Как найти область определения функции неравенства - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2.

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

Определение 1

при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y=x+2·xx4-1;
при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на сложение корня четной степени типа y=x+1 или y=23·x+3x;
при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y=5·(x+1)-3, y=-1+x113, y=(x3-x+1)2, которые определены не для всех чисел;
при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y=lnx2+x4 или y=1+logx-1(x+1) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y=x3+tg2·x+5 или y=ctg(3·x3-1), так как они существуют не для любого числа;
при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y=arcsin(x+2)+2·x2, y=arccosx-1+x, область определения которых определяется ни интервале от -1 до 1.

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn_, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f1, f2, …, fn_.Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Пример 1

Найти область определения функции вида y=x7+x+5+tgx.

Решение

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7,степенной с показателем 1, постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞), D(f3)=(−∞, +∞), причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π2+π·k, k∈Z.

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f1, f2, f3 и f4_.То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π2+π·k, k∈Z.

Ответ: все действительные числа кроме π2+π·k, k∈Z.

Чтобы найти область определения произведения функций необходимо применять правило:

Определение 2

Когда функция f считается произведением n функций f1, f2, f3 и fn_,тогда существует такая функция f, которую можно задать при помощи формулы y=f1(x)·f2(x)·…·fn(x), тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Пример 2

Найти область определения функции y=3·arctg x·ln x.

Решение

Правая часть формулы рассматривается как f1(x)·f2(x)·f3(x), где за f1является постоянной функцией, f2является арктангенсом, f3– логарифмической функцией с основанием e. По условию имеем, что D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=(−∞, +∞) и D(f3)=(0, +∞). Мы получаем, что

D(f)=D(f1)D(f2)D(fn)=(-∞, +∞)(-∞, +∞)D(0, +∞)=(0, +∞)

Ответ: область определения y=3·arctg x·ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Пример 3

Найти область определения функции y=log3x−3·2x.

Решение

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f1 и f2_.

f1(x)=log3x и f2(x)=3·2x. Тогда получим, что D(f)=D(f1)D(f2).

Область определения записывается как D(f1)=(0, +∞). Приступим к области определения f2. В данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D(f2)=(−∞, +∞).

Для нахождения области определения функции y=log3x−3·2xполучим, что

D(f)=D(f1)D(f2)=(0, +∞)-∞, +∞

Ответ: (0, +∞).

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Пример 4

Найти область определения f1(x)=x5+7×3-2×2+12.

Решение

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f1(x)=x5+7×3-2×2+12 и f2(x)=3·x-ln 5. Выше было показано, что D(f1)=R. Область определения для f2 является совпадающей со степенной при показателе –ln5, иначе говоря, что D(f2)=(0, +∞).

Получаем, что D(f)=D(f1)D(f2)=-∞, +∞(0, +∞)=(0, +∞).

Ответ: (0, +∞).

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Пример 5

Найти область определения y=ln x2.

Решение

Алгоритм решения этого уравнения или функции следующий.

Данную функцию представляем в виде y=f1(f2(x)), где имеем, что f1 является логарифмом с основанием e, а f2 – степенная функция с показателем 2.

Для решения необходимо использовать известные области определения D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞).

Тогда получим систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-∞, +∞x2∈(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, +∞)x2>0⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔⇔x∈(-∞, 0)∪(0, +∞)

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Ответ: (−∞, 0)∪(0, +∞).

Пример 6

Найти область определения функции y=(arcsin x)-12.

Решение

График решения следующий.

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y=f1(f2(x)), где f1 является степенной функцией с показателем -12, а f2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D(f1)=(0, +∞) и D(f2)=[−1, 1]. Теперь найдем все множества значений x, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). Получаем систему неравенств вида

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)⇔x∈-1, 1arcsin x∈(0, +∞)⇔⇔x∈-1, 1arcsin x>0

Для решения arcsin x>0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [−1, 1], причем обращается в ноль при х=0, значит, что arcsin x>0 из определения x принадлежит промежутку (0, 1].

Преобразуем систему вида

x∈-1, 1arcsin x>0⇔x∈-1, 1x∈(0, 1]⇔x∈(0, 1]

Область определения искомой функции имеет интервал равный (0, 1].

Ответ: (0, 1].

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

Пример 7

Найти область определения y=sin(lg x4).

Решение

Заданная функция может быть расписана, как y=f1(f2(f3(x))), где имеем f1 – функция синуса, f2 – функция с корнем 4 степени, f3– логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D(f1)=(−∞, +∞), D(f2)=[0, +∞), D(f3)=(0, +∞). Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x∈D(f3), f3(x)∈D(f2), f2(f3(x))∈D(f1). Получаем, что

x∈D(f3)f3(x)∈D(f2)f2(f3(x))∈D(f1)⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞

Условие lg x4∈-∞, +∞ аналогично условию lg x∈[0, +∞), значит

x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x4∈-∞, +∞⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔⇔x∈(0, +∞)lg x∈[0, +∞)⇔x∈(0, +∞)lg x≥0⇔⇔x∈(0, +∞)lg x≥lg 1⇔x∈(0, +∞)x≥1⇔⇔x∈[1, +∞)

Ответ: [1, +∞).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Пример 8

Найти область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6.

Решение

Заданная функция дробная, поэтому f1 – сложная функция, где y=tg(2·x+1) и f2 – целая рациональная функция, где y=x2−x−6, а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0

Представление сложной функции y=f3(f4(x)), где f3–это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π2+π·k, k∈Z, а f4– это целая рациональная функция y=2·x+1 с областью определения D(f4)=(−∞, +∞). После чего приступаем к нахождению области определения f1:

x∈D(f4)2·x+1∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)2x+1≠π2+π·k, k∈Z⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y=tg(2·x+1)x2-x-6. Тогда получаем, что

x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx∈-∞, +∞x2-x-6≠0⇔⇔x≠π4-12+π2·k, k∈Zx≠-2x≠3

Ответ: множество действительных чисел, кроме -2, 3 и π4-12+π2·k, k∈Z.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

умножение корней;
деление корней;
корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение 3

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1. Отсюда видно, что функция y=logf2(x)f1(x) имеет область определения, которая выглядит так:

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Пример 9

Обозначить область определения функции y=log2·x(x2-6x+5).

Решение

Следует принять обозначения f1(x)=x2−6·x+5 и f2(x)=2·x, отсюда D(f1)=(−∞, +∞) и D(f2)=(−∞, +∞). Необходимо приступить к поиску множества x, где выполняется условие x∈D(f1), f1(x)>0, x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1. Тогда получаем систему вида

x∈(-∞, +∞)x2-6x+5>0x∈(-∞, +∞)2·x>02·x≠1⇔x∈(-∞, +∞)x∈(-∞, 1)∪(5, +∞)x∈(-∞, +∞)x>0x≠12⇔⇔x∈0, 12∪12, 1∪(5, +∞)

Отсюда видим, что искомой областью функции y=log2·x(x2-6x+5) считается множнство, удовлетворяющее условию 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Ответ: 0, 12∪12, 1∪(5, +∞).

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x). Ее область определения включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

Пример 10

Найти область определения показательно-степенной функции y=(x2-1)x3-9·x.

Решение

Примем за обозначение f1(x)=x2−1 и f2(x)=x3-9·x.

Функция f1определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D(f1)=(−∞, +∞). Функция f2является сложной, поэтому ее представление примет вид y=f3(f4(x)), а f3 – квадратным корнем с областью определения D(f3)=[0, +∞), а функция f4 – целой рациональной,D(f4)=(−∞, +∞). Получаем систему вида

x∈D(f4)f4(x)∈D(f3)⇔x∈(-∞, +∞)x3-9·x≥0⇔⇔x∈(-∞, +∞)x∈-3, 0∪[3, +∞)⇔x∈-3, 0∪[3, +∞)

Значит, область определения для функции f2имеет вид D(f2)=[−3, 0]∪[3, +∞). После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Получаем систему вида x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x2-1>0⇔x∈-∞, +∞x∈-3, 0∪[3, +∞)x∈(-∞, -1)∪(1, +∞)⇔⇔x∈-3, -1∪[3, +∞)

Ответ: [−3, −1)∪[3, +∞)

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Функция

Ее область определения

Сумма, разность, произведение функций

f1, f2,…, fn

Пересечение множеств

D(f1), D(f2), …, D(fn)

Сложная функция

y=f1(f2(f3(…fn(x))))

В частности,

y=f1(f2(x))

Множество всех x, одновременно удовлетворяющих условиям

x∈D(fn),fn(x)∈D(fn-1),fn-1(fn(x))∈D(fn-2),… ,f2(f3(…fn(x)))∈D(f1)

x∈D(f2),f2(x)∈D(f1)

Расположим функции и их области определения.

Функция	Ее область определения
Прямая пропорциональность y=k·x	R
Линейная y=k·x+b	R
Обратная пропорциональность y=kx	-∞, 0∪0, +∞
Квадратичная y=a·x2+b·x+c	R
y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0	R
Целая рациональная	R
y=C·f(x), где C – число	D(f)
Дробная y=f1(x)f2(x) В частности, если f1(x), f2(x) – многочлены	Множество всех x, которые одновременно удовлетворяют условиям x∈D(f1), x∈D(f2), f2(x)≠0 f2(x)≠0
y=f(x)n, где n – четное	x∈D(f1), f(x)≥0
y=logf2(x)f1(x) В частности, y=logaf1(x) В частности, y=logf2(x)a	x∈D(f1), f1(x)>0,x∈D(f2), f2(x)>0, f2(x)≠1 x∈D(f1), f1(x)>0 x∈D(f2), f2>0, f2(x)≠1
Показательно-степенная y=(f1(x))f2(x)	x∈D(f1), x∈D(f2), f1(x)>0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞), а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что функция имеет смысл при x≠2.

Источник

Неравенством с одной переменной называют каждое из выражений вида:

, , , ,

где знаки , , , означают соответственно меньше, больше, меньше или равно, больше или равно.

Например, , , $LaTeX formula: frac{x^{2}+1}{sqrt{x-2}}> x+4$ , $LaTeX formula: 2^{x}> 2^{left | x right |}$ , $LaTeX formula: log_{3}(3-x^{2})leq 1$ – примеры неравенств с одной переменной.

Решением неравенства называют значение переменной, при котором данное неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство – значит найти множество всех его решений или доказать, что неравенство не имеет решений.

Областью определения (областью допустимых значений) неравенства называют общую часть областей определения функций и .

Равносильные неравенства

Два неравенства называют равносильными, если множества их решений совпадают или оба неравенства не имеют решений.

Например: 1) неравенства $LaTeX formula: x^{2}geq 0$ и равносильны, так как оба неравенства выполняются на множестве действительных чисел;

2) неравенства и равносильны, так как оба неравенства не имеют решений;

Решая неравенство, как правило, его заменяют более простым, но равносильным ему неравенством. Такие замены осуществляют на основании следующих утверждений:

1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число или на одну и ту же функцию, положительную на области определения неравенства, то получим неравенство, равносильное данному неравенству.

3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число или на одну и ту же функцию, отрицательную на области определения неравенства, изменив при этом смысловой знак неравенства, то получим неравенство, равносильное данному.

4. Неравенства $LaTeX formula: frac{f(x)}{g(x)}< 0$ и , а также неравенства $LaTeX formula: frac{f(x)}{g(x)}> 0$ и равносильны.

5. Неравенства и $LaTeX formula: (f(x))^{n}< (g(x))^{n}$ равносильны для всех при условии, что значения выражений и неотрицательные.

6. Неравенства $LaTeX formula: f^{2n}(x)< g^{2n}(x)$ и равносильны для всех .

7. Неравенства и равносильны для всех .

Системы и совокупности неравенств с одной переменной

Рассмотрим два неравенства $LaTeX formula: f_{1}(x)< g_{1}(x)$ и $LaTeX formula: f_{2}(x)< g_{2}(x)$ .

Систему двух неравенств записывают в виде: $LaTeX formula: left{begin{matrix} f_{1}(x)< g_{1}(x), & & \ f_{2}(x)< g_{2}(x). & & end{matrix}right.$

Совокупность неравенств записывают в виде: $LaTeX formula: begin{bmatrix} f_{1}(x)< g_{1}(x), & & \ f_{2}(x)< g_{2}(x). & & end{matrix}$

Чтобы решить систему неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства системы, тогда общая часть (пересечение) этих множеств и будет решением системы.

Чтобы решить совокупность неравенств, необходимо найти множества решений каждого неравенства совокупности, тогда объединение этих множеств и будет решением совокупности.

Метод интервалов

Метод интервалов основан на следующем свойстве двучлена: если отметить на координатной оси число $LaTeX formula: x_{0}$ (рис. 7.1), то для любого , находящегося справа от точки $LaTeX formula: x_{0}$ , двучлен $LaTeX formula: x-x_{0}$ положителен, а слева от точки $LaTeX formula: x_{0}$ он отрицателен.

Рассмотрим дробно-рациональную функцию $LaTeX formula: f(x)=frac{(x-x_{1})(x-x_{2})}{(x-x_{3})(x-x_{4})}$ где: $LaTeX formula: x_{1}< x_{2}< x_{3}< x_{4}$ .

Если $LaTeX formula: x> x_{4}$ , то каждый из сомножителей $LaTeX formula: x-x_{1}$ , $LaTeX formula: x-x_{2}$ , $LaTeX formula: x-x_{3}$ , $LaTeX formula: x-x_{4}$ положителен, и, следовательно, на промежутке $LaTeX formula: (x_{4};+infty)$ имеем (рис. 7.2). Если $LaTeX formula: x_{3}< x< x_{4}$ , то множитель $LaTeX formula: x-x_{4}< 0$ , а остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на промежутке $LaTeX formula: (x_{3};x_{4})$ имеем . Однако при разложении левой части неравенства могут встретиться одинаковые множители.

Число называют кратностью корня $LaTeX formula: x_{1}$ многочлена $LaTeX formula: f(x)=(x-x_{1})^{k}(x-x_{2})$ , а число $LaTeX formula: x_{1}$ – k-кратным корнем этого многочлена.

В процессе решения неравенств методом интервалов для удобства корни четной кратности будем наносить на координатную прямую дважды, а нечетной кратности – один раз. При переходе через корень четной кратности знаки значений функции не изменятся, а при переходе через корень нечетной кратности – изменятся.

При решении неравенств вида $LaTeX formula: frac{f(x)}{g(x)}leq 0$ и $LaTeX formula: frac{f(x)}{g(x)}geq 0$ корни числителя будем отмечать на координатной прямой «зачерненными» кружочками, а корни знаменателя – «пустыми», так как множество решений неравенства не должно содержать корней многочлена .

Наряду с алгебраическим подходом к решению неравенств можно использовать также и функциональный подход.

Приведем алгоритм решения методом интервалов неравенства вида ( , , ), где функция может быть произвольной (рациональной, иррациональной, показательной, логарифмической, тригонометрической и т. д.):

1) запишем функцию ;

2) найдем область определения функции;

3) найдем нули функции, решая уравнение ;

4) нанесем нули функции на ее область определения;

5) определим знаки значений функции на одном из полученных промежутков;

6) определим знаки значений функции на остальных промежутках по правилу: при переходе через каждый нуль функции знаки значений функции изменяются (учитываем кратность нулей);

7) запишем решение неравенства, учитывая его смысловой знак.

Источник

Область определения в уравнениях и неравенствах

Среди множества уравнений и неравенств выделить те , которые решаются с помощью нахождения ОДЗ

Скачать:

Вложение	Размер
метод решения уравнений и неравенств	67.88 КБ

Предварительный просмотр:

§1.Нахождение области определения функции………………..…………………………….………5

§2. Область определения в уравнениях.………………………………………….…………………. 6

Тема: «Область определения в уравнениях и неравенствах».

Максакова Д.В., Забайкальский край, п.Карымское, МОУ «СОШ №5

п. Карымское с пришкольным интернатом»,11 класс.

Тема моей исследовательской работы «Область определения в уравнениях и неравенствах». На уроках алгебры область определения рассматривается при решении стандартных задач, но при конкурсном отборе и при подготовке к конкурсным экзаменам в ВУЗы, а также на олимпиадах встречаются задания, связанные с ограничением условий, которые требуют нестандартных приемов и подходов к решению. Кроме того, в части C тестов ЕГЭ часто встречаются задания, построенные на исследовании ОДЗ. Поэтому в настоящее время эта тема является актуальной.

Цель моей работы : найти среди множества уравнений и неравенств те, которые сводятся к изучению области определения, установить связь между уравнениями, неравенствами и системами уравнений и неравенств.

1) Просмотреть и изучить задания, связанные с ОДЗ.

2) Разбить их на группы, систематизировать знания о решении систем уравнений и неравенств.

При выполнении работы мне пришлось сравнивать различные методы, переходить от общих методов к частным, и наоборот. Также я обобщила информацию, собранную из различных источников. В связи с этим можно выделить следующие методы исследовательской деятельности: пошаговые, репродуктивные, логическое исследование.

В результате мной получены следующие результаты и выводы :

1) Во многих уравнениях и неравенствах область определения играет определяющую роль.

2) Чтобы найти ОДЗ, необходимо знать множество ограничений и свойств.

3) Нахождение ОДЗ не всегда необходимо.

Тема: «Область определения в уравнениях и неравенствах».

Максакова Д.В., Забайкальский край, п.Карымское, МОУ «СОШ №5 п. Карымское

с пришкольным интернатом»,11 класс.

Объектная область , в которой я проводила исследование, – алгебра.

Объект моего исследования – исследование ограничений в уравнениях и неравенствах.

Среди всех уравнений и неравенств я выбрала те, которые требуют изучение ОДЗ – предмет моего исследования .

Гипотеза : если правильно исследовать ОДЗ в уравнениях и неравенствах, то их решение значительно упростится.

Значит, если громоздкие выражения с помощью ограничений можно заменить несложными системами уравнений и неравенств, то можно сказать, что выбранная мною тема нужная и важная.

Свою работу я разбила на три параграфа. В первом параграфе я обобщила различные условия, при которых функция имеет ограничения, проиллюстрировала примерами процесс нахождения области определения функции.

Второй параграф был посвящен уравнениям, при решении которых ОДЗ играет ключевую роль. В этом же параграфе я рассмотрела ошибки при решении логарифмических уравнений, связанные с изменением ОДЗ, и случаи, когда задача определения ОДЗ оказывается сложной и абсолютно ненужной.

Свойства неравенств, которыми обусловлена их область определения, и промежутки возрастания и убывания функции были изучены в третьем параграфе.

Тема: «Область определения в уравнениях и неравенствах».

Максакова Д.В., Забайкальский край, п.Карымское, МОУ «СОШ №5п. Карымское

с пришкольным интернатом»,11 класс.

§1.Нахождение области определения функции

Процесс нахождения области определения функции состоит из двух этапов: составление системы ограничений и решение этой системы.

Чтобы составить систему ограничений нужно знать, чем вызваны ограничения:

При этом необходимо помнить, что выполнение преобразований заданной функции порой неправомерно. Разберем это на примере 1.

Найдите ОДЗ функций и

Решением является промежуток

При решении системы, составленной из ограничений, последовательно находят пересечения различных множеств, приближаясь к ответу. Пронаблюдаем это на примере.

Составим систему ограничений:

Рассмотрим еще несколько примеров.

§2.Область определения в уравнениях

Областью определения уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называют множество тех значений неизвестного, при котором имеют смысл его левая и правая часть.

При решении уравнений, содержащих тригонометрические и логарифмические функции, ОДЗ играет ключевую роль. Покажем это на примерах.

На первый взгляд, в данном уравнении нет ограничений , но

при любых , значит 0 , тогда , то есть , ,

Найдите все значения , где , при котором уравнение имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию

Учитывая ограниченность функции , имеем:

Так как функция убывающая, получим

Тогда левая часть тоже имеет ограничения

Равенство , выполняется при ,

Учтем условие : , значит .

То есть , , так как , то ,

Часто при решении логарифмических уравнений используют прием логарифмирования обеих частей.

Найдем косинус от обеих частей уравнения:

Введем новую переменную: , , тогда

корней нет, значит .

Корень включает решение первого уравнения, то есть

Поскольку , , то левая часть равна 3, если

, только для четных , значит

Если , то функция убывает с ростом , следовательно, . Сложив почленно эти неравенства, будем иметь:

Следовательно, левая часть данного уравнения равна 1 тогда и только тогда, когда

То есть может принимать значения, а может принимать значения -1, 0. Тогда

то есть (3 и 4 четверть).

или – решения нет, так как , тогда , но учитывая то, что ,

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y = x + x – 2 или y = 5 · x 2 + 1 · x 3 , y = x x – 5 или y = x – 1 5 – 3 . Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть ( 0 , + ∞ ) или такой [ − 3 , 1 ) ∪ [ 5 , 7 ) . Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y = x + 2 · x x 4 – 1 ;
при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y = x + 1 или y = 2 3 · x + 3 x ;
при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y = 5 · ( x + 1 ) – 3 , y = – 1 + x 1 1 3 , y = ( x 3 – x + 1 ) 2 , которые определены не для всех чисел;
при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y = ln x 2 + x 4 или y = 1 + log x – 1 ( x + 1 ) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y = x 3 + t g 2 · x + 5 или y = c t g ( 3 · x 3 – 1 ) , так как они существуют не для любого числа;
при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y = a r c sin ( x + 2 ) + 2 · x 2 , y = a r c cos x – 1 + x , область определения которых определяется ни интервале от – 1 до 1 .

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y = x 4 + 2 · x 2 – x + 1 2 + 2 2 3 · x . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y = 2 · x + 1 . Для вычисления ее значения можем определить x . Из выражения 2 · x + 1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y = 3 x – 1 , а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3 x – 1 знаменатель равняется нулю при х = 1 , поэтому искомая область определения данной функции примет вид ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y = x 2 – 5 · x + 6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x 2 − 5 · x + 6 ≥ 0 . После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n _, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + … + f n ( x ) , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n _. Данное утверждение можно записать как:

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 _. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z .

Ответ: все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n _, тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · … · f n ( x ) , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )

Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x .

Правая часть формулы рассматривается как f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · f 3 ( x ) , где за f 1 является постоянной функцией, f 2 является арктангенсом, f 3 – логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Мы получаем, что

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) D ( f n ) = ( – ∞ , + ∞ ) ( – ∞ , + ∞ ) D ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ )

Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f ( x ) , где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.

Функция y = C · f ( x ) – произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D ( f ) . Отсюда видим, что область определения функции y = C · f ( x ) является – ∞ , + ∞ D ( f ) = D ( f ) .

Получили, что область определения y = f ( x ) и y = C · f ( x ) , где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞ ) , потому как область определения функции y = – 5 · x – [ 0 , + ∞ ) .

Области определения y = f ( x ) и y = − f ( x ) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x .

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 _.

f 1 ( x ) = log 3 x и f 2 ( x ) = 3 · 2 x . Тогда получим, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) .

Область определения записывается как D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) . Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .

Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) – ∞ , + ∞

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы ( n + 1 ) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R .

Найти область определения f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 – 2 x 2 + 1 2 .

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 – 2 x 2 + 1 2 и f 2 ( x ) = 3 · x – ln 5 . Выше было показано, что D ( f 1 ) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) .

Получаем, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = – ∞ , + ∞ ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ ) .

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) . Известно, что D ( f ) является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 ( x ) принадлежит области определения f 1 .

Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Найти область определения y = ln x 2 .

Данную функцию представляем в виде y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .

Для решения необходимо использовать известные области определения D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .

Тогда получим систему неравенств вида

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ – ∞ , + ∞ x 2 ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x 2 > 0 ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Найти область определения функции y = ( a r c sin x ) – 1 2 .

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где f 1 является степенной функцией с показателем – 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = [ − 1 , 1 ] . Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем систему неравенств вида

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ – 1 , 1 a r c sin x ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ – 1 , 1 a r c sin x > 0

Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку ( 0 , 1 ] .

Преобразуем систему вида

x ∈ – 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ – 1 , 1 x ∈ ( 0 , 1 ] ⇔ x ∈ ( 0 , 1 ]

Область определения искомой функции имеет интервал равный ( 0 , 1 ] .

Ответ: ( 0 , 1 ] .

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 ( f 2 ( … f n ( x ) ) ) ) . Область определения такой функции ищется из x ∈ D ( f n ) f n ( x ) ∈ D ( f n – 1 ) f n – 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n – 2 ) . . . f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 ) .

Найти область определения y = sin ( l g x 4 ) .

Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = [ 0 , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D ( f 3 ) , f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем, что

x ∈ D ( f 3 ) f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ – ∞ , + ∞

Условие lg x 4 ∈ – ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞ ) , значит

x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ – ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞ )

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f 1 ( x ) f 2 ( x ) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 ( х ) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Запишем функцию y = f 1 ( x ) f 2 ( x ) в виде y = f 1 ( x ) · ( f 2 ( x ) ) – 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 ( x ) с y = ( f 2 ( x ) ) – 1 . Областью определения функции y = f 1 ( x ) является множество D ( f 1 ) , а для сложной y = ( f 2 ( x ) ) – 1 определим из системы вида x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Значит, x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Найти область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 – x – 6 .

Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g ( 2 · x + 1 ) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0

Представление сложной функции y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , где f 3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4 – это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1 :

x ∈ D ( f 4 ) 2 · x + 1 ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 – x – 6 . Тогда получаем, что

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ – ∞ , + ∞ x 2 – x – 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ – 2 x ≠ 3

Ответ: множество действительных чисел, кроме – 2 , 3 и π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z .

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) имеет область определения, которая выглядит так:

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 ( x ) и y = log a f 2 ( x ) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 и x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) из самой системы вида

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

Обозначить область определения функции y = log 2 · x ( x 2 – 6 x + 5 ) .

Следует принять обозначения f 1 ( x ) = x 2 − 6 · x + 5 и f 2 ( x ) = 2 · x , отсюда D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1 . Тогда получаем систему вида

x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x 2 – 6 x + 5 > 0 x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , 1 ) ∪ ( 5 , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ )

Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x ( x 2 – 6 x + 5 ) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .

Ответ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) . Ее область определения включает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) = a f 2 ( x ) · log a f 1 ( x ) , где где a > 0 , a ≠ 1 .

Найти область определения показательно-степенной функции y = ( x 2 – 1 ) x 3 – 9 · x .

Примем за обозначение f 1 ( x ) = x 2 − 1 и f 2 ( x ) = x 3 – 9 · x .

Функция f 1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Функция f 2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , а f 3 – квадратным корнем с областью определения D ( f 3 ) = [ 0 , + ∞ ) , а функция f 4 – целой рациональной, D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Получаем систему вида

x ∈ D ( f 4 ) f 4 ( x ) ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x 3 – 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) ⇔ x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ )

Значит, область определения для функции f 2 имеет вид D ( f 2 ) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .

Получаем систему вида x ∈ – ∞ , + ∞ x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x 2 – 1 > 0 ⇔ x ∈ – ∞ , + ∞ x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , – 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ – 3 , – 1 ∪ [ 3 , + ∞ )

Ответ: [ − 3 , − 1 ) ∪ [ 3 , + ∞ )

В общем случае

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Сумма, разность, произведение функций

f 1 , f 2 , . . . , f n

D ( f 1 ) , D ( f 2 ) , . . . , D ( f n )

y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . f n ( x ) ) ) )

Множество всех x , одновременно удовлетворяющих условиям

x ∈ D ( f n ) , f n ( x ) ∈ D ( f n – 1 ) , f n – 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n – 2 ) , . . . , f 2 ( f 3 ( . . . f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 )

x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Расположим функции и их области определения.

Функция

Ее область определения

Прямая пропорциональность y = k · x

Обратная пропорциональность y = k x

Дробная y = f 1 ( x ) f 2 ( x )

В частности, если f 1 ( x ) , f 2 ( x ) – многочлены

Множество всех x , которые одновременно удовлетворяют условиям
x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) ≠ 0

y = log f 2 ( x ) f 1 ( x )

В частности, y = log a f 1 ( x )

В частности, y = log f 2 ( x ) a

x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1

x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0

x ∈ D ( f 2 ) , f 2 > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1

Функция	Ее область определения
R
Линейная y = k · x + b	R
– ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞
Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c	R
y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0	R
Целая рациональная	R
y = C · f ( x ) , где C – число	D ( f )
y = f ( x ) n , где n – четное	x ∈ D ( f 1 ) , f ( x ) ≥ 0
Показательно-степенная y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x )	x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 1 ( x ) > 0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 – 4 x – 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на ( − ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 – 4 x – 2 = x – 2 x + 2 x – 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 .

Область допустимых значений: теория и практика

Конкурс исследовательских и проектных работ учащихся

«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЕ БУДУЩЕЕ МОРДОВИИ»

ОБЛАСТЬ ДОПУСТИМЫХ ЗНАЧЕНИЙ:

ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Автор: Малышева Оксана

2. Исторический очерк 4

3. «Место» ОДЗ при решении уравнений и неравенств 5-6

4. Особенности и опасность ОДЗ 7

5. ОДЗ – есть решение 8-9

6. Нахождение ОДЗ – лишняя работа.

Равносильность переходов 10-13

7. ОДЗ в ЕГЭ 14-15

8. Заключение 16

9. Литература 17

Уравнения и неравенства, в которых нужно находить область допустимых значений, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому мои сверстники часто делают ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об области допустимых значений. Это и определило проблему данной работы.

В настоящей работе предполагается исследовать явление существования области допустимых значений при решении уравнений и неравенств разных типов; проанализировать данную ситуацию, сделать логически корректные выводы в примерах, где нужно учитывать область допустимых значений.

Опираясь на имеющийся опыт и теоретическую базу, собрать основные сведения об области допустимых значений и её использовании в школьной практике; Проанализировать решения разнообразных типов уравнений и неравенств (дробно-рациональных, иррациональных, логарифмических, содержащих обратные тригонометрические функции); Проверить ранее полученные при решении различных уравнений и неравенств результаты, убедиться в надёжности способов и методов их решения; Определить «место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств; Применить полученные материалы исследования в ситуации, которая отличается от стандартной, и использовать их при подготовке к ЕГЭ.

При решении этих задач использованы следующие методы исследования: анализ, статистический анализ, дедукция, классификация, прогнозирование.

Исследование начато с повторения известных функций, изучаемых в школьной программе. Область определения многих из них имеет ограничения.

Область допустимых значений встречается при решении: дробно-рациональных уравнений и неравенств; иррациональных уравнений и неравенств; логарифмических уравнений и неравенств; уравнений и неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции.

Прорешав множество примеров из различных источников (пособий по ЕГЭ, учебников, справочников), выделили решение примеров по следующим принципам:

· можно решить пример и учесть ОДЗ (самый распространённый способ)

· можно решить пример, не учитывая ОДЗ

· можно только учитывая ОДЗ прийти к правильному решению.

Изучен анализ результатов ЕГЭ за прошедшие годы. Много ошибок было допущено в примерах, в которых нужно учитывать ОДЗ. Практическое значение работы заключается в том, что ее содержание, оценки и выводы могут быть использованы в преподавании математики в школе, при подготовке к итоговой аттестации школьников 9 и 11 классов.

2. Исторический очерк

Как и остальные понятия математики, понятие функции сложилось не сразу, а прошло долгий путь развития. В работе П. Ферма «Введение и изучение плоских и телесных мест» (1636, опубл. 1679) говорится: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины, налицо имеется место». По существу здесь идёт речь о функциональной зависимости и её графическом изображении («место» у Ферма означает линию). Изучение линий по их уравнениям в «Геометрии» Р. Декарта (1637) также указывает на ясное представление о взаимной зависимости двух переменных величин. У И. Барроу («Лекции по геометрии», 1670) в геометрической форме устанавливается взаимная обратность действий дифференцирования и интегрирования (разумеется, без употребления самих этих терминов). Это свидетельствует уже о совершенно отчётливом владении понятием функции. В геометрическом и механическом виде это понятие мы находим и у И. Ньютона. Однако термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Г. Лейбница и притом не совсем в современном его понимании. Г. Лейбниц называет функцией различные отрезки, связанные с какой-либо кривой (например, абсциссы её точек). В первом печатном курсе «Анализа бесконечно малых для познания кривых линий» Лопиталя (1696) термин «функция» не употребляется.

Первое определение функции в смысле, близком к современному, встречается у И. Бернулли (1718): «Функция — это величина, составленная из переменной и постоянной». В основе этого не вполне отчётливого определения лежит идея задания функции аналитической формулой. Та же идея выступает и в определении Л. Эйлера, данном им во «Введении в анализ бесконечных» (1748): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств». Впрочем, уже Л. Эйлеру не чуждо и современное понимание функции, которое не связывает понятие функции с каким-либо аналитическим её выражением. В его «Дифференциальном исчислении» (1755) говорится: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функциями вторых».

С начала XIX века уже всё чаще и чаще определяют понятие функции без упоминания об её аналитическом изображении. В «Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению» (1797—1802) С. Лакруа говорится: «Всякая величина, значение которой зависит от одной или многих других величин, называется функцией этих последних». В «Аналитической теории тепла» Ж. Фурье (1822) имеется фраза: «Функция f(x) обозначает функцию совершенно произвольную, то есть последовательность данных значений, подчинённых или нет общему закону и соответствующих всем значениям x, содержащимся между 0 и какой-либо величиной x». Близко к современному и определение Н. И. Лобачевского: «…Общее понятие функции требует, чтобы функцией от x называть число, которое даётся для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано или аналитическим выражением, или условием, которое подаёт средство испытывать все числа и выбирать одно из них, или, наконец, зависимость может существовать и оставаться неизвестной». Там же немного ниже сказано: «Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи понимать как бы данными вместе». Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминаний об аналитическом задании, обычно приписываемое П. Дирихле (1837), неоднократно предлагалось и до него:

у есть функция переменной х (на отрезке ), если каждому значению х (на этом отрезке) соответствует совершенно определённое значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — аналитической формулой, графиком, таблицей, либо даже просто словами. [[1]]

3. «Место» области допустимых значений при решении уравнений и неравенств

При решении уравнений и неравенств часто возникает дилемма: находить область допустимых значений или нет, выбрать традиционный способ решения или воспользоваться нерациональным, объёмным, чтобы рассмотреть все варианты, не совершить ошибку и прийти, наконец, к верному решению.

Для начала вспомним методы решения уравнений и неравенств разных видов и уровней сложности, рассмотрим частные случаи.

1. При решении дробно-рациональных уравнений и неравенств знаменатель не должен равняться нулю.

2. Решение иррациональных уравнений и неравенств.

2.1. Простейшие иррациональные уравнения имеют вид . Возведя обе части уравнения в квадрат, мы избавимся от иррациональности. Но обратим внимание на то, что возведение в квадрат, вообще говоря, не равносильное преобразование, и при возведении в квадрат мы можем получить лишние корни. Если корни получились целые, то несложно произвести проверку. Но в некоторых случаях производить проверку неудобно. Тогда используют сведение данного уравнения к равносильной системе:

В данном случае нет необходимости находить ОДЗ: из первого уравнения следует, что при полученных значения х выполняется неравенство: .

2.2. Решением уравнения вида является система:

Поскольку в уравнение и входят равноправно, то вместо неравенства , можно включить неравенство , и естественно, надо выбирать из них наиболее простое.

2.3. Схемы решения основных иррациональных неравенств:

3. Решение логарифмических уравнений и неравенств.

3.1. Схема решения логарифмического уравнения

Но проверить достаточно только одно условие ОДЗ.

3.2. Схема решения логарифмического неравенства вида : 1) 2)

4. Тригонометрические уравнения вида равносильны системе (вместо неравенства в систему можно включить неравенство ).

Уравнения равносильны уравнению

4. Особенности и опасность области допустимых значений

На уроках математики от нас требуют нахождения ОДЗ в каждом примере. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным, часто не нужно, а иногда и невозможно – и все это без какого бы то ни было ущерба для решения примера. С другой стороны, часто случается такое, что решив пример, школьники забывают учесть ОДЗ, записывают её как конечный ответ, учитывают лишь некоторые условия. Обстоятельство это хорошо известно, но «война» продолжается каждый год и, похоже, будет идти еще долго.

Рассмотрим, к примеру, такое неравенство:

Здесь ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при решении этого неравенства школьники иногда считают, что вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия

В самом деле, для получения верного ответа необходимо учесть и неравенство , и .

А вот, например, решение уравнения:

Решают его, естественно, избавляясь от логарифмов, но затем найденные значения нередко проверяются на выполнение системы трех таких неравенств:

что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя – достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух.

Напомним, что всякое уравнение (неравенство) может быть сведено к виду . ОДЗ – это просто область определения функции в левой части. То, что за этой областью надо следить, вытекает уже из определения корня как числа из области определения данной функции, тем самым – из ОДЗ. Вот забавный пример на эту тему. Дано уравнение , и вопрос: «является ли число -1 корнем этого уравнения?» С одной стороны, при подстановке -1 в обе части мы получаем верное равенство, а значит, -1 является корнем. Но с другой стороны, функция имеет областью определения множество положительных чисел (это, конечно, договоренность – рассматривать функцию при, , но разумная), а тогда -1 не является корнем.

5. Область допустимых значений – есть решение

И наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно.

1. ОД3 представляет собой пустое множество, а значит, исходный пример не имеет решений.

1) 2) 3)

2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни.

1) , х=3

2) Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является корнем.

3) В ОДЗ находятся два числа: 2 и 3, и оба подходят.

4) > В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1.

Эффективно может использоваться ОДЗ в сочетании с анализом самого выражения.

5) , а значит, . Решая последнее неравенство, получим х 2. При этом . Значит, исходное равенство невозможно и решений нет.

А теперь приведём пример, который был предложен учителем на уроке алгебры. Решить его сразу нам не удалось, но когда мы нашли ОДЗ, всё стало ясно.

Найдите целочисленный корень уравнения Найдём ОДЗ:

Целочисленное решение возможно лишь при х=3 и х=5. Проверкой находим, что корень х=3 не подходит, а значит ответ: х=5.

6. Нахождение области допустимых значений – лишняя работа. Равносильность переходов.

Можно привести примеры, где ситуация ясна и без нахождения ОДЗ.

Равенство невозможно, ибо при вычитании из меньшего выражения большее должно получатся отрицательное число.

2. .

Сумма двух неотрицательных функций не может быть отрицательной.

Приведу также примеры, где нахождение ОДЗ затруднено, а иногда просто невозможно.

И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести громадное число примеров, поэтому выберем только наиболее типичные. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому.

1.. ОДЗ не нужна, ибо, найдя те значения х, при которых х2=1, мы не можем получить х=0.

2. . ОДЗ не нужна, ибо мы выясняем, когда выполняется равенство подкоренного выражения положительному числу.

3. . ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

ОДЗ не нужна, ибо подкоренное выражение равно квадрату некоторой функции, а потому не может быть отрицательным.

5. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

6. . ОДЗ не нужна, так как выражение всегда положительно.

7. Для решения достаточно только одного ограничения для подкоренного выражения. В самом деле, из записанной смешанной системы следует, что и другое подкоренное выражение неотрицательно.

8. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

9. ОДЗ не нужна, так как достаточно, чтобы были положительны два из трех выражений под знаками логарифма, чтобы обеспечить положительность третьего.

10. ОДЗ не нужна, так как положительность трёхчлена следует из условий системы неравенств.

11. ОДЗ не нужна по тем же соображениям, что и в предыдущем примере.

Стоит, однако, заметить, что при решении способом равносильных преобразований помогает знание ОДЗ (и свойств функций).

Вот несколько примеров.

1. . ОД3 , откуда следует положительность выражения в правой части, и возможно записать уравнение, равносильное данному, в таком виде . Полученный результат надо проверить по ОДЗ.

2. ОДЗ: . Но тогда , и при решении этого неравенства не надо рассматривать случай, когда правая часть меньше 0.

3. . Из ОДЗ следует, что , а потому случай, когда , исключается.

В целом эффективность способа равносильных преобразований вроде бы ясна. С их помощью мы добираемся до ответа и без поисков ОДЗ. Значит ли это, что имеется некий универсальный способ и осталось только научиться им пользоваться? Но это не совсем так. Тому несколько причин. Теорем о равносильных преобразованиях довольно много, они непросты для запоминания, и уверенное владение ими – дело не простое. Часто, пользуясь равносильными преобразованиями, начинаешь ставить этот знак при любых переходах от одного уравнения к другому, как действительно равносильных, так и не являющихся таковыми. Теоремы же эти быстро забываются.

Еще одна сложность – при записи равносильности можно забыть выписать все условия, ее гарантирующие, но на ответе это может никак не отразиться. Вот два таких примера:

1. Переход в общем виде выглядит так:

В данном примере выражение под знаком логарифма, стоящего справа, всегда положительно. Поэтому применительно к этому примеру та часть условий равносильности, которая записана в виде совокупности, ничего не добавляет. Но дав такое решение, можно просто забыть об этой совокупности.

Возможны два случая: 0 1.

Значит, исходное неравенство равносильно следующей совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй получаем: x 1, откуда следует x (-;1,3). Здесь допущена грубая ошибка, так как не рассмотрен случай 36 – 20x

[spoiler title=”источники:”]

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/kak-najti-oblast-opredelenija-funktsii/

http://pandia.ru/text/78/093/15148.php

[/spoiler]

Источник

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков – это область определения функции.

Определение:

Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение D(f).

Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные “сложные” функции – это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция – ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени – ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы – ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) – ограничение на аргумент.

Для тангенса:

Для котангенса:

4. Обратные тригонометрические функции.

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:

y = 2x + 3 – уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как y = 2·0 + 3 = 3 – получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10

так как y = 2·10 + 3 = 23 – функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как y = 2·(-10) + 3 = -17 – функция существует при взятом значении переменной х=-10 .

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R

Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Сделаем вывод:

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:

y = 10/(x + 5) – уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 – функция существует.

При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3 – функция существует.

При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 – функция в этой точке не существует.

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.

В нашем случае:

x + 5 = 0 → x = -5 – в этой точке заданная функция не существует.

или

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Для наглядности изобразим графически:

На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5, но самого значения -5 не достигает.

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5

Формы записи ответа: D(f)=R{-5} или D(f)=(-∞;-5)∪ (-5;+∞) или x∈R{-5} или x∈(-∞;-5)∪(-5;+∞)

Вывод:

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем – неотрицательна.

2х – 8 ≥ 0

Решим простое неравенство:

2х – 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞) или x∈[4;+∞).

На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4 или D(f)=[4;+∞) или x∈[4;+∞).

При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует.

Вывод:

Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение. Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля.

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

В числителе имеем линейную функцию, область определения которой множество всех действительных чисел. (см. пример 1)

В знаменателе – квадратный корень, накладывает условие на подкоренное выражение, не забывая о том, что знаменатель всегда отличен от нуля.

Получим:

x²– 4x + 3 > 0 → (x – 1)(x – 3) > 0

Решим строгое неравенство методом интервалов:

Видим, что функция положительна на следующих интервалах: x∈(-∞;1)∪(3;+∞)

Нашли такие значения переменной х, при которых функция существует – нашли ОДЗ функции.

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

Имеем дело с корнем нечетной степени. Так как корень нечетной степени существует при любых значениях подкоренного выражения, то заданная дробная функция под корнем может принимать любые значения.

В числителе дробной функции – уравнение первой сnепени, которое существует при любых значениях переменной. Знаменатель любой дроби отличен от нуля. Следовательно, при нахождении ОДЗ заданного выражения имеем дело лишь с одним ограничением – ограничение на знаменатель дроби.

Получили ОДЗ: x∈(-∞;-1)∪(-1;1)∪(1;+∞)

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма:

Простенький пример на область определения логарифмической функции.

Помним, что основание логарифма положительно и отлично от нуля. Подлогарифмическое выражение положительно:

Покажем на числовой прямой:

Получили ОДЗ: x∈(8;9)∪(9;+∞)

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида:

1 ограничение основывается на наложении ограничения на знаменатель дроби (отличен от нуля):

Второе ограничение — подлогарифмическое выражение положительно:

Т.е. для определения области определения заданной функции необходимо решить систему:

Необходимо решить каждое из ограничений системы по отдельности и пересечь получившиеся результаты.

Допускаю, что читатель самостоятельно может это проделать и перехожу к разбору следующего примера.

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример:

Имеем дело с корнем четной степени, следовательно первое ограничение на подкоренное выражение:

Имеем дело с логарифмом, следовательно ограничение на подлогарифмическую функцию:

Таким образом для определения области определения исходной функции необходимо решить систему неравенств:

Каждое из неравенств решим по отдельности.

Первое неравенство будем решать методом интервалов: найдем корни каждого из выражений неравенства, вынесем их на координатную плоскость и расставим знаки неравенства в каждом из полученных интервалов.

Корни: