Как найти область пересечения графика функции

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот, какими способами ее можно задать:

Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Графический способ — наглядно.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента (переменной x). Геометрически — это проекция графика функции на ось Ох.

Например, для функции вида область определения выглядит так

х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): (-∞; 0) ⋃ (0; +∞).

Область значений функции — множество всех значений, которые функция принимает на области определения. Геометрически — это проекция графика функции на ось Оy.

Например, естественная область значений функции y = x 2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): [0; +∞).

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться при решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

стационарные и критические точки;

точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых значение функции равно нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

Найти область определения функции.

Найти область допустимых значений функции.

Проверить не является ли функция четной или нечетной.

Проверить не является ли функция периодической.

Найти точку пересечения с осью OY (если она есть).

Вычислить производную и найти критические точки, определить промежутки возрастания и убывания.

На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x – 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Задача 3. Построить графики функций:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, b = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 4. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax 2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b 0 следующие графики получаются с помощью сдвига графика f(x).

y = f(x) + a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вверх;

y = f(x) − a — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц вниз;

y = f(x + a) — график функции y = f(x) сдвигается на a единиц влево;

y = f(x − a) — график функции у = f(x) сдвигается на a единиц вправо.

Преобразование график по типу y = mf(x): y = f(x) → y = mf(x), где m — положительное число.

Если m > 1, то такое преобразование графика называют растяжением вдоль оси y с коэффициентом m.

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x – a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Как найти точки пересечения графиков функций — алгоритмы и примеры правила и методики

Существует определенный класс задач по дисциплине «Алгебра и начало анализа», в которых нужно найти точки пересечения графиков функций без их построения. Решать такие задания довольно просто, когда известна определенная методика нахождения координат по оси абсцисс и ординат. Однако для этого необходимо научиться правильно находить корни уравнений различных типов.

Общие сведения

Функция — некоторое выражение, описывающее зависимость между двумя величинами. Следует отметить, что последних может быть несколько. Параметр, который не зависит от других элементов, называется аргументом, а зависимое тождество — значением функции.

Точка пересечения графиков означает, что у системы уравнений существует общее решение. Следует отметить, что для их нахождения можно воспользоваться графическим и аналитическим методом. Первый подразумевает построение графического представления выражения с переменной.

Чтобы найти пересечение графиков функций аналитическим способом, необходимо решить уравнение, корни которого являются искомыми точками. Для их нахождения специалисты рекомендуют получить базовые понятия о равенствах с переменными, а также о методах их решения.

Классификация уравнений

Уравнение — тождество, содержащее неизвестные величины (переменные), которые следует найти при помощи определенного алгоритма. Последний зависит от типа выражений. Тождества классифицируются на несколько типов:

Линейные.

Квадратные.

Кубические.

Биквадратные.

Линейными являются уравнения, содержащие единичную степень, т. е. 2t=4. Квадратные — тождества, у которых переменная возведена в квадрат. Они имеют следующий вид: Pt^2+St+U=0, где Р и S — коэффициенты при неизвестных, а U — свободный член.

Кубическое — уравнение вида Ot^3+Pt^2+St+U=0, где O, Р и S — коэффициенты при переменных, а U — константа. Последний вид — равенства, в которых при переменной присутствует четвертая степень (Nt^4+Ot^3+Pt^2+St+U=0).

Равносильные тождества

При выполнении математических операций каждое выражение может быть заменено на эквивалентное, т. е. равносильное. Иными словами, равносильными называются уравнения, различные по составляющим их элементам, но имеющие одинаковые корни. Следует отметить, что ими являются также выражения, не имеющие решений. Математики выделяют три свойства: симметричность, транзитивность и разложение на множители.

Формулировка первого: когда I уравнение равносильно II, то значит, и II равносильно I. Суть транзитивности состоит в том, что если I равносильно II, а II — III, то значит I эквивалентно III. Второе свойство имеет такую формулировку: произведение двух элементов, содержащих переменные, равное нулевому значению, эквивалентно двум выражениям, которые можно приравнять к 0. Математическая запись утверждения имеет такой вид: R(t)*S(t)=0 .

Математические преобразования

Для решения уравнения необходимо выполнить некоторые математические преобразования. Они должны выполняться грамотно, поскольку любая ошибка приводит к образованию ложных корней. Допустимыми операциями являются следующие:

Правильное раскрытие скобок с учетом алгебраической операции и знаков.

Упрощение выражения (приведение подобных величин).

Перенос элементов в любые части равенства с противоположным знаком.

Возможность прибавлять или вычитать эквивалентные величины.

Деление и умножение на любые эквивалентные значения, не превращающие тождества в пустое множество.

Специалисты рекомендуют избегать операций, при которых сокращаются неизвестные величины. Следствием этого могут стать ложные корни. Кроме того, делитель не должен иметь значения, при которых его значение равно 0. Последнее условие следует всегда проверять, а при решении ни один корень уравнения не должен соответствовать значению переменной при нахождении окончательных корней.

Иными словами, в выражении (t+2)^2=0 для упрощения можно разделить обе части на (t+2) при условии, что t не равно -2, т. к. [(t+2)^2]/(t+2)=0/(t+2).

Однако при решении (t+2)=0 получается, что t=-2, а это недопустимо. Следовательно, вышеописанный метод не всегда подходит.

Разложение на множители

Для решения уравнений при выполнении математических преобразований могут потребоваться специальные формулы разложения на множители. Их еще называют тождествами сокращенного умножения. К ним относятся следующие:

Квадрат суммы и разности: (p+r)^2=p^2+2pr+r^2 и (p-r)^2=p^2-2pr+r^2 соответственно.

Разность квадратов: p^2-r^2=(p-r)(p+r).

В некоторых случаях можно воспользоваться сразу двумя соотношениями, т. е. выделить квадрат суммы, а затем из первого — разность квадратов. Выделение первого осуществляется группировкой посредством скобок в выражении, а затем введение положительного и отрицательного элементов, т. е. s^2+4s-5=s^2+4s+4-4-5=(s^2+4s+4)-4-5=(s+2)^2 -9. Для получения всех элементов формулы «p+r)^2=p^2+2pr+r^2» нужно прибавить, а затем отнять 4. При этом значение равенства не изменится, поскольку 4-4=0.

Следует отметить, что математические преобразования выражения (s+2)^2 -9 не заканчиваются, поскольку его можно представить в виде разности квадратов, т. е. (s+2-9)(s+2+9)=(s-7)(s+11). Кроме того, формулы сокращенного умножения рекомендуется применять при понижении степени.

Методики нахождения точек

Чтобы узнать, пересекаются ли графики функций, нужно приравнять соответствующие тождества, а затем решать уравнение. Однако при такой операции могут получиться различные равенства с неизвестными. В этом случае требуется обратить внимание на нижеописанные методики решения для каждого вида.

Первой и второй степени

Уравнение первой степени, или линейное, решается очень просто. Для этого необходимо перенести переменные величины в одну, а известные — в другую сторону. Методика решения имеет следующий вид:

Раскрыть скобки и привести подобные коэффициенты.

Выполнить перенос известных в одну, а неизвестных — в другую часть равенства.

Произвести необходимые математические преобразования.

Найти корень.

Сложнее решается квадратное уравнение. Существует несколько способов нахождения его корней:

Разложить на множители.

Выделить полный квадрат.

Найти дискриминант.

По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта “Образование”.

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac<1> <2>– 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac<1> <2>= frac<1><2>$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.

Третий способ

Готовые работы на аналогичную тему

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07.05.2021

[spoiler title=”источники:”]

http://kupuk.net/uroki/algebra/kak-naiti-tochki-peresecheniia-grafikov-fynkcii-algoritmy-i-primery-pravila-i-metodiki/

http://spravochnick.ru/matematika/kak_nayti_koordinaty_tochek_peresecheniya_grafika_funkcii_primery_resheniya/

[/spoiler]

Координаты точки пересечения графиков функций

Как найти?

1. Чтобы найти координаты точки пересечения графиков функций нужно приравнять обе функции друг к другу, перенести в левую часть все члена, содержащие $ x $, а в правую остальные и найти корни, полученного уравнения.
2. Второй способ заключается в том, что нужно составить систему уравнений и решить её путём подстановки одной функции в другую
3. Третий способ подразумевает графическое построение функций и визуальное определение точки пересечения.

Случай двух линейных функций

Рассмотрим две линейные функции $ f(x) = k_1 x+m_1 $ и $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Эти функции называются прямыми. Построить их достаточно легко, нужно взять любые два значения $ x_1 $ и $ x_2 $ и найти $ f(x_1) $ и $ (x_2) $. Затем повторить тоже самое и с функцией $ g(x) $. Далее визуально найти координату точки пересечения графиков функций.

Следует знать, что линейные функции имеют только одну точку пересечения и только тогда, когда $ k_1 neq k_2 $. Иначе, в случае $ k_1=k_2 $ функции параллельны друг другу, так как $ k $ – это коэффициент угла наклона. Если $ k_1 neq k_2 $, но $ m_1=m_2 $, тогда точкой пересечения будет $ M(0;m) $. Это правило желательно запомнить для ускоренного решения задач.

Пример 1

Пусть даны $ f(x) = 2x-5 $ и $ g(x)=x+3 $. Найти координаты точки пересечения графиков функций.

Решение

Как это сделать? Так как представлены две линейные функции, то первым делом смотрим на коэффициент угла наклона обеих функций $ k_1 = 2 $ и $ k_2 = 1 $. Замечаем, что $ k_1 neq k_2 $, поэтому существует одна точка пересечения. Найдём её с помощью уравнения $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Переносим слагаемые с $ x $ в левую часть, а остальные в правую: $$ 2x – x = 3+5 $$ $$ x = 8 $$ Получили $ x=8 $ абциссу точки пересечения графиков, а теперь найдём ординату. Для этого подставим $ x = 8 $ в любое из уравнений хоть в $ f(x) $, либо в $ g(x) $: $$ f(8) = 2cdot 8 – 5 = 16 – 5 = 11 $$ Итак, $ M (8;11) $ – является точкой пересечения графиков двух линейных функций. Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ M (8;11) $$

Пример 2

Дано $ f(x)=2x-1 $ и $ g(x) = 2x-4 $. Найти точки пересечения графиков функций.

Решение

Как найти? Опять же обращаем внимание на то, что угловые коэффициенты равны $ k_1 = k_2 = 2 $. Это означает, что линейные функции параллельны между собой, поэтому у них нет точек пересечения!

Ответы

Графики функций параллельны, нет точек пересечения.

 Случай двух нелинейных функций 

Пример 3

Найти координаты точки пересечения графиков функций: $ f(x)=x^2-2x+1 $ и $ g(x)=x^2+1 $

Решение

Как быть с двумя нелинейными функциями? Алгоритм простой: приравниваем уравнения друг к другу и находим корни: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Разносим по разным сторонам уравнения члены с $ x $ и без него: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ $$ -2x=0 $$ $$ x=0 $$ Найдена абцисса искомой точки, но её недостаточно. Ещё нехватает ординаты $ y $. Подставляем $ x = 0 $ в любое из двух уравнений условия задачи. Например: $$ f(0)=0^2-2cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ – точка пересечения графиков функций

Ответ

$$ M (0;1) $$

Содержание:

Полная схема исследования функции:

1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на чётность и периодичность.
3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти интервалы знакопостоянства.
5. Найти первую производную, промежутки возрастания и убывания, точки экстремума и экстремумы функции.
6. Найти вторую производную. Определить интервалы выпуклости графика функции и точки перегиба.
7. Исследовать поведение функции на концах промежутков определения.
8. Найти асимптоты графика функции.
9. Построить график функции.

Пример:

Исследуйте функцию

Решение:

1)    Область определения функции: 

2)    Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.

3)     — точка пересечения графика функции с осями координат.

4)    

5)    Чтобы найти производную функции, запишем её в виде

Поскольку в точке  функция производной не имеет, то найдем производную отдельно для  Имеем:

Функция имеет две критические точки:

 (производная не существует) и  (производная равна нулю).

Составим и заполним таблицу для первой производной

Из таблицы видно, что функция возрастает на промежутках  а убывает на промежутках 

Первая производная при переходе через точку  меняет знаке  а при переходе через точку поэтому  — точка максимума, а  — точка минимума.

6) Найдём вторую производную:

Функция имеет две критические точки второго рода:  (вторая производная не существует) и  (вторая производная равна нулю).

Составим и заполним таблицу для второй производной

Как видим из таблицы, кривая выпуклая на промежутке  а вогнутая на промежутках 

Вторая производная при переходе через точку  меняет знак а при переходе через точку  на  поэтому  — точки перегиба. В этих точках на графике выпуклость меняется на вогнутость и наоборот.

7) Исследуем поведение заданной функции на концах промежутков определения:

8) Найдём асимптоты. Функция не определена в точке 

Поскольку  то  вертикальная асимптота.

Поскольку  то  горизонтальная асимптота.

9) Используя полученные данные, построим график функции {рис. 88).

Пример:

Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривых: 

Решение:

 

1)    Область определения функции — 

2)    Найдём первую и вторую производные. Имеем: Найдём критические точки второго рода:  Других критических точек второго рода нет.

3)    Определим знак второй производной на каждом из интервалов  Для этого достаточно определить знак производной в произвольной внутренней точке каждого интервала.

Если  поэтому на интервале  кривая вогнутая.

Если  поэтому на интервале  кривая выпуклая.

Точка  является точкой перегиба, поскольку при переходе через эту точку вторая производная меняет знак.

Следовательно,  — точка перегиба.

1) Область определения функции— 

2) Найдём критические точки второго рода: 

Как видим, вторая производная существует на множестве всех действительных чисел и ни в одной точке в ноль не превращается. А потому критических точек второго рода нет. Следовательно, нет и точек перегиба. На всей области определения  поэтому на множестве действительных чисел кривая вогнутая.

Пример:

Найдите асимптоты кривой 

Решение:

Область определения функции —  поэтому вертикальных асимптот нет.

Найдем наклонную асимптоту: 

Следовательно, прямая  наклонная асимптота данной кривой. Других асимптот кривая не имеет.

Исследование функций

Процесс управления требует от менеджера компактного представления разносторонних знаний из разных областей хозяйственной, управленческой, налоговой, коммерческой и других видов деятельности в виде разнообразных функциональных зависимостей.

В процессе такой деятельности перед менеджером возникают задачи тактического и стратегического планирования, оценки возможностей предприятия и конкурентов, оптимального распределения ресурсов, разумного реагирования на налоговую политику, выбора ценовой и инвестиционной политики и др.

Важную роль при этом играет исследование функций, используемых при построении математической модели рассматриваемой проблемы. Такое исследование проводится с учетом свойств конкретных функций и позволяет уточнить сформулированную математическую задачу, решая которую (с учетом выбранного метода решения), рассчитывают получить определенный результат, требующий в дальнейшем интерпретации в терминах исследуемой проблемы.

Все это связано с выявлением таких свойств функций, используемых в модели, как характер изменения (монотонность), наличие точек с особыми свойствами (стационарные точки, экстремумы), геометрические свойства (выпуклость графика функции) и другие.

Настоящий раздел посвящен исследованию функций методами дифференциального исчисления и использованию полученных навыков для решения задач.

Монотонность функции

Функция y = y (x) называется возрастающей на промежутке l, если для любых точек , из промежутка l, удовлетворяющих неравенству ,. Функция называется убывающей на l, если из условия следует .

Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), то для того, чтобы f(x) была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала (a,b).

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке l тогда и только тогда, когда

Пример:

Найти промежутки возрастания и убывания функции

Вычислим:

Точки делят числовую прямую R натри интервала:

Производная положительна на интервалах . Следовательно, функция y(x) возрастает на каждом из этих интервалов. На интервале производная неположительна, значит, у(х) убывает на этом интервале.

Локальный экстремум

Точка называется точкой локального максимума функции у = у{х) если существует интервал , содержащий точку такой что

Точка называется точкой локального минимума функции если существует интервал содержащий точку такой что

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение:

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

Исследование стационарных точек

I правило. Если при возрастании .v при переходе через стационарную точку х0 производная у'(х) меняет знак с + на – , то – точка локального максимума. Если меняет знак с – на + , то – точка локального минимума функции f(x). Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то – точка локального минимума функции Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то – точка локального максимума функции y(x).

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Пример:

Найти экстремум функции

Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точке производная обращается в бесконечность.

Поскольку то функция имеет в точке локальный минимум

Это будет острый минимум.

При переходе через стационарную точку производная меняет знак с – на +, значит, функция имеет локальный максимум

Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке [a;b] функция у = y(x) принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение min y(x) в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и min y(x) поступают следующим образом.

• Находят стационарные точки функции;
• Находят точки в которых производная у'(x) не существует или обращается в бесконечность;
• Вычисляют значения: – и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут – глобальные экстремальные значения.

Пример:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [ – 2; 2 ].

Вычисляем Получаем числа 7, 3, 3, -7. Следовательно,

Выпуклость и перегибы графика функции

Графиком функции у = у(х), заданной на множестве X, называют множество точек плоскости с координатами. График называют выпуклым вниз на промежутке I, если касательная к графику в любой точке этого промежутка расположена ниже графика. Если касательная расположена выше графика, то график называют выпуклым вверх. Точка, в которой график меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Если на промежутке l вторая производная у'(х) положительна, то график является выпуклым вниз на этом промежутке. Если .у “(x) < 0 на промежутке l, то график является выпуклым вверх на промежутке l.

Точка М(с;у{с)) может быть точкой перегиба только в том случае, когда у'(x) = 0, либо у”(x) не существует – необходимое условие перегиба. Однако равенство нулю или не существование второй производной в точке с не означает еще, что в точке будет перегиб графика. Поэтому нужно дополнительно исследовать такие точки.

Пример:

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба графика функции

Вычислим вторую производную .

Точки -1 и 1 разбивают числовую прямую на три промежутка: . На промежутках вторая производная положительна, на промежутке (-l;l) – отрицательна. Следовательно, график функции является выпуклым вниз на и выпуклым вверх на (-l;l).

В точках вторая производная равна нулю. Вычислим . Поскольку , то в точке и в точке график функции имеет перегиб.

Исследование функции и построение графика

График функции у = у(х)у заданной на множестве X, т.е. множество точек плоскости с координатами обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графика функции у = у{х) выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и се производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых у'(х) и y”(x) сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану.

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента х, при которых y(x) имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для [0;], а затем периодически продолжают.

Для четной функции:, или нечетной: . Исследование проводят на промежутке Построенный график продолжают на все множество X.

Используя симметричное отражение относительно оси Oy для четной функции и относительно точки О – для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества X (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если X ограничено, то вычисляют пределы функции при . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту у = а, если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту у = b. Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты у = кх + b. Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции у(х)у т.е. стационарные точки и точки, в которых y(x) не существует. Выделяют промежутки, на которых y”(x) сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции y(x).

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной Выделяют промежутки, на которых y”(x) сохраняет знак, и, следовательно, график функции y(x) сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной /(а) (т.е. точки, в которых у”(х) равны нулю или не существуют).

Исследуя стационарные точки функции у(х), находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение y”(x) в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п. 1-6. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика

Пример:

Построить график функции

I. Область определения

Функция не является периодической, четной, нечетной.

II. Поскольку – точка разрыва (точка бесконечного скачка). Прямая х = 0 является двусторонней вертикальной асимптотой.

Так как при , то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных). Учитывая, что делаем вывод, что прямая является двусторонней наклонной асимптотой.

3. Из уравнения у'(х)=0 находим стационарные точки: =-2, = 1.

IV. Точка=1 является стационарной точкой для производной у'(х), так как у”() = 0.

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

VI. На координатной плоскости отмечаем точки локального максимума перегиба (1,0), асимптоты

Строим схематично график функции с учетом выясненных ранее особенностей ее поведения.

Интерполяция и аппроксимация функций

При табличной форме задания функции часто возникает ситуация, когда аргумент функции задан с большей точностью, чем позволяет таблица. В этом случае приходится прибегнуть к интерполяции (или интерполированию) – приближенному нахождению неизвестных значений функций по известным ее значениям в заданных точках.

Наиболее простым является линейное интерполирование, при котором допускается, что приращение функции пропорционально приращению аргумента. Если заданное значение д: лежит между приведенными в таблице значениями которым соответствуют значения функции и то считают, что:

Если по заданным значениям функции необходимо найти приближенное значение аргумента, то такая операция называется обратным интерполированием.

В общем виде интерполяционная задача состоит в построении обобщенного многочлена Р(х), принимающего значения исследуемой функции у = f(x) на конечном множестве (область задания функции). Указанный многочлен должен удовлетворять условиям . Точки х называются узлами интерполирования.

В частности, если A = [a,b] а множество , искомый многочлен имеет линейную структуру и может быть представлен в виде , где – коэффициенты разложения, — линейно независимые на функции.

Условия интерполирования можно представить в виде системы уравнений:

К системе можно применить векторно-матричную форму записи если ввести обозначения:

Если семейство функций составляет базис на [a,b], то условия интерполирования однозначно удовлетворяются с помощью выбора коэффициентов. Если число узлов интерполирования не соответствует размерности базиса, то решение задачи интерполирования неоднозначно. Возникающую при этом неопределенность можно устранить путем введения дополнительных условий, налагаемых на значения коэффициентов. В частности, в узлах интерполяции можно задать не только значения функции, но и значения ее производной. В противном случае, задача интерполирования не имеет решения в общем виде, т.к. система условий может оказаться несовместной. В этом случае задача интерполирования заменяется задачей общей аппроксимации, которая заключается в построении многочлена низшей степени, наименее отклоняющегося от заданной функции.

• Заказать решение задач по высшей математике

Интерполяционный полином Лагранжа

Примером наипростейшей базисной системы функций можно считать систему

Утверждение 1. Если два многочлена степени принимают одинаковые значения при n +1 различных значениях переменной, то эти многочлены равны.

Пусть многочлены P(x) и Q(x) степени n, – такие попарно различные числа, что . Рассмотрим многочлен

Очевидно, что степень не превосходит я, либо – нулевой многочлен, причем т.е. многочлен имеет n + 1 различных корней, что невозможно. Следовательно,

Это утверждение позволяет доказать следующую теорему.

Теорема. Для каждого натурального числа n существует один и только один многочлен степени , который принимает любые наперед заданные значения при n +1 значениях неизвестной.

Пусть – различные числа – произвольные числа. Построим многочлен P (x)степени такой, что . По утверждению 1, он определен однозначно:

Степень и, очевидно, Многочлен (1) называется интерполяционным многочленом Лагранжа.

Пример. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа по заданной таблице значений:

Формула Тейлора

Задача аппроксимации (приближенного вычисления) функции в окрестности данной точки, которую часто называют рабочей точкой, является одной из основных задач математического анализа. Для дифференцируемых функций эта задача решается с помощью формулы Тейлора.

Поскольку функция дифференцируема, то ее приращение представимо в виде:

т.е. существует многочлен первой степени такой, что при выполняются условия

В более общем виде задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и имеет в этой точке n производных f'(), Необходимо найти многочлен степени не выше n, такой, что: где удовлетворяет условиям:

Предположим, что искомый аппроксимационный многочлен имеет вид:

Тогда:

Тогда, с учетом условий (5), можно получить:

Таким образом, если в аппроксимационый полином подставить полученные значения коэффициентов, то полином можно записать следующим образом:

Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции f. Можно показать, что он удовлетворяет условию

Рассмотрим функцию Эта функция представляет собой погрешность при замене функции f многочленом в окрестности точки . Из приведенных выше условий следует, что:

Для того, чтобы убедиться, что ПРИ необходимо показать, что. Для раскрытия этой неопределенности нужно применить n раз правило Лопиталя:

Полученные выводы можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки и n раз дифференцируема в ней. Тогда, при имеет место формула:

Полученный многочлен называется формулой Тейлора n -го порядка с остаточным членом в форме Пеано.

Если = 0, то формула Тейлора называется формулой Маклорена и имеет вид:

Для остаточного члена формулы Тейлора существуют и другие представления. Так, если функция f имеет производную n-го порядка в окрестности точки , то остаточный член может быть представлен в форме Лагранжа:

Основные разложения

Используя основные разложения можно получать формулы Тейлора для других функций. При этом используют то, что:

Понятие об эмпирических формулах

На практике часто возникает задача аппроксимации данных о зависимости между двумя переменными у их, полученных опытным путем и представленных в табличной форме. Это могут быть результаты опыта, наблюдений, статистической обработки результатов и т.д. При этом необходимо зависимость между этими переменными представить в виде аналитического выражения функции у = f(x) так, чтобы эта формула наилучшим образом отражала общую тенденцию зависимости у от fx, исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений.

Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, называются эмпирическими. Задача нахождения эмпирических формул выполняется в два этапа:

• Установление вида зависимости у = f(x);
• Определение неизвестных параметров этой функции.

При определении вида эмпирической функции у-f{x)

обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов, в качестве неизвестных параметров функции у = f (х) выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значений у. от значений функции вычисленных по соответствующим им значениям аргументов, т.е.:

Разность называется невязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой – она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции y = f(x) возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому, прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирический функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

Для того, чтобы понять, что такое область определения функции, необходимо знать области определения основных элементарных функций. Для этого нужно разбираться в определенных понятиях и находить весомые аргументы и методы решения, что и предложено данной статьей. Будут рассмотрены  различные сложнейшие комбинации функций вида y=x+x-2 или y=5·x2+1·x3, y=xx-5 или y=x-15-3. Рассмотрим теорию  и решим несколько примеров с подобными заданиями, чтобы вам больше не нужно было определять все это онлайн.

Что значит найти область определения

После того как функция задается, указывается ее область определения. Иначе говоря, без области определения функция не рассматривается. При задании функции вида y=f(x) область определения не указывается, так как ее ОДЗ для переменной x будет любым. Таким образом, функция определена на всей области определения.

Область определения и область значения можно найти и для кубического корня (куб. √), к примеру, для x+2. 

Ограничение области определения

Область определения функции или ООФ рассматривается еще в школьном курсе алгебры. У действительных чисел она может быть (0, +∞) или такой [−3, 1)∪[5, 7). Еще по виду функции можно визуально узнавать ее ОДЗ. Рассмотрим, на что может указывать наличие области определения:

При отсутствии хотя бы одного признака, область определения приходится искать другим образом (и это не с калькулятором). Рассмотрим пример функции вида y=x4+2·x2-x+12+223·x. Видно, что никаких ограничений она не имеет, так как в знаменателе нет переменной.

Правила нахождения области определения

Для примера рассмотрим функцию типа y=2·x+1. Для вычисления ее значения можем определить x. Из выражения 2·x+1 видно, что функция определена на множестве всех действительных чисел. Рассмотрим еще один пример для подробного определения.

Если задана функция типа y=3x-1, а необходимо найти область определения, тогда понятно, что следует обратить внимание на знаменатель. Известно, что на ноль делить нельзя. Отсюда получаем, что 3x-1знаменатель равняется нулю при х=1, поэтому искомая область определения данной функции примет вид (−∞, 1)∪(1, +∞) и считается числовым множеством.

На рассмотрении примера y=x2-5·x+6 видно, что имеется подкоренное выражение, которое всегда больше или равно нулю. Значит запись примет вид x2−5·x+6≥0. После решения неравенства получим, что имеются две точки, которые делят область определения на отрезки, которые записываются как (−∞, 2]∪[3, +∞).

При подготовке ЕГЭ и ОГЭ можно встретить множество комбинированных заданий для функций, где необходимо в первую очередь обращать внимание на ОДЗ. Только после его определения можно приступать к дальнейшему решению.

Область определения суммы, разности и произведения функций

Перед началом решения необходимо научиться правильно определять область определения суммы функций. Для этого нужно иметь следующее утверждение:

Когда функция ff считается суммой n функций f1, f2, …, fn_, иначе говоря, эта функция задается при помощи формулы y=f1(x)+f2(x)+…+fn(x), тогда ее область определения считается пересечением областей определения функций  f1, f2, …, fn_. Данное утверждение можно записать как:

D(f)=D(f1)D(f2)…D(fn)

Поэтому при решении рекомендуется использование фигурной скобки при записи условий, так как это является удобным способом, чтобы понимать понимания перечисления числовых множеств.

Чтобы найти  область определения произведения функций необходимо применять правило:

Необходимо остановиться на нахождении области определения y=C·f(x), где С является действительным числом.  Отсюда видно, что ее областью определения и областью определения f совпадающими. 

Функция y=C·f(x) – произведение постоянной функции и f. Область определения – это все действительные числа области определения D(f). Отсюда видим, что область определения функции y=C·f(x) является -∞, +∞D(f)=D(f).

Естестввенным образом получили, что область определения y=f(x) и y=C·f(x), где C является некоторое действительное число, совпадают. Это видно на примере определения корня y=x считается [0, +∞), потому как область определения функции y=-5·x – [0, +∞).

Области определения y=f(x) и y=−f(x) совпадают , что говорит о том, что его область определения разности функции такая же, как и область определения их суммы.

Необходимо озвучить утверждение о том, что областью определения y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 является множество действительных чисел.

Рассмотрим y=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0, где  в правой части имеется многочлен с одной переменной стандартного вида в виде степени n с действительными коэффициентами. Допускается рассматривать ее в качестве суммы (n+1)-ой функции. Область определения для каждой из таких функций включается множество действительных чисел, которое называется R.

Область определения сложной функции

Для решения данного вопроса необходимо рассмотреть сложную функцию вида  y=f1(f2(x)). Известно, что D(f) является множеством всех x из определения функции f2, где область определения f2(x) принадлежит области определения f1.

Видно, что область определения сложной функции вида y=f1(f2(x)) находится на пересечении двух множеств таких, где x∈D(f2) и f2(x)∈D(f1). В стандартном обозначении это примет вид

x∈D(f2)f2(x)∈D(f1)

Рассмотрим решение нескольких примеров.

Постепенно подошли к тому, что будем работать со сложными функциями общего вида y=f1(f2(…fn(x)))). Область определения такой функции ищется из x∈D(fn)fn(x)∈D(fn-1)fn-1(fn(x))∈D(fn-2)…f2(f3(…(fn(x)))∈D(f1).

При решении примеров были взяты функции, которые были составлены при помощи элементарных функций, чтобы детально рассмотреть область определения.

Область определения дроби

Рассмотрим функцию вида f1(x)f2(x). Стоит обратить внимание на то, что данная дробь определяется из множества обеих функций, причем f2(х) не должна обращаться  в ноль. Тогда получаем, что область определения f для всех x записывается в виде x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Запишем функцию y=f1(x)f2(x) в виде y=f1(x)·(f2(x))-1. Тогда получим произведение функций вида y=f1(x) с y=(f2(x))-1. Областью определения функции y=f1(x) является множество D(f1), а для сложной y=(f2(x))-1 определим из системы вида x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f2)f2(x)≠0.

Значит, x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)∈(-∞, 0)∪(0, +∞)⇔x∈D(f1)x∈D(f2)f2(x)≠0.

Действия с корнями

Корни в математике, в частности, функцию с корнем можно определить следующим образом:

y=n√x. N здесь — натуральное число, большее за единицу.

Область определения корня зависит от того, каков показатель: четный или нечетный.

Если n является четным числом (n=2m). Это значит, что область определения представляет собой множество всех неотрицательных действительных чисел.

Если показатель корня — нечетное число, большее за единицу (n=2m+1 и m принадлежит к n), то областью определения корня будет множество всех действительных чисел.

Также важным является вопрос, как складывать корни.

Сложение и вычитание корней возможно при условии наличия одинакового подкоренного выражения. К примеру, сложение и вычитание корней возможно 2√3 и 4√3. Можно ли складывать корни или вычитать в случае 2√3 и 2√5? Ответ — нет.

Как решать корни во втором случае? Вы можете упростить подкоренное выражение и привести их корни к одинаковому подкоренному выражению. После этого вы сможете как считать корни, так и вычитать корни.

К основным действиям с корнями относят:

• умножение корней;
• деление корней;
• корень минус корень или плюс.

Область определения логарифма с переменной в основании

К аналогичному заключению можно прийти, когда функцию можно изобразить в таком виде:

y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1. После чего можно приступать к области определения дробной функции.

Область определения логарифмической функции – это множество действительных положительных чисел, тогда области определения сложных функций типа y=logaf1(x) и y=logaf2(x) можно определить из получившейся системы вида x∈D(f1)f1(x)>0 и x∈D(f2)f2(x)>0. Иначе эту область можно записать в виде y=logaf1(x)logaf2(x), a>0, a≠1, что означает нахождение y=logf2(x)f1(x) из самой системы вида

x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0logaf2(x)≠0=x∈D(f1)f1(x)>0x∈D(f2)f2(x)>0f2(x)≠1

Область определения показательно-степенной функции

Показательно-степенная функция задается формулой вида y=(f1(x))f2(x).  Ее область определения  включает в себя такие значения x, которые удовлетворяют системе x∈D(f1)x∈D(f2)f1(x)>0.

Эта область позволяет переходить от показательно-степенной к сложной вида y=aloga(f1(x))f2(x)=af2(x)·logaf1(x), где где a>0, a≠1.

В общем случае

Для решения обязательным образом необходимо искать область определения, которая может быть представлена в виде суммы или разности функций, их произведений. Области определения сложных и дробных функций нередко вызывают сложность. Благодаря выше указанным правилам можно правильно определять ОДЗ и быстро решать задание на области определения.

Таблицы основных результатов

Весь изученный материал поместим для удобства в таблицу для удобного расположения и быстрого запоминания.

Расположим функции и их области определения.

Отметим, что преобразования можно выполнять, начиная с правой части выражения. Отсюда видно, что допускаются тождественные преобразования, которые на область определения не влияют. Например, y=x2-4x-2 и y=x+2 являются разными функциями, так как первая определяется на (−∞, 2)∪(2, +∞),  а вторая из множества действительных чисел.  Из преобразования y=x2-4x-2=x-2x+2x-2=x+2 видно, что  функция имеет смысл при x≠2.

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Пример 1

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

$5x = x- 2$;

$4x = -2$;

$x=-frac{1}{2}$

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac{1}{2} – 2 = – 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac{1}{2};- 2frac12)$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Пример 2

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Составим систему:

$begin{cases} y=2x^2-2x-1 \ y= x + 1 \ end{cases}$

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

$x+1 = 2x^2 – 2x-1$;

$2x^2 – 3x – 2 = 0$.

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

$x_1=2; x_2 = -frac{1}{2}$

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 – frac{1}{2} = frac{1}{2}$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac{1}{2}; frac{1}{2})$.

Третий способ

«Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения» 👇

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Пример 3

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Дата последнего обновления статьи: 07.05.2023