Как найти область определения знаменателя в корне

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков – это область определения функции. Определение: Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение  D(f). Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные “сложные” функции – это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция – ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени – ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы – ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) – ограничение на аргумент.

Для тангенса:

Для котангенса: 

4. Обратные тригонометрические функции. 

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени: 

y = 2x + 3 –  уравнение задает прямую на плоскости.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:  

y = 10/(x + 5) –  уравнение гиперболы

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

 

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

  

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

 

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма: 

 

 

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида: 

 

 

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример: 

 

Пример нахождения области определения функции №9

Рассмотрим следующий пример: 

 

Пример нахождения области определения функции №10

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Пример нахождения области определения функции №11

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

Пример нахождения области определения функции №12

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY. 

 

Пример нахождения области определения функции №13

Найти область определения функции двух переменных, ответ изобразить на плоскости ХОY.

Все графике в этой статье были построены в Geogebra. 

Подробно о построении графиков функции быстрым и удобным способом читать тут

Как найти область определения функции

Что такое область определения функции?

Начнём с краткого определения. Область определения функции y=f(x) – это множество значений X, для которых существуют значения Y.

Войдём в тему более основательно. Каждой точке графика функции соответствуют:

• определённое значение “икса” – аргумента функции;
• определённое значение “игрека” – самой функции.

Верны следующие факты.

• От аргумента – “икса” – вычисляется “игрек” – значения функции.
• Область определения функции – это множества всех значений “икса”, для которых существует, то есть может быть вычислен “игрек” – значение функции. Иначе говоря, множество значений аргумента, на котором “функция работает”.

Можно понимать область определения функции и как проекцию графика функции на ось Ox.

Что требуется, чтобы уверенно находить область определения функции? Во-первых, нужно различать виды функций (корень, дробь, синус и др.). Во-вторых, решать уравнения и неравенства с учетом вида функции (например, на что нельзя делить, какое выражение не может быть под знаком корня и тому подобное). Согласитесь, не так уж много и не так сложно. При изучении темы области определения функции поможет материал Свойства и графики элементарных функций. А поскольку областью определения функции служат различные множества, а также их объединения и пересечения, то пригодится и материал Множества и операции над множествами.

Итак, чтобы находить области определения распространённых функций, порешаем уравнения и неравенства с одной переменной.

После этого экскурса в важную составную матанализа многие согласятся, что найти область определения функции не очень сложно.

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы. Приступаем к практике.

Общий принцип на самых простых примерах

Пример 1. На рисунке изображён график функции . Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на нуль делить нельзя. Поэтому, приравнивая знаменатель нулю

и решая это уравнение:

получаем значение, не входящее в область определения функции: 1. То есть, область определения заданной функции – это все значения “икса” от минус бесконечности до единицы и от единицы до плюс бесконечности. Это хорошо видно на графике. Приведённый здесь пример функции относится к виду дробей. На уроке разберём решения всех распространённых видов функций.

Пример 2. Как найти область определения функции игрек равен квадратному корню из икса минус пять (подкоренное выражение икс минус пять) ()? Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, нужно решить неравенство

Если перенести какое-либо слагаемое в другую часть неравенства с противоположным знаком, то мы получим равносильное неравенство с тем же знаком неравенства. Переносим минус 5 и получаем неравенство

Получаем решение: область определения функции – все значения икса больше или равно пяти (или икс принадлежит промежутку от пяти включительно до плюс бесконечности).

На чертеже сверху – фрагмент числовой оси. На ней область опредения рассмотренной функции заштрихована, при этом в “плюсовом” направлении штриховка продолжается бесконечно вместе с самой осью.

Область определения корня n-й степени

В случае, функции корня n-й степени, то есть когда функция задана формулой и n – натуральное число:

если n – чётное число, то областью определения функции является множество всех неотрицательных действительных чисел, то есть [0; + ∞[ ;

если n – нечётное число, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Пример 3. Найти область определения функции .

Решение. Как следует из определения, корень чётной степени имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. Поэтому решаем неравенство

.

Это квадратное неравенство

,

По формуле находим дискриминант:

.

По формуле находим корни квадратного трёхчлена:

.

Найденные точки разбивают числовую прямую на три промежутка:

и .

При этом знак квадратного трёхчлена (больше или меньше нуля) совпадает со знаком коэффициента a во всех точках промежутков

и

и противоположен знаку коэффициента a во всех точках промежутка .

В нашем случае имеем отрицательный коэффициент a=-1 , поэтому квадратный трёхчлен неотрицателен во всех точках промежутка .

Следовательно, область определения данной функции – [- 1; 1] .

Заштрихованная область числовой прямой на чертеже сверху – это область определения данной функции.

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции находится в зависимости от вида степени в выражении.

Область определения степенной функции с дробным показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если – положительное, то областью определения функции является множество [0; + ∞[ , то есть нуль входит в область определения;

если – отрицательное, то областью определения функции является множество (0; + ∞[ , то есть нуль не входит в область определения.

Пример 4. Найти область определения функции .

Решение. Выражение функции можно представить так:

Квадратный трёхчлен в скобках в знаменателе должен быть строго больше нуля (ещё и потому, что дробный показатель степени данной степенной функции – отрицательный). Поэтому решим строгое неравенство, когда квадратный трёхчлен в скобках строго больше нуля:

.

.

Дикриминант получился отрицательный. Следовательно сопряжённое неравенству квадратное уравнение не имеет корней. А это значит, что квадратный трёхчлен ни при каких значениях “икса” не равен нулю. Таким образом, область определения данной функции – вся числовая ось, или, что то же самое – множество R действительных чисел, или, что то же самое – ]- ∞; + ∞[ .

Пример 5. Найти область определения функции .

Решение. Оба слагаемых в выражении функции – степенные функции с положительными дробными показателями степеней. Следовательно, область определения данной функции – множество [0; + ∞[ .

На чертеже сверху заштрихована часть числовой прямой от нуля (включительно) и больше, причём штриховка продолжается вместе с самой прямой до плюс бесконечности.

Область определения степенной функции с целым показателем степени

В случае, когда функция задана формулой :

если a – положительное, то областью определения функции является множество всех действительных чисел, то есть ]- ∞; + ∞[ ;

если a – отрицательное, то областью определения функции является множество ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , то есть вся числовая прямая за исключением нуля.

На соответствующем чертеже сверху вся числовая прямая заштрихована, а точка, соответствующая нулю, выколота (она не входит в область определения функции).

Пример 6. Найти область определения функции .

Решение. Первое слагаемое целой степенью икса, равной 3, а степень икса во втором слагаемом можно представить в виде единицы – так же целого числа. Следовательно, область определения данной функции – вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ .

Область определения показательной и логарифмической функции

Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[ . Подробнее о графике такой функции.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[ . Подробнее о графике такой функции.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти область определения функции .

Пример 8. Найти область определения функции .

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = cos(x) – так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) – множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) – множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция – десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь – синус “икса”. Пользуясь тригонометической таблицей (или поворачивая воображаемый циркуль по окружности), видим, что условие sin x > 0 нарушается при “иксе” равным нулю, “пи”, два, умноженном на “пи” и вообще равным произведению числа “пи” и любого чётного ( 2kπ ) или нечётного целого числа ( (2k+1)π ).

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k – целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) – множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arccos(x) – так же множество [-1; 1] .

Область определения функции y = arctg(x) – множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) – так же множество R действительных чисел.

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если все части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится также верное неравество. В данном случае умножали на 4.

Таким образом, получаем область определения данной функции – отрезок [- 4; 4] .

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение получили, основываясь на свойстве неравенств: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство. В данном случае умножали на минус 2.

Аналогично и решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции – отрезок [0; 1] .

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x , при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби:

находим область определения данной функции – множество ]- ∞; – 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ , то есть все числа, кроме минус 2.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции – ]- ∞; – 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ , то есть все числа, кроме минус единицы и единицы.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого – данной функции – множество R действительных чисел, второго слагаемого – все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции – ]- ∞; – 2[ ∪ ]- 2 ; 2[ ∪ ]2 ;+ ∞[ , то есть все числа, кроме -2 и 2.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции – вся числовая прямая или, что то же самое – множество R действительных чисел или, что то же самое – ]- ∞; + ∞[ .

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо “икса”, знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции – ]- ∞; – 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[ .

Пример 17. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2] .

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 18. Найти область определения функции .

Пример 19. Найти область определения функции .

Область определения постоянной

Постоянная (константа) определена при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел. Это можно записать и так: областью определения данной функции является вся числовая прямая ]- ∞; + ∞[ .

Пример 20. Найти область определения функции y = 2 .

Решение. Область определения функции не указана, значит, в силу выше приведённого определения имеется в виду естественная область определения. Выражение f(x) = 2 определено при любых действительных значениях x , следовательно, данная функция определена на всём множестве R действительных чисел.

Поэтому на чертеже сверху числовая прямая заштрихована на всём протяжении от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Область определения линейной функции

Если функция задана формулой вида y = kx + b , то область определения функции – множество R действительных чисел.

Область определения функции

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох. Чтобы обозначить область определения некоторой функции y, используют запись D(y).

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

• Например, область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Это можно записать так: Е (у): у ≥ 0.

Материал со звездочкой

Старшеклассникам нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

1. Через точку с запятой указываем два числа: левую и правую границы промежутка.
2. Если граница входит в промежуток, ставим возле нее квадратную скобку, если не входит — круглую.
3. Если у промежутка нет правой границы, записываем так: ∞ или +∞. Если нет левой границы, пишем -∞.
4. Если нужно описать множество, состоящее из нескольких промежутков, ставим между ними знак объединения: ∪.

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение функции, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

• Область определения постоянной функции y = -3 — это множество всех действительных чисел: D(y) = (−∞, +∞) или D(y) = R.
• Областью определения функции y = 3 √9 является множество R.

Еще больше наглядных примеров и практики — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

• Если n — четное число, то есть, n = 2m, где m ∈ N, то ее область определения есть множество всех неотрицательных действительных чисел:
• Если показатель корня нечетное число больше единицы, то есть n = 2m+1, при этом m принадлежит к N, то область определения корня — множество всех действительных чисел:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но поскольку оно стоит в знаменателе, то равняться нулю не может. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Для этого решим квадратное уравнение x 2 + 4x + 3 = 0. Находим дискриминант:

D = 16 – 12 = 4 > 0

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола f(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Поскольку коэффициент a = 1 > 0, то ветви параболы смотрят вверх. Можно сделать вывод, что на интервалах (−∞, -3) ∪ (−1, +∞) выполнено неравенство x 2 + 4x + 3 > 0 (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке (-3; -1) ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству x 2 + 4x + 3

Область определения степенной функции

Степенная функция выглядит так: y = x a , то есть, f(x) = x a , где x — переменная в основании степени, a — некоторое число в показателе степени.

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

• Если a — положительное целое число, то область определения функции есть множество действительных чисел: (−∞, +∞).
• Для нецелых действительных положительных показателей степени: D(f) = [0, +∞).
• Если a — отрицательное целое число, то область определения функции представляет собой множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
• Для остальных действительных отрицательных a область определения степенной функции — числовой промежуток (0, +∞).

При a = 0 степенная функция y = x a определена для всех действительных значений x, кроме x = 0. Это связано с тем, что мы не определяли 0 0 . А любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. То есть, при a = 0 функция приобретает вид y = x 0 = 1 на области определения (−∞, 0) ∪ (0, +∞).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Область определения функций y = x 5 , y = x 12 — множество R, так как показатели степени целые положительные.
2. Степенные функции определены на интервале [0, +∞), так как их показатели положительные, но не целые.
3. Область определения функции y = x −2 , как и функции y = x −5 — это множество (−∞, 0) ∪ (0, +∞), так как показатели степени целые отрицательные.
4. Область определения степенных функций y = x -√19 , y = x -3e , — открытый числовой луч (0, +∞), так как их показатели не целые и отрицательные.

Область определения показательной функции

Показательную функцию можно задать формулой y = a x , где переменная x — показатель степени, а — больше нуля и не равно единице.

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

• y = e x
• y = (√15) x
• y = 13 x .

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

• y = log₇x
• y = lnx

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Ответ: область определения: D(f) = (−3, -2) ∪ (−2, +∞).

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

• Функция, которая задается формулой y = sinx, называется синусом, обозначается sin и определяется на множестве всех действительных чисел. Область определения синуса — это множество всех действительных чисел, то есть, D(sin) = R.
• Функция, которая задана формулой y = cosx, называется косинусом, обозначается cos и определяется на множестве R. Область определения функции косинус — множество всех действительных чисел: D(cos) = R.
• Функции, которые заданы формулами y = tgx и y = ctgx, называются тангенсом и котангенсом и обозначаются tg и ctg. Область определения тангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел . Область определения котангенса — это множество всех действительных чисел, кроме чисел πk, k ∈ Z.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Функция, которая задается формулой y = arcsinx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арксинусом и обозначается arcsin.

Область определения арксинуса — это множество [−1, 1], то есть, D(arcsin) = [−1, 1].
Функция, которая задается формулой y = arccosx и рассматривается на отрезке [−1, 1], называется арккосинусом и обозначается arccos.

Область определения функции арккосинус — отрезок [−1, 1], то есть, D(arccos) = [−1, 1].
Функции, которые задаются формулами вида y = arctgx и y = arcctgx и рассматриваются на множестве всех действительных чисел, называются арктангенсом и арккотангенсом и обозначаются arctg и arcctg.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Как найти область определения функции?

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков – это область определения функции.

Определение:

Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение D(f).

Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные “сложные” функции – это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция – ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени – ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы – ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) – ограничение на аргумент.

Для тангенса:

Для котангенса:

4. Обратные тригонометрические функции.

Арксинус	Арккосинус	Арктангенс, Арккотангенс

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:

y = 2x + 3 – уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как y = 2·0 + 3 = 3 – получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10

так как y = 2·10 + 3 = 23 – функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как y = 2·(-10) + 3 = -17 – функция существует при взятом значении переменной х=-10 .

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R

Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:

y = 10/(x + 5) – уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 – функция существует.

При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 – функция существует.

При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 – функция в этой точке не существует.

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.

x + 5 = 0 → x = -5 – в этой точке заданная функция не существует.

Для наглядности изобразим графически:

На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5

Формы записи ответа: D(f)=R <-5>или D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x ∈ R <-5>или x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем – неотрицательна.

Решим простое неравенство:

2х – 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4 ;+∞) или x ∈ [4 ;+∞) .

На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4 или D(f)=[4 ;+∞) или x ∈ [4 ;+∞) .

При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует.

Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение. Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля.

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

В числителе имеем линейную функцию, область определения которой множество всех действительных чисел. (см. пример 1)

В знаменателе – квадратный корень, накладывает условие на подкоренное выражение, не забывая о том, что знаменатель всегда отличен от нуля.

x 2 – 4x + 3 > 0 → (x – 1)(x – 3) > 0

Решим строгое неравенство методом интервалов:

Видим, что функция положительна на следующих интервалах: x∈(-∞;1)∪(3;+∞)

Нашли такие значения переменной х, при которых функция существует – нашли ОДЗ функции.

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

Имеем дело с корнем нечетной степени. Так как корень нечетной степени существует при любых значениях подкоренного выражения, то заданная дробная функция под корнем может принимать любые значения.

В числителе дробной функции – уравнение первой сnепени, которое существует при любых значениях переменной. Знаменатель любой дроби отличен от нуля. Следовательно, при нахождении ОДЗ заданного выражения имеем дело лишь с одним ограничением – ограничение на знаменатель дроби.

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма:

Простенький пример на область определения логарифмической функции.

Помним, что основание логарифма положительно и отлично от нуля. Подлогарифмическое выражение положительно:

Покажем на числовой прямой:

Получили ОДЗ: x∈(8;9)∪(9;+∞)

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида:

1 ограничение основывается на наложении ограничения на знаменатель дроби (отличен от нуля):

Второе ограничение — подлогарифмическое выражение положительно:

Т.е. для определения области определения заданной функции необходимо решить систему:

Необходимо решить каждое из ограничений системы по отдельности и пересечь получившиеся результаты.

Допускаю, что читатель самостоятельно может это проделать и перехожу к разбору следующего примера.

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример:

Имеем дело с корнем четной степени, следовательно первое ограничение на подкоренное выражение:

Имеем дело с логарифмом, следовательно ограничение на подлогарифмическую функцию:

Таким образом для определения области определения исходной функции необходимо решить систему неравенств:

Каждое из неравенств решим по отдельности.

Первое неравенство будем решать методом интервалов: найдем корни каждого из выражений неравенства, вынесем их на координатную плоскость и расставим знаки неравенства в каждом из полученных интервалов.

Выносим на координатную прямую:

Объясню как расставлены знаки в каждом из интервалов:

Значения левее 6/7 нет смысла рассматривать, так как логарифм для этих значений не существует.

1-ый интервал: (6/7;1]

Основание логарифма больше единицы, следовательно функция возрастающая. В корне x=1 логарифм меняет свое значение с ” — ” на ” + “.

[spoiler title=”источники:”]

http://skysmart.ru/articles/mathematic/oblast-opredeleniya-funkcii

http://matecos.ru/mat/matematika/kak-opredelit-oblast-opredeleniya-grafika-funktsii-5.html

[/spoiler]

Дробно-рациональные уравнения

Что такое дробно-рациональные уравнения

Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как:

при P ( x ) и Q ( x ) в виде выражений, содержащих переменную.

Таким образом, дробно-рациональные уравнения обязательно содержат как минимум одну дробь с переменной в знаменателе с любым модулем.

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:

Как решаются дробно-рациональные уравнения

В процессе решения дробно-рациональных уравнений обязательным действием является определение области допустимых значений. Найденные корни следует проверить на допустимость, чтобы исключить посторонние решения.

Алгоритм действий при стандартном способе решения:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Найти общий знаменатель для дробей.
3. Умножить каждый из членов выражения на полученный общий параметр (знаменатель), сократить дроби, которые получились в результате, чтобы исключить знаменатели.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки для приведения подобных слагаемых.
6. Найти корни полученного уравнения.
7. Выполним проверку корней в соответствии с ОДЗ.
8. Записать ответ.

Пример 1

Разберем предложенный алгоритм на практическом примере. Предположим, что имеется дробно-рациональное уравнение, которое требуется решить:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Начать следует с области допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся правилом сокращенного умножения:

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В результате общим знаменателем дробей является:

Выполним умножение каждого из членов выражения на общий знаменатель:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

После сокращения избавимся от скобок и приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Осталось решить квадратное уравнение:

Согласно ОДЗ, первый корень является лишним, так как не удовлетворяет условию, по которому корень не равен 2. Тогда в ответе можно записать:

Примеры задач с ответами для 9 класса

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

О Д З : x + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ — 2

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 следует разложить на множители, руководствуясь формулой:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Заметим, что общим знаменателем для дробей является: ( x + 2 ) ( x + 5 ) . Умножим на этот знаменатель уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 —

— ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Потребуется решить квадратное уравнение:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.

Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти:

4 x — 2 — 3 x + 4 = 1

В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

4 ( x + 4 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 4 — 1 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 ( x + 4 ) — 3 ( x — 2 ) — ( x — 2 ) ( x + 4 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

4 x + 16 — 3 x + 6 — ( x 2 + 4 x — 2 x — 8 ) ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

x + 22 — x 2 — 4 x + 2 x + 8 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0

Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. Известно, что дробь может равняться нулю, если в числителе нуль, а знаменатель не равен нулю. На основании этого можно составить систему:

— x 2 — x + 30 ( x — 2 ) ( x + 4 ) = 0 ⇔ — x 2 — x + 30 = 0 ( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ:

( x — 2 ) ( x + 4 ) ≠ 0

Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль:

— x 2 — x + 30 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Получилось квадратное уравнение, которое можно решить:

Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.

Нужно решить дробно-рациональное уравнение:

x + 2 x 2 — 2 x — x x — 2 = 3 x

На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю:

x + 2 1 x ( x — 2 ) — x x x — 2 — 3 ( x — 2 ) x = 0

x + 2 — x 2 — 3 ( x — 2 ) x ( x — 2 ) = 0

x + 2 — x 2 — 3 x + 6 x ( x — 2 ) = 0

— x 2 — 2 x + 8 x ( x — 2 ) = 0 ⇔ — x 2 — 2 x + 8 = 0 x ( x — 2 ) ≠ 0

Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. По этой причине их необходимо удалить из области допустимых значений.

— x 2 — 2 x + 8 = 0 _ _ _ · ( — 1 )

Корни квадратного уравнения:

x 1 = — 4 ; x 2 = 2

Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Таким образом, в ответе остается только первый корень.

Найти корни уравнения:

x 2 — x — 6 x — 3 = x + 2

Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону. Далее необходимо привести к дроби к наименьшему общему знаменателю:

x 2 — x — 6 1 x — 3 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) = 0

x 2 — x — 6 — x ( x — 3 ) — 2 ( x — 3 ) x — 3 = 0

x 2 — x — 6 — x 2 + 3 x — 2 x + 6 x — 3 = 0

0 x x — 3 = 0 ⇔ 0 x = 0 x — 3 ≠ 0

Такое значение переменной, при котором знаменатель становится равным нулю, нужно исключить из области допустимых значений:

Заметим, что это частный случай линейного уравнения, которое обладает бесконечным множеством корней. При подстановке какого-либо числа на место переменной х в любом случае числовое равенство будет справедливым. Единственным недопустимым значением для х в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ.

Ответ: х — любое число, за исключением 3.

Требуется вычислить корни дробно-рационального уравнения:

5 x — 2 — 3 x + 2 = 20 x 2 — 4

На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:

5 ( x + 2 ) x — 2 — 3 ( x — 2 ) x + 2 — 20 1 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 ( x + 2 ) — 3 ( x — 2 ) — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

5 x + 10 — 3 x + 6 — 20 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0

2 x — 4 ( x — 2 ) ( x + 2 ) = 0 ⇔ 2 x — 4 = 0 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

( x — 2 ) ( x + 2 ) ≠ 0

Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.

Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют

Нужно найти корни уравнения:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

Начнем с определения ОДЗ:

— 5 ≠ 0 x ≠ 0 x ( x — 5 ) ≠ 0 x ≠ 5 x ≠ 0

При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 ) · x ( x — 5 )

( x — 3 ) x ( x — 5 ) x — 5 + x ( x — 5 ) x = ( x + 5 ) x ( x — 5 ) x ( x — 5 )

( x — 3 ) x + x = x + 5

Прибегая к арифметическим преобразованиям, можно записать уравнение в упрощенной форме:

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5 → x 2 — 2 x — 5 — x — 5 = 0 → x 2 — 3 x — 10 = 0

Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при x 2 , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:

x 1 · x 2 = — 10 x 1 + x 2 = 3

В этом случае подходящими являются числа: -2 и 5.

Второе значение не соответствует области допустимых значений.

Как найти область определения функции?

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно углубить знания данной статьей. Будут рассмотрены различные сложнейшие комбинации функций вида y = x + x — 2 или y = 5 · x 2 + 1 · x 3 , y = x x — 5 или y = x — 1 5 — 3 . Рассмотрим теорию и решим несколько примеров с подобными заданиями.

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Область определения рассматривается еще в школьной курсе. у действительных чисел она может быть ( 0 , + ∞ ) или такой [ − 3 , 1 ) ∪ [ 5 , 7 ) . Еще по виду функции можно визуально определить ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

• при имеющемся знаменателе необходимо производить деление такого типа функции как y = x + 2 · x x 4 — 1 ;
• при наличии переменной под знаком корня необходимо обращать внимание на корень четной степени типа y = x + 1 или y = 2 3 · x + 3 x ;
• при наличии переменной в основании степени с отрицательным или нецелым показателем такого типа, как y = 5 · ( x + 1 ) — 3 , y = — 1 + x 1 1 3 , y = ( x 3 — x + 1 ) 2 , которые определены не для всех чисел;
• при наличии переменной под знаком логарифма или в основании вида y = ln x 2 + x 4 или y = 1 + log x — 1 ( x + 1 ) причем основание является числом положительным, как и число под знаком логарифма;
• при наличии переменной, находящейся под знаком тангенса и котангенса вида y = x 3 + t g 2 · x + 5 или y = c t g ( 3 · x 3 — 1 ) , так как они существуют не для любого числа;
• при наличии переменной, расположенной под знаком арксинуса или арккосинуса вида y = a r c sin ( x + 2 ) + 2 · x 2 , y = a r c cos x — 1 + x , область определения которых определяется ни интервале от — 1 до 1 .

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом. Рассмотрим пример функции вида y = x 4 + 2 · x 2 — x + 1 2 + 2 2 3 · x . Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y = 2 · x + 1 . Для вычисления ее значения можем определить x . Из выражения 2 · x + 1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y = 3 x — 1 , а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3 x — 1 знаменатель равняется нулю при х = 1 , поэтому искомая область определения данной функции примет вид ( − ∞ , 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y = x 2 — 5 · x + 6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x 2 − 5 · x + 6 ≥ 0 . После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как ( − ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) .

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Когда функция f f считается суммой n функций f 1 , f 2 , … , f n _, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + … + f n ( x ) , тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций f 1 , f 2 , … , f n _. Данное утверждение можно записать как:

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .

Заданная функция представляется как сумма четырех: степенной с показателем 7 ,степенной с показателем 1 , постоянной, функции тангенса.

По таблице определения видим, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , причем область определения тангенса включает в себя все действительные числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Областью определения заданной функции f является пересечение областей определения f 1 , f 2 , f 3 и f 4 _. То есть для функции существует такое количество действительных чисел, куда не входит π 2 + π · k , k ∈ Z .

Ответ: все действительные числа кроме π 2 + π · k , k ∈ Z .

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Когда функция f считается произведением n функций f 1 , f 2 , f 3 и f n _, тогда существует такая функция f , которую можно задать при помощи формулы y = f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · … · f n ( x ) , тогда ее область определения считается областью определения для всех функций.

Запишется D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) . . . D ( f n )

Найти область определения функции y = 3 · a r c t g x · ln x .

Правая часть формулы рассматривается как f 1 ( x ) · f 2 ( x ) · f 3 ( x ) , где за f 1 является постоянной функцией, f 2 является арктангенсом, f 3 – логарифмической функцией с основанием e . По условию имеем, что D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Мы получаем, что

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) D ( f n ) = ( — ∞ , + ∞ ) ( — ∞ , + ∞ ) D ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ )

Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо остановиться на нахождении области определения y = C · f ( x ) , где С является действительным числом. Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими.

Функция y = C · f ( x ) – произведение постоянной функции и f . Область определения – это все действительные числа области определения D ( f ) . Отсюда видим, что область определения функции y = C · f ( x ) является — ∞ , + ∞ D ( f ) = D ( f ) .

Получили, что область определения y = f ( x ) и y = C · f ( x ) , где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y = x считается [ 0 , + ∞ ) , потому как область определения функции y = — 5 · x — [ 0 , + ∞ ) .

Области определения y = f ( x ) и y = − f ( x ) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Найти область определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x .

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 _.

f 1 ( x ) = log 3 x и f 2 ( x ) = 3 · 2 x . Тогда получим, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) .

Область определения записывается как D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) . Приступим к области определения f 2 . в данном случае она совпадает с областью определения показательной, тогда получаем, что D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .

Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что

D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) — ∞ , + ∞

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 , где в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы ( n + 1 ) -ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R .

Найти область определения f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 — 2 x 2 + 1 2 .

Примем обозначение f за разность двух функций, тогда получим, что f 1 ( x ) = x 5 + 7 x 3 — 2 x 2 + 1 2 и f 2 ( x ) = 3 · x — ln 5 . Выше было показано, что D ( f 1 ) = R . Область определения для f 2 является совпадающей со степенной при показателе – ln 5 , иначе говоря, что D ( f 2 ) = ( 0 , + ∞ ) .

Получаем, что D ( f ) = D ( f 1 ) D ( f 2 ) = — ∞ , + ∞ ( 0 , + ∞ ) = ( 0 , + ∞ ) .

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) . Известно, что D ( f ) является множеством всех x из определения функции f 2 , где область определения f 2 ( x ) принадлежит области определения f 1 .

Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Найти область определения y = ln x 2 .

Данную функцию представляем в виде y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где имеем, что f 1 является логарифмом с основанием e , а f 2 – степенная функция с показателем 2 .

Для решения необходимо использовать известные области определения D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) .

Тогда получим систему неравенств вида

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ — ∞ , + ∞ x 2 ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x 2 > 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ )

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Найти область определения функции y = ( a r c sin x ) — 1 2 .

Так как дана сложная функция, необходимо рассматривать ее как y = f 1 ( f 2 ( x ) ) , где f 1 является степенной функцией с показателем — 1 2 , а f 2 функция арксинуса, теперь необходимо искать ее область определения. Необходимо рассмотреть D ( f 1 ) = ( 0 , + ∞ ) и D ( f 2 ) = [ − 1 , 1 ] . Теперь найдем все множества значений x , где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем систему неравенств вида

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ — 1 , 1 a r c sin x ∈ ( 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ — 1 , 1 a r c sin x > 0

Для решения a r c sin x > 0 необходимо прибегнуть к свойствам функции арксинуса. Его возрастание происходит на области определения [ − 1 , 1 ] , причем обращается в ноль при х = 0 , значит, что a r c sin x > 0 из определения x принадлежит промежутку ( 0 , 1 ] .

Преобразуем систему вида

x ∈ — 1 , 1 a r c sin x > 0 ⇔ x ∈ — 1 , 1 x ∈ ( 0 , 1 ] ⇔ x ∈ ( 0 , 1 ]

Область определения искомой функции имеет интервал равный ( 0 , 1 ] .

Ответ: ( 0 , 1 ] .

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y = f 1 ( f 2 ( … f n ( x ) ) ) ) . Область определения такой функции ищется из x ∈ D ( f n ) f n ( x ) ∈ D ( f n — 1 ) f n — 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n — 2 ) . . . f 2 ( f 3 ( . . . ( f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 ) .

Найти область определения y = sin ( l g x 4 ) .

Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.

Имеем, что по условию D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) , D ( f 2 ) = [ 0 , + ∞ ) , D ( f 3 ) = ( 0 , + ∞ ) . Тогда областью определения функции – это пересечение множеств таких значений, где x ∈ D ( f 3 ) , f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) . Получаем, что

x ∈ D ( f 3 ) f 3 ( x ) ∈ D ( f 2 ) f 2 ( f 3 ( x ) ) ∈ D ( f 1 ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ — ∞ , + ∞

Условие lg x 4 ∈ — ∞ , + ∞ аналогично условию l g x ∈ [ 0 , + ∞ ) , значит

x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x 4 ∈ — ∞ , + ∞ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ∈ [ 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) lg x ≥ lg 1 ⇔ x ∈ ( 0 , + ∞ ) x ≥ 1 ⇔ ⇔ x ∈ [ 1 , + ∞ )

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f 1 ( x ) f 2 ( x ) . Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f 2 ( х ) не должна обращаться в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Запишем функцию y = f 1 ( x ) f 2 ( x ) в виде y = f 1 ( x ) · ( f 2 ( x ) ) — 1 . Тогда получим произведение функций вида y = f 1 ( x ) с y = ( f 2 ( x ) ) — 1 . Областью определения функции y = f 1 ( x ) является множество D ( f 1 ) , а для сложной y = ( f 2 ( x ) ) — 1 определим из системы вида x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Значит, x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ ( — ∞ , 0 ) ∪ ( 0 , + ∞ ) ⇔ x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 .

Найти область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 — x — 6 .

Заданная функция дробная, поэтому f 1 – сложная функция, где y = t g ( 2 · x + 1 ) и f 2 – целая рациональная функция, где y = x 2 − x − 6 , а область определения считается множеством всех чисел. Можно записать это в виде

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0

Представление сложной функции y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , где f 3 –это функция тангенс, где в область определения включены все числа, кроме π 2 + π · k , k ∈ Z , а f 4 – это целая рациональная функция y = 2 · x + 1 с областью определения D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . После чего приступаем к нахождению области определения f 1 :

x ∈ D ( f 4 ) 2 · x + 1 ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) 2 x + 1 ≠ π 2 + π · k , k ∈ Z ⇔ x ≠ π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z

Еще необходимо рассмотреть нижнюю область определения y = t g ( 2 · x + 1 ) x 2 — x — 6 . Тогда получаем, что

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0 ⇔ x ≠ π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ∈ — ∞ , + ∞ x 2 — x — 6 ≠ 0 ⇔ ⇔ x ≠ π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z x ≠ — 2 x ≠ 3

Ответ: множество действительных чисел, кроме — 2 , 3 и π 4 — 1 2 + π 2 · k , k ∈ Z .

Область определения логарифма с переменной в основании

Определение логарифма существует для положительных оснований не равных 1 . Отсюда видно, что функция y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) имеет область определения, которая выглядит так:

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 . После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y = log a f 1 ( x ) и y = log a f 2 ( x ) можно определить из получившейся системы вида x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 и x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 . Иначе эту область можно записать в виде y = log a f 1 ( x ) log a f 2 ( x ) , a > 0 , a ≠ 1 , что означает нахождение y = log f 2 ( x ) f 1 ( x ) из самой системы вида

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

Обозначить область определения функции y = log 2 · x ( x 2 — 6 x + 5 ) .

Следует принять обозначения f 1 ( x ) = x 2 − 6 · x + 5 и f 2 ( x ) = 2 · x , отсюда D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) и D ( f 2 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Необходимо приступить к поиску множества x , где выполняется условие x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1 . Тогда получаем систему вида

x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x 2 — 6 x + 5 > 0 x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) 2 · x > 0 2 · x ≠ 1 ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , 1 ) ∪ ( 5 , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x > 0 x ≠ 1 2 ⇔ ⇔ x ∈ 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ )

Отсюда видим, что искомой областью функции y = log 2 · x ( x 2 — 6 x + 5 ) считается множнство, удовлетворяющее условию 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .

Ответ: 0 , 1 2 ∪ 1 2 , 1 ∪ ( 5 , + ∞ ) .

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) . Ее область определения включает в себя такие значения x , которые удовлетворяют системе x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y = a log a ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x ) = a f 2 ( x ) · log a f 1 ( x ) , где где a > 0 , a ≠ 1 .

Найти область определения показательно-степенной функции y = ( x 2 — 1 ) x 3 — 9 · x .

Примем за обозначение f 1 ( x ) = x 2 − 1 и f 2 ( x ) = x 3 — 9 · x .

Функция f 1 определена на множестве действительных чисел, тогда получаем область определения вида D ( f 1 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Функция f 2 является сложной, поэтому ее представление примет вид y = f 3 ( f 4 ( x ) ) , а f 3 – квадратным корнем с областью определения D ( f 3 ) = [ 0 , + ∞ ) , а функция f 4 – целой рациональной, D ( f 4 ) = ( − ∞ , + ∞ ) . Получаем систему вида

x ∈ D ( f 4 ) f 4 ( x ) ∈ D ( f 3 ) ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x 3 — 9 · x ≥ 0 ⇔ ⇔ x ∈ ( — ∞ , + ∞ ) x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) ⇔ x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ )

Значит, область определения для функции f 2 имеет вид D ( f 2 ) = [ − 3 , 0 ] ∪ [ 3 , + ∞ ) . После чего необходимо найти область определения показательно-степенной функции по условию x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 1 ( x ) > 0 .

Получаем систему вида x ∈ — ∞ , + ∞ x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x 2 — 1 > 0 ⇔ x ∈ — ∞ , + ∞ x ∈ — 3 , 0 ∪ [ 3 , + ∞ ) x ∈ ( — ∞ , — 1 ) ∪ ( 1 , + ∞ ) ⇔ ⇔ x ∈ — 3 , — 1 ∪ [ 3 , + ∞ )

Ответ: [ − 3 , − 1 ) ∪ [ 3 , + ∞ )

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Сумма, разность, произведение функций

f 1 , f 2 , . . . , f n

D ( f 1 ) , D ( f 2 ) , . . . , D ( f n )

y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( . . . f n ( x ) ) ) )

Множество всех x , одновременно удовлетворяющих условиям

x ∈ D ( f n ) , f n ( x ) ∈ D ( f n — 1 ) , f n — 1 ( f n ( x ) ) ∈ D ( f n — 2 ) , . . . , f 2 ( f 3 ( . . . f n ( x ) ) ) ∈ D ( f 1 )

x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Расположим функции и их области определения.

Функция	Ее область определения

Прямая пропорциональность y = k · x

Обратная пропорциональность y = k x

Дробная y = f 1 ( x ) f 2 ( x )

В частности, если f 1 ( x ) , f 2 ( x ) — многочлены

Множество всех x , которые одновременно удовлетворяют условиям
x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) ≠ 0

y = log f 2 ( x ) f 1 ( x )

В частности, y = log a f 1 ( x )

В частности, y = log f 2 ( x ) a

x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0 , x ∈ D ( f 2 ) , f 2 ( x ) > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1

x ∈ D ( f 1 ) , f 1 ( x ) > 0

x ∈ D ( f 2 ) , f 2 > 0 , f 2 ( x ) ≠ 1

Функция	Ее область определения
R
Линейная y = k · x + b	R
— ∞ , 0 ∪ 0 , + ∞
Квадратичная y = a · x 2 + b · x + c	R
y = a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0	R
Целая рациональная	R
y = C · f ( x ) , где C — число	D ( f )
y = f ( x ) n , где n — четное	x ∈ D ( f 1 ) , f ( x ) ≥ 0
Показательно-степенная y = ( f 1 ( x ) ) f 2 ( x )	x ∈ D ( f 1 ) , x ∈ D ( f 2 ) , f 1 ( x ) > 0

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y = x 2 — 4 x — 2 и y = x + 2 являются разными функциями, так как первая определяется на ( − ∞ , 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) , а вторая из множества действительных чисел. Из преобразования y = x 2 — 4 x — 2 = x — 2 x + 2 x — 2 = x + 2 видно, что функция имеет смысл при x ≠ 2 .

Как найти область определения функции?

Синонимы: область допустимых значений или сокращенно ОДЗ. Первое, с чем Вы сталкиваетесь при изучении различных функций или же при построении графиков — это область определения функции.

Определение:

Областью определения называется множество значений, которые может принимать x. Обозначение D(f).

Как же это правило применить к заданной Вам функции?

В математике имеется достаточно небольшое количество элементарных функций, область определения которых ограничена. Все остальные «сложные» функции — это всего лишь их сочетания и комбинации.

1. Дробная функция — ограничение на знаменатель.

2. Корень четной степени — ограничение на подкоренное выражение.

3. Логарифмы — ограничение на основание логарифма и подлогарифмическое выражение.

3. Тригонометрические tg(x) и ctg(x) — ограничение на аргумент.

Для тангенса:

Для котангенса:

4. Обратные тригонометрические функции.

Пример нахождения области определения функции №1

Нахождение области определения любой линейной функции, т.е. функции первой степени:

y = 2x + 3 — уравнение задает прямую на плоскости.

Посмотрим внимательно на функцию и подумаем, какие же числовые значения мы сможем подставить в уравнение вместо переменной х?

Попробуем подставить значение х=0

Так как y = 2·0 + 3 = 3 — получили числовое значение, следовательно функция существует при взятом значении переменной х=0.

Попробуем подставить значение х=10

так как y = 2·10 + 3 = 23 — функция существует при взятом значении переменной х=10 .

Попробуем подставить значение х=-10

так как y = 2·(-10) + 3 = -17 — функция существует при взятом значении переменной х=-10 .

Уравнение задает прямую линию на плоcкости, а прямая не имеет ни начала ни конца, следовательно она существует для любых значений х.

Заметим, что какие бы числовые значения мы не подставляли в заданную функцию вместо х, всегда получим числовое значение переменной y.

Следовательно, функция существует для любого значения x ∈ R или запишем так: D(f) = R

Формы записи ответа: D(f)=R или D(f)=(-∞:+∞)или x∈R или x∈(-∞:+∞)

Для любой функции вида y = ax + b областью определения является множество действительных чисел.

Пример нахождения области определения функции №2

Задана функция вида:

y = 10/(x + 5) — уравнение гиперболы

Имея дело с дробной функцией, вспомним, что на ноль делить нельзя. Следовательно функция будет существовать для всех значений х, которые не

обращают знаменатель в ноль. Попробуем подставить какие-либо произвольные значения х.

При х = 0 имеем y = 10/(0 + 5) = 2 — функция существует.

При х = 10 имеем y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/ 3 — функция существует.

При х = -5 имеем y = 10/(-5 + 5) = 10/0 — функция в этой точке не существует.

Т.е. если заданная функция дробная, то необходимо знаменатель приравнять нулю и найти такую точку, в которой функция не существует.

x + 5 = 0 → x = -5 — в этой точке заданная функция не существует.

Для наглядности изобразим графически:

На графике также видим, что гипербола максимально близко приближается к прямой х = -5 , но самого значения -5 не достигает.

Видим, что заданная функция существует во всех точках действительной оси, кроме точки x = -5

Формы записи ответа: D(f)=R <-5>или D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) или x ∈ R <-5>или x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Если заданная функция дробная, то наличие знаменателя накладывает условие неравенства нулю знаменателя.

Пример нахождения области определения функции №3

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени:

Так как квадратный корень мы можем извлечь только из неотрицательного числа, следовательно, функция под корнем — неотрицательна.

Решим простое неравенство:

2х — 8 ≥ 0 → 2х ≥ 8 → х ≥ 4

Заданная функция существует только при найденных значениях х ≥ 4 или D(f)=[4 ;+∞) или x ∈ [4 ;+∞) .

На графике видим, что функция существует для найденных значений х : х ≥ 4 или D(f)=[4 ;+∞) или x ∈ [4 ;+∞) .

При попытке подставить вместо х значения, отличные от найденных, под корнем получим отрицательное число, те в этих точках функция не существует.

Если заданная функция содержит квадратный корень (или корень любой четной степени), то обязательно накладывается условие неотрицательности (≥0) на подкоренное выражение. Если квадратный корень находится в знаменателе функции, у которой мы находим область определения, то на подкоренное выражение накладывается условие положительности (>0), так как знаменатель всегда должен быть отличен от нуля.

Пример нахождения области определения функции №4

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем четной степени в знаменателе:

В числителе имеем линейную функцию, область определения которой множество всех действительных чисел. (см. пример 1)

В знаменателе — квадратный корень, накладывает условие на подкоренное выражение, не забывая о том, что знаменатель всегда отличен от нуля.

x 2 — 4x + 3 > 0 → (x — 1)(x — 3) > 0

Решим строгое неравенство методом интервалов:

Видим, что функция положительна на следующих интервалах: x∈(-∞;1)∪(3;+∞)

Нашли такие значения переменной х, при которых функция существует — нашли ОДЗ функции.

Пример нахождения области определения функции №5

Рассмотрим пример нахождения области определения функции с корнем нечетной степени:

Имеем дело с корнем нечетной степени. Так как корень нечетной степени существует при любых значениях подкоренного выражения, то заданная дробная функция под корнем может принимать любые значения.

В числителе дробной функции — уравнение первой сnепени, которое существует при любых значениях переменной. Знаменатель любой дроби отличен от нуля. Следовательно, при нахождении ОДЗ заданного выражения имеем дело лишь с одним ограничением — ограничение на знаменатель дроби.

Пример нахождения области определения функции №6

Рассмотрим пример нахождения области определения логарифма:

Простенький пример на область определения логарифмической функции.

Помним, что основание логарифма положительно и отлично от нуля. Подлогарифмическое выражение положительно:

Покажем на числовой прямой:

Получили ОДЗ: x∈(8;9)∪(9;+∞)

Пример нахождения области определения функции №7

Задана функция вида:

1 ограничение основывается на наложении ограничения на знаменатель дроби (отличен от нуля):

Второе ограничение — подлогарифмическое выражение положительно:

Т.е. для определения области определения заданной функции необходимо решить систему:

Необходимо решить каждое из ограничений системы по отдельности и пересечь получившиеся результаты.

Допускаю, что читатель самостоятельно может это проделать и перехожу к разбору следующего примера.

Пример нахождения области определения функции №8

Рассмотрим следующий пример:

Имеем дело с корнем четной степени, следовательно первое ограничение на подкоренное выражение:

Имеем дело с логарифмом, следовательно ограничение на подлогарифмическую функцию:

Таким образом для определения области определения исходной функции необходимо решить систему неравенств:

Каждое из неравенств решим по отдельности.

Первое неравенство будем решать методом интервалов: найдем корни каждого из выражений неравенства, вынесем их на координатную плоскость и расставим знаки неравенства в каждом из полученных интервалов.

Выносим на координатную прямую:

Объясню как расставлены знаки в каждом из интервалов:

Значения левее 6/7 нет смысла рассматривать, так как логарифм для этих значений не существует.

1-ый интервал: (6/7;1]

Основание логарифма больше единицы, следовательно функция возрастающая. В корне x=1 логарифм меняет свое значение с » — » на » + «.

Область определения функции

Прежде чем перейти к изучению области определения функции внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Вспомним кратко основные определения функции в математике.

Функция — это зависимость переменной « y » от независимой переменной « x ».

Функцию можно задать через формулу (аналитически). Например:

Вместо « x » (аргумента функции) в формулу « у = 2x » подставляем произвольные числовые значения и по заданной формуле вычисляем
значение « y ».

Подставим несколько числовых значений вместо « x » в формулу « у = 2x » и запишем результаты в таблицу.

x	y = 2 x
x = −2	у = 2 · (−2) = −4
x = 0	y = 2 · 0 = 0
x = 1 2	y = 2 · 1 2 = 2 · 1 2 = 1
x = 3	y = 2 · 3 = 6

Область определения функции — это множество числовых значений, которые можно подставить вместо « x » (аргумента функции).

Обозначают область определения функции как:

Вернемся к нашей функции « у = 2x » и найдем её область определения.

Посмотрим ещё раз на таблицу функции « y = 2x », где мы подставляли произвольные числа вместо « x », чтобы найти « y ».

x	y = 2x
−2	−4
0	0
1 2	1
3	6

Так как у нас не было никаких ограничений на числа, которые можно подставить вместо « x », можно утверждать, что вместо « x » мы могли подставлять любое действительное число.

Другими словами, вместо « x » можно подставить любые числа, например:

В нашей функции « у = 2x » вместо « x » можно подставить любое число, поэтому область определения функции « у = 2x » — это любые действительные числа.

Запишем область определения функции « у = 2x » через математические обозначения.

Ответ выше написан словами без использования специального математического языка. Заменим лишние слова на математические символы. Для этого вспомним понятие числовой оси.

Заштрихуем область на числовой оси, откуда можно брать значения для « x » в функции « у = 2x ». Так как в функции
« у = 2x » нет ограничений для « x », заштрихуем всю числовую ось от минус бесконечности « −∞ » до плюс бесконечности « +∞ ».

Запись выше читается как: « x » принадлежит промежутку от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Запишем окончательный ответ для области определения функции.

По-другому промежуток
« x ∈ (−∞ ; +∞) » можно записать
как « x ∈ R ».

Читается « x ∈ R » как: « x » принадлежит всем действительным числам».
Записи « x ∈ (−∞ ; +∞) » и
« x ∈ R » одинаковы по своей сути.

Область определения функции с дробью

Разберем пример сложнее, когда в задании на поиск области определения функции есть дробь с « x » в знаменателе.

№ 233 (2) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

Задание «Найдите область определения функции» означает, что нам нужно определить все числовые значения, которые может принимать « x » в функции
« f(x) =

».

По законам математики из школьного курса мы помним, что на ноль делить нельзя. Иначе говоря, знаменатель (нижняя часть дроби) не может быть равен нулю.

Переменная « x » находится в знаменателе функции « f(x) =

». Так как на ноль делить нельзя, запишем, что знаменатель не равен нулю.

Получается, что « x » может принимать любые числовые значения кроме « −5 ». На числовой оси заштрихуем все доступные значения для « x ».

Число « −5 » отмечено «пустой» точкой на числовой оси, так как не входит в область допустимых значений.

Запишем заштрихованную область на числовой оси через знаки неравенства.

Запишем промежутки через математические символы. Так как число « −5 » не входит в область определения функции, при записи ответа рядом с ним будет стоять круглая скобка.

Вспомнить запись ответа через математические символы можно в уроке «Как записать ответ неравенства».

Запишем окончательный ответ для области определения функции
« f(x) =

».

Область определения функции с корнем

Рассмотрим другой пример. Требуется определить область определения функции, в которой содержится квадратный корень.

№ 98 (5) Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

Из урока «Квадратный корень» мы помним, что подкоренное выражение корня чётной степени должно быть больше или равно нулю.

Найдём, какие значения может принимать « x » в функции
« у = √ 6 − x ». Подкоренное выражение
« 6 − x » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство по правилам урока «Решение линейных неравенств».

Запишем полученный ответ, используя числовую ось и математические символы. Число « 6 » отмечено «заполненной» точкой на числовой оси, так как входит в область допустимых значений.

Правило для определения области определения функции

Чтобы найти область определения функции нужно проверить формулу функции по двум законам школьного курса математики:

При нахождении области определения функции необходимо всегда задавать себе два вопроса:

Если на оба вопроса вы получаете отрицательный ответ, то область определения функции — это все действительные числа.

Рассмотрим пример поиска области определения функции с корнем и дробью.

№ 242 (3) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

Идем по алгоритму. Задаём себе первый вопрос, есть ли в функции дробь с « x » в знаменателе. Ответ: да, есть.

В функции « f(x) = √ x + 3 +

» есть дробь «

», где « x » расположен в знаменателе. Запишем условие, что знаменатель « x 2 − 9 » не может быть равен нулю.

Решаем квадратное уравнение через формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =

x_1;2 =

−0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−9)

2 · 1

x_1;2 ≠

Запомним полученный результат. Задаем себе второй вопрос. Проверяем, есть ли в формуле функции
« f(x) = √ x + 3 +

» корень четной степени. В формуле есть квадратный корень « √ x + 3 ». Подкоренное выражение « x + 3 » должно быть больше или равно нулю.

Решим линейное неравенство.

Объединим полученные ответы по обоим вопросам:

Объединим все полученные результаты на числовых осях. Сравнивая полученные множества, выберем только те промежутки, которые удовлетворяют обоим условиям.

Выделим красным заштрихованные промежутки, которые совпадают на обеих числовых осях. Обратим внимание, что числа « −3 » и « 3 » отмечены «пустыми» точками и не входят в итоговое решение.

Получаем два числовых
промежутка « −3 » и « x > 3 », которые являются областью определения функции
« f(x) = √ x + 3 +

». Запишем окончательный ответ.

Примеры определения области определения функции

№ 101 Колягин (Алимов) 8 класс

Найти область определения функции:

Для поиска области определения функций задаем себе первый вопрос. Есть ли знаменатель, в котором содержится « x »?

Ответ: в формуле функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » нет дробей.

Задаем второй вопрос. Есть ли в функции корни четной степени?

Ответ: в функции есть корень шестой степени: « 6 √ x ». Степень корня — число « 6 ». Число « 6 » — чётное, поэтому подкоренное выражение корня « 6 √ x » должно быть больше или равно нулю.

В формуле функции « y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » также есть корень пятой степени
« 5 √ 1 + x ». Степень корня « 5 » — нечётное число, значит, никаких ограничений на подкоренное выражение « 1 + x » не накладывается.

Получается, что единственное ограничение области определения функции
« y = 6 √ x + 5 √ 1 + x » — это ограничение подкоренного выражения « 6 √ x ».

Нарисуем область определения функции на числовой оси и запишем ответ.

№ 242 (4) Мерзляк 8 класс

Найдите область определения функции:

Есть ли в функции знаменатель, в котором содержится « x »? В заданной функции подобных знаменателей два. Выделим знаменатели с « x » красным цветом.

Запишем условие, что каждый из знаменателей не должен быть равен нулю.

√ x + 2 ≠ 0

x 2 − 7x + 6 ≠ 0

Обозначим их номерами « 1 » и « 2 » и решим каждое уравнение отдельно.

√ x + 2 ≠ 0 (1)

x 2 − 7x + 6 ≠ 0 (2)

Решаем первое уравнение.

Если значение квадратного корня
« √ x + 2 ≠ 0 » не должно быть равно нулю, значит, подкоренное выражение
« x + 2 ≠ 0 » также не должно быть равно нулю.

Теперь решим уравнение под номером « 2 », используя формулу квадратного уравнения.

x_1;2 =

x_1;2 =

−(−7) ± √ (−7) 2 − 4 · 1 · 6

2 · 1

x_1;2 =

x_1;2 =

Запишем все полученные ответы в порядке возрастания вместе под знаком системы, чтобы их не забыть.

В формуле функции
« f(x) =

+

»

есть два корня « √ x − 4 » и « √ x + 2 ». Их подкоренные выражения должны быть больше или равны нулю.

Нарисуем полученные решения на числовой оси. Выберем заштрихованный промежуток, который есть на обеих числовых осях.

Выпишем результат решения системы неравенств.

Объединим в таблицу ниже полученные ответы по обеим проверкам:

Результат проверки, что знаменатели дробей с « x » не равны нулю

Результат проверки, что подкоренные выражения должно быть больше или равны нулю

Нарисуем полученные результаты проверок на числовых осях, чтобы определить, какая заштрихованная область удовлетворяет всем полученным условиям.

Источник

Как найти область определения функции?

Что значит найти область определения

После того, как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y = f ( x ) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Ограничение области определения

Правила нахождения области определения

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно, чтобы имело место следующее утверждение:

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом для понимания перечисления числовых множеств.

Найти область определения функции вида y = x 7 + x + 5 + t g x .

Для нахождения области определения произведения функций необходимо применять правило:

Ответ: область определения y = 3 · a r c t g x · ln x – множество всех действительных чисел.

Необходимо рассмотреть как разность двух функций f 1 и f 2 _.

Для нахождения области определения функции y = log 3 x − 3 · 2 x получим, что

Область определения сложной функции

Видно, что область определения сложной функции вида y = f 1 ( f 2 ( x ) ) находится на пересечении двух множеств таких, где x ∈ D ( f 2 ) и f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 ) . В стандартном обозначении это примет вид

x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ∈ D ( f 1 )

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Тогда получим систему неравенств вида

Искомая область определения найдена. Вся ось действительных чисел кроме нуля является областью определения.

Преобразуем систему вида

Заданная функция может быть расписана, как y = f 1 ( f 2 ( f 3 ( x ) ) ) , где имеем f 1 – функция синуса, f 2 – функция с корнем 4 степени, f 3 – логарифмическая функция.

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

x ∈ D ( f 1 ) x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) ≠ 0

Область определения логарифма с переменной в основании

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

А аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 log a f 2 ( x ) ≠ 0 = x ∈ D ( f 1 ) f 1 ( x ) > 0 x ∈ D ( f 2 ) f 2 ( x ) > 0 f 2 ( x ) ≠ 1

Область определения показательно-степенной функции

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.Ф

Сумма, разность, произведение функций

Расположим функции и их области определения.

Прямая пропорциональность y = k · x

Обратная пропорциональность y = k x

Дробная y = f 1 ( x ) f 2 ( x )

y = log f 2 ( x ) f 1 ( x )

В частности, y = log a f 1 ( x )

В частности, y = log f 2 ( x ) a

Источник

Область определения функции

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие области определения функции

Впервые школьники знакомятся с термином «функция» на алгебре в 7 классе, и с каждой четвертью, с каждой новой темой это понятие раскрывается с новых сторон. И, конечно же, усложняются задачки. Сейчас дадим определения ключевым словам и будем находить область определения функции заданной формулой и по графику.

Если каждому значению x из некоторого множества соответствует число y, значит, на этом множестве задана функция. При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Зависимость переменной у от переменной х называют функциональной зависимостью. Записывают так: y = f(x).

Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества.

Из понятия функции сформулируем определение области определения функции.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Множество значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Чтобы обозначить область определения некоторой функции f, используют запись D(f). При этом нужно помнить, что у некоторых функций есть собственные обозначения. Например, у тригонометрических. Поэтому в учебниках можно встретить такие записи: D(sin) — область определения функции синус, D(arcsin) — область определения функции арксинус.

Можно также записать D(f), где f — функция синуса или арксинуса. Если функция f определена на множестве значений x, то можно использовать формулировку D(f) = X. Так, например, для того же арксинуса запись будет выглядеть так: D (arcsin) = [-1, 1].

Область определения можно описывать словами, но часто ответ получается громоздким. Поэтому используют специальные обозначения.

Если мы хотим указать на множество чисел, которые лежат в некотором промежутке, то делаем так:

Например, все действительные числа от 2 до 5 включительно можно записать так:

Все положительные числа можно описать так:

Ноль не положительное число, поэтому скобка возле него круглая.

Области определения основных элементарных функций

Область определения функции — неотъемлемая часть самой функции. Когда мы вводим какую-либо функцию, то сразу указываем ее область определения.

На уроках алгебры мы последовательно знакомимся с каждой функцией: прямая пропорциональность, линейная функция, функция y = x2 и другие. А области их определения изучаем, как свойства.

Рассмотрим области определения основных элементарных функций.

Область определения постоянной функции

Постоянная функция задается формулой y = C, то есть f(x) = C, где C — некоторое действительное число. Ее еще называют константа.

Смысл функции — в том, что каждому значению аргумента соответствует значение, которое равно C. Поэтому, область определения этой функции — множество всех действительных чисел R.

Константная функция — функция, которая для любого элемента из области определения возвращает одно и то же заданное значение. Множество значений такой функции состоит из одного единственного элемента.

Область определения функции с корнем

Функцию с корнем можно определить так: y = n √x, где n — натуральное число больше единицы.

Рассмотрим две вариации такой функции.

Область определения корня зависит от четности или нечетности показателя:

Значит, область определения каждой из функций y = √x, y = 4 √x, y = 6 √x,… есть числовое множество [0, +∞). А область определения функций y = 3 √x, y = 5 √x, y = 7 √x,… — множество (−∞, +∞).

Пример

Найти область определения функции:

Так как подкоренное выражение должно быть положительным, то решим неравенство x 2 + 4x + 3 > 0.

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

Дискриминант положительный. Ищем корни:

Значит парабола a(x) = x 2 + 4x + 3 пересекает ось абсцисс в двух точках. Часть параболы расположена ниже оси (неравенство x 2 + 4x + 3 2 + 4x + 3 > 0).

Область определения степенной функции

Область определения степенной функции зависит от значения показателя степени.

Перечислим возможные случаи:

Рассмотрим несколько примеров.

Область определения показательной функции

Область определения показательной функции — это множество R.

Примеры показательных функций:

Область определения каждой из них (−∞, +∞).

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция выглядит так: y = log_ax, где где число a > 0 и a ≠ 1. Она определена на множестве всех положительных действительных чисел.

Область определения логарифмической функции или область определения логарифма — это множество всех положительных действительных чисел. То есть, D (loga) = (0, +∞).
Например:

Рассмотрим примеры логарифмических функций:

Область определения этих функций есть множество (0, +∞).

Пример

Укажите, какова область определения функции:

Составим и решим систему:

Область определения тригонометрических функций

Сначала вспомним, как задавать тригонометрические функции и как увидеть их области определения.

Поэтому, если x — аргумент функций тангенс и котангенс, то области определения тангенса и котангенса состоят из всех таких чисел x, что и x ∈ r, x ≠ πk, k ∈ Z соответственно.

Пример

Найдите область определения функции f(x) = tg2x.

Так как a(x) = 2x, то в область определения не войдут следующие точки:

Перенесем 2 из левой части в знаменатель правой части:

В результате . Отразим графически:

Ответ: область определения: .

Область определения обратных тригонометрических функций

Вспомним обратные тригонометрические функции: арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Область определения арктангенса и арккотангенса — все множество действительных чисел R. То есть, D(arctg) = R и D(arcctg) = R.

Таблица областей определения функций

Области определения основных функций в табличном виде можно распечатать и использовать на уроках, чтобы быстрее решать задачки.

И, помните: чем чаще вы практикуетесь в решении задач — тем быстрее все запомните.

Функция

Область определения функции

Источник