Как найти область определения функции тригонометрия

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №1. Область определения и множество значений тригонометрических функций.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

• Овладение понятиями “область определения”, “область определения тригонометрических функций”, “множество значений функции”, “множество значений тригонометрических функций”;
• Нахождение области определения и множества значений тригонометрических функций вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) – косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.;
• Объяснение зависимости области определения и множества значений функции вида y=af(kx+b)+c и y=|f(k|x|+b)|, где f(x) – косинус, синус, тангенс или котангенс действительного числа от значения коэффициентов a, k, b.

Глоссарий по теме

Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

Множеством значений функции y = sin x и y = cos x  является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.

Областью определения функции y = tg x  является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x  является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a  и сtg x = a  имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Вопросы:

1. Что такое функция?
2. Что такое область определения функции? Чем является область определения функции геометрически?
3. Что такое множество значений функции? Чем является множество значений функции геометрически?

Ответы на вопросы:

1. Если каждому значению x из некоторого множества чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число y, то говорят, что на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у – зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают y=f(x).
2. Областью определения функции называют множество всех допустимых значений переменной x. Геометрически – это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически – это проекция графика функции на ось Оy.

Найдите область определения функции и множество значений функции:

1) ; 2) ; 3) .

Ответы:

D(f): 1) ; 2) ; 3)

E(f): 1); 2) ; 3) .

Объяснение нового материала

С помощью единичной окружности сделайте выводы об области определения и множестве значений тригонометрических функций.

Заполните таблицу:

Функция	Область определения	Множество значений

Ответ:

Функция	Область определения	Множество значений

Итак, Областью определения функций y = sin x и y = cos x является множество R всех действительных чисел.

 Множеством значений функции y = sin x и y = cos x  является отрезок -1 ≤ y ≤ 1. Данные функции ограничены сверху и снизу.

Областью определения функции y = tg x  является множество чисел x ≠ π/2 + πk, kЄ Z.

Областью определения функции y = сtg x  является множество чисел x ≠ πk, kЄ Z.

Множеством значений функции y = tg x и y =сtg x  является множество R всех действительных чисел, т.к. уравнения tg x = a  и сtg x = a  имеют корни при любом действительном значении a. Функции неограниченные.

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1. Найти область определения функции .

;

;

;

Ответ: −.

Пример 2. Найти все решения уравнения

;

;

Ответ:

.

Каждому действительному числу

x

 соответствует единственная точка единичной окружности

A

, получаемая поворотом точки ((1;0)) на угол

x

 рад.

Значит, каждому действительному числу

x

 соответствует число, равное

sinx

, и каждому действительному числу

x

 соответствует число, равное

cosx

. Так заданы функции

y=sinx

и

y=cosx

 на множестве

ℝ

.

ВИДЕО УРОК

Области определения
тригонометрических функций.

Всякая функция имеет свою
собственную совокупность значений аргумента, при которых она определена, то
есть существует. Эта совокупность всех допустимых значений аргумента, при
которых функция определена, называется областью определения или областью существования функции.

Функции  sin α  и  соs α  определены при любом значении  α. В самом деле, любая точка  М, лежащая на единичной окружности, имеет вполне
определённые координаты  х  и  у, первая из которых
есть косинус угла  α, составленного с
осью  Ох  подвижным радиусом  ОМ, а вторая – синус угла  α.

Функция  tg α  определена
при всех значениях  α, за исключением
случая, когда подвижной радиус перпендикулярен к оси  Ох, то есть кроме значений  α, равных

± ^π/₂, ± ^3π/₂, ± ^5π/₂,
…

И вообще кроме значений  α, равных

 ^π/₂ + kπ,

где  k – любое целое
число.

В самом деле, при этих (и
только при этих) значениях  α  подвижной радиус лежит на оси  Оу, абсцисса  х  конца подвижного радиуса равна нулю  (х = 0)  и поэтому
делить  у  на  х  нельзя.

Функция  сtg α  определена
при всех значениях  α, за исключением
следующих:

0, ±π,
±2π, ±3π,
…

И вообще – за исключением
значений  α, равных  kπ, где  k – любое целое
число, так как при этих (и только при этих) значениях α  подвижной радиус лежит на оси  Ох, ордината  у  его конца равна нулю  (у = 0)  и поэтому
делить  х  на  у  нельзя.

ПРИМЕР:

Найдите область определения функции

f(x) = tg 2x.

РЕШЕНИЕ:

В область определения не войдут следующие точки:

2х ≠ ^π/₂ + kπ.

или

В
результате получим:

х ≠ ^π/₄ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Отразим графически.

ОТВЕТ:

Область определения функции  tg 2x  все
действительные числа за исключением

х ≠ ^π/₄ + ^πk/₂, k ∈ Z.

Области значения
тригонометрических функций.

Функции  sin α  и  соs α  принимают все значения между  –1  и  +1, включая и эти числа. В самом деле, синус угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ  единичной окружности, есть ордината  у  точки  М  единичной
окружности, которая, как легко видеть, принимает все значения между  –1  и  +1, включая и эти числа.

Задача нахождения угла  α, имеющего данный синус  у, при условии, что число  у  заключено в
пределах от  –1  до  +1, имеет бесконечное множество решений.

И действительно,
построим на оси  Оу  точку  Р,

ордината
которой равна  у, и через эту точку
проведём прямую параллельную оси  Ох. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых эта прямая пересекает единичную
окружность. Если обозначим через  α  любой угол, составленный с осью  Ох  любым из
подвижных радиусов  ОМ₁  и  ОМ₂, то  sin α =
у.
На чертеже

отмечено несколько углов,
составленных с осью  Ох  одним из подвижных радиусов  ОМ₁  и  ОМ₂.

Аналогично убеждаемся в том,
что  соs α  принимает
все значения  от  –1  до  +1, включая и эти числа.

В самом деле, косинус
угла  α, составленного с осью  Ох  подвижным
радиусом  ОМ  единичной окружности, есть абсцисса  х  конца  М  подвижного
радиуса  ОМ, а абсцисса  х  точки
единичной окружности, принимает все значения от 
–1  до  +1, включая и эти числа.

Так же как и для функции  sin α, для заданного числового значения косинуса

соs α = х,

при условии, что число  х  по
абсолютной величине не больше единицы,

–1 ≤ х ≤  +1,

существует бесконечное
множество углов, косинус которых равен  х.

И действительно, построим на
оси  Ох  точку  Q, абсцисса которой
равна  х, и проведя через эту точку
прямую, параллельную оси  Оу. Пусть  М₁  и  М₂ – точки, в которых эта прямая пересекает единичную
окружность. Если через  α  мы обозначим любой угол, составленный с
осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂, то  соs α = х.

На чертеже

отмечено несколько углов,
составленных с осью  Ох  одним из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂.

На чертеже

мы взяли  0 < у
< 1.

На чертеже

мы берём

–1 < х
< 0.

Функция  tg α  принимает
все действительные значения. В самом деле, пусть  р – любое действительное число. Докажем, что
существует и притом бесконечное множество углов, тангенсы которых равны  р.

Построим на оси
тангенсов точку  Р,

ордината которой равна  р. Соединим точку 
Р  с началом
координат и продолжим  РО  за центр до пересечения с единичной
окружностью. Пусть  М₁  и 
М₂ – точки, в которых прямая  РО  пересекает
окружность. Тогда, если  α – угол, составленный
с осью  Ох  любым из подвижных радиусов  ОМ₁  или  ОМ₂, то

tg α = р.

На чертеже

мы считали, что  р ˃ 0. На этом же чертеже отмечено несколько углов,
составленных с осью  Ох  радиусами 
ОМ₁  или  ОМ₂. Тангенсы всех этих углов равны  р.

Наконец, функция  сtg α, как и  tg α, принимает все действительные значения.

В самом деле, пусть  q – любое число. Построим на оси котангенсов
точку  Q, абсцисса которой
равна  q, соединим эту точку  Q  с началом
координат и продолжим  QО  за центр до
пересечения с единичной окружностью.

Обозначим через  М₁  и  М₂  точки пересечения прямой  QО  с единичной окружностью. Тогда котангенс
любого из углов, составленных с осью  Ох  радиусом 
ОМ₁  или  ОМ₂, будет равен  q.

ПРИМЕР:

Найти область значений функции:

у = 5 – 4 sin х.

РЕШЕНИЕ:

Из определения синуса следует,

–1 ≤ sin х ≤ 1.

Далее воспользуемся свойствами числовых неравенств.

Умножим все три части двойного неравенства на  –4.

–4 ≤ –4 sin х ≤ 4.

Прибавим к трём частям двойного неравенства  5.

1 ≤ 5 – 4 sin х ≤ 9.

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то
множество её значений заключено между наименьшим и наибольшим её значением на
всей области определения, если таковые существуют. В данном случае множество
значений функции

у = 5 – 4 sin х

есть множество  [1; 9].

ОТВЕТ:  [1; 9]

ПРИМЕР:

Найти область определения и область значений функции:

y = tg x.

РЕШЕНИЕ:

Функция  y = tg x  определяется формулой

Эта функция определена при значениях х, для которых  соs х ≠ 0.

Известно, что  соs х = 0  при

х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

Следовательно, областью определения функции  y = tg x  является множество чисел кроме

х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z.

Так как уравнение  tg x = а  имеет корни при любом
действительном значении  а, то множеством значений функции  y = tg x  является множество  R  всех действительных чисел.

ПРИМЕР:

Найти область определения функции:

y = sin 3х + tg 2x.

РЕШЕНИЕ:

Нужно выяснить, при каких значениях 
х  выражение

y = sin х + tg 2x

имеет смысл. Выражение  sin 3х  имеет
смысл при любом значении  х, а выражение  tg 2x – при всех значениях 
х  кроме

2х = ^π/₂ + πn, n ∈ Z  или

х = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

Следовательно, областью определения данной функции является множество
действительных чисел, кроме

х = ^π/₄ + ^πn/₂, n ∈ Z.

ПРИМЕР:

Найти
область значения тригонометрической функции:

у = 3 соs х – 2.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения
области значения функции

у = 3 соs х – 2

используем
тот факт, что функция  у = соs х  изменяет своё значение от  –1  до  1, то есть имеет место двойное неравенство:

–1 ≤ соs х ≤ 1.

Умножим
все части этого неравенства на  3:

–3 ≤ 3 соs х ≤ 3.

Вычтем
из всех частей полученного неравенства  2, получим:

–3 – 2 ≤ 3 соs х – 2 ≤ 3 – 2,

–5 ≤ 3 соs х – 2 ≤ 1.

Таким
образом, область значений функции будет промежуток

[–5; 1].

ОТВЕТ:  [–5; 1]

ПРИМЕР:

Найти
область значения тригонометрической функции:

у = 3 соs х – 4 sin х.

РЕШЕНИЕ:

Для нахождения
области значения функции

у = 3 соs х – 4 sin х

воспользуемся следующей формулой:

В нашем случае 
а = 3, b = –4, то есть:

Следовательно,
областью значений является промежуток:

[–5; 5].

ОТВЕТ:  [–5; 5]

Сегодня на уроке мы с вами вспомним, как устанавливается
соответствие между действительными точками и точками окружности с помощью
поворота точки окружности, а также вспомним, что называют синусом, косинусом и
тангенсом произвольного угла. Скажем, какие функции называются
тригонометрическими функциями. Выясним, что является областью определения и
множеством значений тригонометрических функций.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте возьмём окружность
единичного радиуса с центром в начале координат и отметим на ней точку .

Тогда при повороте точки  на угол  радиан мы получим точку . При этом помним, что ордината точки  – это синус угла , а абсцисса этой точки – это косинус угла .

Далее считаем, что все углы измерены в радианной мере, и поэтому
обозначение «радиан», как правило, опускается. Договорившись считать единицу
измерения углов (1 радиан) фиксированной, определяем, например, синус числа x как синус угла в x радиан; косинус числа x как косинус угла в x радиан и так далее.

Так, каждому действительному числу x поставлены в соответствие
числа синус x и косинус x, то есть на множестве действительных чисел определены функции  и .

Получается, что областью определения функций игрек  и  является множество  всех действительных чисел.

Давайте найдём множество значений функции . Для этого надо выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, то есть надо установить, для
каких значений y существуют такие значения x, при которых  равен y.

Мы знаем, что уравнение  имеет корни, если . И уравнение не имеет корней, если . Из этого следует, что множеством значений функции  является отрезок .

Найдём множество значений функции . Для этого надо выяснить, какие значения может принимать y при различных значениях x, то есть надо установить, для
каких значений y существуют такие значения x, при которых  равен y.

Знаем, что уравнение  имеет корни, если . И уравнение не имеет корней, если .

А значит, множеством значений функции  является отрезок .

Таким образом, можно сказать, что функции  и  являются ограниченными.

Теперь поговорим про функцию . Она определяется формулой .

 не должен обращаться в нуль, так как делить на нуль нельзя.

Функция  определена при тех значениях x, для которых .

Мы знаем, что решением уравнения  является .

Тогда областью определения функции  является множество  всех действительных чисел, кроме .

Известно, что уравнение  имеет корни при любом действительном значении . Следовательно, множеством значений функции  является множество  всех действительных чисел.

Осталось выяснить, что является областью определения и множеством
значений функции . Запишем: . Здесь  не должен обращаться в нуль, так как делить на нуль нельзя. А
значит, функция  определена при тех значениях x, для которых .

Корнем уравнения  является . Тогда областью определения функции  является множество  всех действительных чисел, кроме , .

Уравнение  имеет корни при любом действительном значении a, а значит, множеством
значений функции  является множество  всех действительных чисел.

Таким образом, мы с вами выяснили, что является областью
определения и множеством значений функций , ,  и . Эти функции называются тригонометрическими функциями.

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найдите область определения
функций:

а) ; б) ; в) .

Решение.

Задание второе. Найдите множество
значений функций:

а) ; б) .

Решение.

Задание третье. Найдите наибольшее и
наименьшее значения функции

.

Решение.

Каждая функция имеет свою собственную область определения. Целью этого материала является объяснение этого понятия и описание способов ее вычисления. Сначала мы введем основное определение, а потом на конкретных примерах покажем, как выглядит область определения основных элементарных функций (степенной, постоянной и др.) Разбирать случаи с более сложными функциями мы пока не будем.

В рамках данной статьи мы рассмотрим область определения функций, включающих в себя только одну переменную.

Понятие и обозначение области определения функции

Самое простое определение этого понятия дается в учебниках тогда, когда впервые вводится понятие функции как таковой. На этом этапе термином «область определения» обозначают множество всех возможных значений аргумента.

По мере углубления знаний о функциях определение сужается и усложняется. Так, в одном из учебников можно встретить следующую формулировку:

Числовая функция с областью определения D – это соответствие значений переменной x некоторому числу y, которое находится в зависимых отношениях с x.

Используя это определение, охарактеризуем нужное нам понятие более четко:

Областью определения функции называется множество значений аргумента, на котором можно задать эту функцию.

Теперь рассмотрим, как правильно обозначать ее на письме. Ранее мы договорились, что для записи самих функций будем использовать маленькие латинские буквы, например, g, f и др. Чтобы указать на наличие функциональной зависимости, используется запись вида y=f(x). Таким образом, функция f представляет собой некоторое правило, согласно которому каждому значению переменной x можно поставить в соответствие значение другой переменной y, которая находится в зависимых отношениях от x.

Возьмем для примера функцию y=x2^. Можно записать ее как f(x)=x2.  Это функция возведения в квадрат, которая ставит в соответствие каждому значению переменной x=x0 некоторое значение y=x02^. Так, если мы возьмем число 3, то функция поставит ему в соответствие 9, поскольку 32=9.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используется запись D(f). Однако нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения, например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках иногда встречаются записи вида D(sin) или D(arcsin). Их следует понимать как области определения синуса и арксинуса соответственно. Допустима и запись вида D(f), где f – функция синуса или арксинуса.

Если мы хотим записать, что функция f определена на множестве значений x, то используем формулировку D(f)=X. Так, для того же арксинуса запись будет выглядеть как D(arcsin)= [−1, 1] (подробнее об области определения арксинуса мы расскажем далее.)

Как найти области определения для основных элементарных функций

Прочитав определения выше, легко понять, что понятие области определения очень важно для любой функции. Это ее неотъемлемая часть, которую задают вместе с самой функцией. То есть когда мы вводим какую-либо функцию, то мы сразу указываем и область ее определения. Обычно в рамках школьного курса основные функции изучаются последовательно: сначала прямые пропорциональности, затем линейные функции, потом y=x2 и т.д., а их области определения указываются в качестве основных свойств.

В этом пункте мы расскажем, какие области определения имеют основные элементарные функции.

Область определения постоянной функции

Вспомним формулу, которой задается постоянная функция: y=C, или f(x)=C. Переменная C может быть любым действительным числом.

Смысл функции в том, что каждому значению аргумента будет соответствовать значение, равное C, следовательно, областью определения данной функции будет множество всех действительных чисел. Обозначим его R.

Так, если у нас есть функция y=−3 (или в другой записи f(x)=−3), то (D(f)= (−∞, +∞) или D(f)=R).

Если же мы возьмем функцию y=73, то для нее, как и для любой постоянной функции, область определения будет равна R.

Область определения функции с корнем

С помощью знака корня, или радикала, мы можем задать функцию извлечения квадратного корня y=x, либо в обобщенном виде функцию корня степени N, которую можно записать в виде формулы y=xn. В этих случаях n может быть любым натуральным числом, которое больше 1.

Область определения таких функций будет зависеть от того, является ли показатель четным или нечетным числом.

Таким образом, область определения функций с корнем y=x, y=x4, y=x6 – это числовое множество [0, +∞), а функций  y=x3, y=x5,  y=x7 – множество (−∞, +∞).

Область определения степенной функции

Запись степенной функции выглядит как y=xa или f(x)=xa, где x является переменной, которая лежит в основании степени, и a представляет из себя определенное число в ее показателе. Мы берем область определения степенной функции в зависимости от значения ее показателя.

Перечислим возможные варианты.

Поясним нашу мысль несколькими примерами.

Для функций y=x5, y=x12 область определения представляет собой множество всех действительных чисел R, поскольку показатели степени являются целыми положительными числами.

Для степенных функций y=x63, y=xπ, y=x74, y=x23 будут определены на интервале [0, +∞), поскольку показатели являются положительными, но не целыми числами.

3. Для функции y=x−5 с целыми отрицательными показателями областью определения будет множество (−∞, 0)∪(0, +∞).

4. Для степенных функций y=x-19, y=x-3e, y=x-98, y=x-311 область определения будет представлять из себя открытый числовой луч (0, +∞), т.к. их показателями являются нецелые отрицательные числа.

Область определения показательной функции

Такую функцию принято записывать как y=ax, причем переменная будет располагаться в показателе функции. Основанием степени здесь является число a, которое больше 0 и не равно 1.

Область определения такой функции есть множество всех действительных чисел, т.е. R.

Например, если у нас есть показательные функции y=14x, y=ex, y=13x, y=15x, то они будут определены на промежутке от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения логарифмической функции

Функция логарифма задается как y=logax , где a – основание, большее 0 и не равное 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел. Это можно записать как D(loga)=(0, +∞), например, D(ln)=(0, +∞) и D(lg)=(0, +∞).

Так, для логарифмических функций y=log23x, y=log3x, y=log7x, y=lnx областью определения будет множество (0, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Чтобы узнать, на каком промежутке будут определены тригонометрические функции, нужно вспомнить, как именно они задаются и как называются.

Областью определения котангенса будет также множество R, за исключением π·k, k∈Z.

Иными словами, если мы знаем, что x является аргументом функций тангенса и котангенса, то нужно помнить, что данные функции определены при x∈R, x≠π2+π·k, k∈Z и x∈R, x≠π·k, k∈Z.

Область определения тригонометрических функций

К обратным тригонометрическим относятся функции арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Области определения основных функций в табличном виде

Чтобы запомнить или легко найти нужные нам области, правила вычисления которых мы объяснили выше, представим всю информацию в табличном виде. Не лишним будет оформить ее на отдельном листе и держать под рукой, так же, как и таблицу простых чисел, квадратов и др. Она очень пригодится при работе с функциями, пока вы не выучите ее содержимое наизусть.

Подводя итоги статьи, следует отметить, что в рамках школьного курса изучаются не только основные элементарные функции, но и их различные сочетания. Задачи такого типа встречаются очень часто. Области определения таких комбинированных функций указываются далеко не всегда. Авторы задач подразумевают, что в таких случаях областью определения функции можно считать множество таких значений аргумента, при которых она будет иметь смысл. Это позволяет нам приблизиться к ответу на вопрос, как именно вычисляется область определения функции в подобных случаях.