Как найти область непрерывности функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Определение: Функция

– она определена в этой точке и ее некоторой -окрестности;
– существуют конечные лево- и правосторонние пределы от функции в этой точке и они равны между собой, т.е.

– предел функции в точке равен значению функции в исследуемой точке, т.е.

Пример:

Найти область непрерывности функции

Решение:

Данная функция непрерывна так как в каждой точке указанного интервала функция определена, в каждой точке существуют конечные и равные лево- и правосторонние пределы, а предел функции в каждой точке равен значению функции в этой точке.

Замечание: Всякая элементарная функция непрерывна в области своего определения.

Точки разрыва

Определение: Точки, в которых не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции, называются точками разрыва. Различают точки разрыва первого и второго родов.

Определение: Точкой разрыва I рода называется точка, в которой нарушается условие равенства лево- и правостороннего пределов, т.е.

Пример:

Доказать, что функция в точке имеет разрыв первого рода.

Решение:

Нарисуем график функции в окрестности нуля (Рис. 64): Рис. 64. График функции Область определения функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Следовательно, в изучаемой точке данная функция терпит разрыв первого рода.

Замечание: По поводу точки разрыва I рода иначе говорят, что в этой точке функция испытывает конечный скачок (на Рис. 64 скачок равен 1).

Определение: Точка, подозрительная на разрыв, называется точкой устранимого разрыва, если в этой точке левосторонний предел равен правостороннему.

Пример:

Доказать, что функция имеет в точке устранимый разрыв.

Решение:

В точке функция имеет неопределенность поэтому эта точка является точкой, подозрительной на разрыв. Вычислив в этой точке лево- и правосторонний пределы убеждаемся, что данная точка является точкой устранимого разрыва.

Определение: Все остальные точки разрыва называются точками разрыва II рода.

Замечание: Для точек разрыва второго рода характерен тот факт, что хотя бы

один из односторонних пределов равен т.е. в такой точке функция терпит бесконечный разрыв.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка

является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний предел конечен, а правосторонний предел бесконечен, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Найдем область определения этой функции: т.е. точка является точкой подозрительной на разрыв. Вычислим лево- и правосторонние пределы в этой точке: Так как левосторонний и правосторонний пределы бесконечены, то в изучаемой точке данная функция терпит разрыв II рода.

Операции над непрерывными функциями

Теорема: Сумма (разность) непрерывных функций есть непрерывная функция.

Доказательство: Докажем приведенную теорему для суммы двух функций которые определены в некоторой -окрестности точки в которой лево- и правосторонние пределы равны между собой. Так как функции непрерывны в некоторой -окрестности точки то выполняются равенства: В силу того, что существуют конечные пределы обеих функций, то по теореме о пределе суммы двух функций имеем, что Аналогично теорема доказывается для суммы (разности) любого конечного числа непрерывных функций. Нижеприведенные теоремы доказываются так же, как и теорема.

Теорема: Произведение непрерывных функций есть непрерывная функция.

Теорема: Частное двух непрерывных функций при условии, что во всех точках общей области определения функция , есть непрерывная функция.

Теорема: Сложная функция от непрерывных функций есть непрерывная функция.

Заказать решение задач по высшей математике

Схема исследования функции на непрерывность

Исследование функции на непрерывность проводят по следующей схеме:

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Согласно схеме исследования функции на непрерывность имеем:

Рис. 65. Поведение графика функции в малой окрестности точки разрыва второго рода

Из рисунка видно, что график функции —неограниченно приближается к вертикальной прямой нигде не пересекая эту прямую.

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Свойства непрерывных функций на отрезке .

Определение: Замкнутый интервал будем называть сегментом.

Приведем без доказательства свойства непрерывных функций на сегменте .

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте , то она достигает своего наименьшего () и наибольшего () значения либо во внутренних точках сегмента, либо на его концах.

Пример:

Привести примеры графиков функций, удовлетворяющих условиям теорем(см. Рис. 66).

Рис. 66. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

Решение:

На графике а) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значений на концах сегмента На графике б) функция достигает своего наименьшего и наибольшего значения во внутренних точках сегмента На графике в) функция достигает своего наименьшего значения на левом конце сегмента а наибольшего значения во внутренней точке сегмента

Тб. Если функция непрерывна на сегменте и достигает своего наименьшего () и наибольшего () значений, то для любого вещественного числа С, удовлетворяющего неравенству , найдется хотя бы одна точка такая, что .

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям Тб (см. Рис. 67).

Рис. 67. Графики функций, удовлетворяющих условиям Тб.

Теорема: Если функция непрерывна на сегменте и на его концах принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка такая, что.

Пример:

Изобразить графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы(см. Рис. 68).

Рис. 68. Графики функций, удовлетворяющих условиям теоремы.

На графике а) существует единственная точка, в которой выполняются условия теоремы. На графиках б) и в) таких точек две и четыре, соответственно. Однако в случаях б) и в) для удовлетворения условий теоремы надо разбивать сегмент на отдельные отрезки.

Точки разрыва и их классификация
Дифференциальное исчисление
Исследование функций с помощью производных
Формула Тейлора и ее применение
Векторное и смешанное произведения векторов
Преобразования декартовой системы координат
Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Замечательные пределы

Источник

Непрерывность функции и точки разрыва

Приращение аргумента и приращение функции
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции на промежутке
Односторонние пределы
Классификация точек разрыва
Точки разрыва первого рода
Точки разрыва второго рода
Алгоритм исследования функции на непрерывность
Примеры

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

Приращением аргумента называют разность $$ triangle x= x-x_0 $$ где x – произвольное число, которое мало отличается от начальной точки (x_0). Приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным.
Приращением функции называют соответствующую разность $$ triangle y=f(x)-f(x_0) $$ Приращение функции может быть как положительным, так и отрицательным.

Например:

Приращение аргумента и приращение функции

Пусть (y=3x-1)
(x_0=1, x=1,1 )

Тогда begin{gather*} triangle x=x-x_0=0,1\ triangle y=(3x-1)-(3x_0-1)=\ =3(x-x_0 )=3triangle x=0,3 end{gather*} В данном случае приращение функции всегда в 3 три раза больше приращения аргумента.
Чем меньше будет (triangle x), тем меньшим будет (triangle y).
Если записать через предел: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y=0 $$

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если в этой точке малому приращению аргумента (triangle x=x-x_0) соответствует малое приращение функции (triangle y=f(x)-f(x_0)): $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y=lim_{xrightarrow x_0}triangle y=0 $$

На «языке ε-δ» определение непрерывности будет следующим:

ε-δ определение непрерывности похоже на ε-δ определение предела функции, с той разницей, что модуль (|x-x_0|) может быть равен 0 для непрерывной функции, т.е. сама точка (x_0) входит в δ-окрестность.

Проанализируем предел приращения функции: begin{gather*} lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y= lim_{triangle xrightarrow 0}left(f(x)-f(x_0)right)= lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-lim_{triangle xrightarrow 0}f(x_0)=\ =lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-f(x_0) end{gather*} т.к. (f(x_0)) – величина постоянная и от (triangle x) не зависит.
Для непрерывной функции: $$ lim_{triangle xrightarrow 0}triangle y =0 Leftrightarrow lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)-f(x_0)=0Leftrightarrow lim_{triangle xrightarrow 0}f(x)=f(x_0) $$ Учитывая, что (triangle xrightarrow 0Leftrightarrow x-x_0rightarrow 0Leftrightarrow xrightarrow x_0)
получаем (lim{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0).)

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в точке: $$ lim{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$

Все три представленных определения непрерывности функции в точке эквивалентны.
Существуют и другие эквивалентные определения. Мы дадим ещё одно из них дальше, в этом же параграфе.

п.3. Непрерывность функции на промежутке

Промежуток – это интервал, отрезок, луч и т.п. (см. §16 справочника для 8 класса).

Функция (y=f(x)) непрерывна на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

График непрерывной функции – это непрерывная линия.
Кроме непрерывности, эта линия еще и «плавная», без «заломов».
При наличии заломов функция называется кусочно-непрерывной.

п.4. Односторонние пределы

Односторонний предел – это предел числовой функции при приближении к предельной точке с определенной стороны (слева или справа).
Обозначение односторонних пределов: begin{gather*} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=a – text{левый предел}\ lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=b – text{правый предел} end{gather*}

Рассмотрим гиперболу (y=frac{1}{x-2}).

У этой гиперболы две асимптоты (y=0) и (x=2).
Точка (x_0=2) не входит в область определения.
Если мы будем приближаться к (x_0=2) слева, начав, например с 1,5, мы будем постепенно опускаться по ветке гиперболы на минус бесконечность. Т.е., левый предел: $$ lim_{xrightarrow 2-0}frac{1}{x-2}=-infty $$

Если же мы будем приближаться к (x_0=2) справа, начав, например с 2,5, мы будем постепенно подниматься по ветке гиперболы на плюс бесконечность. Т.е., правый предел: $$ lim_{xrightarrow 2+0}frac{1}{x-2}=+infty $$ Левый и правый пределы в точке (x_0=2) для данной гиперболы не равны: $$ lim_{xrightarrow 2-0}frac{1}{x-2} ne lim_{xrightarrow 2+0}frac{1}{x-2} $$

Теперь рассмотрим параболу (y=x^2-2)
Областью определения параболы является вся числовая прямая (xinmathbb{R})

В этом случае, если приближаться к (x_0=2) слева, мы получаем: $$ lim_{xrightarrow 2-0}(x^2-2)=2 $$ И если приближаться (x_0=2) справа, мы тоже получаем: $$ lim_{xrightarrow 2+0}(x^2-2)=2 $$ Левый и правый пределы равны: $$ lim_{xrightarrow 2-0}(x^2-2) =lim_{xrightarrow 2+0}(x^2-2) $$

Функция (y=f(x)) непрерывна в точке (x_0), если одновременно выполняются следующие три условия:
1) точка (x_0) принадлежит области определения функции (xin D);
2) левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) =lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ 3) предел функции в точке (x_0) равен значению функции в этой точке: $$ lim_{xrightarrow x_0}f(x)=f(x_0) $$

Это еще одно определение непрерывности, которым удобно пользоваться на практике.

п.5. Классификация точек разрыва

Точка (x_0) будет точкой разрыва для функции (y=f(x)), если выполняется хотя бы одно из условий:
1) точка (x_0) не принадлежит области определения функции (xnotin D);
2) левый и правый пределы в точке (x_0) не равны или бесконечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) nelim_{xrightarrow x_0 +0}f(x) text{или} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x) =lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=pminfty $$ 3) предел функции в точке (x_0) не совпадает со значением функции в этой точке: $$ lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0) $$

Точки разрыва	1-го рода Односторонние пределы существуют и конечны	Устранимые Односторонние пределы равны между собой, но не равны (f(x_0))
Неустранимые (скачок) Односторонние пределы не равны между собой
2-го рода Хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует

п.6. Точки разрыва первого рода

Устранимые точки разрыва 1-го рода
Левый и правый пределы в точке (x_0) равны и конечны: $$ lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=lim_{xrightarrow x_0}f(x)=aneinfty $$ НО:
либо точка (x_0) НЕ принадлежит области определения функции (xnotin D);
либо предел НЕ равен значению функции в точке (x_0): (lim_{xrightarrow x_0}f(x)ne f(x_0))

Например:

(y=frac{x^2-4}{x-2}, x_0=2)
Эта функция эквивалентна системе $$ y=frac{x^2-4}{x-2} Leftrightarrow begin{cases} y=x+2\ xne 2 end{cases} $$ При этом (lim_{xrightarrow 2-0}(x+2)=lim_{xrightarrow 2+0}(x+2)=4)
В точке (x_0=2notin D) функция имеет устранимый разрыв.

Разрыв можно устранить (функцию можно «склеить»), отдельно задав «гладкое» значение в особой точке: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2\ 4, x=2 end{cases} $$ В таком случае система станет эквивалентна всей прямой, т.е. станет непрерывной функцией: $$ y= begin{cases} frac{x^2-4}{x-2}, xne 2\ 4, x=2 end{cases} Leftrightarrow y=x+2 $$

Неустранимые точки разрыва 2-го рода (скачок)
Левый и правый пределы в точке (x_0) конечны, но не равны: $$ begin{cases} lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=aneinfty\ lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)=bneinfty\ ane b end{cases} $$ Такой разрыв также называют скачком.
Величина скачка рассчитывается по формуле: $$ triangle y=lim_{xrightarrow x_0 +0}f(x)- lim_{xrightarrow x_0 -0}f(x)=b-a $$

Например:

(y= begin{cases} x+1, xlt 2\ 3-x^2, xgeq 2 end{cases} , x_0=2)
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}f(x)= lim_{xrightarrow 2-0}(x+1)=3\ lim_{xrightarrow 2+0}f(x)= lim_{xrightarrow 2+0}(3-x^2)=-1 end{gather*} Пределы не равны, но конечны.

Функция в точке (x_0=2) делает скачок вниз. Величина скачка: $$ triangle y=-1-3=-4 $$

п.7. Точки разрыва второго рода

В точках разрыва 2-го рода хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует.

Например:

(y=e^frac1x, x_0=0)

(x_0=0ne D) – точка не входит в ОДЗ
Односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}e^frac1x=e^{frac{1}{-0}}=e^{-infty}=0\ lim_{xrightarrow +0}e^frac1x=e^{frac{1}{+0}}=e^{+infty}=+infty end{gather*} Пределы не равны между собой, и один и них бесконечен.

Точка (x_0=0) – точка разрыва второго рода.

На практике, при моделировании реальных процессов, разрывы 2-го рода в функциональных зависимостях встречаются довольно часто. Их положено заботливо анализировать и тщательно обходить, выбирая рабочие участки характеристических кривых, – чтобы «система не пошла в разнос».

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

На входе: функция (y=f(x))
Шаг 1. Найти ОДЗ функции, определить точки и промежутки, не принадлежащие ОДЗ.
Шаг 2. Составить множество точек, в которое входят точки и границы промежутков, не принадлежащие ОДЗ, а также – для кусочно-непрерывных функций – точки сшивания. Полученное множество состоит из точек, подозрительных на разрыв.
Шаг 3. Исследовать каждую из точек, подозрительных на разрыв, с помощью односторонних пределов. Если разрыв обнаружен, определить тип разрыва.
На выходе: список точек разрыва и тип разрыва для каждой точки.

п.9. Примеры

Пример 1. Исследуйте функцию на непрерывность:
a) ( y=frac{x+3}{x-1} )
ОДЗ: (x-1ne 0Rightarrow xne 1)
(x_0=1notin D) – точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 1-0}frac{x+3}{x-1}=frac{1-0+3}{1-0-1}=frac{4}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 1+0}frac{x+3}{x-1}=frac{1+0+3}{1+0-1}=frac{4}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_0=1) – точка разрыва 2-го рода.

б) ( y=frac{x}{sqrt{x+2}-2} )
ОДЗ: ( begin{cases} x+2geq 0\ sqrt{x+2}-2ne 0 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2\ sqrt{x+2}ne 2 end{cases} Rightarrow begin{cases} xgeq -2\ xne 2 end{cases} )
(x_0=-2) – левая граница ОДЗ
(x_1=2notin D)- точка не входит в ОДЗ
Точки (x_0) и (x_1) – подозрительные на разрыв

Исследуем (x_0=-2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} – text{предел не существует}\ lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{-2+0}{sqrt{-2+0+2}-2}=frac{-2}{-2}=1 end{gather*} Один из односторонних пределов не существует.
Точка (x_0=-2) – точка разрыва 2-го рода.

Исследуем (x_1=2). Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 2-0}frac{x}{sqrt{x+2}-2} =frac{2-0}{sqrt{2-0+2}-2}=frac{2}{-0}=-infty\ lim_{xrightarrow 2+0}frac{x}{sqrt{x+2}-2}=frac{2+0}{sqrt{2+0+2}-2}=frac{2}{+0}=+infty end{gather*} Односторонние пределы не равны и бесконечны.
Точка (x_1=2) – точка разрыва 2-го рода.

в) ( y=frac{tgx}{3x} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow -0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13\ lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{3x}=frac13lim_{xrightarrow +0}frac{tgx}{x}=frac13cdot 1=frac13 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.

г) ( y= begin{cases} x+1, xlt 3\ x^2+3, xgeq 3 end{cases} )
ОДЗ: (xinmathbb{R})
(x_0=3)- точка сшивания, подозрительная на разрыв.
Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow 3-0}y=lim_{xrightarrow 3-0}(x+1)=3+1=4\ lim_{xrightarrow 3+0}y=lim_{xrightarrow 3+0}(x^2+3)=3^2+3=12 end{gather*} Односторонние пределы конечны, но неравны.
Точка (x_0=3) – точка разрыва 1-го рода, неустранимый разрыв (скачок).
Величина скачка: (lim_{xrightarrow 3+0}y-lim_{xrightarrow 3-0}y=12-4=8)

Пример 2. Доопределите функцию в точке разрыва так, чтобы она стала непрерывной в этой точке:
a) ( y=frac{2x^3-x^2}{7x} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: (frac{2x^3-x^2}{7x}=frac{x^2(2x-1)}{7x}=frac{x(2x-1)}{7}) $$ y=frac{2x^3-x^2}{7x}Leftrightarrow y= begin{cases} frac{x(2x-1)}{7}\ xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}frac{x(2x-1)}{7}=0, lim_{xrightarrow +0}frac{x(2x-1)}{7}=0 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=0).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{2x^3-x^2}{7x}, xne 0\ 0, x=0 end{cases} $$ б) ( y=frac{1-cos4x}{x^2} )
ОДЗ: (xne 0)
(x_0=0notin D)- точка не входит в ОДЗ, подозрительная на разрыв.
Упростим выражение: (frac{1-cos4x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{x^2}=frac{2sin^2 2x}{frac{(2x)^2}{4}}=8left(frac{sin2x}{2x}right)^2) $$ y=frac{1-cos4x}{x^2}Leftrightarrow y= begin{cases} 8left(frac{sin2x}{2x}right)^2\ xne 0 end{cases} $$ Найдем односторонние пределы: begin{gather*} lim_{xrightarrow -0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8, lim_{xrightarrow +0}8left(frac{sin2x}{2x}right)^2=8cdot 1=8 end{gather*} Односторонние пределы конечны и равны.
Точка (x_0=0) – точка разрыва 1-го рода, устранимый разрыв.
Доопределить функцию нужно значением предела в точке разрыва: (y(0)=8).
Доопределенная непрерывная функция: $$ y= begin{cases} frac{1-cos4x}{x^2}, xne 0\ 8, x=0 end{cases} $$

Источник

Непрерывность функции:

Непрерывные функции, точки разрыва и их классификация, действия над непрерывными функциями, свойства функций, непрерывных на сегменте.

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если:

функция определена в точке x₀ и в некоторой ее окрестности, содержащей эту точку;
функция имеет предел при х → x₀;
предел функции при х → x₀ равен значению функции в точке x₀:
(10.1)

Если в точке x₀ функция непрерывна, то точка x₀ называется точкой непрерывности функции.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию в точке х = 1.

Решение:

Чтобы доказать, что функция непрерывна в точке х = 1, необходимо проверить выполнение трех следующих условий (определение непрерывности):

Таким образом, доказано, что функция непрерывна в точке х = 1.

Замечание:

Формулу (10.1) можно записать в виде
(10.2)
так как . Это значит, что при нахождении предела непрерывной функции можно переходить к пределу под знаком функции.

Введем понятие непрерывности функции в точке х₀ справа и слева.
Если, существует f(x) = f(x₀), то функция называется непрерывной в точке x₀ слева. Аналогично определяется непрерывность функции справа.

Так как ∆x = x-x₀, a ∆y = f(x)-(x₀), то условие (10.1) равносильно следующему:

Определение:

Функция у = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции
(10.3)

Пример:

Показать, что функция у = х³ непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y.

∆y= (x+∆x)³-x³ = x³+3x²∆x+3x∆x²+∆x³-x³ = 3x²∆x+3x∆x²+∆x³.

Используя теоремы о пределе суммы и произведения функции, получим
(3x²∆x 4- 3x∆x² + ∆x³) = 0.

Следовательно, функция у = х³ непрерывна при — ∞< х < ∞.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение:

Точка х₀ называется точкой разрыва функции у = f(x), если она принадлежит области определения функции или ее границе и не является точкой непрерывности.

Так, например, функция (рис. 89) терпит разрыв при х = 1. Эта функция не определена в точке х = 1, и не существует предела функции в этой точке.

Рис. 89. График функции

Определение:

Точка разрыва x₀ функции у = f(x) называется точкой устранимого разрыва, если существуют оба односторонних предела в точке x₀ и они равны, т. е.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке x=-1 функция не определена, так как, выполнив подстановку, получаем неопределенность . В других точках дробь можно сократить на (1 + х), так как в них 1 + х ≠ 0. Легко видеть, что односторонние пределы слева и справа в точке х = — 1 равны между собой и их можно вычислить:

Таким образом, при x = -1 данная функция имеет устранимый разрыв.
Он будет устранен, если положить, что при x = -1 ⇒ у == 3.

Определение:

Если в точке x₀ односторонние пределы слева и справа существуют, но не равны, точка x₀ называется точкой разрыва I рода.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию
(рис. 90).

Рис. 90. График функции

Решение: Вычислим односторонние пределы функции в точке ее разрыва х = 4.

Предел слева —.
Предел справа — .
Пределы слева и справа существуют, но не равны, следовательно, точка x = 4 для данной функции — точка разрыва I рода (точка скачка).

Определение:

Точки разрыва, не являющиеся точками разрыва I рода, называются точками разрыва II рода.

В точках разрыва II рода не существует хотя бы один из односторонних пределов. Функция , представленная на рис. 89, не имеет ни левого, ни правого конечного предела в точке х = 1. Следовательно, для данной функции x = 1 является точкой разрыва II рода.

Действия над непрерывными функциями

Теорема:

Непрерывность суммы, произведения и частного непрерывных функций. Если функции ϕ(x) и ψ(x) непрерывны в точке Хо, то их сумма и произведение также непрерывны в точке x₀. Если, кроме того, знаменатель в рассматриваемой точке не равен нулю, то частное непрерывных функций есть функция непрерывная.

Докажем непрерывность произведения.

Дано: непрерывность функций в точке x₀:
и

Доказать, что f(x) — ϕ(x) ∙ ψ(x) есть функция непрерывная в точке x₀, т. е. f(x) — f(x₀).

Доказательство:
f(x) = [ϕ(x) ∙ ψ(x)] = ϕ(x) ∙ ψ(x) = ϕ(x₀) ∙ ψ(x₀) = f(x₀).

Можно строго доказать, что все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях х, для которых они определены.

Например, степенная у = xⁿ, показательная у = , тригонометрические у = sin х и у = cos х функции непрерывны на всей числовой оси (х ∈ R), логарифмическая функция непрерывна при х > 0, а тригонометрическая у = tg x непрерывна в каждом из интервалов и терпит разрыв II рода в точках (k = 0; ±1; ±2;…).

Теорема:

Непрерывность сложной функции. Если функция и = ϕ(x) непрерывна в точке x₀, а функция у = f(u) непрерывна в точке и₀ = ϕ(x₀), то сложная функция у = f [ϕ(x)] непрерывна в точке x₀.

Без доказательства.

В заключение этого раздела рассмотрим два предела, которые нам понадобятся в дальнейшем.

Пример:

Вычислить

Решение:

Заметим, что при х → 0 числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, т.е. имеет место неопределенность вида . Выполним преобразование

Так как данная логарифмическая функция непрерывна в окрестности точки х = 0, то можно перейти к пределу под знаком функции ( f(x)= f (x)).

но — второй замечательный предел.

Следовательно,
(10.4)

В частности, при а = е
(10.5)

Таким образом, у = ln( 1 + х) и у = х — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Пример:

Вычислить

Решение:

Здесь мы имеем дело с неопределенностью вида . Для нахождения предела сделаем замену переменной, положив — 1 = t. Тогда . При х → 0 также и t → 0.

Так как на основании результата, полученного в предыдущем примере, то
(10.6)

В частности, если а = е, имеем

т.е. у = — 1 и y = x — эквивалентные бесконечно малые функции при х → 0.

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Определение:

Функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], если она непрерывна во всех внутренних точках Этого сегмента, а на концах сегмента (в точках a и b) непрерывна соответственно справа и слева.

Теорема:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b], то она достигает на этом сегменте своего наибольшего и(или) наименьшего значения.

Простым доказательством этой теоремы, является геометрическая иллюстрация функции у = f(x) на рисунке 91. Непрерывная на сегменте [α, b] функция достигает наименьшего своего значения в точке х = x₁= а, а наибольшего значения в точке х₂.

Рис. 91. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.3

Следствие:

Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Действительно, если по теореме 10.3 функция достигает на сегменте наибольшего M и наименьшего т значений, то имеет место неравенство m ≤ f(x) ≤ M для всех значений функции на рассматриваемом сегменте. Т. е. |f(x)| ≤ M и, следовательно, функция у = f(x) ограничена на сегменте [а, b].

Теорема:

Теорема Больцано-Коши. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] и на ее концах принимает значения разных знаков, то внутри этого сегмента найдется, по крайней мере, одна тонка С, в которой функция равна нулю.

Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки графика функции у = f(x), соответствующие концам сегмента [a, b], лежат по разные стороны от оси ОХ, то этот график хотя бы в одной точке сегмента пересекает ось OX. На данном рисунке 92 это три точки x₁, x₂, x₃.

Рис. 92. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.4

Теорема:

О промежуточных значениях функции. Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [α, b] и f(α) = A и f(b) = В, то для любого числа С, заключенного между A и B, найдется внутри этого сегмента такая точка с, что f(c) = С.

Из графика на рисунке 93 видно, что непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно проходит через все промежуточные значения.

Рис. 93. Геометрическая иллюстрация условий теоремы 10.5

Теорема:

О непрерывности обратной функции.) Если функция у = f(x) непрерывна на сегменте [а, b] в возрастает (убывает) на этом сегменте, то обратная функция х = f⁻¹(y) на соответствующем сегменте оси OY существует и является также непрерывной возрастающей (убывающей) функцией.

Эту теорему мы принимаем без доказательства.

Решение на тему: Непрерывная функция

Пример:

Показать, что функция у = 4x² непрерывна в точке х = 2.

Решение:

Для этого необходимо показать, что в точке х = 2 выполняется все три условия непрерывности функции:

1) функция у = 4х² определена в точке х = 2 ⇒ f(2) = 16;
2) существует f(x) = 4x²= 16;
3) этот предел равен значению функции в точке х = 2

f(x) = f(2) = 16.

Пример:

Показать, что функция у = sin x непрерывна для любого значения аргумента х.

Решение:

Найдем приращение функции ∆y, используя формулы тригонометрических тождеств

Так как то при любом х имеем

Следовательно, функция у = sin x непрерывна при -∞ < х < ∞.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Рис. 94. График функции примера 10.3

Эта функция (рис. 94) определена во всех точках сегмента [0,4] и ее значение при х = 3 ⇒ у = 2. Функция терпит разрыв, так как она не имеет предела при х → 3 :

Следовательно, точка х = 3, точка разрыва первого рода. При этом в граничных точках исследуемого сегмента [0,4], функция f(x) непрерывна справа (х = 0) и непрерывна слева (х = 4).

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 5 функция не определена, т.к., выполнив подстановку, получаем неопределенность вида 0/0. Легко доказать, что

Следовательно, точка х = 5 точка устранимого разрыва.

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция (рис. 95) терпит разрыв, так как она не определена в этой точке. Пределы функции слева и справа от точки х = 0 равны ∞. Следовательно, точка х = 0 для данной функции является точкой разрыва второго

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

В точке х = 0 функция терпит разрыв 1-го рода, так как односторонние пределы существуют в этой точке, но не равны:
предел слева
предел справа

Рис. 95. График функции

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию .

Решение:

Функция определена для всех значений х, кроме x = 0.B этой точке она имеет разрыв. Точка х = 0 есть точка разрыва II рода, так как при х → 0 как справа, так и слева, функция , колеблясь между -1 и 1, не приближается ни к какому числовому значению. График ее приведен на рис. 96.

Рис. 96. График функции

Пример:

Исследовать на непрерывность функцию

Решение:

Функция не определена в точке х = 0. Точка х = 0 является точкой разрыва I рода, так как при х → 0 существуют пределы справа и слева:

Если доопределить функцию в точке х = 0, полагая f(0) = 1, то получим уже непрерывную функцию, определенную так:
f(х) =, если х ≠ 0; f(0) = 1.

Доопределив функцию в точке х = 0, мы устранили разрыв.

Непрерывность функций

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Решение заданий и задач по предметам:

Математика
Высшая математика
Математический анализ
Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

Тождественные преобразования алгебраических выражений
Функции и графики
Преобразования графиков функций
Квадратная функция и её графики
Алгебраические неравенства
Неравенства
Неравенства с переменными
Прогрессии в математике
Арифметическая прогрессия
Геометрическая прогрессия
Показатели в математике
Логарифмы в математике
Исследование уравнений
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней с одним неизвестным
Комплексные числа
Непрерывная дробь (цепная дробь)
Алгебраические уравнения
Неопределенные уравнения
Соединения
Бином Ньютона
Число е
Непрерывные дроби
Функция
Исследование функций
Предел
Интеграл
Двойной интеграл
Тройной интеграл
Интегрирование
Неопределённый интеграл
Определенный интеграл
Криволинейные интегралы
Поверхностные интегралы
Несобственные интегралы
Кратные интегралы
Интегралы, зависящие от параметра
Квадратный трехчлен
Производная
Применение производной к исследованию функций
Приложения производной
Дифференциал функции
Дифференцирование в математике
Формулы и правила дифференцирования
Дифференциальное исчисление
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения в частных производных
Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения и неравенства
Показательная функция
Показательные уравнения
Обобщенная степень
Взаимно обратные функции
Логарифмическая функция
Уравнения и неравенства
Положительные и отрицательные числа
Алгебраические выражения
Иррациональные алгебраические выражения
Преобразование алгебраических выражений
Преобразование дробных алгебраических выражений
Разложение многочленов на множители
Многочлены от одного переменного
Алгебраические дроби
Пропорции
Уравнения
Системы уравнений
Системы уравнений высших степеней
Системы алгебраических уравнений
Системы линейных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Арифметический квадратный корень
Квадратные и кубические корни
Извлечение квадратного корня
Рациональные числа
Иррациональные числа
Арифметический корень
Квадратные уравнения
Иррациональные уравнения
Последовательность
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Тригонометрические функции произвольного угла
Тригонометрические формулы
Обратные тригонометрические функции
Теорема Безу
Математическая индукция
Показатель степени
Показательные функции и логарифмы
Множество
Множество действительных чисел
Числовые множества
Преобразование рациональных выражений
Преобразование иррациональных выражений
Геометрия
Действительные числа
Степени и корни
Степень с рациональным показателем
Тригонометрические функции угла
Тригонометрические функции числового аргумента
Тригонометрические выражения и их преобразования
Преобразование тригонометрических выражений
Комбинаторика
Вычислительная математика
Прямая линия на плоскости и ее уравнения
Прямая и плоскость
Линии и уравнения
Прямая линия
Уравнения прямой и плоскости в пространстве
Кривые второго порядка
Кривые и поверхности второго порядка
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряды Фурье
Преобразование Фурье
Функциональные ряды
Функции многих переменных
Метод координат
Гармонический анализ
Вещественные числа
Предел последовательности
Аналитическая геометрия
Аналитическая геометрия на плоскости
Аналитическая геометрия в пространстве
Функции одной переменной
Высшая алгебра
Векторная алгебра
Векторный анализ
Векторы
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
Операции над векторами
Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Предел и непрерывность функции одной переменной
Производные и дифференциалы функции одной переменной
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
Матрицы
Линейные и евклидовы пространства
Линейные отображения
Дифференциальные теоремы о среднем
Теория устойчивости дифференциальных уравнений
Функции комплексного переменного
Преобразование Лапласа
Теории поля
Операционное исчисление
Системы координат
Рациональная функция
Интегральное исчисление
Интегральное исчисление функций одной переменной
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Отношение в математике
Математическая логика
Графы в математике
Линейные пространства
Первообразная и неопределенный интеграл
Линейная функция
Выпуклые множества точек
Система координат

Источник

Непрерывность функции

4 раздела

от теории до практики

1 пример

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Понятие непрерывности функции.

Начать изучение
Точки разрыва.

Начать изучение
Свойства функций, непрерывных в точке.

Начать изучение
Локальные свойства непрерывной функции.

Начать изучение
Непрерывность суммы, произведения и частного.

Начать изучение
Непрерывность сложной функции.

Начать изучение
Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Начать изучение
Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Начать изучение
Достижимость точных граней.

Начать изучение
Промежуточные значения.

Начать изучение
Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Начать изучение

Понятие непрерывности функции.

Определение 1

Функция (f(x)), определенная в некоторой окрестности точки (a), называется непрерывной в точке (a), если
$$
displaystyle lim_{xrightarrow a}f(x)=f(a)label{ref1}
$$

Таким образом, функция (f) непрерывна в точке (a), если выполнены следующие условия:

функция (f) определена в некоторой окрестности точки (a), то есть существует число (delta_0>0) такое, что (U_{delta_{0}}(a)subset D(f));
существует (displaystyle lim_{xrightarrow a}f(x)=A);
(A=f(a)).

Определение непрерывности функции (f(x)) в точке (a), выраженное условием eqref{ref1}, можно сформулировать с помощью неравенств (на языке (varepsilon-delta)), с помощью окрестностей и в терминах последовательностей соответственно в виде

(forall varepsilon>0 existsdelta>0:quadforall x:|x-a| < deltarightarrow|f(x)-f(a)| < varepsilon,)
(forall varepsilon>0 existsdelta>0:quadforall xin U_{delta}(a)rightarrow f(x)in U_{varepsilon}(f(a)),)
(displaystyleforall{x_{n}}: lim_{nrightarrowinfty}x_{n}=arightarrowlim_{nrightarrowinfty}f(x_{n})=f(a).)

Следует обратить внимание на то, что в определении непрерывности функции, в отличие от определения предела, рассматривается полная, а не проколотая окрестность точки (a), и пределом функции является значение этой функции в точке (a).

Назовем разность (x-a) приращением аргумента и обозначим (Delta x), а разность (f(x)-f(a)) — приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента (Delta x), и обозначим (Delta y). Таким образом,
$$
Delta x=x-a,;Delta y=f(x)-f(a)=f(a+Delta x)-f(a).nonumber
$$

При этих обозначениях равенство eqref{ref1} примет вид
$$
lim_{Delta xrightarrow 0}Delta y=0.nonumber
$$

Таким образом, непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Пример 1

Показать, что функция (f(x)) непрерывна в точке (a), если:

(f(x)=x^3, a=1);
(f(x)=displaystyle frac{1}{x^{2}}, aneq 0);
(f(x)=sqrt{x}, a>0);
(f(x)=displaystyle left{begin{array}{lc}xsinfrac1x,&xneq0,\0,&x=0,end{array}right.a=0)

Решение

(triangle)Если (xrightarrow 1), то по свойствам пределов (S 10, (11)) получаем (x^3rightarrow 1), то есть для функции (f(x)=x^3) в точке (x=1) выполняется условие eqref{ref1}. Поэтому функция (x^3) непрерывна в точке (x=1).
Если (xrightarrow a), где (aneq 0), то, используя свойства пределов (S 10), получаем (displaystyle frac{1}{x}rightarrowfrac{1}{a},;displaystyle frac{1}{x^{2}}rightarrowfrac{1}{a^{2}}), то есть Функция (displaystyle frac{1}{x^{2}}) непрерывна в точке (x=a,;(aneq 0)).
Так как (displaystyle |sqrt{x}-sqrt{a}|=frac{|x-a|}{sqrt{x}+sqrt{a}}), то отсюда получаем (0leq|sqrt{x}-sqrt{a}|;<;displaystylefrac{|x-a|}{sqrt{a}}). Следовательно, (sqrt{x}-sqrt{a}rightarrow 0) при (xrightarrow a). Это означает, что функция (sqrt{x}) непрерывна в точке (a), где (a>0).
Функция (f) определена на (mathbb{R}), и при любом (xinmathbb{R}) выполняется неравенство (0leq|f(x)-f(0)|=|f(x)|leq|x|), так как (left|sin{frac{1}{x}}right|leq1) при (xneq 0). Следовательно, (displaystyle lim_{xrightarrow 0}f(x)=f(0)=0), то есть функция (f) непрерывна в точке (x=0.quadblacktriangle)

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция (f) определена на полуинтервале ((a-delta,a]) и (displaystyle lim_{xrightarrow a-0}f(x)=f(a)), то есть(f(a-0)=f(a)), то эту функцию называют непрерывной слева в точке (a).

Аналогично, если функция (f) определена на полуинтервале ([a,a+delta)) и (f(a+0)=f(a)), то эту функцию называют непрерывной справа в точке (a).

Например, функция (f(x)=[x]) непрерывна справа в точке (x=1) и не является непрерывной слева в этой точке, так как (f(1-0)=0,;f(1+0)=f(1)=1).

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Точки разрыва.

Будем предполагать, что функция (f) определена в некоторой проколотой окрестности точки (a).

Точку (a) назовем точкой разрыва функции (f), если эта функция либо не определена в точке (a), либо определена, но не является непрерывной в точке (a).

Следовательно, (a) — точка разрыва функции (f), если не выполняется по крайней мере одно из следующих условий:

(ain D(f));
существует конечный (displaystyle lim_{xrightarrow a}f(x)=A);
(A=f(a)).

Определение 2

Если (a) — точка разрыва функции (f), причем в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, то есть (displaystyle lim_{xrightarrow a-0}f(x)=f(a-0)) и (displaystyle lim_{xrightarrow a+0}f(x)=f(a+0)), то точку (a) называют точкой разрыва первого рода.

Замечание 1

Если (x=a) — точка разрыва первого рода функции (f(x)), то разность (f(a+0)-f(a-0)) называют скачком функции в точке (a). В случае когда (f(a+0)=f(a-0)), точку (a) называют точкой устранимого разрыва. Полагая (f(a)=f(a+0)=f(a-0)=A), получим функцию
$$
f(x)=left{begin{array}{l}f(x),;если;xneq a,\A,;если;x=a,end{array}right.nonumber
$$
непрерывную в точке (a) и совпадающую с (f(x)) при (xneq a). В этом случае говорят, что функция доопределена до непрерывности в точке (a).

Пусть (x=a) — точка разрыва функции (f), не являющаяся точкой разрыва первого рода. Тогда ее называют точкой разрыва второго рода функции (f). В такой точке хотя бы один из односторонних пределов либо не существует, либо бесконечен.

Например, для функции (f(x)=displaystyle xsin{frac{1}{x}}) точка (x=0) — точка разрыва первого рода. Доопределив эту функцию по непрерывности, получим функцию
$$
overline{f}(x)=left{begin{array}{ll}
xsin{frac{1}{x}},;если;xneq 0,\
0,;если;x=0,
end{array}right.nonumber
$$
непрерывную в точке (x=0), так как
$$
lim_{xrightarrow 0}xsinfrac{1}{x}=0.nonumber
$$

Для функций (displaystyle sin{frac{1}{x}}) и (displaystyle frac{1}{x^2}) точка (x=0) — точка разрыва второго рода.

Теорема 1

Если функция (f) определена на отрезке ([a,b]) и монотонна, то она может иметь внутри этого отрезка точки разрыва только первого рода.

Доказательство

(circ) Пусть (x_0) — произвольная точка интервала ((a,b)). Функция (f) имеет в точке (x_{0}) конечные пределы слева и справа. Если, например, (f) — возрастающая функция, то
$$
f(x_{0}-0)leq f(x_{0})leq f(x_{0}+0),nonumber
$$
где (f(x_{0}-0)) и (f(x_{0}+0)) — соответственно пределы функции (f) слева и справа в точке (x_{0}).

В том случае, когда (f(x_{0}-0)neq f(x_{0}+0)) , точка (x_{0}) является точкой разрыва первого рода функции (f); если же (f(x_{0}-0)=f(x_{0}+0)), то точка (x_{0}) есть точка непрерывности функции (f). Аналогичное утверждение справедливо и для убывающей функции.(bullet)

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Свойство 1

Если функция (f) непрерывна в точке (a), то она ограничена в некоторой окрестности этой точки, то есть
$$
existsdelta>0quadexists C>0:;forall xin U_{delta}(a)rightarrow|f(x)|leq Cnonumber
$$

Свойство 2

Если функция (f) непрерывна в точке (a), причем (f(a)neq 0), то в некоторой окрестности точки (a) знак функции совпадает со знаком числа (f(a)), то есть
$$
existsdelta>0:quadforall xin U_{delta}(a)rightarrow operatorname{sign} f(x)=operatorname{sign} f(a).nonumber
$$

(circ) Эти утверждения следуют из свойств пределов. (bullet)

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Свойство 3

Если функции (f) и (g) непрерывны в точке (a), то функции (f+g), (fg) и (f/g) (при условии (g(a)neq 0)) непрерывны в точке (a).

(circ) Это утверждение следует из определения непрерывности и свойств пределов. (bullet)

Непрерывность сложной функции.

Напомним, что такое сложная функция.

Пусть функции (y=varphi(x)) и (z=f(y)) определены на множествах (X) и (Y) соответственно, причем множество значений функции (varphi) содержится в области определения функции (f). Тогда функция, которая принимает при каждом (xin X) значение (F(x)=f(varphi(x))), называется сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций (varphi) и (f).

Теорема 2

Если функция (z=f(y)) непрерывна в точке (y_0), а функция (y=varphi(x)) непрерывна в точке (x_0), причем (y_0=varphi(x_0)), то в некоторой окрестности точки (x_0) определена сложная функция (f(varphi(x_0))), и эта функция непрерывна в точке (x_0).

Доказательство

(circ) Пусть задано произвольное число (varepsilon>0). В силу непрерывности функции (f) в точке (y_0) существует число (rho=rho(varepsilon)>0) такое, что (U_rho(y_0)subset D(f)) и
$$
forall yin U_rho(y_0)rightarrow f(y)in U_{varepsilon}(z_{0}),label{ref2}
$$
где (z_{0}=f(y_{0})).

В силу непрерывности функции (varphi) в точке (x_{0}) для найденного в eqref{ref2} числа (rho>0) можно указать число (delta=delta_{rho}=delta(varepsilon)>0) такое, что
$$
forall xin U_delta(x_0)rightarrow phi (x)in U_rho (y_0).label{ref2′}
$$

Из условий eqref{ref2} и eqref{ref2′} следует, что на множестве (U_delta(x_0)) определена сложная функция (f(varphi(x))), причем
$$
forall xin U_delta(x_0)rightarrow f(y)=f(varphi(x))in U_{varepsilon}(z_{0}),nonumber
$$
где (z_0=f(varphi(x_0))=f(y_{0})), то есть
$$
forall varepsilon>0;exists delta>0:quad forall хin U_delta(x_0)rightarrow f(varphi(х))in U_varepsilon(varphi(x_0)).nonumber
$$

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция (f(varphi(x))) непрерывна в точке (x_0). (bullet)

Замечание 2

Соответствие между окрестностями точек (x_0, y_0, z_0) представлено на рис. 11.1. По заданному числу (varepsilon>0) сначала находим (rho>0), а затем для чисел (rho>0) находим (delta>0).

Рис. 11.1

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функцию (f(x)) называют непрерывной на отрезке ([a,b]), если она непрерывна в каждой точке интервала ((a,b)) и, кроме того, непрерывна справа в точке (a) и непрерывна слева в точке (b).

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 3

(Теорема Вейерштрасса)

Если функция (f) непрерывна на отрезке ([a,b]), то она ограничена, то есть
$$
exists C>0:forall xin[a, b]rightarrow|f(x)|leq C.label{ref3}
$$

Доказательство

(circ) Предположим противное, тогда
$$
forall C>0;exists x_{C}in [a,b]:;|f(x_{C})|>C.label{ref4}
$$

Полагая в этом выражении (C=1,2ldots,n,ldots,) получим, что
$$
forall ninmathbb{N}quadexists x_{n}in[a,b]:;|f(x_{n})|>n.label{ref5}
$$

Последовательность (x_n) ограничена, так как (aleq x_{n}leq b) для всех (ninmathbb{N}). По теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то есть существуют подпоследовательность (x_{n_k}) и точка (xi) такие, что
$$
lim_{krightarrowinfty}x_{n_{k}}=xi,label{ref6}
$$
где в силу условия eqref{ref5} для любого (kinmathbb{N}) выполняется неравенство
$$
aleq x_{n_{k}}leq b.label{ref7}
$$

Из условий eqref{ref6} и eqref{ref7} следует, что (xiin [а,b]) а из условия eqref{ref6} в силу непрерывности функции (f) в точке (xi) получаем
$$
displaystyle lim_{krightarrowinfty}f(x_{n_{k}})=f(xi).label{ref8}
$$

С другой стороны. утверждение eqref{ref5} выполняется при всех (ninmathbb{N}) и, в частности, при (n=n_k;(k=1,2,ldots)), то есть
$$
|f(x_{n_{k}})|>n_{k},nonumber
$$
откуда следует, что (displaystyle lim_{krightarrowinfty}f(x_{n_{k}})=infty), так как (n_{k}rightarrow +infty) при (krightarrowinfty). Это противоречит равенству eqref{ref8}, согласно которому последовательность ({f(x_{n_{k}})}) имеет конечный предел. По этому условие eqref{ref4} не может выполняться, то есть справедливо утверждение eqref{ref3}. (bullet)

Замечание 3

Теорема Вейерштрасса неверна для промежутков, не являющихся отрезками. Например, функция (f(x)=displaystyle frac{1}{x}) непрерывна на интервале ((0,1)), но не ограничена на этом интервале. Функция (f(x)=x^{2}) непрерывна на (mathbb{R}), но не ограничена на (mathbb{R}).

Достижимость точных граней.

Теорема 4

(Теорема Вейерштрасса)

Если функция (f) непрерывна на отрезке ([a,b]), то она достигает своей точной верхней и нижней грани, то есть
$$
existsxiin[a,b]:quad f(xi)=sup_{xin [a,b]} f(x),label{ref9}
$$

$$
existswidetilde{xi}in[a,b]:quad f(widetilde{xi})= displaystyle inf_{xin [a,b]} f(x).label{ref10}
$$

Доказательство

(circ) Так как непрерывная на отрезке функция (f(x)) ограничена (теорема 3), то есть множество значений, принимаемых функцией (f) на отрезке ([a,b]), ограничено, то существуют (displaystyle sup_{xin[a,b]}f(x)) и (displaystyle inf_{xin[a,b]}f(x)).

Докажем утверждение eqref{ref9}. Обозначим (M=displaystyle sup_{xin[a,b]}f(x)). В силу определения точной верхней грани выполняются условия
$$
forall хin [a,b]rightarrow f(x)leq M,label{ref11}
$$
$$
forallvarepsilon>0;exists x(varepsilon)in[a,b]:quad f(x(varepsilon))>M-varepsilon.label{ref12}
$$

Полагая (varepsilon=displaystyle frac{1}{2}, displaystyle frac{1}{3},ldots,frac{1}{n},ldots), получим в силу условия eqref{ref12} последовательность({x_n}), где (x_n=displaystyle xleft(frac1nright)), такую, что для всех (ninmathbb{N}) выполняются условия
$$
x_nin [a,b],label{ref13}
$$
$$
f(x_{n})>M-displaystyle frac{1}{n}.label{ref14}
$$

Из соотношений eqref{ref11}, eqref{ref13} и eqref{ref14} следует, что
$$
forall ninmathbb{N}rightarrow M-frac{1}{n};<;f(x_{n})leq M,nonumber
$$
откуда получаем
$$
lim_{xrightarrowinfty}f(x_{n})=M.label{ref15}
$$

Как и в теореме 3, из условия eqref{ref13} следует, что существуют подпоследовательность ({x_{n_k}}) последовательности ({x_n}) и точка (xi) такие, что
$$
lim_{krightarrowinfty}x_{n_k}=xi,quad где xiin[a,b].nonumber
$$
В силу непрерывности функции (f) в точке (xi)
$$
lim_{krightarrowinfty} f(x_{n_{k}})=f(xi).label{ref16}
$$
С другой стороны, ({f(x_{n_{k}})}) — подпоследовательность последовательности ({f(x_{n})}), сходящейся, согласно условию eqref{ref15}, к числу (М). Поэтому
$$
lim_{krightarrowinfty}f(x_{n_{k}})=M.label{ref17}
$$
В силу единственности предела последовательности из eqref{ref16} и eqref{ref17} заключаем, что (f(xi)=M=displaystyle sup_{xin [a,b]}f(x)). Утверждение eqref{ref9} доказано. Аналогично доказывается утверждение eqref{ref10}. (bullet)

Замечание 4

Теорема 4 неверна для интервалов: функция, непрерывная на интервале, может не достигать своих точных граней. Например, функция (f(x)=x^{2}) не достигает на интервале (0,1) своей точной нижней грани, равной нулю, и точной верхней грани, равной единице.

Промежуточные значения.

Теорема 5

(теорема Коши о нулях непрерывной функции)

Если функция (f) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает в его концах значения разных знаков, то есть (f(a)f(b);<;0), то на отрезке [a,b] имеется хотя бы один нуль функции (f), то есть
$$
exists cin[a,b]:; f(c)=0.label{ref18}
$$

Доказательство

(circ) Разделим отрезок ([a,b]) пополам. Пусть (d) — середина этого отрезка. Если (f(d)=0), то теорема доказана, а если (f(d)neq 0), то в концах одного из отрезков ([a,d], [d,b]) функция (f) принимает значения разных знаков. Обозначим этот отрезок (Delta_{1}=[a_{1},b_{1}]). Пусть (d_{1}) — середина отрезка (Delta_1). Возможны два случая:

(f(d_{1})=0), тогда теорема доказана;
(f(d_{1})neq 0), тогда в концах одного из отрезков ([a_{1},d_{1}],;[d_{1},b_{1}]) функция (f) принимает значения разных знаков; такой отрезок обозначим (Delta_{2}=[a_{2},b_{2}]).

Продолжая эти рассуждения, получим:

1. либо через конечное число шагов найдется точка (cin [a,b]) такая, что (f(c)=0); тогда теорема доказана;
2. либо существует последовательность отрезков ({Delta_n}) такая, что (f(a_{n})f(b_{n});<;0) для всех (ninmathbb{N}), где (Delta_n=[a_{n},b_{n}]).

Во втором случае последовательность отрезков является стягивающейся (S 6,п.4), так как (Delta_nsubsetDelta_{n-1}) для любого (ninmathbb{N}) и
$$
b_{n}-a_{n}=displaystyle frac{b-a}{2^{n}}.label{ref19}
$$

По теореме Кантора существует точка (c), принадлежащая всем отрезкам последовательности ({Delta_n}), то есть
$$
exists c:;forall ninmathbb{N}rightarrow сin [a_{n},b_{n}]subset[a,b].label{ref20}
$$

Докажем, что
$$
f(с)=0.label{ref21}
$$

Предположим, что равенство eqref{ref21} не выполняется. Тогда либо (f(с)>0), либо (f(с);<;0). Пусть, например, (f(с)>0). По свойству сохранения непрерывной функцией знака (п.3 а))
$$
existsdelta>0:quad хin U_delta(c)rightarrow f(x)>0.label{ref22}
$$

С другой стороны, из неравенства eqref{ref19} следует, что (b_{n}-a_{n}rightarrow 0) при (nrightarrowinfty), и поэтому
$$
exists n_0inmathbb{N}:quad b_{n_{0}}-a_{n_{0}};<;delta.label{ref23}
$$

Так как (cinDelta_{n_0}) в силу условия eqref{ref20}, то из eqref{ref23}следует, что (Delta_{n_0}subset U_{delta}(c)) и согласно условию eqref{ref22} во всех точках отрезка (Delta_{n_0}) функция (f) принимает положительные значения. Это противоречит тому, что в концах каждого из отрезков (Delta_n) функция (f) принимает значения разных знаков.

Полученное противоречие доказывает, что должно выполняться условие eqref{ref21}. (bullet)

Замечание 5

Теорема 5 утверждает, что график функции (y=f(x)), непрерывной на отрезке ([a,b]) и принимающей в его концах значения разных знаков, пересекает ось (Ox) (рис. 11.2) хотя бы в одной точке отрезка ([a,b]).

Рис. 11.2

Теорема 6

(теорема Коши о промежуточных значениях)

Если функция (f) непрерывна на отрезке ([a,b]) и (f(a)neq (b)), то для каждого значения (C), заключенного между (f(a)) и (f(b)), найдется точка (xiin [a,b]) такая, что (f(xi)=C).

Доказательство

(circ) Обозначим (f(a)=A, f(b)=B). По условию (Аneq В). Пусть, например, (A < B). Нужно доказать, что
$$
forall Cin[A,B] existsxiin[a,b]: f(xi)=C.label{ref24}
$$
Если (C=A), то утверждение eqref{ref24} выполняется при (xi=a), а если (C=B), то eqref{ref24} имеет место при (xi=b). Поэтому достаточно рассмотреть случай (A < C < B).

Пусть (varphi(х)=f(x)-C), тогда (varphi(a)=A-C < 0, varphi(b)=B-С>0) и по теореме 5 найдется точка (xiin [a,b]) такая, что (varpi(xi)=0), то есть (f(xi)=C). Утверждение eqref{ref24} доказано. (bullet)

Следствие

Если функция (f) непрерывна на отрезке ([a,b], m=displaystyle inf_{xin[a,b]} f(x), M=displaystyle sup_{xin[a,b]} f(x)), то множество значений, принимаемых функцией (f) на отрезке ([a,b]), есть отрезок ([m,M]).

(circ) Для всех (xin[a,b]) выполняется неравенство (mleq f(x)leq M), причем согласно теореме 4 функция (f) принимает на отрезке ([a,b]) значения, равные (m) и (М). Все значения из отрезка ([m,M]) функция принимает по теореме 6. Отрезок ([m,M]) вырождается в точку, если (f(x)=const) на отрезке ([a,b]). (bullet)

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Ранее мы уже рассматривали понятие обратной функции. Докажем теорему о существовании и непрерывности обратной функции.

Теорема 7

Если функция (y=f(x)) непрерывна и строго возрастает на отрезке ([a,b]), то на отрезке ([f(a),(b)]) определена функция (x=g(y)), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая.

Доказательство

(circ) Существование обратной функции. Обозначим (A=f(a),;B=f(b)). Так как f — возрастающая функция, то для всех (хin [a,b]) выполняется неравенство (Aleq f(x)leq B), где (A= displaystyle inf_{xin[a,b]} f(x),;B=sup_{xin[a,b]}f(x)), и в силу непрерывности f (следствие из теоремы 6) множество значений функции (E(f)=[A,B]).

Согласно определению обратной функции (S 9,п. 9) нужно доказать, что для каждого (у_0in [A,В]) уравнение
$$
f(x)=y_{0}label{ref25}
$$
имеет единственный корень (x=x_{0}), причем (x_0in [a,b]).

Существование хотя бы одного корня уравнения eqref{ref25} следует из теоремы 6. Докажем, что уравнение eqref{ref25} имеет на отрезке ([a,b]) единственный корень.

Предположим, что наряду с корнем (x=x_{0}) уравнение eqref{ref25} имеет еще один корень (x=widetilde{x}_{0}), где (widetilde{x}_{0}neq x_0); тогда (f(widetilde{x_0})=y_{0},;widetilde x_0in[a,b]).

Пусть, например, (widetilde{x}_0>x_0). Тогда в силу строгого возрастания функции (f) на отрезке ([a,b]) выполняется неравенство (f(widetilde{x}_0)>f(x_{0})). С другой стороны, (f(widetilde{x}_0)=f(x_0)=y_{0}). Отсюда следует, что неравенство (widetilde{x}_0>x_{0}) не может выполняться. Следовательно, (widetilde{x}_0=x_0). Существование обратной функции доказано, то есть на отрезке ([A,В]) определена функция (x=f^{-1}(y)=g(y)), обратная к (f), причем ((g)=[a,b]) и
$$
g(f(x))=x,quad xin[a,b],quad f(g(y))=y,quad uin [A,B].label{ref26}
$$

Монотонность обратной функции. Докажем, что (g(y)) — строго возрастающая на отрезке [A,В] функция, то есть
$$
forall;y_{1},;y_{2}in [A,B]:quad y_{1};<;y_{2}rightarrow g(y_{1});<;g(у_2).label{ref27}
$$
Предположим противное; тогда условие eqref{ref27} не выполняется, то есть
$$
exists;widetilde{y}_{1},widetilde{y}_{2}in [A,B]:;widetilde{y}_{1};<;y_2rightarrow g(widetilde{y}_1geq g(widetilde{y}_2).label{ref28}
$$

Обозначим (widetilde{x}_1=g(widetilde{y}_1),;widetilde{x}_2=g(widetilde{y}_2)), тогда (widetilde{x}_1,widetilde{x}_2in [a,b],;widetilde{x}_1geqwidetilde{x}_{2}) в силу eqref{ref28} и (f(widetilde{x}_{1})=widetilde{y}_{1},;f(widetilde{x}_{2})=widetilde{y}_{2}) согласно равенству eqref{ref26}.

Так как (f) — строго возрастающая функция, то из неравенства (widetilde{X}_1geqwidetilde{x}_2) следует неравенство (f(widetilde{x}_{1})geq f(widetilde{x}_{2})), то есть (widetilde{y}_{1}geqwidetilde{y}_{2}), что невозможно, так как (widetilde{y}_1;<;widetilde{y}_{2}) в силу eqref{ref28}. Таким образом, утверждение eqref{ref28} не может выполняться, и поэтому (g(y)) — строго возрастающая функция.

Непрерывность обратной функции. Пусть (y_0) — произвольная точка интервала ((A,B)). Докажем, что функция (g) непрерывна в точке (y_{0}). Для этого достаточно показать, что справедливы равенства
$$
g(y_{0}-0)=g(y_{0}),quad g(y_{0}+0)=g(y_{0}),label{ref29}
$$
где (g(y_{0}-0)) и (g(y_{0}+0)) — пределы функции (g) соответственно слева и справа в точке (y_0).

По теореме о пределах монотонной функции (S 10) пределы функции (g) слева и справа в точке (y_{0}) существуют и выполняются неравенства
$$
g(y_{0}-0)leq g(y_{0})leq g(y_{0}+0).label{ref30}
$$

Пусть хотя бы одно из равенств eqref{ref29} не выполняется, например, (g(y_0-0)neq g(y_0)), тогда
$$
g(y_0-0) < g(y_0).label{ref31}
$$

Так как для всех (yin[A,y_{0})) выполняется неравенство (aleq g(у)leq g(y_0-0)), где (g(у_0-0)=displaystyle sup_{Aleq y;<;y_0}g(y)), а при всех (yin [y_0,B]) справедливо неравенство (g(y_0)leq g(y)leq b), то из условия eqref{ref31} следует, что интервал (Delta=(g(y_0-0),g(y_{0}))) не принадлежит множеству значений функции (g). Это противоречит тому, что все точки отрезка ([a,b]), в том числе и точки интервала (Delta), принадлежат множеству E(g). Итак, первое из равенств eqref{ref29} доказано. Аналогично доказывается справедливость второго из равенств eqref{ref29}.

Тем же способом устанавливается, что функция (g) непрерывна справа в точке (A) и непрерывна слева в точке (B). (bullet)

Замечание 6

Если функция (f) непрерывна и строго убывает на отрезке ([a,b]), то обратная к ней функция (g) непрерывна и строго убывает на отрезке ([f(b),f(a)]).

Замечание 7

Аналогично формулируется и доказывается теорема о функции (g), обратной к функции (f), для случаев, когда функция (f) задана на интервале (конечном либо бесконечном) и полуинтервале.
Если функция (f) определена, строго возрастает и непрерывна на интервале ((a,b)), то обратная функция (g) определена, строго возрастает и непрерывна на интервале ((A,B)), где
$$
A=lim_{xrightarrow a+0}f(x),quad B=lim_{xrightarrow b-0}f(x).nonumber
$$

Источник

Эта статья — о непрерывной числовой функции. О непрерывных отображениях в различных разделах математики см. непрерывное отображение.

Непрерывная функция — функция, которая меняется без мгновенных «скачков» (называемых разрывами), то есть такая, малые изменения аргумента которой приводят к малым изменениям значения функции.
График непрерывной функции является непрерывной линией.

Непрерывная функция, вообще говоря, синоним понятия непрерывное отображение, тем не менее чаще всего этот термин используется в более узком смысле — для отображений между числовыми пространствами, например, на вещественной прямой.
Эта статья посвящена именно непрерывным функциям, определённым на подмножестве вещественных чисел и принимающим вещественные значения.
Вариацию этого понятия для функций комплексной переменной см. в статье Комплексный анализ.

Определение[править | править код]

Пусть и .
Существует несколько эквивалентных определений непрерывности функции в точке $x_{0}in D$ .

Комментарий: По сравнению с определением предела функции по Коши в определении непрерывности нет требования, обязывающего все значения аргумента

удовлетворять условию

, то есть быть отличными от а.

Функция непрерывна на множестве , если она непрерывна в каждой точке данного множества.

В этом случае говорят, что функция класса $C^{0}$ и пишут: $fin C^{0}(E)$ или, подробнее, $fin C^{0}(E,mathbb {R} )$ .

Точки разрыва[править | править код]

Запрос «Точка разрыва» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Если условие, входящее в определение непрерывности функции, в некоторой точке нарушается, то говорят, что рассматриваемая функция терпит в данной точке разрыв. Другими словами, если — значение функции в точке , то предел такой функции (если он существует) не совпадает с . На языке окрестностей условие разрывности функции в точке получается отрицанием условия непрерывности рассматриваемой функции в данной точке, а именно: существует такая окрестность точки области значений функции , что как бы мы близко не подходили к точке области определения функции , всегда найдутся такие точки, чьи образы будут за пределами окрестности точки .

Классификация точек разрыва в R¹[править | править код]

Классификация разрывов функций f:Xto Y зависит от того, как устроены множества X и Y. Здесь приведена классификация для простейшего случая — . Таким же образом классифицируют и особые точки (точки, где функция не определена). Стоит заметить, что классификация в различается от автора к автору.

Если функция имеет разрыв в данной точке (то есть предел функции в данной точке отсутствует или не совпадает со значением функции в данной точке), то для числовых функций возникает два возможных варианта, связанных с существованием у числовых функций односторонних пределов:

если оба односторонних предела существуют и конечны, то такую точку называют точкой разрыва первого рода. К точкам разрыва первого рода относят устранимые разрывы и скачки.
если хотя бы один из односторонних пределов не существует или не является конечной величиной, то такую точку называют точкой разрыва второго рода. К точкам разрыва второго рода относят полюса и точки существенного разрыва.

Устранимый разрыв
Разрыв типа «скачок»
Особая точка типа «полюс». Если доопределить функцию для x=2 — получится разрыв «полюс».
Точка существенного разрыва

Устранимая точка разрыва[править | править код]

Если предел функции существует и конечен, но функция не определена в этой точке, либо предел не совпадает со значением функции в данной точке:

$lim limits _{xto a}f(x)neq f(a)$

то точка называется точкой устранимого разрыва функции (в комплексном анализе — устранимая особая точка).

Если «поправить» функцию в точке устранимого разрыва и положить $f(a)=lim limits _{xto a}f(x)$ , то получится функция, непрерывная в данной точке. Такая операция над функцией называется доопределением функции до непрерывной или доопределением функции по непрерывности, что и обосновывает название точки, как точки устранимого разрыва.

Точка разрыва «скачок»[править | править код]

Разрыв «скачок» возникает, если

$lim limits _{xto a-0}f(x)neq lim limits _{xto a+0}f(x)$

Точка разрыва «полюс»[править | править код]

Разрыв «полюс» возникает, если один из односторонних пределов бесконечен.

$lim limits _{xto a-0}f(x)=pm infty$

или $lim limits _{xto a+0}f(x)=pm infty$

.^{[источник не указан 2709 дней]}

Точка существенного разрыва[править | править код]

В точке существенного разрыва хотя бы один из односторонних пределов вообще отсутствует.

Классификация изолированных особых точек в Rⁿ, n>1[править | править код]

Для функций $f:mathbb {R} ^{n}to mathbb {R} ^{n}$ и нет нужды работать с точками разрыва, зато часто приходится работать с особыми точками (точками, где функция не определена). Классификация изолированных особых точек (то есть таких, где в какой-то окрестности нет других особых точек) сходная.

Понятие «скачок» отсутствует. То, что в считается скачком, в пространствах бóльших размерностей — существенная особая точка.

Свойства[править | править код]

Локальные[править | править код]

Глобальные[править | править код]

Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), равномерно непрерывна на нём.
Теорема Вейерштрасса о функции на компакте: функция, непрерывная на отрезке (или любом другом компактном множестве), ограничена и достигает на нём свои максимальное и минимальное значения.
Областью значений функции , непрерывной на отрезке , является отрезок где минимум и максимум берутся по отрезку .
Если функция непрерывна на отрезке и то существует точка в которой .
Теорема о промежуточном значении: если функция непрерывна на отрезке и число удовлетворяет неравенству или неравенству то существует точка в которой .
Непрерывное отображение отрезка в вещественную прямую инъективно в том и только в том случае, когда данная функция на отрезке строго монотонна.
Монотонная функция на отрезке непрерывна в том и только в том случае, когда область её значений является отрезком с концами и .
Если функции и непрерывны на отрезке , причем и то существует точка в которой Отсюда, в частности, следует, что любое непрерывное отображение отрезка в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.

Примеры[править | править код]

Элементарные функции[править | править код]

Произвольные многочлены, рациональные функции, показательные функции, логарифмы, тригонометрические функции (прямые и обратные) непрерывны везде в своей области определения.

Функция с устранимым разрывом[править | править код]

Функция задаваемая формулой

$f(x)={begin{cases}{frac {sin x}{x}},&xneq 0\0,&x=0end{cases}}$

непрерывна в любой точке xneq 0. Точка x=0 является точкой устранимого разрыва, ибо предел функции

$lim limits _{xto 0}f(x)=lim limits _{xto 0}{frac {sin x}{x}}=1neq f(0).$

Функция знака[править | править код]

Функция

$f(x)=operatorname {sgn} x={begin{cases}-1,&x<0\0,&x=0\1,&x>0end{cases}},quad xin mathbb {R}$

называется функцией знака.

Эта функция непрерывна в каждой точке xneq 0 .

Точка x=0 является точкой разрыва первого рода, причём

$lim limits _{xto 0-}f(x)=-1neq 1=lim limits _{xto 0+}f(x)$

в то время как в самой точке функция обращается в нуль.

Функция Хевисайда[править | править код]

Функция Хевисайда, определяемая как

$f(x)={begin{cases}1,&xgeqslant 0\0,&x<0end{cases}},quad xin mathbb {R}$

является всюду непрерывной, кроме точки x=0 , где функция терпит разрыв первого рода. Тем не менее, в точке x=0 существует правосторонний предел, который совпадает со значением функции в данной точке. Таким образом, данная функция является примером непрерывной справа функции на всей области определения.

Аналогично, ступенчатая функция, определяемая как

$f(x)={begin{cases}1,&x>0\0,&xleqslant 0end{cases}},quad xin mathbb {R}$

является примером непрерывной слева функции на всей области определения.

Функция Дирихле[править | править код]

Функция

$f(x)={begin{cases}1,&xin mathbb {Q} \0,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}$

называется функцией Дирихле. По сути, функция Дирихле — это характеристическая функция множества рациональных чисел. Эта функция разрывна в каждой точке, поскольку в сколь угодно малой окрестности любой точки имеются как рациональные, так и иррациональные числа.

Функция Римана[править | править код]

Функция

${displaystyle f(x)={begin{cases}{frac {1}{n}},&x={frac {m}{n}}in mathbb {Q} , {text{НОД}}(m,n)=1\0,&xin mathbb {R} setminus mathbb {Q} end{cases}}}$

называется функцией Римана или «функцией Тома».

Эта функция непрерывна на множестве иррациональных чисел (), поскольку предел функции в каждой иррациональной точке равен нулю (если последовательность ${displaystyle x_{k}=m_{k}/n_{k}to xnotin mathbb {Q} }$ , то с необходимостью ${displaystyle n_{k}to infty }$ ).
Во всех же рациональных точках она разрывна.

Вариации и обобщения[править | править код]

Равномерная непрерывность[править | править код]

Функция называется равномерно непрерывной на , если для любого существует такое, что для любых двух точек $x_{1}$ и $x_{2}$ таких, что $|x_{1}-x_{2}|<delta$ , выполняется $|f(x_{1})-f(x_{2})|<varepsilon$ .

Каждая равномерно непрерывная на множестве функция, очевидно, является также и непрерывной на нём. Обратное, вообще говоря, неверно. Однако, если область определения — компакт, то непрерывная функция оказывается также и равномерно непрерывной на данном отрезке.

Полунепрерывность[править | править код]

Существует два симметричных друг другу свойства — полунепрерывность снизу и полунепрерывность сверху:

Между непрерывностью и полунепрерывностью имеется следующая связь:

В соответствии с этим можно допустить для полунепрерывных функций бесконечные значения:

Односторонняя непрерывность[править | править код]

Функция называется непрерывной слева (справа) в точке $x_{0}$ её области определения, если для одностороннего предела выполняется равенство: $f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}-}f(x)$ $(f(x_{0})=lim limits _{xto x_{0}+}f(x)).$

Непрерывность почти всюду[править | править код]

На вещественной прямой обычно рассматривается простая линейная мера Лебега. Если функция такова, что она непрерывна всюду на , кроме, быть может, множества меры нуль, то такая функция называется непрерывной почти всюду.

В том случае, когда множество точек разрыва функции не более чем счётно, мы получаем класс интегрируемых по Риману функций (см. критерий интегрируемости функции по Риману).

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Зорич В. А. Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.

Источник

Непрерывность функций и точки разрыва

Непрерывность функции

Точки разрыва

Операции над непрерывными функциями

Схема исследования функции на непрерывность

Свойства непрерывных функций на отрезке (a; b)

Непрерывность функции и точки разрыва

п.1. Приращение аргумента и приращение функции

п.2. Непрерывность функции в точке и на промежутке

п.3. Непрерывность функции на промежутке

п.4. Односторонние пределы

п.5. Классификация точек разрыва

п.6. Точки разрыва первого рода

п.7. Точки разрыва второго рода

п.8. Алгоритм исследования функции на непрерывность

п.9. Примеры

Точки разрыва функции и их классификация

Действия над непрерывными функциями

Свойства функций, непрерывных на сегменте

Решение на тему: Непрерывная функция

Непрерывность функций

Непрерывность функции

Понятие непрерывности функции.

Точки разрыва.

Свойства функций, непрерывных в точке.

Локальные свойства непрерывной функции.

Непрерывность суммы, произведения и частного.

Непрерывность сложной функции.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Достижимость точных граней.

Промежуточные значения.

Существование и непрерывность функции, обратной для непрерывной и строго монотонной функции.

Определение[править | править код]

Точки разрыва[править | править код]

Классификация точек разрыва в R¹[править | править код]

Устранимая точка разрыва[править | править код]

Точка разрыва «скачок»[править | править код]

Точка разрыва «полюс»[править | править код]

Точка существенного разрыва[править | править код]

Классификация изолированных особых точек в Rn, n>1[править | править код]

Свойства[править | править код]

Локальные[править | править код]

Глобальные[править | править код]

Примеры[править | править код]

Элементарные функции[править | править код]

Функция с устранимым разрывом[править | править код]

Функция знака[править | править код]

Функция Хевисайда[править | править код]

Функция Дирихле[править | править код]

Функция Римана[править | править код]

Вариации и обобщения[править | править код]

Равномерная непрерывность[править | править код]

Полунепрерывность[править | править код]

Односторонняя непрерывность[править | править код]

Непрерывность почти всюду[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Вам также может понравиться

Как найти площадь доли прямоугольника

Как найти невесту девственницу

Как найти двугранный угол трехгранного угла

Добавить комментарий Отменить ответ

Классификация изолированных особых точек в Rⁿ, n>1[править | править код]