Как найти область определения функции арккосинуса - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число $varphi in left[-frac{pi }{2} ;frac{pi }{2}right]$ , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол varphi , принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число $varphi in left(-frac{pi }{2};frac{pi }{2}right)$ , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

${(sqrt{a})}^2=a; sqrt{a}ge 0; age 0.$

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что $boldsymbol{a^c=b.}$

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения x^2=5 — это sqrt{5} и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: 2^x=7. Решение этого уравнения — иррациональное число ${log}_27.$ Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение $sinx = frac{1}{4}.$

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна $frac{1}{4}.$ И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , синус которого равен $frac{1}{4}$ — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это $arcsin frac{1}{4}+2 pi n,, nin Z.$

А вторая серия решений нашего уравнения — это $pi -arcsin frac{1}{4}+2 pi n,, nin Z.$

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, $frac{1}{4}$ , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка [-1;1] отвечает одно-единственное значение угла на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ . Это значит, что на отрезке [-1;1] можно задать функцию принимающую значения от $-frac{pi }{2}$ до $frac{pi }{2}.$

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число $varphi in left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок [-1;1]. Область значений — отрезок $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок [-1;1].

Мы сказали, что у принадлежит отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями $x= -1; , x = 1, , y= -frac{pi}{2}$ и $y= frac{pi}{2} .$

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен единице. Очевидно, это $frac{pi}{2} .$

Продолжаем: $arcsin frac{1}{2}$ — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен $frac{1}{2}$ . Да, это $frac{pi}{6}.$

		$-frac{1}{2}$	0	$frac{1}{2}$
	$-frac{pi}{2}$	$-frac{pi}{6}$	0	$frac{pi}{6}$	$frac{pi}{2}$

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений $E (y): y in left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное – $frac{ pi }{2}$ , достигается при x=-1 , а наибольшее значение, равное $frac{pi}{2}$ , при x = 1.

5. Что общего у графиков функций y=sin x и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции y=x^2 и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от $-frac{pi}{2}$ до $frac{pi}{2}$ , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции y=sin x на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это y = x^2 при xgeq 0 и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок [-1;1]. Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок [0;pi ] выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку [-1; 1] , будет такое число y, принадлежащее промежутку [0;pi ] , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

$arccos 0 = frac{pi}{2}$ , так как $cos frac{pi}{2} = 0$ ,

$arccos frac{1}{2} = frac{pi }{3}$ , так как $cos frac{pi }{3} = 0$ ,

		$-frac{1}{2}$	0	$frac{1}{2}$
		$frac{2pi}{3}$	$frac{pi}{2}$	$frac{pi}{3}$	0

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при x=-1 , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при x=1.

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число $varphi in left(-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right)$ , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал $left(-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right)$ .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки $pm frac {pi}{2}$ ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$ , такое, что

Как строить график – уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

– Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от -infty до +infty.

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от -infty до +infty, а областью значений — интервал $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ).$

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

$tg frac{pi}{4} = 1$ , значит, $arctg 1 = frac{pi}{4}$

$tg (-frac{pi}{4}) = -1$ , значит, $arctg (-1) = - frac{pi}{4}.$

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$ значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это $frac{pi}{2} .$

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте $y=frac{pi}{2} .$

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте $y= - frac{pi}{2} .$

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений $E (y): y in (-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые $y= - frac{pi}{2}$ и $y= frac{pi}{2}$ — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция – общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые y= 0 и y= pi — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Обратные тригонометрические функции и их графики» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №6. Обратные тригонометрические функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;
Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;
Объяснять расположение промежутков монотонности;
Определять наибольшее и наименьшее значение функции;
Применять знания при решении задач.

Глоссарий по теме

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений

Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений .

Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.

Объяснение нового материала

Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Свойства	Функции y=arcsin х
E(f)
D(f)
Чётность	Нечётная, т.к. arcsin(-x)= – arcsin x
Промежутки монотонности	Возрастающая

Рис.1 График функции y=arcsin х

Рассмотрим свойства функции y=arcos x и построим ее график.

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ).

Свойства	Функции y=arccos х
E(f)
D(f)
Чётность	Ни чётная, ни нечётная
Промежутки монотонности	Убывающая

Рис.2 График функции y=arccos х

Рассмотрим свойства функции y=arctgx и y=arcctgx и построим их графики.

Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).

Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ).

Свойства	y=arctg х	y=arcctg х
E(f)	R	R
D(f)
Чётность	Нечётная	Нечётная
Промежутки монотонности	Возрастающая	Убывающая

Рис.3 График функции y=arctgx

Рис.4 График функции y=arcсtgx

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1.

Найдите значение выражения

Обозначим , по определения арктангенса получаем х=60°, т.е. нам нужно найти

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство

;

Накладываем ограничения по свойствам арксинуса:

;

Ответ:

Источник

Нахождение значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

В данной статье рассматриваются вопросы нахождения значений арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса заданного числа. Для начала вводятся понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса. Рассматриваем основные их значения, по таблицам, в том числе и Брадиса, нахождение этих функций.

Значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Необходимо разобраться в понятиях «значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса».

Определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа помогут разобраться в вычислении заданных функций. Значение тригонометрических функций угла равняется числу a , тогда автоматически считается величиной этого угла. Если a – число, тогда это и есть значение функции.

Для четкого понимания рассмотрим пример.

Если имеем арккосинус угла равного π 3 , то значение косинуса отсюда равно 1 2 по таблице косинусов. Данный угол расположен в промежутке от нуля до пи, значит, значение арккосинуса 1 2 получим π на 3 . Такое тригонометрическое выражение записывается как a r cos ( 1 2 ) = π 3 .

Величиной угла может быть как градус, так и радиан. Значение угла π 3 равняется углу в 60 градусов (подробней разбирается в теме перевода градусов в радианы и обратно). Данный пример с арккосинусом 1 2 имеет значение 60 градусов. Такая тригонометрическая запись имеет вид a r c cos 1 2 = 60 °

Основные значения arcsin, arccos, arctg и arctg

Благодаря таблице синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, мы имеет точные значения угла при 0 , ± 30 , ± 45 , ± 60 , ± 90 , ± 120 , ± 135 , ± 150 , ± 180 градусов. Таблица достаточно удобна и из нее можно получать некоторые значения для аркфункций, которые имеют название как основные значения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Таблица синусов основных углов предлагает такие результаты значений углов:

sin ( – π 2 ) = – 1 , sin ( – π 3 ) = – 3 2 , sin ( – π 4 ) = – 2 2 , sin ( – π 6 ) = – 1 2 , sin 0 = 0 , sin π 6 = 1 2 , sin π 4 = 2 2 , sin π 3 = 3 2 , sin π 2 = 1

Учитывая их, можно легко высчитать арксинус числа всех стандартных значений, начиная от – 1 и заканчивая 1 , также значения от – π 2 до + π 2 радианов, следуя его основному значению определения. Это и является основными значениями арксинуса.

Для удобного применения значений арксинуса занесем в таблицу. Со временем придется выучить эти значения, так как на практике приходится часто к ним обращаться. Ниже приведена таблица арксинуса с радианным и градусным значением углов.

в р а д и а н а х

α	– 1	– 3 2	– 2 2	– 1 2	0	1 2	2 2	3 2
a r c sin α к а к у г о л	– π 2	– π 3	– π 4	– π 6	0	π 6	π 4	π 3
в г р а д у с а х	– 90 °	– 60 °	– 45 °	– 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c sin α к а к ч и с л о	– π 2	– π 3	– π 4	– π 6	0	π 6	π 4	π 3

Для получения основных значений арккосинуса необходимо обратиться к таблице косинусов основных углов. Тогда имеем:

cos 0 = 1 , cos π 6 = 3 2 , cos π 4 = 2 2 , cos π 3 = 1 2 , cos π 2 = 0 , cos 2 π 3 = – 1 2 , cos 3 π 4 = – 2 2 , cos 5 π 6 = – 3 2 , cos π = – 1

Следуя из таблицы, находим значения арккосинуса:

a r c cos ( – 1 ) = π , arccos ( – 3 2 ) = 5 π 6 , arcocos ( – 2 2 ) = 3 π 4 , arccos – 1 2 = 2 π 3 , arccos 0 = π 2 , arccos 1 2 = π 3 , arccos 2 2 = π 4 , arccos 3 2 = π 6 , arccos 1 = 0

в р а д и а н а х

α	– 1	– 3 2	– 2 2	– 1 2	0	1 2	2 2	3 2	1
a r c cos α к а к у г о л	π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6	0
в г р а д у с а х	180 °	150 °	135 °	120 °	90 °	60 °	45 °	30 °	0 °
a r c cos α к а к ч и с л о	π	5 π 6	3 π 4	2 π 3	π 2	π 3	π 4	π 6	0

Таким же образом, исходя из определения и стандартных таблиц, находятся значения арктангенса и арккотангенса, которые изображены в таблице арктангенсов и арккотангенсов ниже.

α	– 3	– 1	– 3 3	0	3 3	1	3
a r c t g a к а к у г о л	в р а д и а н а х	– π 3	– π 4	– π 6	0	π 6	π 4	π 3
в г р а д у с а х	– 60 °	– 45 °	– 30 °	0 °	30 °	45 °	60 °
a r c t g a к а к ч и с л о	– π 3	– π 4	– π 6	0	π 6	π 4	π 3

Нахождение значений по таблицам синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса

a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g

Для точного значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g числа а необходимо знать величину угла. Об этом сказано в предыдущем пункте. Однако, точное значении функции нам неизвестно. Если необходимо найти числовое приближенное значение аркфункций, применяют таблицу синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов Брадиса.

Такая таблица позволяет выполнять довольно точные вычисления, так как значения даются с четырьмя знаками после запятой. Благодаря этому числа выходят точными до минуты. Значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g отрицательных и положительных чисел сводится к нахождению формул a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g противоположных чисел вида a r c sin ( – α ) = – a r c sin α , a r c cos ( – α ) = π – a r c cos α , a r c t g ( – α ) = – a r c t g α , a r c c t g ( – α ) = π – a r c c t g α .

Рассмотрим решение нахождения значений a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g с помощью таблицы Брадиса.

Если нам необходимо найти значение арксинуса 0 , 2857 , ищем значение, найдя таблицу синусов. Видим, что данному числу соответствует значение угла sin 16 градусов и 36 минут. Значит, арксинус числа 0 , 2857 – это искомый угол в 16 градусов и 36 минут. Рассмотрим на рисунке ниже.

Правее градусов имеются столбцы называемые поправки. При искомом арксинусе 0 , 2863 используется та самая поправка в 0 , 0006 , так как ближайшим числом будет 0 , 2857 . Значит, получим синус 16 градусов 38 минут и 2 минуты, благодаря поправке. Рассмотрим рисунок с изображением таблицы Брадиса.

Бывают ситуации, когда искомого числа нет в таблице и даже с поправками его не найти, тогда отыскивается два самых близких значения синусов. Если искомое число 0,2861573, то числа 0,2860 и 0,2863 являются ближайшими его значениями. Этим числам соответствуют значения синуса 16 градусов 37 минут и 16 градусов и 38 минут. Тогда приближенное значение данного числа можно определить с точностью до минуты.

Таким образом находятся значения a r c sin , a r c cos , a r c t g и a r c c t g .

Нахождение значения arcsin, arccos, arctg и arcctg

Чтобы найти арксинус через известный арккосинус данного числа, нужно применить тригонометрические формулы a r c sin α + a r c cos α = π 2 , a r c t g α + a r c c t g α = π 2 (не обходимо просмотреть тему формул суммы арккосинуса и арксинуса, суммы арктангенса и арккотангенса).

При известном a r c sin α = – π 12 необходимо найти значение a r c cos α , тогда необходимо вычислить арккосинус по формуле:

a r c cos α = π 2 − a r c sin α = π 2 − ( − π 12 ) = 7 π 12 .

Если необходимо найти значение арктангенса или арккотангенса числа a с помощью известного арксинуса или арккосинуса, необходимо производить долгие вычисления, так как стандартных формул нет. Рассмотрим на примере.

Если дан арккосинус числа а равный π 10 , а вычислить арктангенс данного числа поможет таблица тангенсов. Угол π 10 радиан представляет собой 18 градусов, тогда по таблице косинусов видим, что косинус 18 градусов имеет значение 0 , 9511 , после чего заглядываем в таблицу Брадиса.

При поиске значения арктангенса 0 , 9511 определяем, что значение угла имеет 43 градуса и 34 минуты. Рассмотрим по таблице ниже.

Фактически, таблица Брадиса помогает в нахождении необходимого значения угла и при значении угла позволяет определить количество градусов.

Обратные тригонометрические функции и их графики

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол , принадлежащий отрезку , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это

А вторая серия решений нашего уравнения — это

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка отвечает одно-единственное значение угла на отрезке . Это значит, что на отрезке можно задать функцию принимающую значения от до

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок Область значений — отрезок .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок

Мы сказали, что у принадлежит отрезку . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка , синус которого равен единице. Очевидно, это

Продолжаем: — это такое число из отрезка , синус которого равен . Да, это

Строим график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное – , достигается при , а наибольшее значение, равное , при

5. Что общего у графиков функций и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от до , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это при и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Построим график функции

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку , будет такое число y, принадлежащее промежутку , что

Вот график арккосинуса:

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу , такое, что

– Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от до

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от до а областью значений — интервал

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте

На рисунке — график функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция – общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Урок 9. Обратные тригонометрические функции. Теория

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим особенности обратных функций и повторим обратные тригонометрические функции. Отдельно будут рассмотрены свойства всех основных обратных тригонометрических функций: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В7 и С1.

[spoiler title=”источники:”]

Обратные тригонометрические функции и их графики

http://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/bzadachi-iz-egeb/urok-9-obratnye-trigonometricheskie-funktsii-teoriya

[/spoiler]

Источник

Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Обратные
тригонометрические функции (арксинус,
арккосинус, арктангенс и арккотангенс)
являются основным элементарным функциями.
Часто из-за приставки “арк” обратные
тригонометрические функции называют
аркфункциями. Сейчас мы рассмотрим их
графики и перечислим свойства.

Функция
арксинус y
= arcsin(x).

Изобразим
график функции арксинус:

Свойства
функции арксинус y = arcsin(x).

Областью
определения функции арксинус является
интервал от минус единицы до единицы
включительно: .
Область
значений функции y = arcsin(x): .
Функция
арксинус – нечетная, так как .
Функция y = arcsin(x) возрастает
на всей области определения, то есть,
при .
Функция
вогнутая при ,
выпуклая при .
Точка
перегиба (0;
0),
она же ноль функции.
Асимптот
нет.

Функция
арккосинус y
= arccos(x).

График
функции арккосинус имеет вид:

Свойства
функции арккосинус y = arccos(x).

Область
определения функции арккосинус: .
Область
значений функции y = arccos(x): .
Функция
не является ни четной ни нечетной, то
есть, она общего вида.
Функция
арккосинус убывает на всей области
определения, то есть, при .
Функция
вогнутая при ,
выпуклая при .
Точка
перегиба .
Асимптот
нет.

Функция
арктангенс y
= arctg(x).

График
функции арктангенс имеет вид:

Свойства
функции арктангенс y = arctg(x).

Область
определения функции y = arctg(x): .
Область
значений функции арктангенс: .
Функция
арктангенс – нечетная, так как .
Функция
возрастает на всей области определения,
то есть, при .
Функция
арктангенс вогнутая при ,
выпуклая при .
Точка
перегиба (0;
0),
она же ноль функции.
Горизонтальными
асимптотами являются прямые при и при .
На чертеже они показаны зеленым цветом.

Функция
арккотангенс y
= arcctg(x).

Изобразим
график функции арккотангенс:

Свойства
функции арккотангенс y = arcctg(x).

Областью
определения функции арккотангенс
является все множество действительных
чисел: .
Область
значений функции y = arcctg(x): .
Функция
арккотангенс не является ни четной ни
нечетной, то есть, она общего вида.
Функция
убывает на всей области определения,
то есть, при .
Функция
вогнутая при ,
выпуклая при .
Точка
перегиба .
Горизонтальными
асимптотами являются прямые при (на
чертеже показана зеленым цветом)
и y = 0 при .