрезок (сегмент
  или замкнутый промежуток)

;

• интервал (открытый
  промежуток)

;

• полуоткрытые
  интервалы (полуоткрытые отрезки)

;

;

• бесконечные
  интервалы (промежутки)

; ;

; ;

,

где
,и.

Например, для
функций:

1)
;

2)
.

Область определения
функции может состоять из одного или
нескольких промежутков и из отдельных
точек.

Определение.

Множество значений
Y
называется областью
изменения
или областью значений функции, и
обозначается
.

Область изменения
функции (множество ее значений)
определяется законом соответствия.

Например, для
функций

1)
;;

2)
;.

Определение.

Функция
называетсячисловой
функцией, если ее область определения
и множество значенийсодержатся в множестве действительных
чиселR.

В дальнейшем будем
изучать лишь числовые функции. Частное
значение функции
призаписывается так:.

Например, если
,
то,,и т.п.

1.4. Последовательность

Определение.

Функция, определенная
на множестве натуральных чисел
,
называетсяпоследовательностью.

Значения функции
т.е. элементы множестваназываются членами последовательности,
а– общим членом последовательности.

Последовательность
обычно обозначают через
или.

Например,
;.

1.5. График функции

Для наглядного
представления функции строят ее график.

Определение.

Графиком функции
называется множество всех точек плоскости,
для каждой из которыхх
является значением аргумента,
а y
– соответствующим значением функции.

Например, графиком
функции
является верхняя полуокружность радиусас центром в(рис. 1.2).

Рис. 1.2

1.6. Способы задания функции

Задать функцию –
это значит указать правило, позволяющее
по данному значению независимой
переменной находить соответствующее
значение функции.

Существует три
основных способа задания функции:
аналитический, табличный и графический.

Аналитический
способ
состоит в том, что зависимость между
переменными величинами задается в виде
формулы (аналитического выражения),
указывающей, какие и в каком порядке
действия надо выполнить, чтобы получить
значение функции, соответствующее
данному значению аргумента.

Например,
;;,
где.

Аналитический
способ является наиболее совершенным,
т.к. к нему могут быть применены методы
математического анализа, позволяющие
полностью исследовать функцию.

Табличный способпредусматривает задание таблицы, в
которой различным значениям аргументапоставлены соответствующие значения
функции:

Такие таблицы
составляются, например, по данным
эксперимента; для облегчения вычислений
с часто встречающимися функциями
(таблицы логарифмов, таблицы
тригонометрических функций и т.д.).

Графический
способзадания функции состоит в том,
что в данной системе координат задается
некоторая кривая. Преимуществом
графического задания является его
наглядность, недостатком – его неточность.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #