Как найти область определения функции показательной функции - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Рассмотрим выражение

Определение:

Показательной функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения показательной функции — это естественная область определения выражения т. е. множество всех действительных чисел.

Графики некоторых показательных функций при а > 1 изображены на рисунке 23, при 0< а< 1 — на рисунке 24. Как получаются изображения таких графиков?

Например, чтобы изобразить график функции придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу:

Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1, получим следующую таблицу:

Отметим точки с указанными координатами на координатной плоскости Оху (рис. 25) и соединим эти точки плавной непрерывной линией.

Полученную кривую можно рассматривать как изображение графика функции (рис. 26).

График функции расположен над осью Ох и пересекает ось Оу в точке Заметим еще, что когда значения аргумента х уменьшаются, то график этой функции «прижимается» к оси Ох, а когда значения аргумента х увеличиваются, то график «круто поднимается» вверх.

Аналогично для любой функции (рис. 27).

Изобразим теперь график функции Для этого придадим несколько значений аргументу, вычислим соответствующие значения функции и внесем их в таблицу:

Вычислив приближенные значения у с точностью до 0,1. получим следующую таблицу:

Отметим точки с указанными координатами на координатной плоскости Оху (рис. 28) и соединим эти точки плавной непрерывной линией.

Полученную кривую можно рассматривать как изображение графика функции (рис. 29).

График функции расположен над осью Ох и пересекает ось Оу в точке Заметим еще, что когда значения аргумента х увеличиваются, то график этой функции «прижимается» к оси Ох, а когда значения аргумента х уменьшаются, то график «круто поднимается» вверх.

Аналогично для любой функции (рис. 30).

Теорема (о свойствах показательной функции)

Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел.
Множеством (областью) значений показательной функции является интервал
Показательная функция наименьшего и наибольшего значений не имеет.
График показательной функции пересекается с осью ординат в точке (0; 1) и не пересекается с осью абсцисс.
Показательная функция не имеет нулей.
Показательная функция принимает положительные значения на всей области определения; все точки ее графика лежат выше оси Ох в I и II координатных углах.
Показательная функция не является ни четной, ни нечетной.
При а > 1 показательная функция возрастает на всей области определения. При показательная функция убывает на всей области определения.
Показательная функция не является периодической.

Свойства, указанные в этой теореме, мы примем без доказательства.

Изображение графика показательной функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений показательной функции — это проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 27 и 30 видно, что эта проекция есть интервал на оси Оу. Это значит, что для любой точки принадлежащей этому интервалу, найдется такая точка на оси Ох, что (свойство 2).

Множество (область) значений показательной функции — это интервал а в этом интервале нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График показательной функции проходит через точку и лежит в верхней полуплоскости (свойства 4, 5, 6).

График показательной функции не симметричен относительно оси ординат, поэтому она не является четной; график показательной функции не симметричен относительно начала координат, поэтому она не является нечетной (свойство 7).

На рисунке 27 видно, что при а > 1 показательная функция возрастает, а на рисунке 30 видно, что при 0 < а < 1 показательная функция убывает (свойство 8).

На графике показательной функции нет точек с одинаковыми ординатами, поэтому она не является периодической (свойство 9).

К графику показательной функции можно провести невертикальную касательную в любой его точке, в том числе и в точке (напомним, что это означает наличие производной функции в этой точке).

Если то угол который образует такая касательная с осью Ох, острый. Например, если а = 2, то (рис. 31, а), а если а = 3, то (рис. 31, б).

Существует основание 2 < а < 3 такой единственной показательной функции, что касательная, проведенная к ее графику в точке (0; 1), образует с осью Ох угол (рис. 31, в).

Основанием показательной функции с таким свойством является число, которое было открыто еще в XVII в. Джоном Непером (его портрет — на обложке) и названо неперовым числом; оно приближенно равно 2,7182818284. С XVIII в. неперово число стали обозначать буквой е в честь великого Леонарда Эйлера. В 1766 г. Ламбертом (с помощью приема Эйлера) было доказано, что число е, как и число иррационально. Числа очень важны для математики, они входят в большое число формул. В российских гимназиях для запоминания приближенного значения числа е использовали такое двустишие:

«Помнить е — закон простой: Два, семь, дважды Лев Толстой», Поскольку 1828 — год рождения великого русского писателя Л. Н. Толстого.

Пример:

Указать наибольшее и наименьшее значения функции (если они существуют):

Решение:

а) Поскольку 3 — положительное число больше 1, то большему значению показателя соответствует и большее значение степени Но выражение при х = 0 имеет наименьшее значение, а наибольшего значения не имеет. Значит, при любых значениях х верно неравенство

б) Поскольку 0,7 — положительное число меньше 1, то большему значению показателя sin х соответствует меньшее значение степени Значения выражения sin х при любых значениях х удовлетворяют неравенству

Таким образом, при любых значениях х верно неравенство

Значит, верно и неравенство

Ответ: а) 1 — наименьшее значение функции наибольшего значения нет;

б) наименьшее значение, а наибольшее значение функции

Понятие показательной функции

Показательной функцией называется функция, заданная формулой

где — некоторое действительное число, и .

Теорема 1.

Областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел, а областью значений — множество всех положительных действительных чисел.

Доказательство:

Пусть . Тогда, по свойству (10) степени с действительным показателем из параграфа 6, выражение-степень имеет значение при любом значении переменной , а это означает, что областью определения показательной функции является множество всех действительных чисел.

Поскольку , то, по свойству (11) степени с действительным показателем из параграфа 6, значение выражения положительно при всех значениях переменной . В курсе математического анализа доказывается, что при уравнение имеет единственный корень. Это означает, что каждое положительное число можно получить как значение выражения , иными словами, областью значений показательной функции является множество всех положительных действительных чисел.

Теорема 2.

Показательная функция на множестве всех действительных чисел при является возрастающей, а при — убывающей.

Доказательство:

Сравним значения выражений и :

Пусть , т. е. . Если , то, по свойству (12) степени с действительным показателем из параграфа 9, из условия следует, что , а потому и, значит, , так как по свойству (11) из параграфа 6. Получили, что , или . Это неравенство вместе с определением возрастающей функции позволяет утверждать, что функция является возрастающей при .

Если , то и по уже доказанному , или и потому . Это неравенство с учетом определения убывающей функции позволяет утверждать, что при функция является убывающей.

Следствие 1.

Равные степени с одним и тем же положительным и не равным единице основанием имеют равные показатели:

Действительно, если допустить, что , то при по теореме 2 получим, что , а при — что . Но оба эти неравенства противоречат условию.

Так же приводит к противоречию с условием и допущение .

Теорема 3.

Графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1).

Для доказательства теоремы достаточно заметить, что при любом положительном истинно равенство .

Построим график функции . Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции.

Используя построенные точки и установленные свойства показательной функции, получим график функции , который представлен на рисунке 153. Обратим внимание на то, что график функции при уменьшении отрицательных значений переменной быстро приближается к оси абсцисс, но остается выше нее.

Для построения графика функции учтем, что , и используем утверждение о том, что график функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси ординат. Указанное преобразование приведено на рисунке 154. Обращаем внимание на то, что график функции при увеличении положительных значений переменной быстро приближается к оси абсцисс, но не пересекает ее.

Теорема 4.

Если , то при и при .

Доказательство:

Пусть , тогда . Сравним значения выражений и :

Пусть , тогда , так как . Значит, , а потому , так как . Значит, , или .

Пусть , тогда и, значит, . Поскольку , то . Значит, , или .

В соответствии с теоремой 4 при увеличении основания график функции на промежутке будет располагаться более близко к оси абсцисс, а на промежутке — более далеко.

График любой показательной функции с основанием , большим единицы, похож на график функции . На рисунке 155 представлены графики функций и .

График любой показательной функции с положительным основанием , меньшим единицы, похож на график функции.

На рисунке 156 приведены графики функций и .

Обратим внимание на ограничения на основание степени показательной функции . Первое ограничение вызвано тем, что значение выражения определено при всех значениях показателя только при положительном основании. Второе ограничение объясняется тем, что при функция принимает вид , т. е. все значения такой функции равны единице (рис. 157), и такая функция не вызывает особого интереса.

Показательная функция описывает ряд физических процессов. Например, радиоактивный распад определяется формулой , где и — массы радиоактивного вещества в начальный момент времени 0 и в момент времени , — период полураспада, т. е. промежуток времени, за который количество радиоактивного вещества уменьшается в два раза. С помощью показательной функции описывается зависимость от высоты , где — давление на уровне моря, — определенная константа; ток самоиндукции в катушке после подачи постоянного напряжения.

Понятие показательной функции и ее график:

Определение: показательной функцией называется функция вида:

График показательной функции (экспонента):

Свойства показательной функции:

1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция ни четная, ни нечетная 4. Точки пересечения с осями координат: с осью , с осью 5. Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает на всей области определения

функция убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства: 7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Для любых действительных значений выполняются равенства:

Объяснение и обоснование:

Показательной функцией. называется функция вида Например, — показательные функции. Отметим, что функция вида существует и при

Тогда то есть при всех значениях Но в этом случае функция не называется показательной. (График функции — прямая, изображенная на рис. 13.1.) Поскольку при выражение определено при всех действительных значениях то областью определения показательной функции являю тся все действительные числа. Попытаемся сначала построить графики некоторых показательных функций, например и «по точкам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функции.

Составим таблицу нескольких значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 13.2, а) и соединим их плавной линией, которую естественно считать графиком функции у = 2′ (рис. 13.2, б).

Как видно из графика, — возрастающая функция, которая принимает все значения на промежутке Аналогично составим таблицу некоторых значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 13.3, а) и соединим их плавной линией, которую естественно считать графиком функции (рис. 13.3, б). Как видно из графика, – убывающая функция, которая принимает все значения на промежутке

Заметим, что график функции можно получить из графика функции с помощью геометрических преобразований. Действительно Таким образом, график функции симметричен графику функции относительно оси , и поэтому, если функция является возрастающей, функция обязательно будет убывающей.

Оказывается, что всегда при график функции похож на график функции а при — на график функции (рис. 13.4). График показательной функции называется экспонентой.

Свойства показательной функции

Как отмечалось выше, областью определения показательной функции являются все действительные числа: В курсе математического анализа доказывается, что областью значений функции является множество всех положительных чисел, иначе говоря, функция принимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, то есть

Это означает, что график показательной функции всегда расположен выше оси и любая прямая, которая параллельна оси и находится выше нее, пересекает этот график.

При функция возрастает на всей области определения, а при функция убывает на всей области определения. Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяют последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели.

Следует учесть, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: поскольку Таким образом, в нашей системе изложения материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Остальные свойства показательной функции легко обосновать с помощью этих свойств.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (по определению ). Также поскольку (по свойству 1),

График и точки пересечения с осями координат

График функции пересекает ось в точке Действительно, на оси значение тогда График показательной функции не пересекает ось так как на оси но значение не принадлежит области значений функции ( только при хотя по определению ). Промежутки знакопостоянства. при всех действительных значениях поскольку при Отметим еще одно свойство показательной функции. График функции пересекает ось в точке Учитывая возрастание функции при и убывание при получаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:

Значение функции

Значение аргумента при

Значение функции

Значение аргумента при

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток не содержащий ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Свойства показательной функции:

Рассмотрим одно из характерных свойств показательной функции, выделяющее ее из ряда других функций: если то

при любых действительных значениях аргументов и выполняется равенство

Действительно, В курсах высшей математики это свойство (вместе со строгой монотонностью) является основой аксиоматического определения показательной функции. В этом случае дается определение, что показательная функция — это строго монотонная функция, определенная на всей числовой оси, которая удовлетворяет функциональному уравнению а затем обосновывается, что функция совпадает с функцией

Кроме общих свойств показательной функции при и при отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях Так, на рис. 13.5 приведены графики показательных функций при значениях основания

Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание тем круче поднимается график функции при движении точки вправо и тем. быстрее график приближается к оси при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание тем круче поднимается график функции при движении точки влево и тем быстрее график приближается к оси при движении точки вправо.

Заканчивая разговор о показательной функции, укажем причины, по которым не рассматриваются показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.

По этой причине не берут основание показательной функции (получаем постоянную функцию при) и (получаем функцию, определенную только при ). Приведенные рассуждения относительно целесообразности выбора основания показательной функции не влияют на область допустимых значений выражения (например, как мы видели выше, пара значений принадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).

Примеры решения задач:

Пример №1

Сравните значения выражений:

Решение:

1) Функция убывающая поэтому из неравенства получаем 2) Функция возрастающая поэтому из неравенства получаем

Комментарий:

Учтем, что функция при является возрастающей, а при — убывающей. Поэтому сначала сравним данное основание с единицей, а затем, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между данными значениями функции.

Пример №2

Сравните с единицей положительное основание , если известно, что выполняется неравенство:

Решение:

1) Поскольку и по условию то функция — убывающая, следовательно, 2) Так как и по условию то функция — возрастающая, поэтому

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это два значения функции . Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы). Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция является возрастающей и Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция — убывающая, тогда

Пример №3

Постройте график функции:

Комментарий:

При значение следовательно, график функции всегда расположен выше оси Он пересекает ось в точке При показательная функция возрастает, а значит, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При показательная функция убывает, поэтому, графиком функции будет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются. (Напомним, что, опускаясь, график приближается к оси но никогда ее не пересекает.) Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №4

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

оставим план построения графика данной функции с помощью последовательных геометрических преобразований.

Решение показательных уравнений и неравенств

Простейшие показательные уравнения

1. Основные формулы и соотношения

График функции

возрастает;

убывает;

постоянная.

2. Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений

Ориентир:

Пример:

Ответ: -1.

Корней нет (поскольку для всех )

Ответ: корней нет.

3. Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

Ориентир:

Примеры:

Ответ:

Ответ: 2.

Объяснение и обоснование:

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содержит переменной).

Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида

Чтобы его найти, достаточно представить в виде Очевидно, что является корнем уравнения

Графически это проиллюстрировано на рис. 14.1.

Чтобы решить, например, уравнение достаточно представить его в виде и записать единственный корень —

Если то уравнение (при ) корней не имеет, так как всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рис. 14.2, прямая не пересекает график функции при ) Например, уравнение не имеет корней.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при и уравнение вида равносильно уравнению

Коротко это утверждение можно записать так: при

Чтобы обосновать равносильность этих уравнений, достаточно заметить, что равенства (2) и (3) могут быть верными только одновременно, поскольку функция является строго монотонной и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента (то есть из равенства степеней (2) обязательно вытекает равенство показателей (3)). Таким образом, все корни уравнения (2) (которые обращают это уравнение в верное равенство) будут корнями и уравнения (3), и наоборот, все корни уравнения (3) будут корнями уравнения (2).

А это и означает, что уравнения (2) и (3) равносильны.

В простейших случаях при решении показательных уравнений пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное уравнение к виду

Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.

Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Областью допустимых значений (ОДЗ) показательных уравнениях чаще всего является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. далее решение задач 1-3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ.

Примеры решения задач:

Пример №5

Решите уравнение:

Решение:

1) 2) — корней нет, поскольку 5′ > 0 всегда. 3)

Комментарий:

При всегда поэтому уравнение не имеет корней. Другие уравнения приведем к виду и перейдем к равносильному уравнению

Пример №6

Решите уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 5.

2) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1.

Комментарий:

В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени.

В этом случае для приведения уравнения к виду попробуем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одинаковыми основаниями.

В уравнении 1 следует обратить внимание на то, что а и таким образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.

Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево. Например, для левой части этого уравнения воспользуемся формулой и запишем

Пример №7

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1

Комментарий:

В левой части уравнения все члены содержат выражения вида (показатели степеней отличаются только свободными членами). В этом случае в левой части уравнения удобно вынести за скобки наименьшую степень числа 3, то есть

Пример №8

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: любое Рассмотрим два случая. 1) При получаем уравнение корни которого — все действительные числа из ОДЗ, то есть 2) При значение поэтому данное уравнение равносильно уравнению Отсюда тогда

Ответ: 1) при 2) при

Комментарий:

Это уравнение относительно переменной содержит параметр Анализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях основание Функция при — возрастающая, а при — постоянная (см. графики функции ). Основание при а при всех других значениях основание Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно:

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Схема поиска плана решения показательных уравнений

Ориентир:

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями» приведенные в табл. 53).

Пример:

Учитывая, что приводим все степени к одному основанию 2:

Ориентир:

2. Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной.

Пример:

Замена дает уравнение Обратная замена дает тогда или — корней нет. Ответ: 1.

Ориентир:

3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

Пример:

Приведем все степени к основаниям 2 и 3: Имеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — ). Для его решения разделим обе части на Замена дает уравнение Обратная замена дает уравнения: — корней нет или тогда

Ответ: 0.

Ориентир:

4. В других случаях переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем разложить полученное выражение на множители или применяем специальные приемы решения, в которых используются свойства соответствующих функций

Пример:

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получаем Теперь можно вынести за скобки общий множитель Отсюда или Получаем два уравнения: 1) тогда 2) тогда Ответ: 2; 1.

Объяснение и обоснование:

Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в п. 14.1) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней. используя формулы:

Например, в уравнении

вместо записываем произведение и получаем уравнение

равносильное данному.

Затем пробуем все степени (с переменной в показателе) привести к одному основанию и выполнить замену переменной. Например, в уравнении (2) степень с основанием 4 можно записать как степень с основанием 2: получить уравнение

Напомним общий ориентир: если в уравнение, неравенство или тождество переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной). Обращаем внимание на то, что Таким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — поэтому удобно ввести замену Получаем квадратное уравнение

для которого находим корни, а затем выполняем обратную замену. Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений).

В тех случаях, когда все степени (с переменной в показателе) в показательном уравнении, которое не приводится непосредственно к простейшему, не удается привести к одному основанию, следует попытаться привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение. Например, рассмотрим уравнение

Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку

Получаем уравнение

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень (степень одночлена также равна ). Напомним ориентир:

Если все члены, уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (и ли от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень*, то уравнение называется однородным.

Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.

Следовательно, уравнение (6) является однородным и его можно решить делением обеих частей или на или на Отметим, что при всех значениях выражения и не равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на получаем или после сокращения В последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием и выполнить замену

Далее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в табл. 19.

Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесообразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в табл. 19 для уравнения

Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций.

Примеры решения задач:

Пример №9

Решите уравнение

Решение:

Замена Получаем Тогда Отсюда

Обратная замена дает уравнения: — корней нет или тогда Ответ: 1.

Комментарий:

В данное уравнение переменная входит только в одном виде поэтому удобно ввести замену и, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.

Как уже отмечалось, замена и обратная замена — это равносильные преобразования данного уравнения, но при решении полученного дробного уравнения следует позаботиться о том, чтобы не получить посторонних корней (для этого, например, достаточно учесть, что и поэтому ОДЗ полученного уравнения: будет учтена автоматически).

*Конечно, если уравнение имеет вид (где — многочлен), то речь идет только о степени членов многочлена , поскольку нуль-многочлен степени не имеет.

Пример №10

Решите уравнение

Решение:

Замена дает уравнение Обратная замена дает тогда или — корней нет. 5 Ответ: 0.

Комментарий:

1. Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
2. Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
3. Выполняем замену решаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).

Пример №11

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 2.

Комментарий:

При решении систем уравнений, содержащих показательные функции, чаще всего используются традиционные методы решения систем уравнений: метод подстановки и метод замены переменных.

Пример №12

Решите систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения системы Тогда из второго уравнения получаем то есть Замена дает уравнение из которого получаем уравнение имеющее корни: Обратная замена дает тогда или откуда Находим соответствующие значения если если Ответ:

Комментарий:

Если из первого уравнения выразить через и подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2). Выполняя замену, учитываем, что Тогда в полученном дробном уравнении знаменатель Таким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению

Пример №13

Решите систему уравнений

Решение:

Замена и дает систему уравнений и Из второго уравнения этой системы имеем Далее из первого уравнения получаем Отсюда тогда Обратная замена дает уравнения: тогда отсюда тогда отсюда Ответ: (2; 2).

Комментарий:

Если обозначить и то Тогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.

Решение показательных неравенств

1. График показательной функции

2. Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств

– знак неравенства сохраняется

– знак неравенства меняется на противоположный

Примеры:

Функция является возрастающей, следовательно:

Ответ:

Функция убывающая, следовательно:

Ответ:

3. Решение более сложных показательных неравенств

Ориентир:

I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательны х уравнений) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и др.).

После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам.

Пример:

Замена дает неравенство решения которого или (см. рисунок).

Обратная замена дает (ре шений нет) или откуда то есть Ответ:

II. Применяем метод интервалов, приводя данное неравенство к виду и используя схему:

Найти ОДЗ.
Найти нули
Отметить пули функции на ОДЗ и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ. 4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Пример:

Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству

Обозначим

ОДЗ:
Нули функции:
Поскольку функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения:
Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших показательных неравенств вида (или где и ) основывается на свойствах функции которая возрастает при и убывает при Например, чтобы найти решение неравенства при достаточно представить в виде Получаем неравенство

(1)

При функция возрастает, следовательно, большему значению функции соответствует большее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем (знак этого неравенства совпадает со знаком неравенства(1)). При функция убывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем (знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рис. 14.3.

Например, чтобы решить неравенство достаточно представить это неравенство в виде учесть, что (функция возрастающая, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение:

Решение данного неравенства можно записывать в виде или в виде промежутка

Аналогично, чтобы решить неравенство достаточно представить это неравенство в виде учесть, что (функция убывающая, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение:

Учитывая, что при любых положительных значениях значение всегда больше нуля, получаем, что при неравенство решений не имеет, а неравенство выполняется при всех действительных значениях

Например, неравенство не имеет решений, а решениями неравенства являются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что при неравенство равносильно неравенству а при О < а < 1 — неравенству Коротко это утверждение можно записать так.

Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, достаточно заметить, что при неравенства

могут быть верными только одновременно, поскольку функция при возрастающая и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Таким образом, все решения неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что неравенства (2) и (3) равносильны. Аналогично обосновывается равносильность неравенств и при

В простейших случаях при решении показательных неравенств, как и при решении показательных уравнений, пытаются с помощью основных формул действий над степенями привести (если это возможно) данное неравенство к виду

Для решения более сложных показательных неравенств чаще всего используют замену переменных или свойства соответствующих функций.

Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равносильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области допустимых значений (общей области определения для всех функций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).

Заказать решение задач по высшей математике

Примеры решения задач:

Пример №14

Решите неравенство

Решение:

Поскольку функция у убывающая, то Отсюда (см. рисунок).

Ответ:

Комментарий:

Запишем правую часть неравенства как степень числа Поскольку то при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный (получаем неравенство, равносильное данному). Для решения полученного квадратного неравенства используем графическую иллюстрацию.

Пример №15

Решите неравенство

Решение:

ОДЗ: Замена дает неравенство равносильное неравенству Поскольку получаем Отсюда Учитывая, что имеем Выполняя обратную замену, получаем Тогда Функция возрастающая, таким образом, Учитывая ОДЗ, получаем Ответ:

Комментарий:

Поскольку равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ исходного неравенства, то зафиксируем эту ОДЗ. Используя и формулу избавляемся от а числового слагаемого в показателе степени и получаем степени с одним основанием 3, что позволяет ввести замену В полученном неравенстве знаменатель положителен, поэтому это дробное неравенство можно привести к равносильному ему квадратному. После выполнения обратной замены следует учесть не только возрастание функции но и ОДЗ исходного неравенства.

Пример №16

Решите неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов. Обозначим 1. ОДЗ: 2. Нули функции:

Замена Получаем Обратная замена дает: или

Отсюда 3. Отметим нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства

Ответ:

Комментарий:

Данное неравенство можно решать или приведением к алгебраическому неравенству, или методом интервалов. Для решения его методом интервалов используем схему, приведенную в табл. 20. При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям (2 и 3), чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов переменных — на Учитывая, что при всех значениях в результате деления на получаем уравнение, равносильное предыдущему. Разумеется, для решения данного неравенства можно было учесть, что всегда, и после деления данного неравенства на и замены получить алгебраическое неравенство.

Пример №17

Решите неравенство

Комментарий:

Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. При этом следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство все нули функции должны войти в ответ.

Решение:

Обозначим 1. ОДЗ: Тогда или (см. рисунок).

2. Нули функции: Тогда или Из первого уравнения: — не принадлежит ОДЗ, а из второго: 3. Отмечаем нули на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства Ответ:

Определение и вычисление показательной функции

Если величины и связаны уравнением (где ), то величина у называется показательной функцией от . Возьмем для примера , тогда . Будем давать значения, равные нулю и целым положительным числам, тогда будет принимать значения, указанные в таблице:

Мы видим, что если придавать независимому переменному значения, увеличивающиеся в арифметической прогрессии, то у будет расти в геометрической прогрессии со знаменателем, равным 2.

Вообще, если в уравнении независимое переменное увеличивается в арифметической прогрессии, то функция возрастает в геометрической прогрессии со знаменателем . Если независимое переменное уменьшать, придавая ему целые отрицательные значения, то у будет уменьшаться в геометрической прогрессии со знаменателем . В самом деле, взяв уравнение , составим таблицу:

Приняв за абсциссу, а за ординату точки, построим точки, полученные в таблицах, и соединим их плавной кривой. Тогда получим кривую линию, изображенную на рис. 31. Эта линия называется графиком показательной функции.

Отметим, что показательная функция нигде не обращается в нуль, т. е. ее график нигде не пересекает ось .

Аналогичный график имеет и любая показательная функция с основанием, большим единицы ().

Если же взять основание положительное, но меньшее единицы (), то график будет иметь вид, изображенный на рис. 32.

Показательная функция – практическое занятие с решением

1) Составьте таблицу значений для функций и .

2) На координатной плоскости постройте точки, абсциссы которых соответствуют аргументам, а ординаты значениям функции и соедините сплошной кривой линией.

3) Сравните с значение выражения и для произвольных значений х.

4) Увеличиваются или уменьшаются значения функции при увеличении значений х ? Увеличиваются или уменьшаются значения функции при увеличении значений х?

5) В какой точке графики пересекают ось у ?

6) Сравните графики и запишите их сходные и отличительные черты.

7) Выполните задание для функций .

При а > 0, функция называется показательной функцией.

1) Область определения показательной функции все действительные числа.

2) Множество значений показательной функции все положительные

числа.

3) Так как = 1(при х = 0), то показательная функция пересекает ось у в точке (0; 1).

4) При а > 1 функция возрастающая, при функция убывающая.

5) Показательная функция не пересекает ось абсцисс и её график расположен выше оси х, т.е. в верхней полуплоскости.

Функция и её график называется экспонентой.

Экспонента при изменении аргумента увеличивается или уменьшается с большой скоростью.

6) При , если х бесконечно возрастают, соответствующие значения у бесконечно убывают и точки графика функции неограниченно стремятся к оси абсцисс. При точки на графике неограниченно стремятся к оси абсцисс.

Экспоненциально возрастающая и экспоненциально убывающие функции

Функция также называется экспоненциальной функцией.

Например: функцию можно записать в виде

Пример:

По графику функции зададим её уравнение.

Решение:

Составим таблицу значений.

Из таблицы значений видно, что при увеличении значений х на 1 единицу, значения у уменьшаются в .

Значит, .Тогда формула функции будет:

Пример:

При каких значениях переменных справедливо следующие:

а)равенство ; б) неравенство ; в) неравенство ?

Решение:

а) запишем равенство в виде . Здесь по свойству степени с действительным показателем х = 3.

б)запишем неравенство в виде . Здесь ясно, что .

в)запишем неравенство в виде (в виде степени с одинаковым основанием), степени с основанием меньше 1. Получим, что .

Преобразование графиков показательных функций

Общий вид показательной функции . Функция вида является основной функцией в семействе показательных функций. Выполняя различные преобразования можно построить графики следующих функций

•График в раз растягивается от оси х.

Например.

•При происходит отражение относительно оси х.

Например. График функции

можно построить при помощи графика функции

используя параллельный перенос.

Пример №18

Построим график функции при помощи параллельного переноса графика функции . 1.Для функции отметим точки (0; 3), (1; 6); (2; 12) и соединим эти точки гладкой линией. Прямая у = 0 является асимптотой 2.График функции перенесём параллельно на одну единицу влево и на одну единицу вверх (на вектор (-1; 1)), найдём новые координаты указанных точек и расположим их на координатной плоскости. Соединим эти точки гладкой линией и получим график функции .

Прямая у = 1 является горизонтальной асимптотой.

В реальной жизни, при ежегодном увеличении величины на постоянный процент, её состояние через лет можно оценить формулой , при уменьшении – формулой .Здесь а – начальное количество, – процент увеличения (уменьшения) ( десятичная дробь), -количество лет.

При помощи данных формул решим следующее задание.

Пример №19

Цена автомобиля купленного за 24 ООО руб ежегодно снижается на 12%. Запишем зависимость между количеством лет эксплуатации автомобиля и его ценой.

Решение.

В формулепримем а = 24000, = 12% = 0,12, 1 – = 0,88.

Тогда данную ситуацию можно смоделировать показательной

функцией .

Показательная функция. Число е.

Исследование:

Представьте, что вы вложили в банк 1 руб, под сложные проценты с процентной ставкой равной 100%. В течении года вы произвели вычислений раз, подставив в формулу сложного процентного роста следующие данные .

Вычислите значения функции и установите, к какому числу приближается значение функции при различных значениях .

Как видно, если банк будет чаще вычислять процент для вложенной суммы, то прибыль увеличится. Однако, отношение ежедневных вычислений к ежемесячным даёт прибыль 10 гяпик. Если даже банк будет находить процент для денег на счету ежесекундно , то и в данном случае разница между начислением процентов ежечасно или ежедневно будет незначительна. Из графика функции построенного при помощи графкалькулятора видно, что при функция имеет горизонтальную асимптоту.

Число е:

Исследование показывает, что при увеличении значений значение выражения колеблется между 2,71 и 2,72. Это число записывается буквой е и имеет значение е = 2,718 281 828 459… .

Число е, так же как и число является иррациональным числом. Эти числа называются трансцендентными числами. Трансцендентным называется число, которое не является корнем уравнения степени с целыми коэффициентами. Экспоненциальное возрастание или убывание по основанию е задаётся формулой . Здесь N_o-начальное значение, t -время, -постоянное число.

График функции y=e^x

График функции .

Для построения графика функции можно использовать различные граф калькуляторы. Например, (http://www.meta-calculator.com/onlinc) или как показано на рисунке, при помощи программы Geometer’s Sketchpad®.

Показательная и логарифмическая функции их свойства и график

Понятие показательной функции и ее график:

Определение. Показательной функцией называется функция вида

График показательной функции (экспонента)

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат:

с осью

5. Промежутки возрастания и убывания:

функция при возрастает на всей области определения

функция при убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

8. Для любых действительных значений выполняются равенства:

Понятие показательной функции

Показательной функцией называется функция вида

Например, показательная функция

Отметим, что функция вида существует и при

Тогда при всех значениях Но в этом случае функция не называется показательной. (График функции — прямая, изображенная на рис. 118.)

Поскольку при выражение определено при всех действительных значениях то областью определения показательной функции являются все действительные числа.

Попытаемся сначала построить графики некоторых показательных функций, например “по точкам», а затем перейдем к характеристике общих свойств показательной функции.

Составим таблицу некоторых значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 119, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции (рис. 119,6).

Как видим из графика, функция является возрастающей функцией, которая принимает все значения на промежутке

Аналогично составим таблицу некоторых значений функции

Построим на координатной плоскости соответствующие точки (рис. 120, а) и соединим эти точки плавной линией, которую естественно считать графиком функции (рис. 120, б).

Как видим из графика, функция является убывающей функцией, которая принимает все значения на промежутке. Заметим, что график функции можно получить из графика функции с помощью геометрических преобразований. Действительно,

Таким образом, график функции симметричен графику функции относительно оси (табл. 4, с. 28), и поэтому, если функция является возрастающей, функция обязательно будет убывающей.

Оказывается, что всегда при график функции похож на график функции — на график функции (рис. 121). График показательной функции называется экспонентой.

Свойства показательной функции

Как было обосновано выше, областью определения показательной функции являются все действительные числа:

Областью значений функции является множество всех положительных чисел, то есть функция принимает только положительные значения, причем любое положительное число является значением функции, то есть

При функция возрастает на всей области определения, при функция убывает на всей области определения.

Обоснование области значений и промежутков возрастания и убывания показательной функции проводится так: эти свойства проверяются последовательно для натуральных, целых, рациональных показателей, а затем уже переносятся на любые действительные показатели.

Следует учесть, что при введении понятия степени с иррациональным показателем мы уже пользовались возрастанием функции, когда проводили такие рассуждения: поскольку Таким образом, в нашей системе изложения материала мы можем обосновать эти свойства только для рациональных показателей, но, учитывая громоздкость таких обоснований, примем их без доказательства. Все остальные свойства показательной функции легко обосновываются с помощью этих свойств.

Функция не является ни четной, ни нечетной, поскольку (по определению Также поскольку (по свойству 1), а

Точки пересечения с осями координат. График функции пересекает ось в точке Действительно, на оси значение тогда

График показательной функции не пересекает ось поскольку на оси но значение не принадлежит области значений показательной функции только при но по определению

Промежутки знакопостоянства. при всех действительных значениях поскольку

Отметим еще одно свойство показательной функции. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при получаем следующие соотношения между значениями функции и соответствующими значениями аргумента:

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений, поскольку ее область значений — промежуток который не содержит ни наименьшего, ни наибольшего числа.

Свойства показательной функции, приведенные в пункте 8 таблицы 49:

были обоснованы в разделе 3.

Отметим еще одно свойство показательной функции, которое выделяет ее из ряда других функций: если то при любых действительных значениях аргументов выполняется равенство

Кроме общих свойств показательной функции при отметим некоторые особенности поведения графиков показательных функций при конкретных значениях Так, на рисунке 122 приведены графики показательных функций при значениях основания

Сравнивая эти графики, можно сделать вывод: чем больше основание тем круче поднимается график функции при движении точки вправо и тем быстрее график приближается к оси при движении точки влево. Аналогично, чем меньше основание тем круче поднимается график функции при движении точки влево и тем быстрее график приближается к оси при движении точки вправо.

Заканчивая разговор о показательной функции, укажем те причины, которые мешают рассматривать показательные функции с отрицательным или нулевым основанием.

Отметим, что выражение можно рассматривать и при и при Но в этих случаях оно уже будет определено не при всех действительных значениях как показательная функция В частности, выражение определено при всех (и тогда а выражение — при всех целых значениях ( например По этой причине не берут основание показательной функции (получаем постоянную функцию при и (получаем функцию, определенную только при достаточно «редких» значениях Приведенные рассуждения относительно целесообразности выбора основания показательной функции не влияют на область допустимых значений выражения (например, как мы видели выше, пара значений принадлежит его ОДЗ, и это приходится учитывать при решении некоторых задач).

Примеры решения задач:

Пример №20

Сравните значения выражений:

Решение:

1) Функция является убывающей поэтому из неравенства получаем

2) Функция является возрастающей поэтому из неравенства получаем

Комментарий:

Учтем, что функция является возрастающей, а при — убывающей. Поэтому сначала сравним данное основание с единицей, а затем, сравнивая аргументы, сделаем вывод о соотношении между данными значениями функции.

Пример №21

Сравните с единицей положительное основание а, если известно, что выполняется неравенство:

Решение:

1) Поскольку и по условию то функция является убывающей, следовательно,

2) Поскольку и по условию то функция является возрастающей, следовательно,

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это два значения функции

Проанализируем, какое значение функции соответствует большему значению аргумента (для этого сначала сравним аргументы).

Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция является возрастающей и Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция является убывающей, и тогда

Пример №22

Постройте график функции:

Комментарий:

При значение следовательно, график функции всегда расположен выше оси Этот график пересекает ось в точке

При показательная функция возрастает, следовательно, ее графиком будет кривая (экспонента), точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При показательная функция убывает, следовательно, графиком функции будет кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются. (Напомним, что, опускаясь вниз, график приближается к оси но никогда ее не пересекает.)

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №23

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

Составим план построения графика данной функции с помощью последовательных геометрических преобразований (табл. 4 на с. 28). 1. Мы можем построить график функции основание показательная функция убывает).

2. Затем можно построить график функции справа от оси (и на самой оси) график функции остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси

3. После этого можно построить график функции

параллельно перенести график вдоль оси на (-3) единицы.

4. Затем можно построить график данной функции выше оси (и на самой оси) график функции должен остаться без изменений(но таких точек у графика функции нет, а ниже оси — график функции необходимо отобразить симметрично относительно оси

Решение показательных уравнении и неравенств

Основные формулы и соотношения:

График функции

– возрастает

– убывает

– постоянная

Схема равносильных преобразований простейших показательных уравнений:

Ориентир:

При

Пример №24

Ответ: –1

Корней нет (поскольку для всех

Ответ: корней нет.

Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим:

1) Если в левой и правой частях показательного уравнения стоят только произведения, частные, корни или степени, то целесообразно с помощью основных формул попробовать записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

Пример №25

Ответ:

2) Если в одной части показательного уравнения стоит число, а в другой все члены содержат выражение вида (показатели степеней отличаются только свободными членами), то удобно в этой части уравнения вынести за скобки наименьшую степень

Пример №26

Ответ: 2

Объяснение и обоснование:

Показательными уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная входит в показатель степени (а основание этой степени не содержит переменной).

Простейшие показательные уравнения

Рассмотрим простейшее показательное уравнение вида

где Поскольку при этих значениях функция строго монотонна (возрастает при и убывает при то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Это означает, что уравнение имеет единственный корень. Чтобы его найти, достаточно представить

Очевидно, что является корнем уравнения

Графически это проиллюстрировано на рисунке 123.

Например, чтобы решить уравнение достаточно представить это уравнение в виде и записать его единственный корень

Если то уравнение корней не имеет, поскольку всегда больше нуля. (На графиках, приведенных на рисунке 124, прямая не пересекает график функции

Например, уравнение не имеет корней.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных уравнений, отметим, что при уравнение вида

равносильно уравнению

Коротко это утверждение можно записать так: при

В простейших случаях при решении показательных уравнений пытаются с помощью основных формул действий над степенями (см. таблицу 46) привести (если это возможно) данное уравнение к виду

Для решения более сложных показательных уравнений чаще всего используют замену переменных (применение этого метода рассмотрено в табл. 51, с. 344) или свойства соответствующих функций (применение этих методов рассмотрено в табл. 58, с. 403).

Заметим, что все равносильные преобразования уравнения всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого уравнения). Но в показательных уравнениях чаще всего областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решении уравнения (см. ниже задачи 1-3). Но если в ходе решения показательных уравнений равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится вспоминать об ОДЗ (задача 4″ на с. 343).

Примеры решения задач:

Пример №27

Решите уравнение:

Решение:

2) — корней нет, поскольку всегда;

Комментарий:

При всегда поэтому уравнение не имеет корней.

Другие уравнения приведем к виду и перейдем к равносильному уравнению

Пример №28

Решите уравнение:

Решение:

1) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 5.

2) Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1.

Комментарий:

В левой и правой частях данных уравнений стоят только произведения, частные, корни или степени. В этом случае для приведения уравнения к виду попробуем применить основные формулы действий над степенями, чтобы записать обе части уравнения как степени с одним основанием.

В уравнении 1 следует обратить внимание на то, что а таким образом, левую и правую части этого уравнения можно записать как степени числа 5.

Для преобразования уравнения 2 напомним, что все формулы можно применять как слева направо, так и справа налево, например для левой части этого уравнения воспользуемся формулой то есть запишем

Пример №29

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнениям:

Ответ: 1.

Комментарий:

Пример №30

Решите уравнение

Решение:

► ОДЗ:

Рассмотрим два случая.

1) При получаем уравнение корни которого — все действительные числа из ОДЗ, то есть

2) При значение и тогда данное уравнение равносильно уравнению

Отсюда

Ответ: 1) при

2) при

Комментарий:

Это уравнение относительно переменной которое содержит параметр Анализируя основания степеней в уравнении, делаем вывод, что при любых значениях основание Функция является возрастающей, а при — постоянной (см. графики функции в табл. 50).

Основание а при всех других значениях основание

Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно, то есть:

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Схема поиска плана решения показательных уравнений:

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней (используя справа налево основные формулы действий над степенями, приведенные в табл. 50).
Если возможно, приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию и выполняем замену переменной.

Учитывая, что приводим все степени к одному основанию 2: Замена дает уравнение

Обратная замена дает тогда корней нет.

Ответ: 1.

3. Если нельзя привести к одному основанию, то пытаемся привести все степени к двум основаниям так, чтобы получить однородное уравнение (которое решается делением обеих частей уравнения на наибольшую степень одного из видов переменных).

Приведем все степени к двум основаниям 2 и 3:

Имеем однородное уравнение (у всех членов одинаковая суммарная степень — Для его решения разделим обе части на

Замена дает уравнение Обратная замена дает — корней нет или тогда Ответ: 0.

4. В других случаях переносим все члены уравнения в одну сторону и пробуем разложить полученное уравнение на множители или применяем специальные приемы решения, в которых используются свойства соответствующих функций.

Если попарно сгруппировать члены в левой части уравнения и в каждой паре вынести за скобки общий множитель, то получаем

Теперь можно вынести за скобки общий множитель

Тогда Получаем два уравнения:

Ответ: 2; 1.

Объяснение и обоснование:

Для решения более сложных показательных уравнений (в сравнении с теми, которые были рассмотрены в предыдущем пункте 30.1) чаще всего используют замену переменных. Чтобы сориентироваться, можно ли ввести замену переменных в данном показательном уравнении, часто бывает полезно в начале решения избавиться от числовых слагаемых в показателях степеней, используя формулы: Например, в уравнении вместо записываем произведение и получаем уравнение равносильное заданному.

Обращаем внимание на то, что Таким образом, в уравнение (3) переменная входит фактически в одном виде — поэтому в этом уравнении удобно ввести замену Получаем квадратное уравнение для которого находим корни, а затем выполняем обратную замену (см. решение в табл. 51).

Отметим, что как использование основных формул действий над степенями, так и использование замены и обратной замены всегда приводит к уравнению, равносильному данному на его ОДЗ (в уравнении (1) — на множестве всех действительных чисел). Это обусловлено тем, что все указанные преобразования мы можем выполнить и в прямом, и в обратном направлениях. (Таким образом, мы всегда сможем доказать, что каждый корень первого уравнения является корнем второго и наоборот, аналогично тому, как был обоснован равносильный переход для простейших показательных уравнений на с. 341).

Например, рассмотрим уравнение

Все степени в этом уравнении можно записать через основания 2 и 3, поскольку

Получаем уравнение

Все одночлены, стоящие в левой части этого уравнения, имеют степень (степень одночлена также равна

Напомним (см. раздел 2, с. 172):

Если все члены уравнения, в левой и правой частях которого стоят многочлены от двух переменных (или от двух функций одной переменной), имеют одинаковую суммарную степень, то уравнение называется однородным.

Решается однородное уравнение делением обеих его частей на наибольшую степень одной из переменных.

Следовательно, уравнение (6) является однородным, и его можно решить делением обеих частей или на или на Отметим, что при всех значениях выражения не равны нулю. Таким образом, при делении на эти выражения не может произойти потери корней (как это могло быть, например, для однородных тригонометрических уравнений). В результате деления обеих частей уравнения на любое из этих выражений всегда получается уравнение, равносильное данному. Например, если разделить обе части уравнения (6) на получаем

или после сокращения

В последнем уравнении все члены можно представить как степени с одним основанием и выполнить замену Далее решение полученного уравнения полностью аналогично решению уравнения (2). Полное решение этого уравнения приведено в таблице 51.

Составляя план решения показательного уравнения, необходимо учитывать, что при решении некоторых из них целесобразно перенести все члены уравнения в одну сторону и попытаться разложить полученное выражение на множители, например, с использованием группировки членов, как это сделано в таблице 51 для уравнения

Для решения некоторых показательных уравнений можно применить свойства соответствующих функций.

Примеры решения задач:

Пример №31

Решите уравнение

Решение:

Замена Получаем

Тогда Отсюда

Обратная замена дает

— корней нет или тогда

Ответ: 1.

Комментарий:

В данное уравнение переменная входит только в одном виде и поэтому удобно ввести замену и, получив дробное уравнение, найти его корни, а затем выполнить обратную замену.

Пример №32

Решите уравнение

Решение:

Замена дает уравнение

Обратная замена дает тогда

корней нет

Ответ: 0.

Комментарий:

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней.
Приводим все степени (с переменной в показателе) к одному основанию 5.
Выполняем замену решаем полученное уравнение, производим обратную замену и решаем полученные простейшие показательные уравнения (а также учитываем, что все преобразования были равносильными).

Пример №33

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 2

Комментарий:

Избавляемся от числовых слагаемых в показателях степеней,переносим все члены уравнения в одну сторону и приводим подобные члены.
Замечаем, что степени всех членов полученного уравнения (с двумя основаниями 2 и 3) одинаковые — следовательно, это уравнение однородное. Его можно решить делением обеих частей на наибольшую степень одного из видов выражений с переменной — или на или на Учитывая, что при всех значениях в результате деления на получаем уравнение, равносильное предыдущему (а значит, и заданному).

Пример №34

Решите систему уравнений

Решение:

Из первого уравнения системы

Тогда из второго уравнения получаем то есть Замена дает уравнение из которого получаем уравнение имеющее корни: Обратная замена дает тогда откуда Находим соответствующие значения если если

Ответ:

Комментарий:

Если из первого уравнения выразить через и подставить во второе уравнение, то получим показательное уравнение, которое мы умеем решать (аналогично решению задачи 2).

Выполняя замену, учитываем, что Тогда в полученном дробном уравнении знаменатель Таким образом, это дробное уравнение равносильно уравнению

Пример №35

Решите систему уравнений

Решение:

Замена и дает систему

Из второго уравнения этой системы имеем Тогда из первого уравнения получаем Отсюда Обратная замена дает

Ответ:

Комментарий:

Если обозначить то

Тогда данная система будет равносильна алгебраической системе, которую легко решить.

После обратной замены получаем систему простейших показательных уравнений

Решение показательных неравенств

График показательной функции :

Схема равносильных преобразований простейших показательных неравенств:

знак неравенства сохраняется знак неравенства меняется на противоположный

Пример №36

. Функция является возрастающей, следовательно:

Ответ:

Пример №37

Функция убывающая, следовательно:

Ответ:

Решение более сложных показательных неравенств

I. С помощью равносильных преобразований (по схеме решения показательных уравнений, табл. 51) данное неравенство приводится к неравенству известного вида (квадратному, дробному и т. д.). После решения полученного неравенства приходим к простейшим показательным неравенствам.

Пример №38

Замена дает неравенство решения которого (см. рисунок).

Обратная замена дает (решений нет) или откуда

Ответ:

II. Применяем общий метод интервалов, приводя данное неравенство к виду f (x)0 и используя схему:

1. Найти ОДЗ.

2. Найти нули

3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ.

4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Решим неравенство методом интервалов. Данное неравенство равносильно неравенству Обозначим

1. ОДЗ:

2. Нули функции:

Поскольку функция является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), то значение, равное нулю, она принимает только в одной точке области определения:

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших показательных неравенств вида где основывается на свойствах функции которая возрастает при и убывает при Например, чтобы найти решение неравенства достаточно представить в виде Получаем неравенство

При функция убывает, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента, поэтому из неравенства (1) получаем (знак этого неравенства противоположен знаку неравенства (1)).

Графически это проиллюстрировано на рисунке 125.

Например, чтобы решить неравенство достаточно представить это неравенство в виде учесть, что (функция является возрастающей, следовательно, при переходе к аргументам знак неравенства не меняется), и записать решение:

Заметим, что решение данного неравенства можно записывать в виде или в виде промежутка

Аналогично, чтобы решить неравенство Достаточно представить это неравенство в виде Учесть что (Функция является убывающей, таким образом, при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный), и записать решение:

Учитывая, что при любых положительных значениях а значение всегда больше нуля, получаем, что при неравенство решений не имеет, а неравенство выполняется при всех действительных значениях

Например, неравенство не имеет решений, а решениями неравенства являются все действительные числа.

Обобщая приведенные выше рассуждения относительно решения простейших показательных неравенств, отметим, что при неравенство равносильно неравенству а при — неравенству

При (знак неравенства сохраняется).

При (знак неравенства меняется на противоположный).

Чтобы обосновать равносильность соответствующих неравенств, достаточно заметить, что при неравенства могут быть верными только одновременно, поскольку функция при является возрастающей и большему значению функции соответствует большее значение аргумента (и наоборот: большему значению аргумента соответствует большее значение функции). Таким образом, все решения неравенства (2) (которые обращают его в верное числовое неравенство) будут и решениями неравенства (3), и наоборот: все решения неравенства (3) будут решениями неравенства (2). А это и означает, что неравенства (2) и (3) являются равносильными.

Аналогично обосновывается равносильность неравенств и при

Заметим, что аналогично решению показательных уравнений все равносильные преобразования неравенства всегда выполняются на его области допустимых значений (то есть на общей области определения для всех функций, входящих в запись этого неравенства). Для показательных неравенств достаточно часто областью допустимых значений (ОДЗ) является множество всех действительных чисел. В этих случаях, как правило, ОДЗ явно не находят и не записывают в решение неравенства (см. далее задачу 1). Но если в процессе решения показательного неравенства равносильные преобразования выполняются не на всем множестве действительных чисел, то в этом случае приходится учитывать ОДЗ (см. далее задачу 2).

Примеры решения задач:

Пример №39

Решите неравенство

Решение:

Поскольку функция является убывающей, то

Отсюда ( см.рисунок)

Ответ:

Комментарий:

Для решения полученного квадратного неравенства используем графическую иллюстрацию.

Пример №40

Решите неравенство

Решение:

ОДЗ:

Замена дает неравенство

равносильное неравенству Поскольку получаем Отсюда Учитывая, что имеем Выполняя обратную замену, получаем Тогда

Функция является возрастающей, таким образом, Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Комментарий:

Поскольку равносильные преобразования неравенств выполняются на ОДЗ исходного неравенства, то зафиксируем эту ОДЗ. Используя формулу избавляемся от числового слагаемого в показателе степени и получаем степени с одним основанием 3, что позволяет ввести замену

В полученном неравенстве знаменатель положителен, поэтому это дробное неравенство можно привести к равносильному ему квадратному.

После выполнения обратной замены следует учесть не только возрастание функции но и ОДЗ исходного неравенства.

Пример №41

Решите неравенство

Решение:

Решим неравенство методом интервалов. Обозначим

1 ОДЗ:

2. Нули функции:

Замена Получаем Обратная замена дает:

Отсюда Отметим нули функции на ОДЗ, находим знак в каждом из полученных промежутков и записываем решения неравенства

Ответ:

Комментарий:

При нахождении нулей функции приведем все степени к двум основаниям (2 и 3), чтобы получить однородное уравнение. Это уравнение решается делением обеих частей на наивысшую степень одного из видов переменных — на Учитывая, что при всех значениях в результате деления на получаем уравнение, равносильное предыдущему.

Разумеется, для решения данного неравенства можно было учесть, что всегда, и после деления данного неравенства на и замены получить алгебраическое неравенство.

Пример №42

Решите неравенство

Комментарий:

Данное нестрогое неравенство также удобно решать методом интервалов. Записывая ответ, следует учитывать, что в случае, когда мы решаем нестрогое неравенство все нули функции должны войти в ответ.

Решение:

Обозначим

1. ОДЗ: Тогда (см. рисунок).

2. Нули функции:

Тогда Из первого уравнения: — не принадлежит ОДЗ, а из второго:

3. Отмечаем нули на ОДЗ, находим знак в каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решение неравенства

Ответ:

Показательные функции в высшей математике

Рассмотрим функцию, заданную равенством Составим таблицу её значений для нескольких значений аргумента:

На рисунке 19, а обозначены точки, координаты которых соответствуют этой таблице. Когда на этой же координатной плоскости обозначить больше точек с координатами удовлетворяющих равенству они разместятся, как показано на рисунке 19, б. А если для каждого действительного значения вычислить соответствующее значение и обозначить на координатной плоскости точки с координатами они разместятся на одной бесконечной кривой (рис. 19, в). Эта кривая — график функции

График функции размещён в I и II координатных четвертях. Когда он как угодно близко подходит к оси но общих точек с ней не имеет. Говорят, что график функции асимптотически приближается к оси что ось — асимптота этого графика. Когда неограниченно увеличивается, график функции всё дальше отходит от оси Как видим, функция определена для всех действительных чисел, её область значений — промежуток На всей области определения функция возрастает, она ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.

Рассматриваемая функция — пример показательной функции, а именно — показательная функция с основанием 2.

Показательной функцией называется функция, заданная формулой

Примеры других показательных функций: Их графики изображены на рисунке 20. Согласно определению функция не является показательной.

Основные свойства показательной функции

Область определения функции — множество ибо при каждом положительном и действительном выражение определено.
Область значений функции — множество поскольку, если основание степени положительное, то положительная и степень Следовательно, функция принимает только положительные значения.
Если функция возрастает, а если — убывает. Это свойство хорошо видно на графиках функций (рис. 20).
Функция каждое своё значение принимает только один раз, т. е. прямую, параллельную оси график показательной функции может пересечь только в одной точке. Это следует из свойства 3.
Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая. Поскольку каждое своё значение она принимает только один раз, то не может быть чётной или периодической. Не может она быть и нечётной, так как не имеет ни отрицательных, ни нулевых значений.
График каждой показательной функции проходит через точку поскольку если

При решении задач и упражнений, связанных с показательной функцией, особенно часто используется третье свойство, в котором указывается на монотонность показательной функции, то есть её возрастание или убывание. В частности из него вытекают следующие утверждения.

Если
Если
Если

Присмотритесь к графикам показательных функций и (рис. 21). Угловой коэффициент касательной, проведённой в точке к графику функции меньше 1, а к графику функции — больше 1. Существует ли такая показательная функция, у которой угловой коэффициент касательной к её графику в точке равен 1? Существует (рис. 22).Основание этой показательной функции — иррациональное число 2,71828 …, которое принято обозначать буквой Показательная функция в математике и многих прикладных науках встречается довольно часто, ее называют экспонентом (лат. exponens — выставлять напоказ).

К показательной функции иногда относят также функции вида При помощи таких функций описывают много разных процессов, связанных с физикой, химией, биологией, экономикой, социологией и т. д. Например, процессы новообразования и распада вещества можно описать с помощью формулы Здесь — количество вновь образованного (или распавшегося) вещества в момент времени — начальное количество вещества, — постоянная, значение которой определяется для конкретной ситуации. Подберите самостоятельно соответствующие примеры.

Пример №43

Сравните с единицей число:

Решение:

а) Представим число 1 в виде степени с основанием 0,5. Имеем: Поскольку функция убывающая и отсюда

функция возрастающая и поэтому отсюда

Пример №44

Функция задана на промежутке Найдите её наименьшее и наибольшее значения.

Решение:

Поскольку то данная функция убывающая. Поэтому её наименьшее и наибольшее значения:

Пример №45

Постройте график функции

Решение:

Функция — чётная (проверьте). График чётной функции симметричен относительно оси поэтому достаточно построить график заданной функции для и отобразить его симметрично относительно оси Если Построим график функции для и отобразим его симметрично относительно оси (рис. 23).

Производные показательной и логарифмической функций
Показательно-степенные уравнения и неравенства
Показательные уравнения и неравенства
Логарифмические уравнения и неравенства
Техника дифференцирования
Дифференциальная геометрия
Логарифмическая функция, её свойства и график
Логарифмические выражения

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №21. Показательная функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

– какая функция называется показательной;

– какие свойства имеет показательная функция в зависимости от ее основания;

– какой вид имеет график показательной функции в зависимости от ее основания;

– примеры реальных процессов, описываемых показательной функцией.

Глоссарий по теме

Функция вида , a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Функция называется монотонно возрастающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем больше значение функции).

Функция называется монотонно убывающей на промежутке <a; b>, если (чем больше аргумент, тем меньше значение функции).

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб.для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.310-314, сс. 210-216.

Открытые электронные ресурсы:

http://fcior.edu.ru/ – Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов

http://school-collection.edu.ru/ – Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Определение, свойства и график показательной функции

Определение:

Функция вида y=а^х, a>0, а≠1 называется показательной функцией с основанием а.

Такое название она получила потому, что независимая переменная стоит в показателе. Основание а – заданное число.

Для положительного основания значение степени а^х можно найти для любого значения показателя х – и целого, и рационального, и иррационального, то есть для любого действительного значения.

Сформулируем основные свойства показательной функции.

1. Область определения.

Как мы уже сказали, степень а^х для a>0 определена для любого действительного значения переменной х, поэтому область определения показательной функции D_(y)=R.

2. Множество значений.

Так как основание степени положительно, то очевидно, что функция может принимать только положительные значения.

Множество значений показательной функции Е_(y)=R⁺, или Е_(y)=(0; +∞).

3. Корни (нули) функции.

Так как основание a>0, то ни при каких значениях переменной х функция не обращается в 0 и корней не имеет.

4. Монотонность.

При a>1 функция монотонно возрастает.

При 0<a<1 функция монотонно убывает.

5. При любом значении а значение функции y (0) = а⁰ =1.

6. График функции.

При a>1

Рисунок 1 – График показательной функции при a>1

При 0<a<1

Рисунок 2 – График показательной функции при 0<a<1

Независимо от значения основания а график функции имеет горизонтальную асимптоту y=0. Для 0<a<1 при х стремящемся к плюс бесконечности, для a>1 при х стремящемся к минус бесконечности.

2. Рассмотрим пример исследования функции y=–3^х+1.

Решение:

1) Область определения функции – любое действительное число.

2) Найдем множество значений функции.

Так как 3^х>0, то –3^х<0, значит, –3^х+1<1, то есть множество значений функции y=–3^х+1 представляет собой промежуток (-∞; 1).

3) Так как функция y=3^х монотонно возрастает, то функция y=–3^х монотонно убывает. Значит, и функция y=–3^х+1 также монотонно убывает.

4) Эта функция будет иметь корень: –3^х+1=0, 3^х=1, х=0.

5) График функции

Рисунок 3 – График функции y=–3^х+1

6) Для этой функции горизонтальной асимптотой будет прямая y=1.

3. Примеры процессов, которые описываются показательной функцией.

1) Рост различных микроорганизмов, бактерий, дрожжей и ферментов описывает формула: N= N₀·a^kt, N– число организмов в момент времени t, t – время размножения, a и k – некоторые постоянные, которые зависят от температуры размножения, видов бактерий. Вообще это закон размножения при благоприятных условиях (отсутствие врагов, наличие необходимого количества питательных веществ и т.п.). Очевидно, что в реальности такого не происходит.

2) Давление воздуха изменяется по закону: P=P₀·a^-kh, P– давление на высоте h, P₀– давление на уровне моря, h – высота над уровнем моря, a и k – некоторые постоянные.

3) Закон роста древесины: D=D₀·a^kt, D– изменение количества древесины во времени, D₀ – начальное количество древесины, t – время, a и k – некоторые постоянные.

4) Процесс изменения температуры чайника при кипении описывается формулой: T=T₀+(100– T₀)e^-kt.

5) Закон поглощения света средой: I=I₀·e^-ks, s– толщина слоя, k – коэффициент, который характеризует степень замутнения среды.

6) Известно утверждение, что количество информации удваивается каждые 10 лет. Изобразим это наглядно.

Примем количество информации в момент времени t=0 за единицу. Тогда через 10 лет количество информации удвоится и будет равно 2. Еще через 10 лет количество информации удвоится еще раз и станет равно 4 и т.д.

Если предположить, что поток информации изменялся по тому же закону до того года, который принят за начальный, то будем двигаться по оси абсцисс влево от начала координат и над значениями аргумента -10, -20 и т.д. будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания — уменьшая каждый раз вдвое.

Рисунок 4 – График функции y=2^х – изменение количества информации

Закон изменения количества информации описывается показательной функцией y=2^х.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Выберите показательные функции, которые являются монотонно убывающими.

y=3^x-1
y=(0,4)^x+1
y=(0,7)^-х
y=
y=3^-2х
y=10^{2x +1}

Решение:

Монотонно убывающими являются показательные функции, основание которых положительно и меньше единицы. Такими функциями являются: 2) и 4) (независимо от того, что коэффициент в показателе функции 4) равен 0,5), заметим, что функцию 4) можно переписать в виде: , используя свойство степеней.

Также монотонно убывающей будет функция 5). Воспользуемся свойством степеней и представим ее в виде:

2) 4) 5)

Пример 2.

Найдите множество значений функции y=3^x+1– 3.

Решение:

Рассмотрим функцию.

Так как 3^x+1>0, то 3^x+1– 3>–3, то есть множество значений:

(– 3; +∞).

Пример 3.

Найдите множество значений функции y=|2^x– 2|

Рассмотрим функцию.

2^x–2>–2, но, так как мы рассматриваем модуль этого выражения, то получаем: |2^x– 2|0.

Источник

Область определения функции

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Материал со звездочкой

Старшеклассникам нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.
Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.
Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.
Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
Областью определения функции y = 3 √9 является множество R.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть n = 2m+1, при этом m принадлежит к N, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

D = 16 – 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x 2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x 2 + 4x + 3

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x a , то есть, f(x) = x a , где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = x a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0 0 . А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x 0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения функций y = x 5 , y = x 12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
Область определения функции y = x −2 , как и функции y = x −5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
Область определения степенных функций y = x -√19 , y = x -3e , — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a x , где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

y = e x
y = (√15) x
y = 13 x .

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

y = log₇x
y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

y = arcsinx

Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].
Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].
Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Показательные уравнения и неравенства с примерами решения

Содержание:

Рассмотрим уравнения, в которых переменная (неизвестное) находится в показателе степени. Например:

Уравнения такого вида принято называть показательными.

Решении показательных уравнений

При решении показательных уравнений нам будет полезно следствие из теоремы о свойствах показательной функции.

Пусть

Каждому значению показательной функции соответствует единственный показатель s.

Пример:

Решение:

Согласно следствию из равенства двух степеней с одинаковым основанием 3 следует равенство их показателей. Таким образом, данное уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно (поясните почему) уравнению

Если степени с основанием 3 равны, то равны и их показатели:

Решив это уравнение, получим

Ответ:

При решении каждого уравнения из примера 2 сначала обе части уравнения представили в виде степени с одним и тем же основанием, а затем записали равенство показателей этих степеней.

Пример:

Решение:

а) Данное уравнение равносильно уравнению

Решая его, получаем:

Так как две степени с одинаковым основанием 2 равны, то равны и их показатели, т. е. откуда находим

б) Разделив обе части уравнения на получим уравнение равносильное данному. Решив его, получим

Ответ:

При решении примера 3 а) левую часть уравнения разложили на множители. Причем за скобку вынесли такой множитель, что в скобках осталось числовое выражение, не содержащее переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Обозначим тогда

Таким образом, из данного уравнения получаем

откуда находим:

Итак, с учетом обозначения имеем:

При решении примера 4 был использован метод введения новой переменной, который позволил свести данное уравнение к квадратному относительно этой переменной.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Можно заметить, что 2 — корень данного уравнения. Других корней уравнение не имеет, так как функция, стоящая в левой части уравнения, возрастающая, а функция, стоящая в правой части уравнения, убывающая. Поэтому уравнение имеет не более одного корня (см. теорему из п. 1.14).

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Пример:

При каком значении а корнем уравнения является число, равное 2?

Решение:

Поскольку х = 2 — корень, то верно равенство

Решив это уравнение, найдем

Ответ: при

Показательные уравнения и их системы

Показательным уравнением называется уравнение, в ко тором неизвестное входит в показатель степени. При решении показательных уравнений полезно использовать следующие тождества:

Приведем методы решения некоторых типов показательных уравнений.

1 Приведение к одному основанию.

Метод основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели, т.е. уравнения надо попытаться привести к виду . Отсюда

Пример №1

Решите уравнение

Решение:

Заметим, что и перепишем наше уравнение в виде

Применив тождество (1), получим Зх – 7 = -7х + 3, х = 1.

Пример №2

Решить уравнение

Решение:

Переходя к основанию степени 2, получим:

Согласно тождеству (2), имеем

Последнее уравнение равносильно уравнению 4х-19 = 2,5х.

2 Введение новой переменной.

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Применив тождество 2, перепишем уравнение как

Введем новую переменную: Получим уравнение

которое имеет корни Однако кореньне удовлетворяет условию Значит,

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Разделив обе части уравнения на получим:

последнее уравнение запишется так:

Решая уравнение, найдем

Значение не удовлетворяет условию Следовательно,

Пример №5

Решить уравнение

Решение:

Заметим что Значит

Перепишем уравнение в виде

Обозначим Получим

Получим

Корнями данного уравнения будут

Следовательно,

III Вынесение общего множителя за скобку.

Пример №6

Решить уравнение

Решение:

После вынесения за скобку в левой части , а в правой , получим Разделим обе части уравнения на получим

Системы простейших показательных уравнений

Пример №7

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей

системе :Отсюда получим систему

Очевидно, что последняя система имеет решение

Пример №8

Решите систему уравнений:

Решение:

По свойству степеней система уравнений равносильна следующей системе: Последняя система, в свою очередь, равносильна системе:

Умножив второе уравнение этой системы на (-2) и сложив с первым, получим уравнение —9х=-4. Отсюда, найдем Подставив полученное значение во второе уравнение, получим

Пример №9

Решите систему уравнений:

Решение:

Сделаем замену: Тогда наша система примет вид:

Очевидно, что эта система уравнений имеет решение

Тогда получим уравнения

Приближенное решение уравнений

Пусть многочлен f(х) на концах отрезка [a,b] принимает значения разных знаков, то есть . Тогда внутри этого отрезка существует хотя бы одно решение уравнения Дх)=0. Это означает, что существует такое (читается как “кси”), что

Это утверждение проиллюстрировано на следующем чертеже.

Рассмотрим отрезок содержащий лишь один корень уравнения .

Метод последовательного деления отрезка пополам заключается в последовательном разделении отрезка [a, b] пополам до тех пор, пока длина полученного отрезка не будет меньше заданной точности

вычисляется значение f(х) выражения
отрезок делится пополам, то есть вычисляется значение
вычисляется значение выражения f(х) в точке
проверяется условие
если это условие выполняется, то в качестве левого конца нового отрезка выбирается середина предыдущего отрезка, то есть полагается, что (левый конец отрезка переходит в середину);
если это условие не выполняется, то правый конец нового отрезка переходит в середину, то есть полагается, что b=x;
для нового отрезка проверяется условие
если это условие выполняется , то вычисления заканчиваются. При этом в качестве приближенного решения выбирается последнее вычисленное значение х. Если это условие не выполняется, то, переходя к пункту 2 этого алгоритма, вычисления продолжаются.

Метод последовательного деления пополам проиллюстрирован на этом чертеже:

Для нахождения интервала, содержащего корень уравнения вычисляются значения

Оказывается, что для корня данного уравнения выполнено неравенство. Значит, данное уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий интервалу (-1 -А; 1+А). Для приближенного вычисления данного корня найдем целые и удовлетворяющие неравенству

Пример №10

Найдите интервал, содержащий корень уравнения

Решение:

Поделив обе части уравнения на 2 , получим,

Так как, для нового уравнения

Значит, в интервале, уравнение имеет хотя бы один корень. В то же время уравнение при не имеет ни одного корня, так как,

выполняется. Значит, корень уравнения лежит в (-2,5; 0). Для уточнения этого интервала положим Для проверим выполнение условия

Значит, уравнение имеет корень, принадлежащий интервалу (-1; 0).

Нахождение приближенного корня с заданной точностью

Исходя из вышесказанного, заключаем, что если выполнено неравенство корень уравнения принадлежит интервалу

ПустьЕсли приближенный

корень уравнения с точностью . Если то корень лежит в интервале если то корень лежит в интервале . Продолжим процесс до нахождения приближенного значения корня с заданной точностью.

Пример №11

Найдите приближенное значение корня уравнения с заданной точностью

Решение:

Из предыдущего примера нам известно, что корень лежит в интервале

(-1; 0). Из того, что заключаем, что корень лежит в интервале (-0,5; 0).

Так как, |(-0,25)41,5(-0,25)2+2,5(-0,25)+0,5| = |-0,046| 1. Если

Пусть

Изображения графиков показательной функции подсказывают это свойство. На рисунке 27 видно, что при а > 1 большему значению функции соответствует большее значение аргумента. А на рисунке 30 видно, что при 0

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Показательные уравнения и неравенства

Решение большинства математических задач так или иначе связано с преобразованием числовых, алгебраических или функциональных выражений. Сказанное в особенности относится к решению показательных уравнений и неравенств. В вариантах ЕГЭ по математике к такому типу задач относится, в частности, задача C3. Научиться решать задания C3 важно не только с целью успешной сдачи ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшей школе.

Выполняя задания C3, приходится решать различные виды уравнений и неравенств. Среди них — рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические, содержащие модули (абсолютные величины), а также комбинированные. В этой статье рассмотрены основные типы показательных уравнений и неравенств, а также различные методы их решений. О решении остальных видов уравнений и неравенств читайте в рубрике «Методическая копилка репетитора по физике и математике» в статьях, посвященных методам решения задач C3 из вариантов ЕГЭ по математике.

Прежде чем приступить к разбору конкретных показательных уравнений и неравенств, как репетитор по математике, предлагаю вам освежить в памяти некоторый теоретический материал, который нам понадобится.

Показательная функция

Что такое показательная функция?

Функцию вида y = a x , где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a x :

Свойство

a > 1

0 только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую несложную теорему:

Помимо этого, полезно помнить об основных формулах и действиях со степенями:

0,, b>0: \ a^0 = 1, 1^x = 1; \ a^<frac>=sqrt[n] , (kin Z,, nin N);\ a^ <-x>= frac<1>; \ a^xcdot a^y = a^; \ frac=a^; \ (a^x)^y = a^; \ a^xcdot b^x = (ab)^x; \ frac=left(fracright)^x.\ end> ]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Пример 1. Решите уравнение:

Решение: используем приведенные выше формулы и подстановку:

Уравнение тогда принимает вид:

Дискриминант полученного квадратного уравнения положителен:

0. ]” title=”Rendered by QuickLaTeX.com”/>

Это означает, что данное уравнение имеет два корня. Находим их:

Переходя к обратной подстановке, получаем:

Второе уравнение корней не имеет, поскольку показательная функция строго положительна на всей области определения. Решаем второе:

С учетом сказанного в теореме 1 переходим к эквивалентному уравнению: x = 3. Это и будет являться ответом к заданию.

Ответ: x = 3.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение: ограничений на область допустимых значений у уравнения нет, так как подкоренное выражение имеет смысл при любом значении x (показательная функция y = 9 4 -x положительна и не равна нулю).

Решаем уравнение путем равносильных преобразований с использованием правил умножения и деления степеней:

Последний переход был осуществлен в соответствии с теоремой 1.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение: обе части исходного уравнения можно поделить на 0,2 x . Данный переход будет являться равносильным, поскольку это выражение больше нуля при любом значении x (показательная функция строго положительна на своей области определения). Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: x = 0.

Пример 4. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение до элементарного путем равносильных преобразований с использованием приведенных в начале статьи правил деления и умножения степеней:

Деление обеих частей уравнения на 4 x , как и в предыдущем примере, является равносильным преобразованием, поскольку данное выражение не равно нулю ни при каких значениях x.

Ответ: x = 0.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение: функция y = 3 x , стоящая в левой части уравнения, является возрастающей. Функция y = —x-2/3, стоящая в правой части уравнения, является убывающей. Это означает, что если графики этих функций пересекаются, то не более чем в одной точке. В данном случае нетрудно догадаться, что графики пересекаются в точке x = -1. Других корней не будет.

Ответ: x = -1.

Пример 6. Решите уравнение:

Решение: упрощаем уравнение путем равносильных преобразований, имея в виду везде, что показательная функция строго больше нуля при любом значении x и используя правила вычисления произведения и частного степеней, приведенные в начале статьи:

Ответ: x = 2.

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных неравенств требуется знание следующей теоремы:

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство a f(x) > a g(x) равносильно неравенству того же смысла: f(x) > g(x). Если 0 f(x) > a g(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f(x) 2x , при этом (в силу положительности функции y = 3 2x ) знак неравенства не изменится:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ:

Пример 8. Решите неравенство:

Решение: используя свойства умножения и деления степеней, перепишем неравенство в виде:

Введем новую переменную:

С учетом этой подстановки неравенство принимает вид:

Умножим числитель и знаменатель дроби на 7, получаем следующее равносильное неравенство:

Итак, неравенству удовлетворяют следующие значения переменной t:

Тогда, переходя к обратной подстановке, получаем:

Поскольку основание степени здесь больше единицы, равносильным (по теореме 2) будет переход к неравенству:

Окончательно получаем ответ:

Пример 9. Решите неравенство:

Решение:

Делим обе части неравенства на выражение:

Оно всегда больше нуля (из-за положительности показательной функции), поэтому знак неравенства изменять не нужно. Получаем:

Воспользуемся заменой переменной:

Исходное уравнение тогда принимает вид:

Итак, неравенству удовлетворяют значения t, находящиеся в промежутке:

Переходя к обратной подстановке получаем, что исходное неравенство распадается на два случая:

Первое неравенство решений не имеет в силу положительности показательной функции. Решаем второе:

Поскольку основание степени в данном случае оказалось меньше единицы, но больше нуля, равносильным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательный ответ:

Пример 10. Решите неравенство:

Решение:

Ветви параболы y = 2x+2-x 2 направлены вниз, следовательно она ограничена сверху значением, которое она достигает в своей вершине:

Ветви параболы y = x 2 -2x+2, стоящей в показателе, направлены вверх, значит она ограничена снизу значением, которое она достигает в своей вершине:

Вместе с этим ограниченной снизу оказывается и функция y = 3 x 2 -2x+2 , стоящая в правой части уравнения. Она достигает своего наименьшего значения в той же точке, что и парабола, стоящая в показателе, и это значение равно 3 1 = 3. Итак, исходное неравенство может оказаться верным только в том случае, если функция слева и функция справа принимают в одной точке значение, равное 3 (пересечением областей значений этих функций является только это число). Это условие выполняется в единственной точке x = 1.

Ответ: x = 1.

Для того, чтобы научиться решать показательные уравнения и неравенства, необходимо постоянно тренироваться в их решении. В этом нелегком деле вам могут помочь различные методические пособия, задачники по элементарной математике, сборники конкурсных задач, занятия по математике в школе, а также индивидуальные занятия с профессиональным репетитором. Искренне желаю вам успехов в подготовке и блестящих результатов на экзамене.

P. S. Уважаемые гости! Пожалуйста, не пишите в комментариях заявки на решение ваших уравнений. К сожалению, на это у меня совершенно нет времени. Такие сообщения будут удалены. Пожалуйста, ознакомьтесь со статьёй. Возможно, в ней вы найдёте ответы на вопросы, которые не позволили вам решить своё задание самостоятельно.

[spoiler title=”источники:”]

http://www.evkova.org/pokazatelnyie-uravneniya-i-neravenstva

Показательные уравнения и неравенства

[/spoiler]

Источник

На чтение 6 мин. Просмотров 69.2k.

Показательная функция — одна из основных функций, изучаемая в школе и в ВУЗе. Познакомимся с основными понятиями и свойствами показательной функции, построим ее график.

Функцию вида y=a^x, где а > 0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
Область значений показательной функции: E (y)=R₊ – множество всех положительных чисел.
Показательная функция y=a^x возрастает при a > 1.
Показательная функция y=a^x убывает при 0 < a < 1.

Справедливы все свойства степенной функции:

а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.
a^x∙a^y=a^x⁺^y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
a^x:a^y=a^x-^y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(a^x)^y=a^xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
(a∙b)^x=a^x∙b^y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
(a/b)^x=a^x/b^yПри возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
а^-х=1/a^x
(a/b)^-x=(b/a)^x.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

1) Построить график функции y=2^x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=2⁰=1; Точка А.

x=1, y=2¹=2; Точка В.

x=2, y=2²=4; Точка С.

x=3, y=2³=8; Точка D.

x=-1, y=2^-1=¹/₂=0,5; Точка K.

x=-2, y=2^-2=¹/₄=0,25; Точка M.

x=-3, y=2^-3=¹/₈=0,125; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2^x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2 > 1.

Пример 2

2) Построить график функции y=(¹/₂)^x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=(½)⁰=1; Точка A.

x=1, y=(½)¹=½=0,5; Точка B.

x=2, y=(½)²=¼=0,25; Точка C.

x=3, y=(½)³=1/8=0,125; Точка D.

x=-1, y=(½)^-1=2¹=2; Точка K.

x=-2, y=(½)^-2=2²=4; Точка M.

x=-3, y=(½)^-3=2³=8; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует меньшее значение функции y. Функция y=(¹/₂)^xубывает на всей своей области определения: D (y)=R, так как основание функции 0 < (¹/₂) < 1.

Пример 3

3) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=2^x, y=3^x, y=5^x, y=10^x. Сделать выводы.

График функции у=2^х мы уже строили, графики остальных функций строим аналогично, причем, достаточно будет найти значения функций при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение (D (y)=R), при этом значение у всегда будет больше нуля (E (y)=R₊).

Графики всех данных функций пересекают ось Оу в точке (0; 1), так как любое число в нулевой степени равно единице; с осью Ох графики не пересекаются, так как положительное число в любой степени не может быть равным нулю. Чем больше основание а (если a > 1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все данные функции являются возрастающими, так как большему значению аргумента соответствует и большее значение функции.

Пример 4

4) В одной координатной плоскости построить графики функций:

y=(¹/₂)^x, y=(¹/₃)^x, y=(¹/₅)^x, y=(¹/₁₀)^x. Сделать выводы.

Смотрите построение графика функции y=(¹/₂)^x выше, графики остальных функций строим аналогично, вычислив их значения при х=0 и при х=±1.

Переменная х может принимать любое значение: D (y)=R, при этом область значений функции: E (y)=R₊.

Чем меньше основание а (при 0 < a < 1) показательной функции у=а^х, тем ближе расположена кривая к оси Оу.

Все эти функции являются убывающими, так как большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Решить графически уравнения:

1) 3^x=4-x.

В одной координатной плоскости построим графики функций: у=3^х и у=4-х.

Графики пересеклись в точке А(1; 3).

Ответ: 1.

2) 0,5^х=х+3.

В одной координатной плоскости строим графики функций: у=0,5^х

(y=(¹/₂)^x )

и у=х+3.

Графики пересеклись в точке В(-1; 2).

Ответ: -1.

Найти область значений функции: 1) y=-2^x; 2) y=(¹/₃)^x+1; 3) y=3^x+1-5.

Решение.

1) y=-2^x

Область значений показательной функции y=2^x – все положительные числа, т.е.

0 < 2^x < +∞. Значит, умножая каждую часть двойного неравенства на (-1), получаем:

— ∞ < -2^x < 0.

Ответ: Е(у)=(-∞; 0).

2) y=(¹/₃)^x+1;

0 < (¹/₃)^x < +∞, тогда, прибавляя ко всем частям двойного неравенства число 1, получаем:

0+1 < (¹/₃)^x+1 < +∞+1;

1 < (¹/₃)^x+1 < +∞.

Ответ: Е(у)=(1; +∞).

3) y=3^x⁺¹-5.

Запишем функцию в виде: у=3^х∙3-5.

0 < 3^x < +∞; умножаем все части двойного неравенства на 3:

0∙3 < 3^x∙3 < (+∞)∙3;

0 < 3^x∙3 < +∞; из всех частей двойного неравенства вычитаем 5:

0-5 < 3^x∙3-5 < +∞-5;

— 5 < 3^x∙3-5 < +∞.

Ответ: Е(у)=(-5; +∞).

Смотрите Карту сайта, и Вы найдете нужные Вам темы!

Источник

Понятие показательной функции

Свойства показательной функции

График и точки пересечения с осями координат

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Решение показательных уравнений и неравенств

Пример №5

Пример №6

Пример №7

Пример №8

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Пример №9

Пример №10

Пример №11

Пример №12

Пример №13

Решение показательных неравенств

Пример №14

Пример №15

Пример №16

Пример №17

Определение и вычисление показательной функции

Показательная функция – практическое занятие с решением

Экспоненциально возрастающая и экспоненциально убывающие функции

Преобразование графиков показательных функций

Пример №18

Пример №19

Показательная функция. Число е.

График функции y=ex

Показательная и логарифмическая функции их свойства и график

Понятие показательной функции

Свойства показательной функции

Пример №20

Пример №21

Пример №22

Пример №23

Решение показательных уравнении и неравенств

Пример №24

Пример №25

Пример №26

Простейшие показательные уравнения

Пример №27

Пример №28

Пример №29

Пример №30

Решение более сложных показательных уравнений и их систем

Пример №31

Пример №32

Пример №33

Пример №34

Пример №35

Решение показательных неравенств

Пример №36

Пример №37

Решение более сложных показательных неравенств

Пример №38

Пример №39

Пример №40

Пример №41

Пример №42

Показательные функции в высшей математике

Основные свойства показательной функции

Пример №43

Пример №44

Пример №45

Область определения функции

Понятие области определения функции

Материал со звездочкой

Области определения основных элементарных функций

Область определения постоянной функции

Область определения функции с корнем

Пример

Область определения степенной функции

Область определения показательной функции

Область определения логарифмической функции

Пример

Область определения тригонометрических функций

Пример

График функции y=e^x