Как найти область определения иррационального уравнения - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Уравнения, в которых неизвестное участвует под знаком корня называется иррациональным.

Содержание:

Рассмотрим методы решения некоторых видов иррациональных уравнений.

Рассмотрим простое иррациональное уравнение вида:

Пусть выражения f(х), g(x) принимают неотрицательные значения. Возводя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение.

Так как

Значит, решение уравнения (1) осуществляется по правилу:

Аналогично уравнение вида равносильно системе

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение или . Отсюда получим корни Так как х>2, то х=3 – решение данного уравнение.

Уравнения вида

Для того чтобы произведение двух выражений обращалось в нуль, необходимо и достаточно равенство нулю, хотя бы одного из сомножителей.

Значит, для того чтобы должно выполняться равенство или совокупность равенств

Этот факт мы кратко будем записывать так:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Данное уравнение приводится к виду Так как система не имеет решении, то достаточно рассмотреть уравнение Возведем обе части этого уравнения в квадрат, получим равносильное ему уравнение

Ответ:

Уравнение вида

При решении таких уравнений сначала следует учесть четность-нечетность числа n, а затем привести его к равносильному уравнению.

Пусть n нечётно:

Например, уравнение равносильно уравнению

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

Пусть n четно, то есть n=2к. В этом случае данное уравнение равносильно каждой из систем:

На практике из данных систем выбирается то, которое легче решается.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Ответ:

IV Замена переменных.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену

Найдем теперь корни данного уравнения.

Ответ: х=2 и х=1,2.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Выполним замену Тогда

Найдем теперь корни данного уравнения

Ответ: х=4 и х=1.

Системы иррациональных уравнений

Решение систем, состоящих из иррациональных уравнений, опирается на известные нам методы сложения, подстановки и т.д. При этом следует учитывать области существования участвующих иррациональных выражений.

Пример:

Решите систему уравнений

Решение:

Данная система имеет решения

Пример:

Решите систему уравнений

Решение:

Обозначим Воспользовавшись формулой сокращенного умножения, получим систему:

Эта система имеет решения Отсюда получим решения (1; 8) и (8; 1) исходной системы.

Пример:

Найдите точку С(х; 0), равноудаленную от точек А(3; 4) и В(-2; 5) плоскости.

Решение:

Из соотношения АС=ВС и формулы расстояния между двумя точками плоскости получим иррациональное уравнение

Делая равносильные преобразования, получим уравнение, откуда -10х=4. Последнее уравнение имеет корень х=-0,4. Значит, С(-0,4; 0) – искомая точка.

Пример:

Найдите точку на прямой у=3х, равноудаленную от точек А(-1;2) и В(3;—4) плоскости.

Решение:

По условию, ордината и абсцисса искомой точки удовлетворяет соотношению у=3х, поэтому она имеет координаты С(х;3х). Из соотношения АС=ВС и формулы расстояния между двумя точками плоскости получим иррациональное уравнение Делая равносильные преобразования, получим уравнение, откуда -28х=20. Последнее уравнение имеет корень

Значит, С(—5/7; -15/7) – искомая точка. Ответ: С(-5/7; -15/7).

Что называется иррациональным уравнением

Уравнение, содержащее переменную под знаком радикала (или в дробной степени) называется иррациональным уравнением.

Примеры:

При решении рациональных уравнений, как правило, применяют возведение в степень. При этом необходимо учитывать следующее:

решение рационального уравнения ищут на множестве действительных чисел;
для радикала четной степени берутся арифметические корни, для радикала нечетной степени – действительные значения;
при возведении обеих частей уравнения в нечетную степень получается равносильное уравнение;
При возведении в четную степень множество допустимых значений переменной нового уравнения может расширяться. Возможно, что некоторые корни нового уравнения могут не удовлетворять иррациональному уравнению. Поэтому при возведении в четную степень надо проверять, удовлетворяют ли полученные значения переменных заданному иррациональному уравнению.

Пример:

Решите уравнение

Решение:

Оставим выражение содержащее радикал в

одной стороне уравнения возведем обе части

уравнения в квадрат, упростим и решим.

Проверка:

При получаем

не удовлетворяет уравнению.

Ответ: {4}

Отметим, что решить уравнение можно, приведя его к равносильной системе

Определение иррационального уравнения

В этой лекции мы будем рассматривать уравнения, содержащие переменную (неизвестное) под знаком корня (радикала). Такие уравнения называют иррациональными.

Напомним на примерах два из возможных подходов к решению иррациональных уравнений.

Вычисление иррациональных уравнений

Первый подход состоит в замене исходного уравнения равносильным ему уравнением (системой или совокупностью уравнений и неравенств). Поскольку все равносильные уравнения имеют одни и те же решения, то при этом подходе проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения не является необходимой частью решения.

Например, при решении иррациональных уравнений часто пользуются следующими утверждениями о равносильности:

(вместо неравенства ).

Второй подход состоит в замене исходного уравнения его следствием. Поскольку решений в уравнении-следствии (системе или совокупности) может быть больше, чем в исходном уравнении, то необходимой частью процесса решения является проверка полученных значений переменной по условию исходного уравнения.

Переход к следствию из данного уравнения при оформлении записи решения можно обозначать символом

Примеры с решением

Пример №1

Решить уравнение:

Пример №2

Способ 1 (сохранение равносильности).

Ответ:

Для уравнения а) покажем решение способом 2 (использование уравнения-следствия):

Проверка: при х = -2 получим т. е. — неверное числовое равенство, значит, число -2 не является корнем уравнения а);

— верное числовое равенство, значит, число 3 — корень уравнения а);

Пример №3

Решить уравнение

Решение:

Способ 1 (сохранение равносильности).

при любых допустимых значениях х обе части уравнения неотрицательны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное уравнение

Ответ: 2.

Способ 2 (использование уравнения-следствия).

Проверка: х=2 удовлетворяет исходному уравнению, а х=5 не удовлетворяет (убедитесь в этом).

Пример №4

Решить уравнение

Решение:

Способ 1 (сохранение равносильности).

Решив это уравнение и систему, получим

Ответ: -1; 2; 5.

Способ 2 (использование уравнения-следствия).

Проверка по условию исходного уравнения показывает, что 0 не является его корнем, так как при х = 0 выражение равно и не имеет смысла. А числа -1; 2; 5 — являются корнями заданного в условии уравнения.

Пример №5

Решить уравнение с неизвестным х:

Решение:

Имеем (объясните почему):

Ответ: при любом значении имеем

Пример №6

Решить уравнение относительно х.

Решение:

Очевидно, что х = 0 — корень уравнения при любом значении а. При х>0 уравнение равносильно уравнению Если то это уравнение решений не имеет, а если а > 0, то

Ответ:

Решение иррациональных уравнений с использованием свойств функций

Уточним определение уравнения с одной переменной, данное в предыдущих классах.

Пусть — функции от переменной — множество всех значений переменной х, при которых определены обе эти функции. Равенство

называется уравнением с переменной х, а множество D — областью определения этого уравнения (или областью допустимых значений переменной).

Переменную в уравнении называют также неизвестным. Корнем или решением уравнения называется такое число — верное числовое равенство.

Теорема:

Уравнение

где — возрастающая и — убывающая функции, определенные на одном и том же множестве, имеет не более одного корня, т. е. либо вообще не имеет корней, либо имеет единственный корень.

(Действительно, на рисунке 20, а, б видно, что графики возрастающей функции и убывающей функции пересекаются на области определения не более чем в одной точке.)

▲ Доказательство. Пусть — корень уравнения (1), т. е.— верное числовое равенство.

Еслито по определению возрастающей и убывающей функций имеем

Следовательно,

Значит, никакое число корнем уравнения (1) не является. Аналогично доказывается, что и никакое число не является корнем уравнения (1).

Замечание. Эта теорема справедлива и тогда, когда одна функция возрастающая (убывающая), а другая постоянная.

Приведем несколько примеров, где при решении иррациональных уравнений используются свойства возрастания и убывания функций.

Пример №7

Решить уравнение

Решение:

Способ 1.

Подбором находим, что является корнем данного уравнения. Действительно, — верное числовое равенство.

Так как функция возрастающая, а функция убывающая, то согласно теореме — единственный корень данного уравнения.

Ответ: 1.

Способ 2.

Возможно и другое решение:

Так как функция возрастающая, то (см. замечание) уравнение имеет не более одного решения. Подбором находим корень

Пример №8

Решить уравнение

Решение:

Подбором находим, что число 2 — корень данного уравнения, поскольку т. е. 1 = 1 — верное числовое равенство. Других корней уравнение не имеет, так как функция является убывающей, а функция — возрастающей.

Ответ: 2.

▲ Иногда при решении иррациональных (и других) уравнений бывает полезно предварительно найти область определения уравнения.

Пример №9

Решить уравнение:

Решение:

а) Значение не принадлежит области определения уравнения (2), поскольку при этом значении выражение не имеет смысла. Поэтому и уравнение (2) равносильно уравнению

Решим это уравнение, переходя к уравнению-следствию:

Проверка показывает, что корнем уравнения (4) (а значит, и уравнения (2)) является значение

б) Очевидно, что значение обращает уравнение (3) в верное числовое равенство и принадлежит области определения уравнения (3) — множеству Значит, — корень уравнения (3).

При уравнение (3) равносильно уравнению

Решая это уравнение, получаем:

Ответ:

Решение уравнения (3) с помощью знаков равносильности можно записать так:

Пример №10

Решить уравнение:

Решение:

а) Поскольку функция определена для значений удовлетворяющих неравенству а функция определена для значений удовлетворяющих неравенству то область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств

Решая эту систему, получаем равносильную ей систему:

откуда имеем

На рисунке 21 видно, что решением этой системы является только значение х = 4. Значит, область определения уравнения состоит из единственного числа 4, т. е.

Осталось проверить, является ли число 4 корнем данного уравнения. Подставив в исходное уравнение, получим

т. е. 1 = 12 — неверное числовое равенство, значит, 4 не является корнем данного уравнения.

б) Решение этого примера аналогично решению примера а). Выполните его самостоятельно.

Ответ:

Пример №11

Решить уравнение

Решение:

Область определения данного уравнения совпадает со множеством решений системы неравенств:

Поскольку система не имеет решений, то область определения не содержит ни одного числа. Значит, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Иногда при решении уравнений бывает полезно обратить внимание на наибольшее или наименьшее значения входящих в них функций.

Пример №12

Решить уравнение

Решение:

Область определения уравнения совпадает со множеством решений неравенства

Очевидно, что функция имеет наибольшее значение при х = 0. Таким образом, при любых значениях верно неравенство поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений. ▲

Напомним:

Уравнения, содержащие переменную под знаком корня, называются иррациональными.

При решении иррациональных уравнений не всегда удается от данного уравнения перейти к равносильному ему уравнению.

Например, решим уравнение

Первый способ.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим уравнение Оно имеет корни Очевидно, что число 2 не является корнем данного уравнения, так как а число — корень данного уравнения, так как равенство является верным.

Посторонний корень уравнения (число 2) появился оттого, что уравнение равносильно совокупности уравнений которая может иметь больше решений, чем данное уравнение Поэтому после возведения обеих частей уравнения в четную степень без дополнительных условий следует выполнять проверку полученных корней.

Второй способ.

Уравнение равносильно системе Действительно, обе части уравнения неотрициональны, поэтому при возведении в квадрат получим:

Третий способ.

Запишем уравнение в виде Рассмотрим функцию Эта функция возрастает на области определения, значит, данное уравнение не может иметь больше одного корня. Анализируя условие, заметим, что корень должен быть отрицательным и не превосходить по модулю число 2. Корнем данного уравнения является число -1.

Рассмотрим некоторые виды иррациональных уравнений и методы их решения.

Уравнение вида=²ⁿ√f(x), где n∈N

Уравнение вида

Если если то корней нет.

Пример №13

Решите уравнение:

Решение:

то уравнение не имеет корней.

Ответ а) 81; б) нет корней; в) -4; 4.

Заказать решение задач по высшей математике

Уравнение вида ²ⁿ⁺¹√f(x)=a, где n∈N

Уравнение вида

Уравнение равносильно уравнению

Пример №14

Решите уравнение:

Решение:

Ответ а) 125; б) -1.

Уравнение вида ^m√f(x)=g(x), m∈N, m>1

Уравнение вида

Пусть — четное число.

Рассмотрим способы решения уравнения вида

Первый способ.

Данное уравнение равносильно системе

Пример №15

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 1

Второй способ.

Уравнение данного вида можно решить, возведя обе части уравнения в степень с последующей проверкой корней.

Пример №16

Решите уравнение

Решение:

Проверка: при равенство неверное; при равенство верное. Ответ: 4.

Если — нечетное число, то уравнение вида равносильно уравнению

Пример №17

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 1.

Уравнение вида ^m√f(x)=^m√g(x), m∈N, m>1

Уравнение вида

Пусть — четное число.

Рассмотрим способы решения уравнения вида

Первый способ.

Данное уравнение равносильно одной из систем

Пример №18

Решите уравнение

Решение:

Ответ: 1

Второй способ.

Уравнение этого вида можно решить, возведя обе части уравнения в степень с последующей проверкой корней.

Пример №19

Решите уравнение

Решение:

Проверка: при выражения в левой и правой частях равенства не имеют смысла, т. е. исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Если — нечетное число, то уравнение вида равносильно уравнению

Пример №20

Решите уравнение

Решение:

Ответ: -1; 1.

Уравнение вида √f(x)±√g(x)=a

Уравнение вида

Первый способ.

Уравнение вида можно решить, возведя обе части уравнения в квадрат дважды с последующей проверкой найденных корней.

Пример №21

Решите уравнение

Решение:

Перенесем одно из слагаемых в правую часть, для того чтобы сократить преобразования.

Проверка: Значит, значение является корнем уравнения.

Ответ: 7.

Второй способ.

Некоторые уравнения этого вида можно решить, используя свойства функций.

Пример №22

Решите уравнение

Решение:

Функция возрастает на всей области определения, поэтому, если данное уравнение имеет корень, то только один.

При данное уравнение обращается в верное числовое равенство: Значит, число 4 является единственным корнем данного уравнения.

Ответ: 4.

Метод замены переменной

Пример №23

Решите уравнение

Решение:

Пусть тогда и уравнение принимает вид Второе уравнение совокупности не имеет корней.

Тогда

Ответ: 624.

Пример №24

Решите уравнение

Решение:

Пусть тогда и уравнение принимает вид Так как т.е.

Ответ: -7; 2.

Примеры заданий и их решения

Пример №25

Решите уравнение:

Решение:

Ответ. 65.

так как то уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Ответ:

Пример №26

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -5; 5.

Ответ:

Ответ. -2; 2.

Пример №27

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 3.

б) Возведем обе части уравнения в квадрат и получим:

Проверка: при получим: — верное равенство, значит, — корень данного уравнения. При имеем: — неверное равенство, значит, не является корнем данного уравнения.

Ответ: -1.

Ответ: 0,5.

Пример №28

Решите уравнение:

Решение:

Ответ: -4.

б) Возведем обе части уравнения в квадрат и получим:

Проверка: при получим: — верно, значит, — корень данного уравнения. При выражение не имеет смысла, т. е. не является корнем данного уравнения.

Ответ: 1.

Ответ: -1

Пример №29

Решите уравнение:

Решение:

а) Запишем уравнение в виде и возведем обе части полученного уравнения в квадрат: С помощью проверки убедимся, что является корнем исходного уравнения.

Ответ: 9.

б) Функция возрастает на всей области определения, поэтому если данное уравнение имеет корень, то только один.

При данное уравнение обращается в верное числовое равенство: Значит, число является единственным корнем данного уравнения.

Ответ:

Пример №30

Решите уравнение

Решение:

Пусть тогда и исходное уравнение принимает вид

Второе уравнение совокупности не имеет корней. Тогда

Ответ.

При решении иррациональных уравнений используют прием возведения левой и правой частей уравнения в одну степень.

Теорема 9.

Возведение левой и правой частей уравнения в нечетную натуральную степень дает уравнение, равносильное данному, а возведение в четную степень — уравнение, являющееся следствием данного уравнения.

Доказательство:

Пусть — корень уравнения . Тогда истинно числовое равенство . Возведя его в степень , по соответствующему свойству числовых равенств получим равенство , которое также истинно. А это означает, что число — корень уравнения .

Поскольку каждый корень уравнения является корнем уравнения , то из уравнения следует уравнение .

Пусть — нечетное натуральное число и — корень уравнения . Тогда истинно числовое равенство . Извлекая из обеих его частей корень степени , по соответствующему свойству числовых равенств получим числовое равенство , которое истинно. Значит, число — корень уравнения .

Поскольку при нечетном натуральном из уравнения следует уравнение и из уравнения следует уравнение , то эти уравнения равносильны.

Пример №31

Решим уравнение

Данное уравнение равносильно уравнению . Возведем обе его части в квадрат и приведем подобные:

Полученное квадратное уравнение имеет корнями числа -3 и 4. Сделаем проверку. Подставив числа -3 и 4 в данное уравнение, получим числовые равенства

из которых истинно только первое равенство.

Ответ. -3.

Этот пример иллюстрирует ту часть теоремы 9, в которой утверждается, что возведение в четную степень обеих частей уравнения дает уравнение, которое является следствием данного уравнения. Появление постороннего корня 4 связано с тем, что возведением в квадрат к уравнению приводит не только данное уравнение, но и уравнение , которое и имеет корнем число 4.

Вообще, при решении уравнений нужно быть внимательным к выполняемым преобразованиям. Полученные в результате решения числа включаются в ответ только в случае, когда все преобразования были преобразованиями равносильности.

Пример №32

Решим уравнение , используя только преобразования равносильности:

Некоторые иррациональные уравнения могут быть решены приемом введения вспомогательных переменных.

Пример №33

Решим уравнение .

Обратим внимание на то, что данное уравнение равносильно уравнению , в котором выражение повторяется. Это наводит на мысль, что его или выражение, его содержащее, целесообразно рассматривать в качестве новой переменной. Обозначим через , например, выражение , т. е.

Тогда .

Это позволяет данное уравнение заменить уравнением . Решим его:

Вернемся к исходной переменной:

Полученное уравнение имеет корнями числа -1 и 4. Они и являются корнями исходного уравнения.

Ответ. -1; 4.

Иногда бывает удобно ввести две вспомогательные переменные.

Пример:

Решим уравнение .

Обозначим и первый и второй радикалы соответственно:

Тогда данное уравнение запишется как

Из системы (1) получим еще одно уравнение, связывающее переменные и :

Таким образом, для нахождения значений переменных и получилась система , которая решается так:

Теперь, чтобы найти значения исходной переменной, достаточно решить любое из уравнений системы (1).

Для , а затем для получим соответственно:

Анализ выполненных преобразований показывает, что все они являются преобразованиями равносильности. Поэтому оба полученных значения переменной являются корнями данного уравнения.

Ответ. 1; 20.

Пример №34

Решим систему уравнений

Обозначим и соответственно сумму и произведение радикалов и :

Выразим через и . Получим:

С учетом этого исходная система запишется так:

Поскольку , то первое уравнение системы приводится к уравнению , решив которое, получим = 1.

Учитывая, что, из системы (2) находим, что .

Ответ. (1; 1).

Иногда при решении системы бывает полезна тригонометрическая подстановка.

Пример №35

Решим систему уравнений .

Обратим внимание на то, что модули переменных и не превышают 1. Поэтому можно ввести вспомогательные переменные и :

Выразим через них исходную систему и найдем ее решения:

При переходе (1) мы покомпонентно второе уравнение разделили на первое, при переходе (2) учли то, что поскольку , то уравнение имеет корнем число , но , поэтому первое уравнение записывается в виде .

Вернувшись к исходным переменным, получим, что и .

Ответ. .

Иррациональные неравенства
Производная в математике
Как найти производную функции
Асимптоты графика функции
Формулы двойного аргумента
Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
Корень n-й степени из числа и его свойства
Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N)

Источник

Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Иррациональными называются уравнения, содержащие знак корня – квадратного, кубического или n-ной степени.

Мы помним из школьной программы: как только в уравнении или неравенстве встретились корни, дроби или логарифмы – пора вспомнить про область допустимых значений (ОДЗ) уравнения или неравенства.

По определению, ОДЗ уравнения (или неравенства) – это пересечение областей определения всех функций, входящих в уравнение или неравенство,

Например, в уравнении присутствует арифметический квадратный корень . Он определен
при .

В 2018-2019 году среди учителей появилось такое мнение, что писать слова «область допустимых значений» уже не модно. И что за это даже могут снизить оценку на экзамене.

Нет, оценку не снизят. И основных понятий школьной математики никто не отменял. Однако есть еще лучший способ оформления решения – в виде цепочки равносильных переходов. Смотрите, как решать и оформлять иррациональные уравнения:

1.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Выражение под корнем должно быть неотрицательно. И сам корень – величина неотрицательная. Значит, и правая часть должна быть больше или равна нуля. Следовательно, уравнение равносильно системе:

Повторим, что решение таких уравнений лучше всего записывать в виде цепочки равносильных переходов. Если вы не очень хорошо понимаете, что такое система уравнений и совокупность уравнений, – повторите эту тему.

В ответ запишем меньший из корней: – 9.

Теперь уравнение, в котором есть ловушка.

2.Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Что получилось у вас? Правильный ответ: . Если у вас получилось – это был посторонний корень. Запишите решение в виде цепочки равносильных переходов, как в задаче 1, и вы поймете, что
не может быть корнем этого уравнения.

Запишем решение как цепочку равносильных преобразований. Учитесь читать такую запись и применять ее.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысла.

А теперь сложное уравнение. Как это часто бывает, нас выручит замена переменной.

Причем новая переменная будет не одна, а целых две.

Мы можем, как в задаче 10, возвести обе части уравнения в квадрат. Но после этого придется еще раз возводить в квадрат, а это долгий способ.

Есть короткий путь!

Выразим через и :

и . Это выражения можно приравнять друг к другу.

Решим одно из уравнений. Все равно, какое, – ведь нам надо найти .

Ответ: . Заметим, что является также и корнем уравнения

Алгебра

План урока:

Иррациональные уравнения

Ранее мы рассматривали целые и дробно-рациональные уравнения. В них выражение с переменной НЕ могло находиться под знаком радикала, а также возводиться в дробную степень. Если же переменная оказывается под радикалом, то получается иррациональное уравнение.

Приведем примеры иррациональных ур-ний:

Заметим, что не всякое уравнение, содержащее радикалы, является иррациональным. В качестве примера можно привести

Это не иррациональное, а всего лишь квадратное ур-ние. Дело в том, что под знаком радикала стоит только число 5, а переменных там нет.

Простейшие иррациональные уравнения

Начнем рассматривать способы решения иррациональных уравнений. В простейшем случае в нем справа записано число, а вся левая часть находится под знаком радикала. Выглядит подобное ур-ние так:

где а – некоторое число (константа), f(x) – рациональное выражение.

Для его решения необходимо обе части возвести в степень n, тогда корень исчезнет:

Получаем рациональное ур-ние, решать которые мы уже умеем. Однако есть важное ограничение. Мы помним, что корень четной степени всегда равен положительному числу, и его нельзя извлекать из отрицательного числа. Поэтому, если в ур-нии

n – четное число, то необходимо, чтобы а было положительным. Если же оно отрицательное, то ур-ние не имеет корней. Но на нечетные n такое ограничение не распространяется.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число (– 6), но квадратный корень (если быть точными, то арифметический квадратный корень) не может быть отрицательным. Поэтому ур-ние корней не имеет.

Ответ: корней нет.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Теперь справа стоит положительное число, значит, мы имеем право возвести обе части в квадрат. При этом корень слева исчезнет:

Пример. Решите ур-ние

Решение. Справа стоит отрицательное число, но это не является проблемой, ведь кубический корень может быть отрицательным. Возведем обе части в куб:

Конечно, под знаком корня может стоять и более сложное выражение, чем (х – 5).

Пример. Найдите решение ур-ния

Решение. Возведем обе части в пятую степень:

х 2 – 14х – 32 = 0

Получили квадратное ур-ние, которое можно решить с помощью дискриминанта:

D = b 2 – 4ac = (– 14) 2 – 4•1•(– 32) = 196 + 128 = 324

Итак, нашли два корня: (– 2) и 16.

Несколько более сложным является случай, когда справа стоит не постоянное число, а какое-то выражение с переменной g(x). Алгоритм решения тот же самый – необходимо возвести в степень ур-ние, чтобы избавиться от корня. Но, если степень корня четная, то необходимо проверить, что полученные корни ур-ния не обращают правую часть, то есть g(x), в отрицательное число. В противном случае их надо отбросить как посторонние корни.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Возводим обе части во вторую степень:

х – 2 = х 2 – 8х + 16

D = b 2 – 4ac = (– 9) 2 – 4•1•18 = 81 – 72 = 9

Получили два корня, 3 и 6. Теперь проверим, во что они обращают правую часть исходного ур-ния (х – 4):

при х = 3 х – 4 = 3 – 4 = – 1

при х = 6 6 – 4 = 6 – 4 = 2

Корень х = 3 придется отбросить, так как он обратил правую часть в отрицательное число. В результате остается только х = 6.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Здесь используется кубический корень, а потому возведем обе части в куб:

3х 2 + 6х – 25 = (1 – х) 3

3х 2 + 6х – 25 = 1 – 3х + 3х 2 – х 3

Получили кубическое ур-ние. Решить его можно методом подбора корня. Из всех делителей свободного коэффициента (– 26) только двойка обращает ур-ние в верное равенство:

Других корней нет. Это следует из того факта, что функция у = х 3 + 9х – 26 является монотонной.

Заметим, что если подставить х = 2 в левую часть исходного ур-ния 1 – х, то получится отрицательное число:

при х = 2 1 – х = 1 – 2 = – 1

Но означает ли это, что число 2 НЕ является корнем? Нет, ведь кубический корень вполне может быть и отрицательным (в отличие от квадратного). На всякий случай убедимся, что двойка – это действительно корень исходного уравнения:

Уравнения с двумя квадратными корнями

Ситуация осложняется, если в ур-нии есть сразу два квадратных корня. В этом случае их приходится убирать последовательно. Сначала мы переносим слагаемые через знак «=» таким образом, чтобы слева остался один из радикалов и ничего, кроме него. Возводя в квадрат такое ур-ние, мы избавимся от одного радикала, после чего мы получим более простое ур-ние. После получения всех корней надо проверить, какие из них являются посторонними. Для этого их надо просто подставить в исходное ур-ние.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Перенесем вправо один из корней:

Возведем обе части в квадрат. Обратите внимание, что левый корень при этом исчезнет, а правый – сохранится:

Теперь снова перемещаем слагаемые так, чтобы в одной из частей не осталось ничего, кроме корня:

Снова возведем ур-ние в квадрат, чтобы избавиться и от второго корня:

(2х – 4) 2 = 13 – 3х

4х 2 – 16х + 16 = 13 – 3х

4х 2 – 13х + 3 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 13) 2 – 4•4•3 = 169 –48 = 121

Имеем два корня: 3 и 0,25. Но вдруг среди них есть посторонние? Для проверки подставим их в исходное ур-ние. При х = 0,25 имеем:

Получилось ошибочное равенство, а это значит, что 0,25 не является корнем ур-ния. Далее проверим х = 3

На этот раз получилось справедливое равенство. Значит, тройка является корнем ур-ния.

Введение новых переменных

Предложенный метод последовательного исключения радикалов плохо работает в том случае, если корни не квадратные, а имеют другую степень. Рассмотрим ур-ние

Последовательно исключить корни, как в предыдущем примере, здесь не получится (попробуйте это сделать самостоятельно). Однако помочь может замена переменной.

Для начала перепишем ур-ние в более удобной форме, когда вместо корней используются степени:

х 1/2 – 10х 1/4 + 9 = 0

Теперь введем переменную t = x 1/4 . Тогда х 1/2 = (х 1/4 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид

Это квадратное ур-ние. Найдем его корни:

D = b 2 – 4ac = (– 10) 2 – 4•1•9 = 100 – 36 = 64

Получили два значения t. Произведем обратную замену:

х 1/4 = 1 или х 1/4 = 9

Возведем оба ур-ния в четвертую степень:

(х 1/4 ) 4 = 1 4 или (х 1/4 ) 4 = 3 4

х = 1 или х = 6561

Полученные числа необходимо подставить в исходное ур-ние и убедиться, что они не являются посторонними корнями:

В обоих случаях мы получили верное равенство 0 = 0, а потому оба числа, 1 и 6561, являются корнями ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

х 1/3 + 5х 1/6 – 24 = 0

Решение. Произведем замену t = x 1/6 , тогда х 1/3 = (х 1/6 ) 2 = t 2 . Исходное ур-ние примет вид:

Его корни вычислим через дискриминант:

D = b 2 – 4ac = 5 2 – 4•1•(– 24) = 25 + 96 = 121

Далее проводим обратную заменуx 1/6 = t:

х 1/6 = – 8 или х 1/6 = 3

Первое ур-ние решений не имеет, а единственным решением второго ур-ния является х = 3 6 = 729. Если подставить это число в исходное ур-ние, то можно убедиться, что это не посторонний корень.

Замена иррационального уравнения системой

Иногда для избавления от радикалов можно вместо них ввести дополнительные переменные и вместо одного иррационального ур-ния получить сразу несколько целых, которые образуют систему. Это один из самых эффективных методов решения иррациональных уравнений.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Заменим первый корень буквой u, а второй – буквой v:

Исходное ур-ние примет вид

Если возвести (1) и (2) в куб и квадрат соответственно (чтобы избавиться от корней), то получим:

Ур-ния (3), (4) и (5) образуют систему с тремя неизвестными, в которой уже нет радикалов:

Попытаемся ее решить. Сначала сложим (4) и (5), ведь это позволит избавиться от переменной х:

(х + 6) + (11 – х) = u 3 + v 2

из (3) можно получить, что v = 5 – u. Подставим это в (6) вместо v:

17 = u 3 + (5 – u) 2

17 = u 3 + u 2 – 10u + 25

u 3 + u 2 – 10u + 8 = 0

Получили кубическое ур-ние. Мы уже умеем решать их, подбирая корни. Не вдаваясь в подробности решения, укажем, что корнями этого ур-ния являются числа

подставим полученные значения в (4):

x + 6 = 1 3 или х + 6 = 2 3 или х + 6 = (– 4) 3

x + 6 = 1 или х + 6 = 8 или х + 6 = – 64

х = – 5 или х = 2 или х = – 70

Итак, нашли три возможных значения х. Но, конечно же, среди них могут оказаться посторонние корни. Поэтому нужна проверка – подставим полученные результаты в исходное ур-ние. При х = – 5 получим

Корень подошел. Проверяем следующее число, х = 2:

Корень снова оказался верным. Осталась последняя проверка, для х = – 70:

Итак, все три числа прошли проверку.

Уравнения с «вложенными» радикалами

Порою в ур-нии под знаком радикала стоит ещё один радикал. В качестве примера приведем такую задачу:

При их решении следует сначала избавиться от «внешнего радикала», после чего можно будет заняться и внутренним. То есть в данном случае надо сначала возвести обе части равенства в квадрат:

Внешний радикал исчез. Теперь будем переносить слагаемые, чтобы в одной из частей остался только радикал:

Хочется поделить полученное ур-ние (1) на х, однако важно помнить, что деление на ноль запрещено. То есть, если мы делим на х, то мы должны наложить дополнительное ограничение х ≠ 0. Случай же, когда х всё же равен нулю, мы рассматриваем отдельно. Для этого подставим х = 0 сразу в исходное ур-ние:

Получили верное рав-во, значит, 0 является корнем. Теперь возвращаемся к (1) и делим его на х:

Возводим в квадрат и получаем:

х 2 + 40 = (х + 4) 2

х 2 + 40 = х 2 + 8х + 16

И снова нелишней будет проверка полученного корня:

Иррациональные неравенства

По аналогии с иррациональными ур-ниями иррациональными неравенствами называют такие нер-ва, в которых выражение с переменной находится под знаком радикала или возводится в дробную степень. Приведем примеры иррациональных нер-в:

Нет смысла решать иррациональные нер-ва, если есть проблемы с более простыми, то есть рациональными нер-вами, а также с их системами. Поэтому на всякий случай ещё раз просмотрите этот и ещё вот этот уроки.

Начнем с решения иррациональных неравенств простейшего вида, у которых в одной из частей стоит выражение под корнем, а в другой – постоянное число. Достаточно очевидно, что нер-во вида

Может быть справедливым только тогда, когда

То есть, грубо говоря, нер-ва можно возводить в степень. Однако при этом могут возникнуть посторонние решения. Дело в том, что нужно учитывать и тот факт, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным в том случае, если степень корня является четной. Таким образом, нер-во

при четном n можно заменить системой нер-в

Пример. При каких значениях x справедливо нер-во

Решение. С одной стороны, при возведении нер-ва в квадрат мы получим такое нер-во:

х ⩽ – 5 (знак нер-ва изменился из-за того, что мы поделили его на отрицательное число)

Получили промежуток х∈(– ∞; – 5). Казалось бы, надо записать ещё одно нер-во

чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. Однако сравните (1) и (2). Ясно, что если (1) выполняется, то справедливым будет и (2), ведь если какое-то выражение больше или равно двум, то оно автоматически будет и больше нуля! Поэтому (2) можно и не решать.

Теперь посмотрим на простейшие нер-ва с корнем нечетной степени.

Пример. Найдите решение нер-ва

Решение. Всё очень просто – надо всего лишь возвести обе части в куб:

x 2 – 7x– 8 2 – 7x– 8 = 0

D = b 2 – 4ac = (– 7) 2 – 4•1•(– 8) = 49 + 32 = 81

Далее полученные точки отмечаются на координатной прямой. Они разобьют ее на несколько промежутков, на каждом из которых функция у =x 2 – 7x– 8 сохраняет свой знак. Определить же этот самый знак можно по направлению ветвей параболы, которую рисует схематично:

Видно, что парабола располагается ниже оси Ох на промежутке (– 1; 8). Поэтому именно этот промежуток и является ответом. Нер-во строгое, поэтому сами числа (– 1) и 8 НЕ входят в ответ, то есть для записи промежутка используются круглые скобки.

Обратите внимание: так как в исходном нер-ве используется корень нечетной (третьей) степени, то нам НЕ надо требовать, чтобы он был неотрицательным. Он может быть меньше нуля.

Теперь рассмотрим более сложный случай, когда в правой части нер-ва стоит не постоянное число, а некоторое выражение с переменной, то есть оно имеет вид

Случаи, когда n является нечетным числом, значительно более простые. В таких ситуациях достаточно возвести нер-во в нужную степень.

Пример. Решите нер-во

Решение.Слева стоит кубический корень, а возведем нер-во в третью степень (при этом мы используем формулу сокращенного умножения):

И снова квадратное нер-во. Найдем нули функции записанной слева, и отметим их на координатной прямой:

D = b 2 – 4ac = (– 1) 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

Нер-во выполняется при х∈(– ∞; – 1)⋃(2; + ∞). Так как мы возводили нер-во в нечетную степень, то больше никаких действий выполнять не надо.

стоит корень четной степени, то ситуация резко осложняется. Его недостаточно просто возвести его в n-ую степень. Необходимо выполнение ещё двух условий:

f(x) > 0 (подкоренное выражение не может быть отрицательным);

g(x) > 0 (ведь сам корень должен быть неотрицательным, поэтому если g(x)будет меньше нуля, то решений не будет).

Вообще говоря, в таких случаях аналитическое решение найти возможно, но это тяжело. Поэтому есть смысл решить нер-во графически – такое решение будет более простым и наглядным.

Пример. Решите нер-во

Решение. Сначала решим его аналитически, без построения графиков. Возведя нер-во в квадрат, мы получим

х 2 – 10х + 21 > 0(1)

Решением этого квадратного нер-ва будет промежуток (– ∞;3)⋃(7; + ∞). Но надо учесть ещё два условия. Во-первых, подкоренное выражение должно быть не меньше нуля:

Во-вторых, выражение 4 – х не может быть отрицательным:

Получили ограничение 2,5 ⩽ х ⩽ 4, то есть х∈[2,5; 4]. С учетом того, что при решении нер-ва(1) мы получили х∈(– ∞;3)⋃(7; + ∞), общее решение иррационального нер-ва будет их пересечением, то есть промежутком [2,5; 3):

Скажем честно, что описанное здесь решение достаточно сложное для понимания большинства школьников, поэтому предложим альтернативное решение, основанное на использовании графиков. Построим отдельно графики левой и правой части нер-ва:

Видно, что график корня находится ниже прямой на промежутке [2,5; 3). Возникает вопрос – точно ли мы построили график? На самом деле с его помощью мы лишь определили, что искомый промежуток находится между двумя точками. В первой график корня касается оси Ох, а во второй точке он пересекается с прямой у = 4 – х. Найти координаты этих точек можно точно, если решить ур-ния. Начнем с первой точки:

Итак, координата х первой точки в точности равна 2,5. Для нахождения второй точки составим другое ур-ние:

Это квадратное ур-ние имеет корни 3 и 7 (убедитесь в этом самостоятельно). Число 7 является посторонним корнем:

Подходит только число 3, значит, вторая точка имеет координату х = 3, а искомый промежуток – это [2,5; 3).

Ещё тяжелее случаи, когда в нер-ве с корнем четной степени стоит знак «>», а не « 1/2 = х – 3

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений.

Цели:

Образовательная –познакомить учащихся с нестандартными методами решения иррациональных уравнений; систематизировать знания учащихся о методах решения иррациональных уравнений, способствовать формированию умений классифицировать иррациональные уравнения по методам решений, научить применять эти методы, выбирать рациональный путь решения. Развивающая –способствовать развитию математического кругозора, логического мышления. Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к иррациональным уравнениям, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

1. Повторить определение и основные методы решения иррациональных уравнений;

2. Продемонстрировать нестандартные методы решения иррациональных уравнений; формировать умение выбирать рациональные пути решения;

3. Освоение всеми учащимися алгоритмов решения иррациональных уравнений, закрепление теоретических знаний при решении конкретных примеров;

4. Развитие у учащихся логического мышления в процессе поиска рациональных методов и алгоритмов решения;

5. Развитие культуры научных и учебных взаимоотношений между учениками и между учениками и учителем; воспитание навыков совместного решения задач.

Тип урока:

Методы обучения:

Информационно- иллюстративный; репродуктивный; проблемный диалог; частично-поисковый; системные обобщения.

Формы организации учебной деятельности:

Фронтальная, групповая, самопроверка, взаимопроверка, коллективные способы обучения.

Оборудование урока: компьютер, проектор, карточки с заданием, лист учета знаний.

Продолжительность занятия: 2 урока по 45 минут.

План урока:

I. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II. Актуализация опорных знаний, проверка домашней работы.

III. Изучение нового материала.

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

VI. Задание на дом.

I Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

II Актуализация опорных знаний проводится в форме беседы по лекционному материалу по данной теме с использованием компьютерной презентации. Проверка домашнего задания.

· Определение иррационального уравнения.

Уравнение, содержащее переменные под знаком корня или дробной степени, называется иррациональным.

Назовите иррациональные уравнения:

· Что значит решить иррациональное уравнение?

Это значит найти все такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, либо доказать, что таких значений не существует.

· Основные методы решения иррациональных уравнений.

1. Уединение радикала. Возведение в степень.

a) При решении иррационального уравнения с радикалом четной степени возможны два пути:

1) использование равносильных преобразований

для уравнения вида

2) после возведения в степень выполнение проверки, так как возможно появление посторонних корней

b) При решении иррационального уравнения с радикалом нечетной степени возведение в нечетную степень правой и левой части уравнения всегда приводит к равносильному уравнению и потеря корней или их приобретения происходить не может.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Проверка: x=2 x=5

– посторонний корень

Если радикалов несколько, то уравнение возводить в степень приходится возводить неоднократно.

Пример 4:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ:

2. Метод введения вспомогательного неизвестного или “метод замены

Пример 5:

Сделаем замену причём тогда

не удовлетворяет условию

Возвращаемся к замене:

Проверка показывает, что оба корня подходят.

Иногда удобно ввести не одну, а несколько переменных.

Пример 6: .

Заметим, что знаки х под радикалом различные. Введем обозначение

, .

Тогда,

Выполним почленное сложение обеих частей уравнения .

Имеем систему уравнений

Т. к. а + в = 4, то

Значит: 9 – x = 8 , х = 1.

3. Метод разложения на множители или расщепления.

· Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из входящих в него сомножителей равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

Пример 7:

III Изучение нового материала.

Нестандартные методы решения иррациональных уравнений.

4. Умножение на сопряжённое выражение.

5. Переход к модулю.

6. Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

§ Область значения функции

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

§ Использование суперпозиций функций

· Умножение на сопряжённое выражение.

Воспользуемся формулой

Пример 8:

Умножим обе части уравнения на сопряжённое выражение:

Проверка показывает, что число является корнем.

Ответ:

· Переход к модулю.

Для этого метода воспользуемся тождеством:

Пример 9:

§ Если , то , тогда

тогда

§ Если , тогда ,а

§ Если , тогда , а

· Использование свойств функции:

§ Область определения функции (ОДЗ)

Иногда нахождение области определения функций, входящих в уравнение, существенно облегчает его решение.

Пример 10:

ОДЗ: ОДЗ: x=0 и x=1

Проверка показывает, что только x=1 является корнем.

Ответ:

Пример 11:

, тогда

Тогда невозможно.

Ответ: корней нет.

§ Область значений функции

Пример 12:

Данное уравнение не имеет решений, так как его левая часть – функция может принимать только неотрицательные значения.

Ответ: корней нет

Пример 13:

Учитывая то, что левая часть уравнения – функция может принимать только неотрицательные значения, решим неравенство:

неравенство решений не имеет, тогда и исходное уравнение тоже.

Ответ: корней нет

§ Свойство ограниченности функции (метод оценок)

· Если и , то

Пример 14:

Заметим, что , т. е. , а

Проверка показывает, что это значение является и корнем второго уравнения.

Ответ:

· Пусть – функция, возрастающая (убывающая) на некотором промежутке I. Тогда уравнение имеет на промежутке I не более одного корня.

· Пусть – функция, возрастающая на некотором промежутке I , а функция – убывающая на этом промежутке. Тогда уравнение имеет на промежутке I. не более одного корня

Пример 15: .

Рассмотрим функции и .

монотонно возрастает, а – убывает, следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Значение корня легко найти подбором:

Ответ:

Пример 16:

Функция возрастает на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Так как , то – единственный корень .

Ответ:

§ Использование суперпозиций функций

· Если – монотонно возрастающая функция, то уравнения и равносильны.

Пример 17:

Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию – монотонно возрастающую, тогда уравнение имеет вид . Оно равносильно уравнению

Сделаем замену

не удовлетворяет условию

Ответ:

IV. Закрепление изученного материала на данном уроке и ранее пройденного, связанного с новым.

Решение уравнений в группах по 6 человек.

Ребята получают карточку с заданием. Решение уравнений обсуждают вместе, записывают его.

После выполнения группами заданий проводится взаимопроверка. Группы меняются заданиями с решениями по кругу:

2 3 4

Учащиеся групп обсуждают решение, исправляют ошибки и выставляют оценки.

Потом работы с выставленными оценками возвращаются в группы для обсуждения вклада каждого в решение проблемы.

Выставляются каждому оценки с занесением в оценочную таблицу. Учитель контролирует и вносит, если нужно, свои коррективы.

V. Подведение итогов и результатов урока. Рефлексия.

8) *

Используемая литература.

1. Чулков курса «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006.

2. , , Морозова государственный экзамен. Математика. – Челябинск: Взгляд, 2006 –Ч.1,2

3. Шарыгин курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1989

4. , Якушев : интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2004.

5. , Голобородько и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. – М.: Илекса, 2006.

Задания для работы в группах:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

1. Возведи обе части в квадрат:

2. Выполни замену:

4. Умножай на сопряжённое выражение:

5. Переходи к модулю:

6. Используй свойства функций:

7. Реши любым способом:

Проверочная работа по теме: «Методы

[spoiler title=”источники:”]

http://100urokov.ru/predmety/urok-11-uravneniya-irracionalnye

http://pandia.ru/text/77/339/91706.php

[/spoiler]

Источник

Методы решения иррациональных уравнений

Разделы:

Математика

Я бы почувствовал настоящее
удовлетворение лишь в том случае,
если бы смог передать ученику гибкость ума,
которая дала бы ему в дальнейшем
возможность самостоятельно решать задачи.

У.У.Сойер.

Определение. Уравнение с одной
переменной называют иррациональным, если хотя бы
одна из функций или содержит переменную под знаком
радикала.

При решении иррациональных уравнений
необходимо установить область допустимых
значений переменных, исходя из условия, что все
радикалы, входящие в уравнение, должны быть
арифметическими.

1. Метод пристального взгляда

Этот метод основан на следующем теоретическом
положении: “Если функция возрастает в области
определения и число входит в множество значений, то уравнение имеет
единственное решение.”

Для реализации метода, основанного на этом
утверждении требуется:

а) Выделить функцию, которая фигурирует в
уравнении.

b) Записать область определения данной функции.

c) Доказать ее монотонность в области
определения.

d) Угадать корень уравнения.

t) Обосновать, что других корней нет.

f) Записать ответ.

Пример 1. .

Наличие радикалов четной степени говорит о том,
что подкоренные выражения должны быть
неотрицательными. Поэтому сначала найдем
область допустимых значение переменной .

Очевидно, что левая часть уравнения не
существует ни при одном значении неизвестного . Таким
образом, вопрос о решении уравнения снимается –
ведь нельзя же осуществить операцию сложения в
левой части уравнения, так как не существует сама
сумма. Каков же вывод? Уравнение не может иметь
решений, так как левая часть не существует ни при
одном значении неизвестного .

Пример 2.

Рассмотрим функцию .

Найдем область определения данной функции:

Данная функция является монотонно
возрастающей.

Для
эта функция будет принимать наименьшее значение
при , а
далее только возрастать.. Число 5 принадлежит
области значения, следовательно, согласно
утверждению .

Проверкой убеждаемся, что это действительный
корень уравнения..

2. Метод возведения обеих частей уравнений в
одну и ту же степень.

Теорема.

Если возвести обе части уравнения (1) в
натуральную степень , то уравнение (2)
является следствием уравнения (1).

Доказательство. Если выполняется числовое
равенство , то по свойствам степени выполняется
равенство , т.е. каждый корень уравнения (1) является
и корнем уравнения (2), это значит, что уравнение (2)
является следствием уравнения (1).

Если ,
то справедливо и обратная теорема. В этом случае
уравнения (1) и (2) равносильны.

Если ,
равенство справедливо, если выполняется хотя бы
одно из равенств и . Значит уравнения (1) и (2) в этом
случае не равносильны. Поэтому, если в ходе
решения иррационального уравнения
приходилось возводить обе его части в степень с
четным показателем, то могли появиться
посторонние корни. Чтобы отделить их, проверки
можно избежать, введя дополнительное требование . В этом
случае уравнение равносильно системе . В
системе отсутствует требование ,
обеспечивающее существование корня степени , т.к. оно
было бы излишним в связи с равенством .

Пример 1.

,

,

.

Ответ:

Если в уравнение входят несколько радикалов, то
их можно последовательно исключать с помощью
возведения в квадрат, получая в итоге уравнение
вида
При этом полезно учитывать область допустимых
значений исходного уравнения.

Пример 2.

Ответ:

3. Решение уравнений с использованием замены
переменной.

Введение вспомогательной переменной в ряде
случаев приводит к упрощению уравнения. Чаще
всего в качестве новой переменной используют
входящий в уравнение радикал. При этом уравнение
становится рациональным относительно новой
переменной.

Пример1.

Пусть тогда исходное уравнение примет вид:

,
корни которого и Решая уравнение , получаем и

Ответ:

В следующих примерах используется более
сложная замена переменной.

Пример 2

Перенесем в левую часть все члены уравнения и
произведем дополнительные преобразования: .

Замена приводит уравнение к виду корнями
которого являются и

Осталось решить совокупность двух уравнений:

Ответ:

4. Метод разложения на множители выражений,
входящих в уравнение.

Теорема.

Уравнение , определенное на всей числовой оси,
равносильно совокупности уравнений

Пример1.

При
уравнение принимает вид: которое равносильно
совокупности двух уравнений:

Ответ:

Выделить общий множитель часто бывает очень
трудно. Иногда это удается сделать после
дополнительных преобразований. В приведенном
ниже примере для этого рассматриваются попарные
разности подкоренных выражений.

Пример 2.

Если внимательно посмотреть на уравнение, то
можно увидеть, что разности подкоренных
выражений первого и третьего , а также второго и
четвертого членов этого уравнения равны одной и
той же величине

В таком случае далее следует воспользоваться
тождеством:

Уравнение примет вид:

или

Корень уравнения т.е. число при подстановке в исходное
уравнение дает верное равенство.

Уравнение не имеет решений, так как его левая часть
положительна в своей области определения.

Ответ:

5. Метод выделения полных квадратов при решении
иррациональных уравнений.

При решении некоторых иррациональных
уравнений полезна формула

Пример 1.

Преобразуем уравнение следующим образом:

или

Обозначим и решим полученное уравнение

методом интервалов.

Разбирая отдельно случаи ,
находим,

что решениями последнего уравнения являются .

Возвращаясь к переменной , получаем неравенства

Ответ:

6. Метод оценки.

Этот способ применим в том случае, когда
подкоренные выражения представляют собой
квадратный трехчлен, не раскладывающийся на
линейные множители. Поэтому целесообразно
оценить левую и правую части уравнения.

Пример 1.

Оценим обе части уравнения:

,

,

Левая часть уравнения существует при всех
значениях переменной , не меньших 5, а правая – при всех
значениях, не больших 5, следовательно, уравнение
будет иметь решение, если обе части уравнения
одновременно равны 5, т. е. справедлива следующая
система:

Корнем второго уравнения системы является
число

Проверим, является ли это число корнем второго
уравнения:

.

Ответ:

Пример 2.

Для всех имеем

Используя неравенство Коши, можем записать:

причем равенство достигается при и

Таким образом, -корень исходного уравнения.

Ответ:

7. Иррациональные уравнения, содержащие
степени выше второй.

Если уравнение имеет вид то его можно решить , возводя
обе части этого уравнения в степень . Полученное
уравнение при нечетном равносильно данному уравнению, а при
четном является
нго следствием, аналогично рассмотренному выше
случаю при

Пример 1

Возведем обе части уравнения в куб:

или

которое
равносильно совокупности двух уравнений:

Ответ:

При решении иррациональных уравнений очень
часто пользуются следующим приемом.

Если
то

В последнем равенстве заменяют на и
получают

Далее легко избавиться от кубической
иррациональности , возводя обе части в куб.

Пример 2.

Здесь, очевидно,

Возведем в куб обе части уравнения, получим:

,

или

или

или

или

Проверка подтверждает, что это корень
уравнения.

Ответ:

Замечание.

Замена в конкретном примере левой части на
правую, вообще говоря , неправомерна –ведь нам
неизвестно ни одно значение , при котором это
уравнение превращается в верное числовое
равенство. Возможно, таких решений нет вообще.
Допуская в практических действиях такую замену,
мы фактически расширяем возможное множество
решений. Поэтому все найденные решения следует
проверять и только те, которые превращают
исходное уравнение в верное равенство, следует
записать в ответ.

От того, что школьник решит лишний десяток
задач, умнее и сообразительнее он не станет,
Результат обучения оценивается не количеством
сообщаемой информации, а качеством ее усвоения.
Это качество будет выше, если на один и тот же
пример посмотреть с разных сторон. Решение задач
разными способами способствует развитию
активного мышления учащихся. Хорошую почву для
этого дает решение примеров разными способами.

Пример 3. Способ 1.

(1)

Возведем обе части уравнения в куб:

Группируя, получаем:

Используя равенство (1) имеем:

или

или

или

корни которого

Ответ:

Способ 2.

Иногда полезно ввести не одну вспомогательную
переменную, а несколько, сводя исходное
уравнение к системе уравнений.

Пусть Тогда

Таким образом справедлива следующая система:

Возвращаясь к переменной находим

Ответ:

В следующем примере введение вспомогательной
переменной сводит исходное уравнение к
однородному.

Пример 4.

Положим

Тогда исходное уравнение примет вид:

Поскольку при котором переменная
обращается в нуль, не является решением
исходного уравнения ( в чем можно убедиться
подстановкой), делим обе части уравнения на

решая которое , находим:

Осталось решить уравнения и

Корнями этих уравнений являются числа

Ответ:

Пример 5.

Область допустимых значений задается
неравенством

Преобразуем уравнение следующим образом:

Один корень этого уравнения

Для решения второго уравнения положим

и решим

Корни этого уравнения

Последний корень не принадлежит указанному
промежутку, поэтому, решая уравнение , получим

Ответ :

8.02.2006

Источник

Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты

Иррациональными называют уравнения, содержащие переменную под знаком радикала.

Область определения (область допустимых значений) иррационального уравнения состоит из тех значений переменной, при которых неотрицательны все выражения, стоящие под знаками радикалов четной степени. Если же радикал записан в знаменателе дроби, то выражения, стоящие под знаком радикала четной степени, должны быть положительными.

Методы решений иррациональных уравнений

1. Метод подстановки.

2. Метод «уединения» радикала, который состоит в том, что, оставляя радикал в одной части уравнения, возводят обе части уравнения в соответствующую степень до тех пор, пока не получат уравнение не содержащее радикалов. При возведении в четную степень необходимо помнить, что обе части уравнения не должны быть отрицательными.

Частные случаи метода «уединения» радикала:

1) Если уравнение имеет вид , то, возведя обе его части в квадрат (в общем случае в любую четную степень) при условии, что , получим .

2) Если уравнение имеет вид то заменим его уравнением $LaTeX formula: (sqrt{f(x)}+sqrt{g(x)})^2=(phi (x))^2$ при условии, что $LaTeX formula: left{begin{matrix} f(x)geq 0, &\ g(x)geq 0, & \ phi(x)geq 0 .& end{matrix}right.$ «Уединим» радикал, приведем подобные слагаемые, опять «уединим» радикал и возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что они не отрицательны.

3) Если уравнение имеет вид то при условии, что $LaTeX formula: left{begin{matrix} f(x)geq 0, &\ g(x)geq 0, & \ phi(x)geq 0 .& end{matrix}right.$ запишем его в виде и возведем обе части в квадрат. Затем «уединим» радикал, приведем подобные слагаемые и опять возведем в квадрат с учетом вновь возникающих ограничений на переменную.

4) Если уравнение имеет вид то запишем его в виде и возведем обе его части в третью степень: $LaTeX formula: f(x)=left (phi (x)-sqrt[3]{g(x)} right )^3$ . Далее, как правило, применяется подстановка .

«Уединяя» радикал и снова возводя обе части уравнения в третью степень, получим уравнение, не содержащее переменную под знаком радикала.

3. Использование монотонности функций при решении уравнений. Так, если функция строго возрастает, а функция строго убывает на некотором множестве, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения, а уравнение на этом множестве имеет не более одного решения. Поэтому, чтобы решить такие уравнения можно подобрать (если это удается) число, которое является их корнем.

Например, решим уравнение . Так как левая часть этого уравнения представлена строго возрастающей функцией, а правая – строго убывающей функцией, то графики этих функций имеют не более одной точки пересечения. Проверкой убедимся, что

Пример 1. Решите уравнение $LaTeX formula: sqrt[5]{(5x+2)^3}-6=frac{16}{sqrt[5]{(5x+2)^3}}$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: sqrt[5]{(5x+2)^3}=a$ , получим:

$LaTeX formula: a-6-frac{16}{a}=0, a^2-6a-16=0,$ откуда $LaTeX formula: a_{1}=-2, a_{2}=8$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: sqrt[5]{(5x+2)^3}=a$ , решим два уравнения:

1) $LaTeX formula: sqrt[5]{(5x+2)^3}=-2, (5x+2)^{frac{3}{5}}=-2, 5x+2=(-2)^{frac{5}{3}},$ $LaTeX formula: 5x+2=-2cdot (-2)^{frac{2}{3}} , 5x=-2sqrt[3]{4}-2,$

2) $LaTeX formula: sqrt[5]{(5x+2)^3}=8, (5x+2)^{frac{3}{5}}=2^3, 5x+2=2^5, x=6.$

Ответ: $LaTeX formula: x_{1}=-0,4(1+sqrt[3]{4}), x_{2}=6$ .

Пример 2. Решите уравнение $LaTeX formula: sqrt{x^3+8}+sqrt[4]{x^3+8}-6=0$ .

Решение. Полагая $LaTeX formula: sqrt[4]{x^3+8}=a$ и $LaTeX formula: sqrt{x^3+8}=a^2$ , получим , откуда $LaTeX formula: a_{1}=-3, a_{2}=2.$ Учитывая подстановку $LaTeX formula: sqrt[4]{x^3+8}=a$ решим уравнение $LaTeX formula: sqrt[4]{x^3+8}=2$ . Тогда , откуда .

Ответ: .

Пример 3. Решите уравнение .

Решение. Применим свойства степеней и запишем уравнение в виде $LaTeX formula: x^{frac{1}{2}}x^{frac{1}{10}}-x^{frac{1}{5}}x^{frac{1}{10}}-56=0$ или $LaTeX formula: x^{frac{6}{10}}-x^{frac{3}{10}}-56=0$ .

Полагая $LaTeX formula: x^{frac{3}{10}}=a$ , получим , откуда $LaTeX formula: a_{1}=-7, a_{2}=8$ .

Учитывая подстановку $LaTeX formula: x^{frac{3}{10}}=a$ найдем значение $LaTeX formula: x: x^{frac{3}{10}}=2^3, x^{frac{1}{10}}=2,x=2^{10}, x=1024.$

Ответ: .

Пример 4. Решите уравнение $LaTeX formula: frac{sqrt{x}+sqrt[3]{x}}{sqrt{x}-sqrt[3]{x}}=frac{3}{4}$ .

Решение. Уравнение запишем в виде $LaTeX formula: frac{sqrt[6]{x^3}+sqrt[6]{x^2}}{sqrt[6]{x^3}-sqrt[6]{x^2}}=frac{3}{4}$ .

Полагая получим: $LaTeX formula: frac{a^3+a^2}{a^3-a^2}=frac{3}{4}, frac{a^2(a+1)}{a^2(a-1)}=frac{3}{4},frac{a+1}{a-1}=frac{3}{4},4a+4=3a-3, a=-7.$

Уравнение корней не имеет.

Ответ: .

Пример 5. Найдите сумму корней уравнения $LaTeX formula: 0,5x^2-2x-3=0,5sqrt{2x^2-8x+12}$ .

Решение. Умножив обе части уравнения на , получим: $LaTeX formula: 2x^2-8x-12=2sqrt{2x^2-8x+12}$ .

Полагая $LaTeX formula: sqrt{2x^2-8x+12}=a$ , запишем: .

Тогда исходное уравнение примет вид или , откуда $LaTeX formula: a_{1}=6, a_{2}=-4$ .

Поскольку , то решим уравнение $LaTeX formula: sqrt{2x^2-8x+12}=6$ . Тогда откуда по теореме Виета $LaTeX formula: x_{1}+x_{2}=4$ .

Ответ: .

Пример 6. Решите уравнение .

Решение. ОДЗ: .

1. «Уединим» радикал: .

2. Возведя обе части уравнения в квадрат, поскольку правая часть этого уравнения положительна на ОДЗ, получим: $LaTeX formula: 1+xsqrt{x-4}=x^2-2x+1,xsqrt{x-4}=x^2-2x.$

Так как число не является корнем уравнения, то разделим обе его части на и запишем: .

3. Поскольку правая часть уравнения положительна на ОДЗ, то возведем обе части этого уравнения в квадрат: откуда .

Ответ:

Пример 7. Определите число корней уравнения .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: left{begin{matrix} 2x-9geq 0, & \ x-8geq 0, & \ x+5geq0; & end{matrix}right.Leftrightarrow xgeq 8.$

1. Возведем обе части уравнения в квадрат и «уединим» радикал:

$LaTeX formula: left (sqrt{2x-9}+sqrt{x-8} right )^2=left (sqrt{x+5} right )^2,$

2. Снова возведем обе части полученного уравнения в квадрат при условии, что его правая часть неотрицательна, то есть :

, откуда, $LaTeX formula: x_{1}=frac{3+sqrt{205}}{2}, x_{2}=frac{3-sqrt{205}}{2}$ .

Так как $LaTeX formula: x_{2}=frac{3-sqrt{205}}{2}$ – посторонний корень уравнения, то данное уравнение имеет единственный корень $LaTeX formula: x_{1}=frac{3+sqrt{205}}{2}$ .

Ответ: .

Пример 10. Решите уравнение .

Решение. Полагая и , получим:

Тогда

Заменим уравнение равносильной ему системой уравнений $LaTeX formula: left{begin{matrix} a-b=0, & \ 3a^2-b^3=4. & end{matrix}right.$

Поскольку , то второе уравнение системы примет вид или . Очевидно, что число является корнем этого уравнения.

Выполним деление многочлена на двучлен :

Запишем или , откуда $LaTeX formula: a_{1}=-1$ (этот корень уравнения был уже найден) и $LaTeX formula: a_{2,3}=2$ .

Поскольку , то и .

Ответ: .

Пример 11. Определите значение , при котором уравнение имеет один корень.

Решение. Запишем ОДЗ: .

Найдем корни уравнения, решая совокупность уравнений , откуда $LaTeX formula: x_{1}=4$ и , откуда $LaTeX formula: x_{2}=-3a$ . Поскольку согласно условию задачи уравнение имеет один корень, то $LaTeX formula: x_{2}=-3a$ – посторонний корень, то есть он не принадлежит области допустимых значений уравнения. В таком случае и $LaTeX formula: a> -frac{4}{3}$ .

Ответ: $LaTeX formula: a> -frac{4}{3}$ .

Пример 12. Найдите произведение корней уравнения .

Решение. ОДЗ: $LaTeX formula: left{begin{matrix} x+1geq 0,& \ 2x+3geq 0;& end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} xgeq -1, &\ xgeq -1,5 ;& end{matrix}right.Leftrightarrow xgeq -1.$

Запишем уравнение в виде

и разложим его левую часть на множители:

Пример 13. Решите уравнение .

Решение. Преобразуем выражения, записанные под знаками радикалов: $LaTeX formula: x-4sqrt{x-4}=x-4-4sqrt{x-4}+4=(sqrt{x-4}-2)^2;$

$LaTeX formula: x+4sqrt{x-4}=x-4+4sqrt{x-4}+4=(sqrt{x-4}+2)^2.$

Данное уравнение примет вид $LaTeX formula: sqrt{left (sqrt{x-4}-2 right )^2}+2sqrt{left (sqrt{x-4}+2 right )^2}=6$ или .

Запишем ОДЗ уравнения: .

Тогда и получим . Решим это уравнение методом интервалов.

1. Найдем нули функции, стоящей под знаком модуля, решая уравнение , откуда .

2. Нанесем число на ОДЗ уравнения (рис. 5.4).

Рассмотрим полученные промежутки:

1) если , то , следовательно, и уравнение примет вид или , откуда ;

2) если , то , следовательно, и уравнение примет вид или $LaTeX formula: sqrt{x-4}=frac{4}{3}$ , откуда $LaTeX formula: x=5frac{7}{9}$ .

Число $LaTeX formula: 5frac{7}{9}$ не принадлежит рассматриваемому промежутку.

Ответ: .

При решении иррациональных уравнений важно знать следующее:

1) Прежде, чем начинать решать иррациональное уравнение, можно записать систему неравенств, задающих его область определения, и (если это не сложно) решить ее, а затем на этом множестве выполнять равносильные преобразования уравнения с учетом часто вновь возникающих ограничений на переменную.

2) Если же систему неравенств, задающих область определения уравнения, не решать, то необходимо проверкой убедиться в том, что полученные значения переменной удовлетворяют каждому из неравенств системы.

3) Можно и не находить область определения уравнения, а выполнить проверку полученных в результате его решения значений переменной непосредственной подстановкой их в исходное уравнение.

4) Нередки случаи, когда уже по области определения уравнения можно судить о его решении, например, если область определения состоит из одного или нескольких чисел или если область определения есть пустое множество.

5) Чтобы избежать длинных выкладок прежде, чем приступить к решению иррациональных уравнений, полезно дать ответ на вопрос «Можно ли решить данное уравнение, используя свойство монотонных функций?».

Источник

Что такое иррациональные уравнения?

Не секрет же, что большинство чисел можно представить в виде обыкновенной дроби с натуральными числами в числителе и знаменателе?

Например, число 7 – это (frac{21}{3})

Иррациональные числа не такие. Их невозможно представить в виде дроби. Они странные.

Гиппас создал античным математикам множество проблем: их теории о том, что все в мире соизмеримо целым числам, рушились одна за другой. И они боялись.

Но мы будем смелыми 🙂

Сначала разберемся, что такое рациональные уравнения, а потом научимся находить решение иррациональных уравнений.

Итак, что из себя представляют рациональные уравнения, а что – иррациональные:

( 3cdot (x+1)=x) – как думаешь, какое это? Тут сложение, умножение, нет корней, и степеней никаких – рациональное!
( 3cdot (x+1)=sqrt{x}) – вот тебе и корень из переменной, значит уравнение НЕ рациональное (или иррациональное);
( 3cdot (x+1)=frac{1}{x}) – а это – рациональное;
( 3cdot (x+1)={{x}^{2}}) – тут вот степень, но она с целым показателем степени (( 2)– целое число) – значит, это тоже рациональное уравнение;
( 3cdot (x+1)={{x}^{-1}}) – даже уравнение с отрицательным показателем степени тоже является рациональным, ведь, по сути, ( {{x}^{-1}}) – это ( frac{1}{x});
( 3cdot (x+1)={{x}^{0}}) – тоже рациональное, т.к. ( {{x}^{0}}=1);
( 3cdot (x+1)={{x}^{frac{1}{2}}}) – а с ним поосторожнее, степень-то дробная, а по свойству корней ( {{x}^{frac{1}{2}}}=sqrt{x}), как ты помнишь, корня в рациональных уравнениях не бывает.

Надеюсь, теперь ты сможешь различить, к какому виду относится то или иное уравнение.

Дадим oпределение:

Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или знаком возведения в дробную степень.

А вот как это выглядит: ( sqrt{x}); ( {{x}^{frac{1}{3}}}).

Но только отличать рациональное от иррационального недостаточно, тебе же решать их надо! Вся сложность в корнях, так?

Так избавься от них, вот и все дела!

Если еще не догадался, как, то я подскажу: просто возведи в нужную степень обе части уравнения, а потом решай его как простое рациональное уравнение.

Но проверяй все корни! Позже ты поймешь, почему делать это необходимо.

Как рациональные уравнения решать помнишь? Если забыл, то советую почитать «Рациональные уравнения».

Если читать лень, напомню вкратце. Для верного решения рациональных уравнений, ты должен придерживаться следующего алгоритма:

Пример №3

( sqrt{12-x}=x)

После возведения обеих частей в квадрат имеем:

( 12-x={{x}^{2}}), упрощаем и решаем квадратное уравнение по теореме Виета

( {{x}^{2}}+{x}-12=0)

( left[ begin{array}{l}{{x}_{1}}=3\{{x}_{2}}=-4end{array} right.)

У нас два корня, пробуем их подставить в исходное для проверки.

Подставляем ( 3), ( sqrt{9}=3), ( 3=3) – подходит.

Подставим ( -4), получим ( sqrt{16}=-4)…

Но ведь ( 4ne -4)! Что же получается, ( -4) – посторонний корень.

Заговор какой-то!

Думаю, интрига затянулась, настало время объяснить, почему получаются какие-то посторонние корни.

Опять объяснять буду на примере:

( -2ne 2), но если мы возведем в квадрат обе части, ( {{(-2)}^{2}}={{(2)}^{2}}), ( 4=4).

Ну как тебе фокус? 🙂

То же самое получается и в нашем примере с иррациональным уравнением, в результате преобразования мы можем найти все корни, но могут примешаться и посторонние.

Их надо отфильтровать проверкой, проверив, будет ли соблюдаться равенство исходного уравнения при их подстановке.

А если взять не вторую, а третью степень:

( {{(-2)}^{3}}ne {{(2)}^{3}})

( -8ne 8)

Пример №4 (метод уединения радикала)

( sqrt{2x+1}+sqrt{x}=1)

В этом примере есть два подкоренных выражения и число ( 1).

Чтобы избавиться от корня, нужно обе части возвести в квадрат, но, прежде чем сделать это, перенесем ( sqrt{x}) в правую часть.

( sqrt{2x+1}=1-sqrt{x})

«Зачем?» – спросишь ты.

Дело в том, что, если возводить в квадрат в таком виде, упрощать придется дольше, не веришь – попробуй сам, а я, пожалуй, избавлю себя от расписывания этого 🙂

Теперь возводим в квадрат обе части и упрощаем.

( sqrt{2x+1}=1-sqrt{x})

( 2x+1=1-2sqrt{x}+x)

( x=-2sqrt{x})

Понял, в чем сложность?

Этот метод решения математики называют «метод уединения радикала».

Радикал (выражение с корнем) надо уединить в одной стороне уравнения. Но уединять и возводить в степень придется не один раз.

Чтобы избавиться от корней и получить нормальное (рациональное 🙂 ) уравнение, придется выполнять множество замысловатых махинаций, которые заключаются в уединении и возведении в степень.

С другой стороны, можно заметить, что на определенной стадии решения становится без дальнейших упрощений понятно, что в уравнении, например, нет решений.

Например…

Корни степени больше 2

Ты спросишь: а что всё про квадратные корни? Как же быть с остальными степенями?

Спрошу в ответ: а чем они отличаются?

Отличие, на самом деле, есть. Но важна не конкретная степень корня, а четность этой степени.

Корни четной степени

Корни ( displaystyle 2), ( displaystyle 4), ( displaystyle 6), и т.д. степеней очень похожи друг на друга, и принцип решения уравнений с ними абсолютно одинаковый. Дело в том, что корень четной степени можно всегда привести к квадратному (вспоминаем тему «Корень и его свойства»!):

( displaystyle sqrt[4]{x}=sqrt{sqrt{x}};text{ }sqrt[6]{x}=sqrt{sqrt[3]{x}};text{ }sqrt[2k]{x}=sqrt{sqrt[k]{x}})

Например:

( displaystyle sqrt[4]{A}=Btext{ }Leftrightarrow text{ }left{ begin{array}{l}A={{B}^{4}}\Bge 0end{array} right.)

Корни нечетной степени

С нечетными степенями (( displaystyle 3), ( displaystyle 5), …) все намного проще!

Дело в том, что корень нечетной степени можно извлекать из любого числа! (И снова, если ты этого не знал, вспомни тему «Корень и его свойства»!)

Что это значит?

Теперь никаких дополнительных условий, никаких ограничений – просто возводим все в нужную степень и решаем:

( displaystyle begin{array}{l}sqrt[3]{A}=Btext{ }Leftrightarrow text{ }A={{B}^{3}}\sqrt[5]{A}=Btext{ }Leftrightarrow text{ }A={{B}^{5}}end{array})

Примеры:

( displaystyle sqrt[5]{2-x}=-2)
( displaystyle sqrt[4]{3+2{x}-{{x}^{2}}+{{x}^{4}}}=x)
( displaystyle sqrt[3]{{{x}^{3}}+3x+5}=x)
( displaystyle sqrt[3]{6+{{x}^{2}}-{{x}^{3}}}=1-x)

Ответы:

Источник

Системы иррациональных уравнений

Что называется иррациональным уравнением

Определение иррационального уравнения

Вычисление иррациональных уравнений

Примеры с решением

Пример №1

Пример №2

Пример №3

Пример №4

Пример №5

Пример №6

Решение иррациональных уравнений с использованием свойств функций

Пример №7

Пример №8

Пример №9

Пример №10

Пример №11

Пример №12

Уравнение вида=2n√f(x), где n∈N

Пример №13

Уравнение вида 2n+1√f(x)=a, где n∈N

Пример №14

Уравнение вида m√f(x)=g(x), m∈N, m>1

Пример №15

Пример №16

Пример №17

Уравнение вида m√f(x)=m√g(x), m∈N, m>1

Пример №18

Пример №19

Пример №20

Уравнение вида √f(x)±√g(x)=a

Пример №21

Пример №22

Метод замены переменной

Пример №23

Пример №24

Примеры заданий и их решения

Пример №25

Пример №26

Пример №27

Пример №28

Пример №29

Пример №30

Пример №31

Пример №32

Пример №33

Пример №34

Пример №35

Иррациональные уравнения. Можно ли писать ОДЗ?

Алгебра

Иррациональные уравнения

Простейшие иррациональные уравнения

Уравнения с двумя квадратными корнями

Введение новых переменных

Замена иррационального уравнения системой

Уравнения с «вложенными» радикалами

Иррациональные неравенства

Методы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений

1. Метод пристального взгляда

2. Метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

3. Решение уравнений с использованием замены переменной.

4. Метод разложения на множители выражений, входящих в уравнение.

5. Метод выделения полных квадратов при решении иррациональных уравнений.

6. Метод оценки.

7. Иррациональные уравнения, содержащие степени выше второй.

Что такое иррациональные уравнения?

Пример №3

Пример №4 (метод уединения радикала)

Корни степени больше 2

Корни четной степени

Корни нечетной степени

Вам также может понравиться

Как найти поставщика товаров для дома

Как найти цену первоначальную если она подешевела

Как найти реквизиты моего банка

Добавить комментарий Отменить ответ

Уравнение вида=²ⁿ√f(x), где n∈N

Уравнение вида ²ⁿ⁺¹√f(x)=a, где n∈N

Уравнение вида ^m√f(x)=g(x), m∈N, m>1

Уравнение вида ^m√f(x)=^m√g(x), m∈N, m>1

2. Метод возведения обеих частей уравнений в
одну и ту же степень.

3. Решение уравнений с использованием замены
переменной.

4. Метод разложения на множители выражений,
входящих в уравнение.

5. Метод выделения полных квадратов при решении
иррациональных уравнений.

7. Иррациональные уравнения, содержащие
степени выше второй.