Как найти область определения функции таблица

Область значений функции, ее свойства и примеры решения

В данном материалы мы подробно рассмотрим значение функции. Определим основные методы ее вычисления. Изучим множество значений функции.

Подробно, разберем на примерах, методы нахождения функции.  Прежде, чем начать изучение материала, охарактеризуем основное определение значению функции.

Функции удобно изображать в виде графических прямых или кривых.

Понятие области определения функции

Функция задается тогда, когда любому значению, например x соответствует любое значение y. Независимой переменной называют значение х или по другому аргументом. Числовое значение y, как правило является зависимой переменной.

Данная зависимость между x и y в алгебре называют функциональной.  Записывают ее в виде функции y = f(x)

Другими словами, функция, это когда значения одной переменной зависят от значений другой переменной.

Далее можно сформулировать определение область функции. То есть, на какой промежуток действе функции распространяется.

Область функции можно выразить геометрически. Например, в виде графика. Где за основу берутся оси х и y.

Например:

Область значений функции y = z² — это все значения, которые будут  больше либо равные нулю. В виде записи это выглядит следующим образом: f(у): у ≥ 0. Не все функции обозначаются одинаковыми формулировками, в основном D(f). Но тригонометрические функции обозначаются немного иначе. D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус. Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = x. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) =  [-1, 1]. Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Для указания множества чисел в определенном промежутке, необходимо выполнить следующие действия:

• назначается левая и правая границы, два числа через запятую или точку с запятой;
• ставится круглая или квадратная скобка; это зависит, входит ли граница в промежуток;
• круглая скобка, ставится, в том случае, если граница не входит в заданный промежуток;
• квадратная, в обратном случае.

Если у промежутка нет правой границы, записываем знак бесконечности или плюс бесконечности. Если отсутствует левая граница, записываем знак минус бесконечности.

В случае, если записывается множество, которое состоит из нескольких промежутков, ставится знак объединение. 

Рассмотрим на примерах

Все действительные числа от 1 до 9, можно выразить в следующей записи. [1;9]

Все положительные числовые значения, имеют следующий вид: (0; +);

Так как ноль, не является положительным число, то возле него ставится круглая скобка.

Область значения и определения функции

Область определения —  y(x) любые числовые значения аргумента x.

Чаще всего  область определения выражают как функцию D(y).

В математике существует две главных запрещенных (недопустимых) операции:

• деление любого числового значения на ноль;
• извлечение квадратного корня, из числа, которое имеет отрицательное значение.

При определении области функции, вступают в силу два основных ограничения:

• В функции может быть деление на любую переменную. Таким образом, знаменатель, будет равен нулю и получим недопустимое значение. В таком случае, принято считать областью определения все действительные числа.
• Функция имеет действие: как извлечение квадратного корня. Подкоренное выражение обязательно не должно быть отрицательным. Множество решений этого неравенства и будет областью определения функции.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция записывается обычной формулой y = N, а именно f(x) = N, где N — любое действительное число. Иными словами, принято называть константа.

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит следующим образом: y = x^k, то есть, f(x) = x^k, где x — переменный показатель в основании степени, a — любое число в степени.

Область определения степенной функции, всегда имеет непосредственную зависимость, от значений показателя степени.

Рассмотрим основные моменты:

Если k — неотрицательное  целое число, то областью определения  данной функции является  множество любых, обязательно, действительных чисел: (-∞, +∞).

Когда  степенной показатель, является не целое число, то функция имеет следующий вид  D(f) = [0, +∞).

Когда k — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Для остальных действительных отрицательных, a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

Если k равно нулю, то функция определена для всех чисел, кроме нуля. Так как ноль нельзя возвести в степень, а любое другое число в нулевой степени равно 1.

То есть, при k = 0, y =x0 = 1, на заданной области  определения (-∞, 0) ∪ (0, +∞).

Область определения показательной функции

Показательная функция записывается как: y=k^x

где значение x — показатель степени;

k — число, которое обязательно больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество значений R.

Основные примеры показательных функций:

Область определения, для этих функций, записывается следующим образом: (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выражается как: y=log n^k

Где значение n, имеет значение больше нуля и не менее единицы. Область определения логарифма и логарифмической функции — это  множество положительных значений и действительных чисел.

Рассмотрим на примере, характер решения задачи данной функции.

Пример №1

y=ln x, определить область определения натурального логарифма. D(y)=(0;+).

На заданном интервале, производная будет иметь положительное значение, и функция будет возрастать на всем промежутке.

[y=ln x=frac{1}{x}]

Определим односторонний предел при, стремлении аргумента к нулю и когда значение x стремится к бесконечности.

Из данного решения мы видим, что значения будут возрастать от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Из этого следует, что множество всех действительных чисел – является областью значений функции натурального логарифма ln.

Ответ: множество всех действительных чисел, это и есть область значений функции ln.

Область определения и множество значений функций косинус, синус, тангенс, котангенс

Множество значений всех действительных чисел, будет являться областью определения функций синус и косинус, и записываться следующим образом.

Функции являются ограниченными, как сверху, так и снизу.

y = sin x и y = cos x

Промежуток их действия сводится к неравенству -1 ≤ y ≤ 1

Областью определения функции тангенс tg x, является выражение [x neq frac{pi}{2}+pi k, k in z].

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел [x neq frac{pi}{2}, k in z].

На нижеприведенных примерах подробно расписано решение задач, при определении области функции, при заданных промежутках значений.

Пример №1

Определить область значения функции sin x

Данный вид функции относится к категории периодической. Ее период равняется 2π  

Определяем множество значений на следующем отрезке: (0;2π).

Пример №2

Необходимо определить область значения функции cos x.

Наименьшее значение равно -1;

Минимальное значение косинуса равняется -1, потому что наименьшее значение х, на окружности стремится к этому значению и, следовательно, равняется -1.

Максимальное значение косинуса будет соответственно 1. Поскольку значение на окружности х имеет число 1.

Область значение, следовательно, будет от минус одно до плюс одного. [-1;1].

Применяем двойное неравенство и записывает следующее выражение:

[-1 leq cos 1 leq 1]

Область значения косинуса никогда не зависит от аргумента, только если сам аргумент выражен в виде сложного выражения. Где имеют место ограничения касающиеся области определения и области значения.

Таким образом, минимальное  значение cos x, cos (15α), cos(5-11x) и так далее, будет однозначно равняться -1;

Самым максимальным значением cos x, cos(4φ), cos(5х+3) равняется 1.

Область значений функции y=cos x — также промежуток [-1;1].

Область значения квадрата косинуса, будет промежуток от нуля до единицы [0;1]. Потому что число в четной степени, является не отрицательным.

Аналогичным образом находим область значений модуля косинуса — промежуток [0;1]

[0 leq(cos alpha) leq 1]

Пример №3

y = tgx на определенном интервале [left(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{1}right)].

Решение:

Из правил алгебры, известно, что производная тангенса имеет положительное значение. Соответственно функция будет иметь возрастающую характеристику.

Далее необходимо определить поведение функции, в заданных пределах.

Выполнив решение, мы получаем рост значений от минус до плюс бесконечности. Решение будет сводится к следующему: множество решение заданной функции, будет множество всех действий функции.

Пример №4

[y=(arcsin x)=frac{1}{sqrt{1-x^{2}}}] на определенном интервале (-1;1).

Решение:

Для всех значений x производная будет положительной, в пределах от -1;1

Следовательно, область значения арксинуса равняется:

[ E=(arcsin x)=-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]

Пример №5

Разберем функцию 2sinx2-4, где значение х меньше либо равно значению 3. Необходимо вычислить область значений.

[frac{1}{x-3}] , где x > 3

Функция является для всех значений x определенной.

Наблюдаем недопустимый вид при значении аргумента − 3.

При приближении к данному аргументу функция стремится к [-2 sin frac{3}{2}-4]. При стремлении x к − 3 с правой стороны значения будут стремиться к − 1.

Наблюдается разрыв в точке 3. Когда функция стремится к данному разрыву ее числовые значения приближаются к -1. Минус бесконечность будет наблюдаться при стремлении к такой точке, но только с правой стороны.

Из этого следует вся область значений данной функции разбивается на три интервала. (-;−3], (−3 ;3], (3;+)(-;-3], (-3; 3], (3;+).

Первый интервал имеет функцию, следующего вида [y=2 sin frac{3}{2}-4]. Так как синус должен быть, меньше либо равен 1, или больше либо равен -1. Получаем следующие выражения:

[-1 leq sin frac{3}{2} leq 1] из этого следует [-2 leq 2 sin frac{3}{2} leq 2 Rightarrow-6 leq 2 sin frac{3}{2}-4 leq-2]

На промежутке -∞;-3, функция имеет следующие значения [-6;-2].

Функция y=-1, получается на полуинтервале (−3;3]. Следовательно, все значения будут сводится на данном интервале к одному числу, а именно -1.

Проанализируем второй промежуток (3;-+∞). Так как функция [y=frac{1}{x-3}] меньше нуля, она будет убывающей [y=frac{-1}{(x-) 2}<0]. Промежуток ее убывания будет от плюс бесконечности до нуля, однако значение ноль она не достигнет.

Если значение x больше значения 3, то большинство множеств функции будет в промежутке от нуля до +∞.

f(x)=-6;-2-1]∪(0;+∞).

Таблица областей определения функций

Составим таблицу, где покажем взаимосвязь области определения функции и самой функции.

Способы задания функции

Аналитический способ в виде формулы. К примеру:

y = x⁴-5x³+6x² ;

y = x²-3x³+6x² ;

y = x³-2x²+6x².

Таблица из множеств значений (x; y).

Графическим способом. Два значения (x; y) изображаются на координатной плоскости

Методы определения области значения функции

• определение значений сложных аргументов функции;
• способ оценки;
• использование свойств непрерывности и монотонности функции;
• применение производной значений;
• использование максимального и минимального значения функции;
• построение графика;
• вводные параметры;
• обратная функция и ее особенности.

Функции подразделяются на две категории:

• четные.
• нечетные

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x^y и другие.

А области их определения изучаем, как свойства.

Определения области значения функции x

На примерах рассмотрим, как определить области значений функции.

Первоначально, необходимо определить значения непрерывной функции y=f(x).

Известно, что функция непрерывная и достигает своих максимальных max f(x) и минимальных min f(x) значений, на разных периодах. Из этого следует отрезок, где находятся значения исходной функции. Тогда решение состоит в нахождении точек максимума и минимума.

Пример №1

Необходимо вычислить область значений уравнения

y = x⁴-5x³+6x² на отрезке [1;4 ][1;4].

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{117-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 32right)].

Пример №2

Необходимо вычислить область значений уравнения

y = x⁴-7x³+5x² на отрезке [1;4] [1;4]

Для решения задачи необходимо произвести следующие действия:

Следующим шагом будет определение значений функции в конечной и начальной точках.

Ответ: [left(frac{231-165 cdot sqrt{33}}{512} ; 34right)].

Пример №3

На этом примере подробно рассмотрим, как вычисляются значения непрерывной функции y= f(x), в определенных промежутках.

Для этого, первоначально вычислим:

• наименьшее и наибольшее значение;
• определим промежуток возрастания и убывания функции;
• односторонние пределы;
• предел бесконечности.

Решение:

Для решения возьмем функцию [y=frac{1}{x^{2}-4}] и вычислим область значений на промежутке (-2;2).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.

А именно: [y=frac{1}{0^{2}-4}=-frac{1}{4}];

[-frac{1}{4}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.

Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+2).

В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.

Решение выглядит следующим образом.

В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от -∞ до [-frac{1}{4}]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к -∞.

Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале -∞ до [-frac{1}{4}].

Ответ: [left(infty-frac{1}{4}right)].

Пример №4

Для решения возьмем функцию [y frac{1}{x^{2}-6}] и вычислим область значений на промежутке (-2;3).

Находим наименьшее и наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Из данных вычислений видно, что максимальное значение равно 0, так как в этой точке происходит перемена знака функции и соответственно функция начинает убывать.

А именно: [y(0)=frac{1}{0^{2}-6}=-frac{1}{6}];

[-frac{1}{6}] — будет являться наибольшим значение заданной функции.

Следующим шагом в нашем решении, будет выяснение направления функции. Когда x значение стремится к (-2) и (+4).

В алгебре иными словами эти значения называют односторонними пределами.

Решение выглядит следующим образом.

В конечном итоге мы получаем, что в пределах от -2 до 0, функции будут возрастать от -∞ до [-frac{1}{6}]. Если аргумент меняется, от 0 до то наоборот будет убывать к -∞.

Следовательно, необходимое множество значений будет на интервале -∞ до[-frac{1}{6}].

Ответ: (-∞ [-frac{1}{6}]).

Область определения функции y

Пример №1

Данная функция имеет определенное значение, только при положительных значениях. D(y) = (0;+).

Производная будет иметь следующий вид: [y=(ln x)=frac{1}{x}].

Так как функция имеет положительное значение, то всем промежутке будет наблюдаться ее возрастание. От -∞ до +∞.

Поэтому область значения — это множество всех натуральных значений.

Пример №2

У функции [y=frac{9}{z^{2}-1}];

Если значение z имеет положительное значение, то функция будет считаться определенной.

Вычислим наибольшее и наименьшее значение, а также промежутки возрастания и убывания.

Если значение x будет больше, либо равным 0, то функция будет убывать. 

Если значение x будет меньше либо равным нулю, функция будет возрастать.

Затем рассмотрим поведение функции и ее значения на бесконечной прямой.

Вывод: если аргумент изменяется от -∞ до 0, тогда значение функции увеличиваются от 0 до 9. Когда значения аргумента меняются от 0 до+∞, значения функции будут уменьшаться от 9 до 0.

Пример №3

Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: D(y)=(-∞;2)(+∞;2).

Определим множества на первом отрезке (-∞;2). На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.

Функция асимметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке (+∞;2). На этом отрезке функция будет также убывающей.

Вывод: E(y) = (∞;1)∪(1;∞).

Пример №4

Вычислить область значений функции [y=frac{2}{sqrt{2 x-1}}+3]

[y=2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}+3]

Функцию и получаем следующий вид уравнения: [y=x^{-frac{1}{2}}];

Промежуток  значений будет следующим: (0;+∞);

[(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0]

В таком случае: [(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0 Rightarrow 2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}>0 Rightarrow 2 cdot(2 x-1)^{-frac{1}{2}}+3>3]

Значит, E(y) = (3;+∞).

Пример №5

Определить область значений [y=frac{x}{x-2}];

По правилам математики. знаменатель не может равняться нулю. Поэтому: D(y)=(-∞;2)(+∞;2).

Определим множества на первом отрезке от минус бесконечности до двух (-∞;2). На этом отрезке функция будет убывающей и значение отрицательным.

Функция ассиметрично начнет приближаться к 1, когда аргумент будет изменяться к минус бесконечности.

Определим множества на втором отрезке (+∞;2). На этом отрезке функция будет также убывающей

Вывод решения: E(y) = (+∞;1)∪(1;+∞).

Подводя итоги рассмотренного изученного материала стоит отметить следующие моменты:

Для вычисления и определения области значения функции, нужно обязательно знать основные правила математики.

Всегда помнить, что на ноль делить, ни в коем случае нельзя, это недопустимое действие. Число, из которого необходимо вычислить корень числа, также должно быть положительным.

Все основные законы определения области значения, очень удобно сводить в таблицу и пользоваться ею в процессе обучения.

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от
независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

у = 2x

• « x » называют независимым аргументом функции;
• « y » зависимой переменной или значением функции.

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу «у = 2x» подставляем произвольные числовые значения
и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу «у = 2x» и запишем результаты в таблицу.

x	y = 2x
x = −2	у = 2 · (−2) = −4
x = 0	y = 2 · 0 = 0
x = 1 2	y = 2 · 1 2 = 2 · 1 2 = 1
x = 3	y = 2 · 3 = 6

Обозначают область определения функции как:

D(y)

Вернемся к нашей функции «у = 2x» и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции «y = 2x», где
мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x	y = 2x
−2	−4
0	0
1 2	1
3	6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать,
что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

• −2
• 0
• 10
• 30,5
• 1 000 000
• и так далее…

В нашей функции «у = 2x» вместо « x »
можно подставить любое число, поэтому область определения функции «у = 2x» — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции «у = 2x» через математические обозначения.

у = 2x
D(y): x — любое действительное число

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на
математические символы.
Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции «у = 2x».
Так как в функции
«у = 2x» нет ограничений для « x »,
заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности «−∞» до плюс бесконечности
«+∞».

Запишем результат по правилам записи неравенств.

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности
до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; +∞)

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как
«x ∈ R».

Читается «x ∈ R» как: « x » принадлежит всем действительным числам».

Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
«x ∈ R» одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x »
в функции

« f(x) = ».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя.
Иначе говоря,
знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции «f(x) = ».
Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

x + 5 ≠ 0

Решим полученное линейное уравнение.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме «−5».
На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число «−5» отмечено
«пустой»
точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число «−5» не входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке
«Как записать ответ неравенства».

x ∈ (−∞ ; −5) ∪ (−5 ; +∞)

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) = ».

Ответ:

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = √6 − x

Из урока «Квадратный корень» мы помним,
что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
«у = √6 − x».
Подкоренное выражение
«6 − x» должно быть больше или равно нулю.

6 − x ≥ 0

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число «6» отмечено
«заполненной»
точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

x ∈ (−∞ ; 6]

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«y = √6 − x» .
Так как число «6» входит
в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять
квадратная скобка.

Ответ:

D(y): x ∈ (−∞ ; 6]

Правило для определения области определения функции

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

1. есть ли в функции дроби со знаменателем, в котором есть « x »?
2. есть ли корни четной
   степени с « x »?

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции «
f(x) = √x + 3 +
»

есть дробь «

»,
где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель
« x ² − 9 »
не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через
формулу квадратного уравнения.

Запомним полученный результат. Задаем себе
второй
вопрос.
Проверяем, есть ли в формуле функции

«
f(x) = √x + 3 +
»

корень четной степени.

В формуле есть квадратный корень «
√x + 3
».

Подкоренное выражение «x + 3»
должно быть больше или равно нулю.

x + 3 ≥ 0

Решим линейное неравенство.

x + 3 ≥ 0
x ≥ −3

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

• знаменатель дроби
  «
  » не равен нулю ;
• подкоренное выражение «
  √x + 3
  » должно быть больше или равно нулю.

Объединим все полученные результаты на числовых осях.
Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях.
Обратим внимание, что числа «−3» и «3» отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка «−3 < x < 3» и «x > 3», которые являются областью определения функции
«f(x) = √x + 3 + ».
Запишем окончательный ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ (−3 ; 3) ∪ (3 ; +∞)

Примеры определения области определения функции

Разбор примера

Найти область определения функции:

y = ⁶√x +
⁵√1 + x

Для поиска области определения функций задаем себе
первый вопрос.

Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
нет дробей.

Задаем
второй вопрос.

Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени:
«⁶√x».

Степень корня — число «6». Число «6» — чётное,
поэтому подкоренное выражение корня «⁶√x»
должно быть больше или равно нулю.

x ≥ 0

В формуле функции «y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
также есть корень пятой степени
«⁵√1 + x
».

Степень корня «5» — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение
«1 + x»
не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции

«y = ⁶√x +
⁵√1 + x»
— это ограничение подкоренного выражения
«⁶√x».

x ≥ 0

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

Ответ:

D(y): x ∈ [0 ; +∞)

---

Разбор примера

Найдите область определения функции:

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два.
Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

	√x + 2 ≠ 0
x2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами «1» и
«2» и решим каждое уравнение отдельно.

	√x + 2 ≠ 0            (1)
x2 − 7x + 6 ≠ 0     (2)

Решаем первое уравнение.

√x + 2 ≠ 0     (1)

Если значение квадратного корня
«√x + 2 ≠ 0» не должно быть равно нулю,

значит, подкоренное выражение
«x + 2 ≠ 0»

также не должно быть равно нулю.

√x + 2 ≠ 0     (1)

x + 2 ≠ 0
x ≠ −2

Теперь решим уравнение под номером «2», используя
формулу квадратного уравнения.

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

Знаменатели с « x »
мы проверили. Настала очередь
проверить
формулу функции
на
наличие корней четной степени .

В формуле функции

«f(x) =

+
»

есть два корня
«√x − 4» и
«√x + 2». Их подкоренные
выражения должны быть больше или равны нулю.

Решим полученную
систему неравенств.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

x ≥ 4

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим
проверкам:

1. проверка, что знаменатели
   дробей
   с « x »
   не равны нулю;
2. проверка, что
   подкоренные выражения корней четной степени должно быть больше или равны нулю.

Условие проверки	Результат
Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю
Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю	x ≥ 4

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет
всем полученным условиям.

Запишем окончательный ответ для области определения функции
«f(x) =

+
»

с использованием математических символов.

Ответ:

D(y): x ∈ [4 ; 6) ∪ (6; +∞)

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2. 

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn_, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn_. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Чтобы найти  область определения произведения функций необходимо применять правило:

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

• умножение корней;
• деление корней;
• корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Расположим функции и их области определения.

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

1. Область определения функции.

2. Четность, нечетность, периодичность.

3. Точки пересечения с осями координат.

4. Производная и критические точки.

5. Промежутки возрастания, убывания и
точки экстремума и значение функции в
этих точках.

6. Поведение функции на концах области
определения и асимптоты графика функции
(вертикальные, горизонтальные, и
наклонные)

7. Вторая производная и исследование
функции на выпуклость и вогнутость, и
нахождение точек перегиба.

8. Нахождение контрольных точек.

9. Построение графика по результатам
исследования.

Приложения.

Таблица
1. Как найти область определения функции.

Таблица
2. Четные и нечетные функции.

Таблица
3. Периодические функции.

Таблица
4. Применение производной к исследованию
функции.

Таблица
5. Асимптоты графика функции.

Таблица
6. Вторая производная и точки перегиба.

Примеры.

Пример
1. Исследовать
функцию

и построить график функции.

Пример
2. Исследовать
функцию

и построить график функции.

Пример
3. Исследовать
функцию

и построить график функции.

Схема исследования функции y = f(x) для построения эскиза ее графика.
Схема	Пример
1. Область определения функции (см. табл. 1)	Область определения:
2. Четность, нечетность (табл. 2), периодичность (табл. 3)	Функция ни четная, ни нечетная и не периодическая
3. Точки пересечения с осями координат (если можно найти)	0y x = 0; y = 0
y = 0; 0x
4. Производная и критические точки (табл. 4)
5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума (и значение функции в этих точках) (табл. 4)
6. Поведение функции на концах области определения и асимптоты графика функции (вертикальные, горизонтальные, и наклонные) (табл. 5)	П ри слева Следовательно, При справа x = – 4 вертикальная асимптота Так как то при тогда т.е. y = x – 9 – наклонная асимптота
7. Вторая производная и исследование функции на выпуклость и вогнутость. Найти точки перегиба (если они существуют) и значение f(x) в точках перегиба (табл. 6)	П оскольку , то знак второй производной может меняться только в точке x = -4
Если необходимо, найти контрольные точки, уточняющие поведение графика	X -6 -2 Y -33 7
На основании проведенного исследования строим эскиз графика функции y=f(x)

Как найти область определения функции
№	Вид функции	Ограничения (f(x) и g(x) существуют!)	Формулировка
1			Знаменатель дроби не равен нулю
2			Под знаком корня четной степени может стоять только неотрицательное выражение
3			Под знаком логарифма может стоять только положительное выражение
4	(a >0)		В основании логарифма может стоять только положительное выражение, не равное 1
5			Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное (k – целое)
6			Под знаком котангенса может стоять только выражение, не равное (k – целое)
7			Под знаком арксинуса и арккосинуса может стоять только выражение, модуль которого меньше или равен единице
8
9
а) – натуральное	x – любое число
б) – целое отрица-тельное или нуль
в) – положитель-ное не целое число
г) – отрицатель-ное не целое число

Таблица 1

Таблица 2

Четные и нечетные функции
Четная функция	Нечетная функция
Определение. Функция f называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого X из ее области определения	Определение. Функция f называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого X из ее области определения
Свойства	Свойства
График четной функции симметричен относительно оси 0y	График нечетной функции симметричен относительно начала координат
Примеры четных функций	Примеры нечетных функций

Таблица 3

Периодические функции
Определение. Функция называется периодической с периодом , если для любого x из области определения
Свойства
1. Если число Т период функции f , то число k*T также является периодом этой функции
2. Если функция y=f(x) периодическая с периодом Т, то функция y=Af(kx+b) также периодическая и ее период равен (A, b, k – постоянные числа и )
3. Если функция y=f(x) периодическая с периодом Т, то сложная функция (функция от функции) y=φ(f(x)) также периодическая с периодом Т (хотя, возможно, этот период и не является наименьшим по абсолютной величине)
4. Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно построить график на отрезке длиной Т, а далее – параллельно перенести этот график вдоль оси 0х на расстояние влево и вправо
Примеры периодических функций
y=sin(x) T=2π	y=cos(x) T=2π	y=tg(x) T=π	y=ctg(x) T=π
y=sin(3x) T=	y={x}- дробная часть х T=1	y=|cos(x)| T=π	y=3 T-любое число (Т≠0)
Практические приемы нахождения периодов функций
1. Найти период каждой составляющей функции, которая входит в запись заданной функции. 2. Подобрать интервал (если возможно), внутри которого каждый из найденных периодов укладывается целое число раз. Длина этого интервала и будет периодом заданной функции (хотя, возможно, и не наименьшим по абсолютной величине). Пример: f(x) = sin(4x)+tg(3x);

Таблица 4

Применение производной к исследованию функции
Монотонность и постоянство функции
Достаточное условие возрастания функции	Достаточное условие возрастания функции
Если в каждой точке интервала (a;b) ƒ ́(x)>0, то функция ƒ(x) возрастает на этом интервале		Если в каждой точке интервала (a;b) ƒ ́(x)<0, то функция ƒ(x) убывает на этом интервале
З амечание. Эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми условиями возрастания и убывания функции. Например, функция – возрастающая на всей области определения, хотя в точке ее производная равна нулю.
Необходимое и достаточное условие постоянства функции
Функция постоянна на интервале (a; b) тогда и только тогда, когда во всех точках этого интервала.

Экстремумы (максимум и минимум) функции
Точка максимума	Точка минимума
Определение Точка из области определения функции называется точкой максимума для этой функции, если найдется – окрестность ( ) точки , т акая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство	Определение Точка из области определения функции называется точкой минимума для этой функции, если найдется – окрестность ( ) точки , такая, что для всех из этой окрестности выполняется неравенство
– точка максимума	– точка минимума
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются экстремумами функции (максимумом и минимумом функции)
-максимум	-минимум
Критические точки
Определение. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими.
Необходимое условие экстремума	Достаточное условие экстремума
В точках экстремума производная функции равна нулю или не существует – точка экстремума	Если функция непрерывна в точке и производная меняет знак в точке , то – точка экстремума функции в точке знак меняется с «+» на «-» – точка максимума в точке знак меняется с «-» на «+» точка минимума

Пример графика функции , имеющей экстремумы ( – критические точки)
Исследование функции на монотонность и экстремумы
Схема	Пример
1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна	Область определения: Функция непрерывна в каждой точке своей области определения
2. Найти производную
3. Найти критические точки, т.е. внутренние точки области определения, в которых или не существует
4. Отметить критические точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения.
5. Относительно каждой критической точки определить, является ли она точкой максимума, минимума или не является точкой экстремума

6. Записать требуемые результаты исследования (промежутки монотонности и экстремумы)	возрастает при и при
убывает при
Точки экстремума: Экстремумы:

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывное на отрезке
Свойства
Если функция непрерывна на отрезке и имеет на нем конечное число критических точек, то она принимает свое наибольшее и наименьшее значение на этом отрезке или в критических точках, принадлежащих этому отрезку, или на концах отрезка
Примеры
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной на отрезке
Схема	Пример Найти наибольшее и наименьше значение функции: при
1. Найти производную
2. Найти критические точки ( или не существует)	при х = -4 и при х = 2
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку	Заданному отрезку [1;3] принадлежит только критическая точка х = 2
4. Вычислить значение функции в критических точках и на концах отрезка
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наименьшее и наибольшее

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ
Определение. Асимптота кривой – это прямая, к которой неограниченно приближается кривая при удалении ее в бесконечность.
Вертикальные асимптоты (х = а)
– вертикальная асимптота Вертикальная асимптота х = а может быть в точке а, если точка а ограничивает открытие промежутки области при х→а f(x) → ∞ определения данной функции и возле точки а функция уходит в бесконечность
Примеры вертикальных асимптот
О.О. При х→0 (справа) y→+∞ При х→0 (слева) y→-∞ X = 0 – вертикальная асимптота	О.О. При х→0 (справа) y→-∞ X = 0 – вертикальная асимптота	О.О. Z При х→ (слева) y→+∞ При х→ (справа) y→-∞ X = – вертикальная асимптота

Таблица 5.

Наклонные и горизонтальные асимптоты
1. Если f(x) – дробно-рациональная функция, в которой степень числителя на единицу больше степени знаменателя, то выделяем целую часть и используем определение асимптоты.
Пример 1	Пример 2
При т.е. , тогда – наклонная асимптота (кроме того вертикальная асимптота – см. график)	При т.е. , тогда – горизонтальная асимптота (кроме того вертикальная асимптота – см. график)
2. В общем случае уравнения наклонных и горизонтальных асимптот y = kx + b могут быть получены с использованием формул:
Для примера 1	Для примера 2
– наклонная асимптота.	– горизонтальная асимптота.

Таблица 6.

ВТОРАЯ ПРОИЗВОДНАЯ И ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Понятие второй производной
	Пусть функция имеет производную во всех точках некоторого промежутка. Эта производная, в свою очередь, является функцией от x. Если функция дифференцируема, то ее производную называют второй производной от и обозначают (или )
Пример.
Понятия выпуклости, вогнутости и точек перегиба графика функции
Пусть функция определена на промежутке (а; в), а в точке имеет конечную производную. Тогда к графику этой функции в точке можно провести касательную.
	Если в некоторой окрестности точки М все точки кривой графика функции (кроме самой точки М) лежат выше касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке М выпуклая (точнее, строго выпуклая). Также иногда говорят, что в этом случае график функции направлен выпуклостью вниз.
	Если в некоторой окрестности точки М все точки кривой графика функции (кроме самой точки М) лежат ниже касательной, то говорят, что кривая (и сама функция) в точке М вогнутая (точнее, строго вогнутая). Также иногда говорят, что в этом случае график функции направлен выпуклостью вверх.
	Если точка оси абсцисс обладает тем свойством, что при переходе аргумента через нее кривая переходит с одной стороны касательной на другую, то точка называется точкой перегиба функции , а точка кривой – точкой перегиба графика функции – точка перегиба функции В некоторой окрестности точки : при кривая ниже касательной, а при кривая выше касательной (или наоборот)

Достаточные усовия выпуклости и вогнутости функции, которая имеет первую и вторую производную при
Условие выпуклости	Условие вогнутости
Если в каждой точке интервала то на интервале график функции направлен выпуклостью вниз (выпуклый)		Если в каждой точке интервала то на интервале график функции направлен выпуклостью вверх (вогнутый)
Замечание: Эти условия являются только достаточными, но не являются необходимыми. Например, график функции направлен выпуклостью вниз на всей числовой прямой, хотя в точке ее вторая производная равна нулю.
Нахождение точек перегиба функции, которая имеет вторую производную на заданном интервале
Необходимое условие	Достаточное условие
В точке перегиба функции ее вторая производная равна нулю или не существует	Если функция имеет первую и вторую производную на интервале и ее вторая производная меняет знак при переходе аргумента через точку , то точка является точкой перегиба функции
Исследование функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба
Схема	Пример.
1. Найти область определения и интервалы, на которых функция непрерывна	Область определения: Функция непрерывна в каждой точке своей области определения
2. Найти вторую производную
3. Найти внутренние точки области определения, в которых или не существует	существует на всей области определения
при x = -1, x = 3
4. Отметить найденные точки на области определения, найти знак производной и характер поведения функции на каждом интервале, на которые разбивается область определения
5. Записать требуемый результат исследования (интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба)	В интервале и в интервале график функции направлен выпуклостью вниз , а в интервале график функции направлен выпуклостью вверх . Точки перегиба: x = -1 и x = 3 (в этих точках меняет знак.

Пример 1:

Исследовать
функцию

и построить график функции.

Т.к. знаменатель
заданной функции не должен быть равен
нулю, то можем записать:

Функция определена
на трех указанных участках.

2.

Функция четная,
график функции симметричен оси OY.

Функция не
периодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Точка пересечения
с осью OY
(0;2), точек пересечения с осью OX
нет.

4. Производная и критические точки.

5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.

На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.

Точка Х₀(0;2)
– точка минимума функции.

6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.

При :

Следовательно, мы
имеем две вертикальные асимптоты

Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:

Уравнение асимптоты
примет вид: y=0*x-1=-1.

Горизонтальная
асимптота: Y=-1.

7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.

– не существует в
точках +2 и -2.

Знак производной
меняется в указанных точках.

На рисунке
представлено изменение знака второй
производной и поведение функции на
участках области определения.

8. Контрольные
точки.

Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:

9. График функции
представлен на рисунке.

Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точки.

Пример 2:

Исследовать
функцию

и построить график функции.

1. Область определения функции:

Т.к. под знаком
логарифма может стоять только положительное
выражение, то можем записать следующее:

Функция определена
на указанном участке.

2.

Функция ни нечетная,
ни четная, не периодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Точек пересечения
с осью OY
нет. Точка пересечения с осью ОХ: х=8.

4. Производная и критические точки.

5. Промежутки
возрастания, убывания, точки экстремума.

На рисунке
представлено изменение знака первой
производной и поведение функции на
участках области определения.

точек экстремума
нет.

возрастает
на всей области определения

6. Поведение
функции на концах области определения
и асимптоты.

При :

Следовательно, мы
имеем вертикальную асимптоту

Наклонные и
горизонтальные асимптоты типа: y=kx+b
находим по формулам:

наклонных и
горизонтальных асимптот нет.

7. Вторая производная
и исследование функции на выпуклость
и вогнутость.

Вторая производная
не меняет знак на всей области определения.

выпуклость
вверх

8. Контрольные
точки.

Для более наглядного
представления поведения графика функции
определим значение функции в точках:

9. График функции
представлен на рисунке.

Красным цветом
отмечены асимптоты графика и найденные
по результатам исследования точи.

Пример 3:

Исследовать
функцию

и построить график функции.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Что такое область определения функции

В данной публикации мы рассмотрим, что такое область определения функции, как обозначается и задается. Также перечислим эти области для наиболее популярных функций.

Понятие области определения

Область определения – это множество значений x , на котором задана функция, т.е. существует y . Иногда называется областью задания.

• x – независимая переменная (аргумент);
• y – зависимая переменная (функция).

Общепринятая запись функции: y = f (x) .

Функция – это зависимость между двумя переменными (множествами). При этом каждому x соответствует только одно определенное значение y .

Геометрическая интерпретация области определения функции – это проекция соответствующего ей графика на ось абсцисс ( 0x ).

Множество значений функции – все значения y , принимаемые функцией на ее области определения. С точки зрения геометрии, это проекция графика на ось ординат ( 0y ).

Область определения обозначается как D (f) . Вместо f , соответственно, указывается конкретная функция, например: D(x 2 ) , D(cos x) и т.д

Затем обычно ставится знак равно и пишутся конкретные значения:

Через точку с запятой указываем левую и правую границы промежутка, соответствующего значениям на оси 0x (строго в этом порядке).

Например:

• [3; 10] – множество всех значений от трех до десяти включительно;
• [4; 12) – от четырех включительно до двенадцати исключительно;
• (-2; 7] – от минус двух исключительно до плюс семи включительно.
• [-10; -4) ∪ (2; 8) – от минус десяти включительно до минус четырех исключительно и от двух до восьми исключительно.

Примечание:

• Все числа больше нуля записываются так: (0; ∞);
• Все отрицательные: (-∞; 0);
• Все действительные числа: (-∞; ∞) или просто R.

Область определения функции

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

• Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Материал со звездочкой

Старшеклассникам нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.
2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.
3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.
4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

• Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
• Областью определения функции y = 3 √9 является множество R.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
• Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть n = 2m+1, при этом m принадлежит к N, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

D = 16 – 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x 2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x 2 + 4x + 3

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x a , то есть, f(x) = x a , где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

• Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
• Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
• Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
• Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = x a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0 0 . А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x 0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Область определения функций y = x 5 , y = x 12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Область определения функции y = x −2 , как и функции y = x −5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
4. Область определения степенных функций y = x -√19 , y = x -3e , — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a x , где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

• y = e x
• y = (√15) x
• y = 13 x .

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

• y = log₇x
• y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

• Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
• Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
• Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].
Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].
Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y = x + x – 2 или y = 5 · x 2 + 1 · x 3 , y = x x – 5 или y = x – 1 5 – 3 . Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть ( 0 , + ∞ ) или такой [ − 3 , 1 ) ∪ [ 5 , 7 ) . Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

• при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y = x + 2 · x x 4 – 1 ;
• при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y = x + 1 или y = 2 3 · x + 3 x ;
• при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y = 5 · ( x + 1 ) – 3 , y = – 1 + x 1 1 3 , y = ( x 3 – x + 1 ) 2 , которые определены не для всех чисел;
• при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y = ln x 2 + x 4 или y = 1 + log x – 1 ( x + 1 ) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
• при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y = x 3 + t g 2 · x + 5 или y = c t g ( 3 · x 3 – 1 ) , так как они существуют не для любого числа;
• при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y = a r c sin ( x + 2 ) + 2 · x 2 , y = a r c cos x – 1 + x , область определения которых определяется ни интервале от – 1 до 1 .

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y = x 4 + 2 · x 2 – x + 1 2 + 2 2 3 · x . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y = 2 · x + 1 . Для вычисления ее значения можем определить x . Из выражения 2 · x + 1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y = 3 x – 1 , а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3 x – 1 знаменатель равняется нулю при х = 1 , поэтому искомая область определения данной функции примет вид ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y = x 2 – 5 · x + 6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x 2 − 5 · x + 6 ≥ 0 . После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n _, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + … + f n ( x ) , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n _. Данное утверждение можно записать как:

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 _. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z .

Ответ: все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n _, тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · … · f n ( x ) , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )

Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x .

Правая часть формулы рассматривается как f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · f 3 ( x ) , где за f 1 является постоянной функцией, f 2 является арктангенсом, f 3 – логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Мы получаем, что

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) D ( f n ) = ( – ∞ , + ∞ ) ( – ∞ , + ∞ ) D ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ )

Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f ( x ) , где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.

Функция y = C · f ( x ) – произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D ( f ) . Отсюда видим, что область определения функции y = C · f ( x ) является – ∞ , + ∞ D ( f ) = D ( f ) .

Получили, что область определения y = f ( x ) и y = C · f ( x ) , где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞ ) , потому как область определения функции y = – 5 · x – [ 0 , + ∞ ) .

Области определения y = f ( x ) и y = − f ( x ) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x .

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 _.

f 1 ( x ) = log 3 x и f 2 ( x ) = 3 · 2 x . Тогда получим, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) .

Область определения записывается как D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) . Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .

Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) – ∞ , + ∞

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы ( n + 1 ) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R .

Найти область определения f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 – 2 x 2 + 1 2 .

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 – 2 x 2 + 1 2 и f 2 ( x ) = 3 · x – ln 5 . Выше было показано, что D ( f 1 ) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) .

Получаем, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = – ∞ , + ∞ ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ ) .

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) . Известно, что D ( f ) является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 ( x ) принадлежит области определения f 1 .

Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Найти область определения y = ln x 2 .

Данную функцию представляем в виде y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .

Для решения необходимо использовать известные области определения D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .

Тогда получим систему неравенств вида

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ – ∞ , + ∞ x 2 ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x 2 > 0 ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Найти область определения функции y = ( a r c sin x ) – 1 2 .

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где f 1 является степенной функцией с показателем – 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = [ − 1 , 1 ] . Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем систему неравенств вида

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ – 1 , 1 a r c sin x ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ – 1 , 1 a r c sin x > 0

Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку ( 0 , 1 ] .

Преобразуем систему вида

x ∈ – 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ – 1 , 1 x ∈ ( 0 , 1 ] ⇔ x ∈ ( 0 , 1 ]

Область определения искомой функции имеет интервал равный ( 0 , 1 ] .

Ответ: ( 0 , 1 ] .

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 ( f 2 ( … f n ( x ) ) ) ) . Область определения такой функции ищется из x ∈ D ( f n ) f n ( x ) ∈ D ( f n – 1 ) f n – 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n – 2 ) . . . f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 ) .

Найти область определения y = sin ( l g x 4 ) .

Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = [ 0 , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D ( f 3 ) , f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем, что

x ∈ D ( f 3 ) f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ – ∞ , + ∞

Условие lg x 4 ∈ – ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞ ) , значит

x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ – ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞ )

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f 1 ( x ) f 2 ( x ) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 ( х ) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Запишем функцию y = f 1 ( x ) f 2 ( x ) в виде y = f 1 ( x ) · ( f 2 ( x ) ) – 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 ( x ) с y = ( f 2 ( x ) ) – 1 . Областью определения функции y = f 1 ( x ) является множество D ( f 1 ) , а для сложной y = ( f 2 ( x ) ) – 1 определим из системы вида x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Значит, x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( – ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Найти область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 – x – 6 .

Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g ( 2 · x + 1 ) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0

Представление сложной функции y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , где f 3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4 – это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1 :

x ∈ D ( f 4 ) 2 · x + 1 ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 – x – 6 . Тогда получаем, что

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ – ∞ , + ∞ x 2 – x – 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ – 2 x ≠ 3

Ответ: множество действительных чисел, кроме – 2 , 3 и π 4 – 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z .

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) имеет область определения, которая выглядит так:

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 ( x ) и y = log a f 2 ( x ) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 и x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) из самой системы вида

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

Обозначить область определения функции y = log 2 · x ( x 2 – 6 x + 5 ) .

Следует принять обозначения f 1 ( x ) = x 2 − 6 · x + 5 и f 2 ( x ) = 2 · x , отсюда D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1 . Тогда получаем систему вида

x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x 2 – 6 x + 5 > 0 x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , 1 ) ∪ ( 5 , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ )

Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x ( x 2 – 6 x + 5 ) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .

Ответ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) . Ее область определения включает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) = a f 2 ( x ) · log a f 1 ( x ) , где где a > 0 , a ≠ 1 .

Найти область определения показательно-степенной функции y = ( x 2 – 1 ) x 3 – 9 · x .

Примем за обозначение f 1 ( x ) = x 2 − 1 и f 2 ( x ) = x 3 – 9 · x .

Функция f 1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Функция f 2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , а f 3 – квадратным корнем с областью определения D ( f 3 ) = [ 0 , + ∞ ) , а функция f 4 – целой рациональной, D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Получаем систему вида

x ∈ D ( f 4 ) f 4 ( x ) ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x 3 – 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( – ∞ , + ∞ ) x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) ⇔ x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ )

Значит, область определения для функции f 2 имеет вид D ( f 2 ) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .

Получаем систему вида x ∈ – ∞ , + ∞ x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x 2 – 1 > 0 ⇔ x ∈ – ∞ , + ∞ x ∈ – 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x ∈ ( – ∞ , – 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ – 3 , – 1 ∪ [ 3 , + ∞ )

Ответ: [ − 3 , − 1 ) ∪ [ 3 , + ∞ )

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Сумма, разность, произведение функций

f 1 , f 2 , . . . , f n

D ( f 1 ) , D ( f 2 ) , . . . , D ( f n )

y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . f n ( x ) ) ) )

Множество всех x , одновременно удовлетворяющих условиям

x ∈ D ( f n ) , f n ( x ) ∈ D ( f n – 1 ) , f n – 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n – 2 ) , . . . , f 2 ( f 3 ( . . . f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 )

x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Расположим функции и их области определения.

Функция	Ее область определения

Прямая пропорциональность y = k · x

Обратная пропорциональность y = k x

Дробная y = f 1 ( x ) f 2 ( x )

В частности, если f 1 ( x ) , f 2 ( x ) – многочлены

Множество всех x , которые одновременно удовлетворяют условиям
x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) ≠ 0

y = log f 2 ( x ) f 1 ( x )

В частности, y = log a f 1 ( x )

В частности, y = log f 2 ( x ) a

x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1

x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0

x ∈ D ( f 2 ) , f 2 > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1

Функция	Ее область определения
R
Линейная y = k · x + b	R
– ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞
Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c	R
y = a n x n + a n – 1 x n – 1 + . . . + a 1 x + a 0	R
Целая рациональная	R
y = C · f ( x ) , где C – число	D ( f )
y = f ( x ) n , где n – четное	x ∈ D ( f 1 ) , f ( x ) ≥ 0
Показательно-степенная y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x )	x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 1 ( x ) > 0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 – 4 x – 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на ( − ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 – 4 x – 2 = x – 2 x + 2 x – 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 .

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/oblast-opredeleniya-funkcii

http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/funktsii/kak-najti-oblast-opredelenija-funktsii/

[/spoiler]