Как найти область определения четной функции

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков – это область определения функции. Определение: Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение  D(f). Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные “сложные” функции – это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция – ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени – ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы – ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) – ограничение на аргумент.

Для тангенса:

Для котангенса: 

4. Обратные тригонометрические функции. 

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени: 

y = 2x + 3 –  уравнение задает прямую на плоскости.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:  

y = 10/(x + 5) –  уравнение гиперболы

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

 

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

  

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

 

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма: 

 

 

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида: 

 

 

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример: 

 

Пример нахождения области определения функции №9

Рассмотрим следующий пример: 

 

Пример нахождения области определения функции №10

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Пример нахождения области определения функции №11

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Пример нахождения области определения функции №12

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

 

Пример нахождения области определения функции №13

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY.

Все графике в этой статье были построены в Geogebra. 

Подробно о построении графиков функции быстрым и удобным способом читать тут

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2. 

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn_, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn_. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Чтобы найти  область определения произведения функций необходимо применять правило:

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

• умножение корней;
• деление корней;
• корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Расположим функции и их области определения.

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

Что такое функция? Представим себе машину, которая двигается по дороге из одного города в другой. Мы можем в каждый момент времени определить положение машины. То есть у нас есть множество различных моментов времени и множество точек, определяющих положение машины на дороге. При этом положение машины на дороге зависит от того, в какой момент времени мы определяем это положение. То есть одно множестве переменных величин зависит от другого множества, каждая отдельная переменная из одного множества зависит от переменной из другого множества. Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью.

В этой статье мы рассмотрим что такое функция, дадим определения области определения функции и области ее значений, понятие графика функции.

Область определения и область значений функции

– значение функции в точке .

Если область определения функции и область ее значений определены в множестве рациональных чисел, то функцию называют числовой.

Элементы множества еще называют значениями аргумента, а соответствующие им элементы – значениями функции.

Если функция задана формулой и область определения функции не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимой переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Например, область определения функции, заданной формулой , состоит из всех чисел, кроме нуля.

Как найти область определения функции

Для того, чтобы найти область определения функции, мы должны определить – где функция будет существовать, при каких значениях аргумента. Приведем примеры:

Пример 1

Найти область определения функции 

Зададимся вопросом – при каких значениях функция будет существовать? Очевидно, что функция существует, если знаменатель дроби не равен нулю. То есть .

Для определения этого значения решим уравнение:

.

Находим, .

То есть функция не будет существовать при значении . Тогда областью определения функции (где она существует) – будут все значения кроме 5. Через интервалы можно записать так:

.

Пример 2

Найти область определения функции .

Здесь функция определена при любых значениях аргумента. То есть D(f) – все числа.

Пример 3

Определить область определения функции

.

Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть больше или равно нулю. Таким образом, мы можем записать:

Решим данное неравенство и получим: .

Тогда область определения функции будет интервал значений аргумента .

График функции

Графиком функции называется множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. То есть график функции – это изображение на координатной плоскости множества пар , связанных зависимостью , где .

Способы задания функции

Функция может быть задана аналитически в виде формулы , где переменная – элемент множества значений аргумента, а переменная – соответствующее значение функции.

Например, формула определяет некоторую функцию, где каждому значению переменной , взятому из области определения функции, соответствует единственное значение переменной .

Функция   полностью определяется заданием множества пар ,  где принимает все значения из , а – соответствующие значения функции.

Однако не всякое множество точек координатной плоскости является графиком некоторой функции. Например, если мы рассмотрим следующий график, то увидим, что значению соответствуют три значения , и, следовательно, такое соответствие не является функцией.

Для того, чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, параллельная оси , пересекалась с указанным графиком не более чем в одной точке.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей на данном числовом промежутке , если большему значению аргумента соответствует большее значение функции . Это значит, что для любых и из промежутка , таких, что , выполнено неравенство .

Функция называется убывающей на данном числовом промежутке , если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции . Это значит, что для любых и из промежутка , таких, что , выполнено неравенство .

Функция только возрастающая или только убывающая на данном числовом промежутке, называется монотонной на этом промежутке.

О монотонности функции можно судить по ее графику. Например, функция, график которой изображен ниже является монотонно возрастающей на всей числовой оси.

А вот эта функция является монотонно убывающей.

А теперь рассмотрим вот такой график функции – на ней функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке .

Пример

Докажите, что функция, заданная формулой , где , возрастающая.

Решение: Пусть , где и . Тогда .

Поскольку , то и , а, значит,  . То есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции, таким образом, функция возрастающая на промежутке .

Четные и нечетные функции

Пример 1

Доказать, что функция не является ни четной, ни нечетной.

Доказательство.

Областью определения данной функции является вся числовая прямая, то есть условие 1 выполнено. Проверяем условие 2.

Чтобы доказать, что функция не является четной, нам нужно доказать, что условие 2 для четной функции не выполняется, то есть что .

Пусть , тогда . Проверяем: , а , таким образом . Функция не является четной. Одновременно, не выполняется и второе условие для нечетной функции, мы получили, что: . То есть функция не является нечетной.

Пример 2

Определите четность или нечетность функции:

Решение: область определения данной функции – вся числовая ось, кроме точки (на ноль делить нельзя).  Найдем .

Получим: . Вынесем минус за скобки:

.

Отсюда выходит, что , то есть выполняется условие для нечетной функции. А, значит, функция – нечетная функция.

Пример 3

Определить четность или нечетность функции:

.

Решение: Первое условие о симметричности области определения функции выполняется, так как область определения функции . Переменим знак аргумента функции и упростим:

.

Получается, что . То есть функция – четная.

Периодические функции

Если   – период функции, то , где , , также период функции. Следовательно, всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривается наименьший положительный период.

Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это обстоятельство используется при построении графиков.

Промежутки знакопостоянства и корни функции

Числовые промежутки, на которых функция сохраняет свой знак (то есть остается положительной или отрицательной), называются промежутками знакопостоянства функции.

О промежутках знакопостоянства функции можно сделать вывод, посмотрев на график функции. Например, возьмем график функции . Здесь при , при . В первом случае график расположен выше оси , во втором – ниже ее.

Итак, мы с вами изучили что такое функция, определили когда функция является четной, а когда нечетной, способы задания функции, область определения функции и область ее значений. А также дали понятие периодической функции и корней функции. Выяснили, что называется промежутками знакопостоянства функции. Привели примеры.

Читайте еще похожие статьи:

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность, периодичность.

3. Точки пересечения с осями координат.

4. Производная и критические точки.

5. Промежутки возрастания, убывания и
точки экстремума и значение функции в
этих точках.

6. Поведение функции на концах области
определения и асимптоты графика функции
(вертикальные, горизонтальные, и
наклонные)

7. Вторая производная и исследование
функции на выпуклость и вогнутость, и
нахождение точек перегиба.

8. Нахождение контрольных точек.

9. Построение графика по результатам
исследования.

Приложения.

Таблица
1. Как найти область определения функции.

Таблица
2. Четные и нечетные функции.

Таблица
3. Периодические функции.

Таблица
4. Применение производной к исследованию
функции.

Таблица
5. Асимптоты графика функции.

Таблица
6. Вторая производная и точки перегиба.

Примеры.

Пример
1. Исследовать
функцию

и построить график функции.

Пример
2. Исследовать
функцию

и построить график функции.

Пример
3. Исследовать
функцию

и построить график функции.

Схема исследования функции y = f(x) для построения эскиза ее графика.
Схема	Пример
1. Область определения функции (см. табл. 1)	Область определения:
2. Четность, нечетность (табл. 2), периодичность (табл. 3)	Функция ни четная, ни нечетная и не периодическая
3. Точки пересечения с осями координат (если можно найти)	0y x = 0; y = 0
y = 0; 0x
4. Производная и критические точки (табл. 4)
5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значение функции в этих точках) (табл. 4)
6. Поведение функции на концах области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, и наклонные) (табл. 5)	П ри слева Следовательно, При справа x = – 4 вертикальная асимптота Так как то при тогда т.е. y = x – 9 – наклонная асимптота
7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба (если они существуют) и значение f(x) в точках перегиба (табл. 6)	П оскольку , то знак второй производной может меняться только в точке x = -4
Если необходимо, найти контрольные точки, уточняющие поведение графика	X -6 -2 Y -33 7
На основании проведенного исследования строим эскиз графика функции y=f(x)

Как найти область определения функции
№	Вид функции	Ограничения (f(x) и g(x) существуют!)	Формулировка
1			Знаменатель дроби не равен нулю
2			Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение
3			Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение
4	(a >0)		В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное 1
5			Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное (k – целое)
6			Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное (k – целое)
7			Под знаком арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице
8
9
а) – натуральное	x – любое число
б) – целое отрица-тельное или нуль
в) – положитель-ное не целое число
г) – отрицатель-ное не целое число

Таблица 1

Таблица 2

Четные и нечетные функции
Четная функция	Нечетная функция
Определение. Функция f называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого X из ее области определения	Определение. Функция f называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого X из ее области определения
Свойства	Свойства
График четной функции симметричен относительно оси 0y	График нечетной функции симметричен относительно начала координат
Примеры четных функций	Примеры нечетных функций

Таблица 3

Периодические функции
Определение. Функция называется периодической с периодом , если для любого x из области определения
Свойства
1. Если число Т период функции f , то число k*T также является периодом этой функции
2. Если функция y=f(x) периодическая с периодом Т, то функция y=Af(kx+b) также периодическая и ее период равен (A, b, k – постоянные числа и )
3. Если функция y=f(x) периодическая с периодом Т, то сложная функция (функция от функции) y=φ(f(x)) также периодическая с периодом Т (хотя, возможно, этот период и не является наименьшим по абсолютной величине)
4. Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить график на отрезке длиной Т, а далее – параллельно перенести этот график вдоль оси 0х на расстояние влево и вправо
Примеры периодических функций
y=sin(x) T=2π	y=cos(x) T=2π	y=tg(x) T=π	y=ctg(x) T=π
y=sin(3x) T=	y={x}- дробная часть х T=1	y=|cos(x)| T=π	y=3 T-любое число (Т≠0)
Практические приемы нахождения периодов функций
1. Найти период каждой составляющей функции, которая входит в запись заданной функции. 2. Подобрать интервал (если возможно), внутри которого каждый из найденных периодов укладывается целое число раз. Длина этого интервала и будет периодом заданной функции (хотя, возможно, и не наименьшим по абсолютной величине). Пример: f(x) = sin(4x)+tg(3x);

Таблица 4

Применение производной к исследованию функции
Монотонность и постоянство функции
Достаточное условие возрастания функции	Достаточное условие возрастания функции
Если в каждой точке интервала (a;b) ƒ ́(x)>0, то функция ƒ(x) возрастает на этом интервале		Если в каждой точке интервала (a;b) ƒ ́(x)<0, то функция ƒ(x) убывает на этом интервале
З амечание. Эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми условиями возрастания и убывания функции. Например, функция – возрастающая на всей области определения, хотя в точке ее производная равна нулю.
Необходимое и достаточное условие постоянства функции
Функция постоянна на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала.

Экстремумы (максимум и минимум) функции
Точка максимума	Точка минимума
Определение Точка из области определения функции называется точкой максимума для этой функции, если найдется – окрестность ( ) точки , т акая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство	Определение Точка из области определения функции называется точкой минимума для этой функции, если найдется – окрестность ( ) точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство
– точка максимума	– точка минимума
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются экстремумами функции (максимумом и минимумом функции)
-максимум	-минимум
Критические точки
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Необходимое условие экстремума	Достаточное условие экстремума
В точках экстремума производная функции равна нулю или не существует – точка экстремума	Если функция непрерывна в точке и производная меняет знак в точке , то – точка экстремума функции в точке знак меняется с «+» на «-» – точка максимума в точке знак меняется с «-» на «+» точка минимума

Пример графика функции , имеющей экстремумы ( – критические точки)
Исследование функции на монотонность и экстремумы
Схема	Пример
1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна	Область определения: Функция непрерывна в каждой точке своей области определения
2. Найти производную
3. Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых или не существует
4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума

6. Записать требуемые результаты исследования (промежутки монотонности и экстремумы)	возрастает при и при
убывает при
Точки экстремума: Экстремумы:

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывное на отрезке
Свойства
Если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает свое наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка
Примеры
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке
Схема	Пример Найти наибольшее и наименьше значение функции: при
1. Найти производную
2. Найти критические точки ( или не существует)	при х = -4 и при х = 2
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку	Заданному отрезку [1;3] принадлежит только критическая точка х = 2
4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Определение. Асимптота кривой – это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при удалении ее в бесконечность.
Вертикальные асимптоты (х = а)
– вертикальная асимптота Вертикальная асимптота х = а может быть в точке а, если точка а ограничивает открытие промежутки области при х→а f(x) → ∞ определения данной функции и возле точки а функция уходит в бесконечность
Примеры вертикальных асимптот
О.О. При х→0 (справа) y→+∞ При х→0 (слева) y→-∞ X = 0 – вертикальная асимптота	О.О. При х→0 (справа) y→-∞ X = 0 – вертикальная асимптота	О.О. Z При х→ (слева) y→+∞ При х→ (справа) y→-∞ X = – вертикальная асимптота

Таблица 5.

Наклонные и горизонтальные асимптоты
1. Если f(x) – дробно-рациональная функция, в которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя, то выделяем целую часть и используем определение асимптоты.
Пример 1	Пример 2
При т.е. , тогда – наклонная асимптота (кроме того вертикальная асимптота – см. график)	При т.е. , тогда – горизонтальная асимптота (кроме того вертикальная асимптота – см. график)
2. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптот y = kx + b могут быть получены с использованием формул:
Для примера 1	Для примера 2
– наклонная асимптота.	– горизонтальная асимптота.

Таблица 6.

ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Понятие второй производной
	Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией от x. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от и обозначают (или )
Пример.
Понятия выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции
Пусть функция определена на промежутке (а; в), а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную.
	Если в некоторой окрестности точки М все точки кривой графика функции (кроме самой точки М) лежат выше касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке М выпуклая (точнее, строго выпуклая). Также иногда говорят, что в этом случае график функции направлен выпуклостью вниз.
	Если в некоторой окрестности точки М все точки кривой графика функции (кроме самой точки М) лежат ниже касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке М вогнутая (точнее, строго вогнутая). Также иногда говорят, что в этом случае график функции направлен выпуклостью вверх.
	Если точка оси абсцисс обладает тем свойством, что при переходе аргумента через нее кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то точка называется точкой перегиба функции , а точка кривой – точкой перегиба графика функции – точка перегиба функции В некоторой окрестности точки : при кривая ниже касательной, а при кривая выше касательной (или наоборот)

Достаточные усовия выпуклости и вогнутости функции, которая имеет первую и вторую производную при
Условие выпуклости	Условие вогнутости
Если в каждой точке интервала то на интервале график функции направлен выпуклостью вниз (выпуклый)		Если в каждой точке интервала то на интервале график функции направлен выпуклостью вверх (вогнутый)
Замечание: Эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми. Например, график функции направлен выпуклостью вниз на всей числовой прямой, хотя в точке ее вторая производная равна нулю.
Нахождение точек перегиба функции, которая имеет вторую производную на заданном интервале
Необходимое условие	Достаточное условие
В точке перегиба функции ее вторая производная равна нулю или не существует	Если функция имеет первую и вторую производную на интервале и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку , то точка является точкой перегиба функции
Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Схема	Пример.
1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна	Область определения: Функция непрерывна в каждой точке своей области определения
2. Найти вторую производную
3. Найти внутренние точки области определения, в которых или не существует	существует на всей области определения
при x = -1, x = 3
4. Отметить найденные точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения
5. Записать требуемый результат исследования (интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба)	В интервале и в интервале график функции направлен выпуклостью вниз , а в интервале график функции направлен выпуклостью вверх . Точки перегиба: x = -1 и x = 3 (в этих точках меняет знак.

Пример 1:

Исследовать
функцию

и построить график функции.

Т.к. знаменатель
заданной функции не должен быть равен
нулю, то можем записать:

Функция определена
на трех указанных участках.

2.

Функция четная,
график функции симметричен оси OY.

Функция не
периодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Точка пересечения
с осью OY
(0;2), точек пересечения с осью OX
нет.

4. Производная и критические точки.

5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.

На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.

Точка Х₀(0;2)
– точка минимума функции.

6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.

При :

Следовательно, мы
имеем две вертикальные асимптоты

Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:

Уравнение асимптоты
примет вид: y=0*x-1=-1.

Горизонтальная
асимптота: Y=-1.

7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.

– не существует в
точках +2 и -2.

Знак производной
меняется в указанных точках.

На рисунке
представлено изменение знака второй
производной и поведение функции на
участках области определения.

8. Контрольные
точки.

Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:

9. График функции
представлен на рисунке.

Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точки.

Пример 2:

Исследовать
функцию

и построить график функции.

1. Область определения функции:

Т.к. под знаком
логарифма может стоять только положительное
выражение, то можем записать следующее:

Функция определена
на указанном участке.

2.

Функция ни нечетная,
ни четная, не периодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Точек пересечения
с осью OY
нет. Точка пересечения с осью ОХ: х=8.

4. Производная и критические точки.

5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.

На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.

точек экстремума
нет.

возрастает
на всей области определения

6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.

При :

Следовательно, мы
имеем вертикальную асимптоту

Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:

наклонных и
горизонтальных асимптот нет.

7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.

Вторая производная
не меняет знак на всей области определения.

выпуклость
вверх

8. Контрольные
точки.

Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:

9. График функции
представлен на рисунке.

Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точи.

Пример 3:

Исследовать
функцию

и построить график функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x

• « x » называют независимым аргументом функции;
• « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

x	y = 2x
x = −2	у = 2 · (−2) = −4
x = 0	y = 2 · 0 = 0
x = 1 2	y = 2 · 1 2 = 2 · 1 2 = 1
x = 3	y = 2 · 3 = 6

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x	y = 2x
−2	−4
0	0
1 2	1
3	6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

• −2
• 0
• 10
• 30,5
• 1 000 000
• и так далее…

В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».

Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции

« f(x) = ».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».

x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».

Ответ:

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = √6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
2. есть ли корни четной
   степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции «
f(x) = √x + 3 +
»

есть дробь «

»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x ² − 9 »
не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.

Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции

«
f(x) = √x + 3 +
»

корень четной степени.

В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».

Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

• знаменатель дроби
  «
  » не равен нулю ;
• подкоренное выражение «
  √x + 3
  » должно быть больше или равно нулю.

Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = ⁶√x +
⁵√1 + x

Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.

Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
нет дробей.

Задаем
второй вопрос.

Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«⁶√x».

Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «⁶√x»
должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
также есть корень пятой степени
«⁵√1 + x
».

Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«⁶√x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

---

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

	√x + 2 ≠ 0
x2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.

	√x + 2 ≠ 0            (1)
x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Решаем первое уравнение.

√x + 2 ≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,

значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»

также не должно быть равно нулю.

√x + 2 ≠ 0     (1)

x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .

В формуле функции

«f(x) =

+
»

есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.

Решим полученную
систему неравенств.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:

1. проверка, что знаменатели
   дробей
   с « x »
   не равны нулю;
2. проверка, что
   подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Условие проверки	Результат
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю	x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =

+
»

с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---