Как найти область равномерной сходимости ряда - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Содержание:

Теорема 1 (признак Вейерштрасса):
Рассмотрим разность

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Область сходимости Функциональным рядом называется ряд членами которого являются функции / определенные на некотором множестве Е числовой оси. Например, члены ряда определены на интервале , а члены ряда определены на отрезке Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке Хо € Е, если сходится ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов числовой ряд Если ряд (1) сходится в каждой точке х множества D С Е и расходится в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве сходится ряд В случае сходимости ряда (1) на множестве D его сумма S будет являться функцией, определенной на D.

Область сходимости некоторых функциональных рядов можно найти с помощью известных достаточных признаков, установленных для рядов с положительными членами, например, признака Дапамбера, признака Коши. Пример 1. Найти область сходимости ряда М Так как числовой ряд сходится при р > 1 и расходится при р ^ 1, то, полагая р — Igx, получим данный ряд. который будет сходиться при Igx > Ц т.е. если х > 10, и расходиться при Igx ^ 1, т.е. при 0 < х ^ 10.

Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при , этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > 0 ряд расходится, так как Л =. Расходимость ряда при х = 0 очевидна. Пример 3. Нейти область сходимости ряда Члены данного ряда определены и непрерывны на множестве .

Применяя признак Кош и, найдем для любого . Следовательно, ряд расходится при всех значениях х. Обозначим через Sn(x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна 5(ж), то ее можно представить в виде где есть сумма сходящегося на множестве D ряда который называется п-м остатком функционального ряда (1). Для всех значений х € D имеет место соотношение и поэтому. т. е. остаток Rn(x) сходящегося ряда стремится к нулю при п оо, каково бы ни было х 6 D.

Равномерная сходимость Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые равномерно сходящиеся ряды. Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд сумма которого равна S(x). Возьмем его n-ю частичную сумму Определение. Функциональный ряд ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов называется равномерно сходящимся на множестве ПС1), если для любого числа е > О найдется число ЛГ > О такое, что неравенство будет выполняться для всех номеров п > N и для всех х из множества fI. Замечание.

Здесь число N является одним и тем же для всех х € Ю, т.е. не зависит от z, однако зависит от выбора числа е, так что пишут N = N(e). Равномерную сходимость функционального ряда £ /п(®) к функции 5(х) на множестве ft часто обозначают так: Определение равномерной сходимости ряда /п(ж) на множестве ft можно за- писать короче с помощью логических символов: Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда.

Возьмем в качестве множества ft отрезок [а, 6] и построим графики функций . Неравенство |, выполняющееся для номеров п> N и для всех a; G [а, Ь], можно записать в следующем виде Полученные неравенства показывают, что графики всех функций у = 5„(ж) с номерами п > N будут целиком заключены внутри £-полосы, ограниченной кривыми у = S(x) – е и у = 5(ж) + е (рис. 1).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 1 равномерно сходится на отрезке Данный ряд является знакочередующимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком х € [-1,1] и, следовательно, сходится на отрезке (-1,1]. Пусть S(x) — его сумма, a Sn(x) — его п-я частичная сумма. Остаток ряда по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своего первого члена: а поскольку Возьмем любое е .

Тогда неравенство | будет выполняться, если . Отсюда находим, что п > . Если взять число (здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенство | е будет выполняться для всех номеров п > N и для всех х € [-1,1). Это означает, что данный ряд равномерно сходится на отрезке [-1,1). I. Не всякий сходящийся на множестве D функциональный ряд является равномерно сходящимся на Пример 2. Покажем, что ряд сходится на отрезке , но не равномерно.

ычислим п-ю частичную сумму £„(*) ряда. Имеем Откуда Данный ряд сходится на отрезке [0,1] и его сумма если Абсолютная величина разности S(x) – 5„(х) (остатка ряда) равна . Возьмем число е такое, что . Пусть Разрешим неравенство относительно п. Имеем , откуда (так как , и при делении на Inx знак неравенства меняется на обратный). Неравенство будет выполняться при . Поэтому такого не зависящего от х числа N(e), чтобы неравенство выполнялось для каждого ) сразу для всех х из отрезка. , не существует. Если же заменить отрезок 0 меньшим отрезком , где, то на последнем данный ряд будет сходиться к функции S0 равномерно. В самом деле, при , и поэтому при сразу для всех х §3. Признак Вейерштрасса Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоремой Вейерштрасса.

Теорема 1 (признак Вейерштрасса):

Пусть для всех х из множества Q члены функционального ряда по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда П=1 с положительными членами, т. е. для всех х € Q. Тогда функциональный ряд (1) на множестве П сходится абсолютно и равномерно. А Тек как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем множестве Q, то по признаку сравнения ряд 2 fn(x) сходится при любом х € И, и, следовательно, ряд (1) сходится на П абсолютно.

Докажем равномерную сходимость ряда (1).

Пусть Обозначим через Sn(x) и an частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем Возьмем любое (сколь угодно малое) число е > 0. Тогда из сходимости числового ряда (2) следует существование номера N = N(e) такого, что следовательно, -е для всех номеров п > N(e) и для всех хбП, т.е. ряд (1) сходится равномерно на множестве П. Замечание. Числовой ряд (2) часто называют мажорирующим, или мажорантным, для функционального ряда (1).

Пример 1. Исследовать на равномерную сходимость ряд Неравенство выполняется для всех . и для всех . Числовой ряд сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на всей оси. Пример 2. Исследовать на равномерную сходимость ряд Члены ряда определены и непрерывны на отрезке [-2,2|. Так как на отрезке [-2,2) для любого натурального п, то Таким образом, неравенство выполняется для .

Так как числовой ряд сходится, то по признаку Вейерштрасса исходный функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на отрезке . Замечание. Функциональный ряд (1) может сходится равномерно на множестве Пив том случае, когда не существует числового мажорантного ряда (2), т. е. признак Вейерштрасса яапяется лишь достаточным признаком для равномерной сходимости, но не является необходимым. Пример. Как было показано выше (пример ), ряд равномерно сходится на отрезке 1-1,1].

Однако для него мажорантного сходящегося числового ряда (2) не существует. В самом деле, для всех натуральных п и для всех х € [—1,1) выполняется неравенство причем равенство достигается при . Поэтому члены искомого мажорантного ряда (2) непременно должны удовлетворять условию но числовой ряд ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ Область сходимости Равномерная сходимость Признак Вейерштрасса Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов расходится.

Значит, будет расходиться и ряд £ оп. Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов Равномерно сходящиеся функциональные ряды обладают рядом важных свойств. Теорема 2. Если все члены ряда равномерно сходящегося на отрезке [а, Ь], умножить на одну и ту же функцию д(х), ограниченную на [а, 6], то полученный функциональный ряд будет равномерно сходиться на .

Пусть на отрезке [а, Ь ряд £ fn(x)

равномерно сходится к функции 5(ж), а функ- ция д(х) ограничена, т. е. существует постоянная С > 0 такая, что По определению равномерной сходимости ряда для любого числа е > 0 существует номер N такой, что для всех п > N и для всех х € [а, Ь] будет выполняться неравенство где 5n(ar) — частичная сумма рассматриваемого ряда.

Поэтому будем иметь и для любого . ряд равномерно сходится на [а, Ь| к функции Теорема 3. Пусть все члены fn(x) функционального ряда непрерывны и ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ь. Тогда сумма S(x) ряда непрерывна на этом отрезке. М Возьмем на отрезке [о, Ь] две произвольные точки гиг + Ах. Так как данный ряд сходится на отрезке [а, Ь] равномерно, то для любого числа е > О найдется номер N = N(e) такой, что для всех я > N будут выполняться неравенства где5„(ж) — частичные суммы ряда fn{x).

Эти частичные суммы 5„(ж) непрерывны на отрезке [а, 6] как суммы конечного числа непрерывных на [а, 6) функций fn(x). Поэтому для фиксированного номера no > N(e) и взятого числа е найдется число 6 = 6(e) > 0 такое, что для приращения Ах, удовлетворяющего условию |, будет иметь место неравенство Приращение AS суммы S(x) можно представить в следующем виде: откуда . Учитывая неравенства (1) и (2), для приращений Ах, удовлетворяющих условию |, получим Это означает, что сумма Six) непрерывна в точке х.

Так как х является произвольной точкой отрезка [а, 6], то 5(ж) непрерывна на |а, 6|. Замечание. Функциональный ряд члены которого непрерывны на отрезке [а, 6), но который сходится на (а, 6] неравномерно, может иметь суммой разрывную функцию. Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд на отрезке |0,1). Вычислим его n-ю частичную сумму Поэтому Она разрывна на отрезке [0,1], хотя члены ряда непрерывны на нем.

В силу доказанной теоремы данный ряд не является равномерно сходящимся на отрезке [0,1]. Пример 2. Рассмотрим ряд Как было показано выше, этот ряд сходится при , ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса, так как 1 и числовой ряд сходится. Следовательно, для любого х > 1 сумма этого ряда непрерывна. Замечание. Функция называется функцией Рима на (эта функция играет большую роль в теории чисел). Теорема 4 (о почленном интегрировании функционального ряда).

Пусть все члены fn(x) ряда непрерывны, и ряд сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функции S(x). Тогда справедливо равенство В силу непрерывности функций f„(x) и равномерной сходимости данного ряда на отрезке [а, 6] его сумма 5(ж) непрерывна и, следовательно, интегрируема на [a, ft].

Рассмотрим разность

Из равномерной сходимости ряда на [о, Ь] следует, что для любого е > 0 найдется число N(e) > 0 такое, что для всех номеров п > N(e) и для всех х € [а, 6] будет выполняться неравенство Если ряд fn(0 не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря, нельзя почленно интегрировать, т. е. Теорема 5 (о почленном дифференцировании функционального ряда). Пусть все члены сходящегося ряда 00 имеют непрерывные производные и ряд составленный из этих производных, равномерно сходится на отрезке [а, Ь].

Тогда в любой точке справедливо равенство т. е. данный ряд можно почленно дифференцировать. М Положим Возьмем две любые точки . Тогда в силу теоремы 4 будем иметь Функция o-(x) непрерывна как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Поэтому, дифференцируя равенство получим Упражнения Найдите области сходимости данных функциональных рядов: Пользуясь признаком Вейерштрасса, докажите равномерную сходимость данных функциональных рядов на указанных интервалах:

Лекции:

Производные тригонометрических функций
Производная произведения
Вычислить определенный интеграл
Производная показательной функции
Общее решение дифференциального уравнения
Найти фундаментальную систему решений
Квадратичные формы
Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма
Метод неопределенных коэффициентов
Несобственный интеграл первого рода

Источник

Функциональные последовательности и ряды
в комплексной области

Основные понятия, связанные с функциональными последовательностями и рядами в комплексной области, вводятся так же, как и в действительной.

Определение функциональной последовательности

1. Рассмотрим функции f_1(z),f_2(z),ldots,f_n(z) , определенные на некотором множестве . Для любой точки z_0 этого множества (z_0in M) получаем последовательность комплексных чисел ${c_n},~n=1,2ldots$ , где c_n=f_n(z_0) . Если последовательность ${c_n}$ сходится, т.е. существует предел последовательности $lim_{ntoinfty}c_n=A$ , или, что то же самое, $lim_{ntoinfty}f_n(z_0)=A$ , то говорят, что функциональная последовательность ${f_n(z_0)}$ сходится в точке z_0 .

Множество точек , для которых существует предел последовательности $bigl{f_n(z)bigr}_{ninmathbb{N}}$ , называется областью сходимости функциональной последовательности (область ).

Пределом функциональной последовательности является функция, которая называется предельной функцией последовательности: $lim_{ntoinfty}f_n(z)=f(z),~zin D$ , что можно записать, учитывая определение сходимости числовой последовательности, следующим образом:

$lim_{ntoinfty}f_n(z)=f(z),~zin D quad Leftrightarrowquad forall varepsilon>0quad exists N(varepsilon,z)colon, bigl|f_n(z)-f(z)bigr|<varepsilon$ для n>N(varepsilon,z),~zin D .

Заметим, что в отличие от числовой последовательности (см. соответствующее определение) номер зависит не только от varepsilon , но и от .

Это естественно, так как для каждого фиксированного zin D получает определенная числовая последовательность и для нее номер , начиная с которого выполняется соответствующее неравенство, свой при одном и том же выбранном значении varepsilon . Для различных значений z_kin D получаем различные N(varepsilon,z_k) , т.е. последовательность номеров N_k,~k=1,2,ldots .

Равномерная сходимость функциональной последовательности

2. Если последовательность N_k,~k=1,2,ldots ограничена, т.е. существует N=N(varepsilon) , такое, что N_k<N для любого , то говорят, что функциональная последовательность f_n(z) сходится к f(z) на множестве равномерно, что обозначается f_n(z)Rightarrow f(z) . Таким образом,

f_n(z)Rightarrow f(z),~zin Dquad Leftrightarrowquad forall varepsilon>0quad exists N(varepsilon)colon, bigl|f_n(z)-f(z)bigr|<varepsilon для n>N(varepsilon) и forall zin D .

Функциональный ряд в комплексной области

3. Ряд, членами которого являются функции комплексного переменного u_n(z),~ n=1,2,ldots , определенные на некотором множестве комплексной плоскости, называется функциональным рядом в комплексной плоскости и обозначается

$sum_{n=1}^{infty}u_n(z).$

(3.1)

4. Последовательность $bigl{S_n(z)bigr}_{ninmathbb{N}}$ , где $S_n(z)= sum_{k=1}^{n}u_k(z)$ , называется последовательностью частичных сумм ряда (3.1), где S_1(z)= u_1(z),S_2(z)=u_1(z)+u_2(z),ldots — частичные суммы.

5. Ряд (3.1) называется сходящимся ни множестве , если на множестве сходится последовательность его частичных сумм, т.е. существует предел этой последовательности, который называется суммой ряда S(z)colon

$lim_{ntoinfty}S_n(z)=S(z),~ zin D;qquad sum_{n=1}^{infty}u_n(z)=S(z),~ zin D.$

(3.2)

Область сходимости и равномерная сходимость рядов

6. Множество точек zin D , для которых сходится ряд, называется областью сходимости ряда (3.1). Очевидно, для суммы S(z) ряда в области сходимости справедливо неравенство

$bigl|S_n(z)-S(z)bigr|<varepsilonquad text{for}quad n>N(varepsilon,z),~ zin D.$

(3.3)

7. Ряд (3.1) называется равномерно сходящимся на множестве , если на этом множестве равномерно сходится последовательность ${S_n(z)}$ , то есть

$bigl|S_n(z)-S(z)bigr|<varepsilonquad text{for}quad n>N(varepsilon),~ forall zin D.$

(3.4)

Равномерно сходящиеся ряды (и последовательности) непрерывных функций комплексной переменной, как и аналогичные ряды в действительной области, обладают свойствами конечных сумм, в частности сумма такого ряда является функцией, непрерывной на множестве, где ряд сходится равномерно. Кроме того, ряд можно почленно интегрировать. Это означает, что полученный ряд, т.е. ряд, членами которого являются интегралы от членов данного ряда, сходится и его сумма равна интегралу от суммы данного ряда:

$sum_{n=1}^{infty}int u_n(z),dz= int sum_{n=1}^{infty}u_n(z),dz= int S(z),dz,.$

(3.5)

Признак Вейерштрасса и равномерная сходимость

8. Для исследования функционального ряда на равномерную сходимость и нахождения области его равномерной сходимости можно использовать, как и в действительной области, достаточный признак равномерной сходимости.

Теорема 3.1 (признак Вейерштрасса). Если ряд (3.1) на множестве мажорируется сходящимся числовым рядом с положительными членами, то он сходится на равномерно, т.е. из условия

$bigl|u_n(z)bigr|<c_n,~ n>k,~ kgeqslant1,~ zin D;qquad sum_{n=1}^{infty}c_n~ text{shoditsya},~c_n>0$

(3.6)

следует равномерная сходимость ряда (3.1) на множестве .

9. Для равномерно сходящихся рядов аналитических функций справедливы отмеченные выше свойства непрерывности суммы ряда и почленного интегрирования. Кроме того, имеет место свойство, связанное с почленным дифференцированием ряда.

Теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций

Теорема 3.2 (теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций). Если ряд (3.1) аналитических в области функций u_n(z) равномерно сходится внутри , т.е. на любом замкнутом подмножестве overline{B}subset D , то сумма S(z) ряда аналитична в ; ряд можно почленно дифференцировать любое число раз, причем ряд, членами которого являются производные $u_n^{(k)}(z)$ , равномерно сходится на любом overline{B}subset D , и сумма такого ряда равна производной $S^{(k)}(z)$ от суммы исходного ряда, т.е.

$sum_{n=1}^{infty}u_{n}^{(k)}(z)= S_{n}^{(k)}(z),quad kin mathbb{N}.$

(3.7)

Нахождение области сходимости рядов

Так как по определению ряд (3.1) сходится в точке z_0 , если сходится числовой ряд $sum_{n=1}^{infty}u_n(z_0)$ , то для нахождения всех таких точек, т.е. области сходимости ряда, можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов (признаки абсолютной сводимости). Так, можно найти пределы:

$lim_{ntoinfty}left|frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}right|=bigl|f(z)bigr|,qquad lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{bigl|u_n(z)bigr|}= bigl|f(z)bigr|.$

(3.8)

Согласно признакам Даламбера (в первом случае) и Коши (во втором случае) область абсолютной сходимости ряда образуют те точки , для которых |f(z)|<1 .

Граничные точки, т.е. точки, для которых выполняется равенство |f(z)|<1 , могут быть как точками абсолютной или условной сходимости, так и точками расходимости.

Примеры исследования сходимости рядов с комплексными членами

Пример 3.1. Исследовать сходимость рядов с комплексными членами:

а) $sum_{n=1}^{infty}z^n$ ; б) $frac{z^n}{2^n}$ ; в) $sum_{n=1}^{infty} n!z^n$ ; г) $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{n!}$ .

Решение

Все ряды, очевидно, сходятся в точке z=0 , так как $lim_{ntoinfty}S_n(0)=0$ . Исследуем их сходимость в других точках. Для первых двух рядов используем признак Коши (найдем $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|u_n(z)|}=|f(z)|$ ), а для других — признак Даламбера (найдем $lim_{ntoinfty} left|frac{u_{n+1}(z)}{u_n(z)}right|= |f(z)|$ ).

а) Имеем $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|z|^n}=|z|$ ; неравенство |z|<1 определяет область сходимости ряда. Границей области является окружность |z|<1 или, в комплексной форме, $z=e^{ivarphi},~ 0leqslantvarphi<2pi$ . Для точек границы получаем числовые ряды вида $sum_{n=1}^{infty}e^{invarphi}$ , или $sum_{n=1}^{infty} cos nvarphi+ i sum_{n=1}^{infty}sin nvarphi$ , очевидно, расходящиеся, так как пределы $lim_{ntoinfty}cos nvarphi$ и $lim_{ntoinfty}sin nvarphi$ не существуют. Область сходимости ряда — круг |z|<1 .

б) $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{left|frac{z^n}{2^n}right|}= frac{|z|}{2}<1$ . Неравенство |z|<2 определяет область сходимости ряда. В точках границы, уравнение которой $z=2e^{ivarphi}$ , получаем расходящиеся ряды. Область сходимости ряда — круг |z|<2 .

в) $lim_{ntoinfty}left|frac{(n+1)!z^{n+1}}{n!z^n}right|= |z| lim_{ntoinfty}(n+1)=infty$ для любого zne0 . Ряд сходится только в одной точке z=0 .

г) $lim_{ntoinfty}left|frac{z^{n+1}n!}{(n+1)!z^n}right|= |z|lim_{ntoinfty}frac{1}{n+1}= 0<1$ для любого zne0 . Ряд сходится всюду, во всей комплексной плоскости mathbb{C} .

Пример 3.2. Исследовать сходимость комплексных функциональных рядов:

а) $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{z^n}$ ; б) $sum_{n=1}^{infty}frac{2^n}{z^n}$ ; в) $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n!z^n}$ ; г) $sum_{n=1}^{infty}frac{n!}{z^n}$ .

Решение

Пример 3.3. Найти области сходимости рядов: а) $sum_{n=1}^{infty}3^n(z-i)^n$ ; б) $sum_{n=1}^{infty}frac{n}{2^{n^2}(z+i)^n}$ .

Решение

Пример 3.4. Исследовать сходимость комплексного ряда $sum_{n=1}^{infty} left(frac{2^n}{z^n}+ frac{z^n}{3^n}right)$ .

Решение

Общий член данного ряда имеет вид $u_n(z)= frac{2^n}{z^n}+ frac{z^n}{3^n}$ , то есть

$u_1(z)= frac{2}{z}+frac{z}{3}=frac{6+z^2}{3z},quad u_2(z)= frac{4}{z^2}+ frac{z^2}{9}= frac{36+z^4}{9z^2},quad ldots$

Рассмотрим два вспомогательных ряда $sum_{n=1}^{infty}frac{2^n}{z^n}$ и $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{3^n}$ , найдем их области сходимости. Первый ряд сходится в области |z|>2 , второй — в круге |z|<3 (см. п. “б” примеров 3.1 и 3.2). Пересечение областей сходимости рядов образует кольцо 2<|z|<3 . В любой точке этого кольца сходятся оба ряда, т.е. сходятся соответствующие числовые ряды. По свойствам числовых рядов сходящиеся ряды можно складывать, общий член полученного при сложении ряда равен сумме общих членов рядов — слагаемых. В данном случае, складывая два ряда, сходящиеся при любом , принадлежащем кольцу 2<|z|<3 , получим ряд с общим членом $left(frac{2^n}{z^n}+ frac{z^n}{3^n}right)$ . Следовательно, исходный функциональный ряд сходится в кольце 2<|z|<3 .

Пример 3.5. Найти область сходимости ряда $sum_{n=1}^{infty} left(frac{z-2i}{z+i}right)^n$ .

Решение

Находим предел $lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{|u_n(z)|}= lim_{ntoinfty}sqrt[LARGE{n}]{left|frac{z-2i}{z+i}right|^n|}= left|frac{z-2i}{z+i}right|$ . Область сходимости определяем из неравенства $left|frac{z-2i}{z+i}right|<1$ , то есть |z-2i|<|z+i| . Границей множества является линия, комплексное уравнение которой |z-2i|= |z+i| . Геометрически — это прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки z=2i и z=-i перпендикулярно этому отрезку. Уравнение этой линии $y=frac{1}{2}$ , то есть $operatorname{Im}z= frac{1}{2}$ . Эта линия разделяет плоскость на две части: $operatorname{Im}z>frac{1}{2}$ и $operatorname{Im}z<frac{1}{2}$ . Областью сходимости ряда будет Imz > —, так как, например, для точки z=i , принадлежащей этой области, неравенство |z-2i|< |z+i| выполняется.

Пример 3.6. Доказать, что ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{z^n}{3^n}$ сходится равномерно в круге |z|<1 .

Решение

Для точек , удовлетворяющих неравенству |z|<1 , выполняется неравенство $left|frac{z^n}{3^n}right|<frac{1}{3^n}$ , т.е. функциональный ряд в круге |z|<1 мажорируется числовым рядом $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{3^n}$ . Так как ряд $sum_{n=1}^{infty}left(frac{1}{3}right)^n$ сходится, то по признаку Вейерштрасса данный функциональный ряд в круге |z|<1 сходится равномерно.

Заметим, что, очевидно, ряд сходится равномерно и в большей области, а именно в любой области overline{B} вида |z|leqslant r,~ 0<r<3 , так как мажорируется в этой области сходящимся числовым рядом: $left|frac{z}{3}right|^n leqslant left(frac{r}{3} right)^n=q^n$ , а при q<1 ряд $sum_{n=1}^{infty}q^n$ сходящийся. Как отмечено выше, в таком случае говорят, что ряд сходится равномерно внутри круга |z|<3 .

Пример 3.7. Найти область равномерной сходимости ряда $sum_{n=1}^{infty} frac{e^{nz}}{n^2}$ .

Решение

Воспользуемся признаком Вейерштрасса. Поскольку числовой ряд $sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$ сходится, то область равномерной сходимости данного ряда будут составлять те , для которых справедливо неравенство $|e^{nz}|<1$ , так как при этом справедливо неравенство $left|frac{e^{nz}}{n^2} right|<frac{1}{n^2}$ . Учитывая равенство $|e^z|=e^{operatorname{Re}z}$ , получаем $|e^{nz}|=e^{nx}$ . Для нахождения области равномерной сходимости нужно рассмотреть неравенство $e^{nx}<1$ , которое, очевидно, выполняется при любых отрицательных значениях . Поэтому областью равномерной сходимости данного ряда является множество operatorname{Re}z<0 — левая полуплоскость, или любое множество вида operatorname{Re}zleqslant a,~ a<0 .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов

разделов

от теории до практики

примеров

Примеры решения задач

видео

Примеры решения задач

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Начать изучение
Сходимость последовательности функций.

Начать изучение
Сходимость функционального ряда.

Начать изучение
Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Начать изучение
Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Начать изучение
Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Начать изучение
Неравномерная сходимость последовательности функций.

Начать изучение
Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Начать изучение
Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Начать изучение
Признак Вейерштрасса.

Начать изучение
Признак Дирихле.

Начать изучение
Признак Абеля.

Начать изучение
Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Начать изучение
Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Начать изучение
Почленное интегрирование функционального ряда.

Начать изучение
Почленное дифференцирование функционального ряда.

Начать изучение

Сходимость функциональной последовательности и ряда.

Сходимость последовательности функций.

Пусть функции (f_{n}(x)), (n in mathbb{N}), определены на множестве (E) и пусть (x_{0} in E). Если числовая последовательность ({f_{n}(x_{0})}) сходится, то последовательность функций ({f_{n}(x)}) сходится в точке (x_{0}).

Последовательность ({f_{n}(x)}), сходящуюся в каждой точке (x in E), называют сходящейся на множестве (E). В этом случае на множестве (E) определена функция (f(x)), значение которой в любой точке (x in E) равно пределу последовательности ({f_{n}(x)}). Эту функцию называют предельной функцией последовательности ({f_{n}(x)}) на множестве (E) и пишут
$$
lim_{n rightarrow infty}f_{n}(x) = f(x), x in E,label{ref1}
$$
или
$$
f_{n}(x) rightarrow f(x), x in E,nonumber
$$
или, короче,
$$
f_{n} xrightarrow[E]{} f.nonumber
$$

По определению предела запись eqref{ref1} означает, что
$$
forall x in E forall varepsilon > 0 exists N = N_{varepsilon}(x): forall n geq N rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| < varepsilon.nonumber
$$

Пример 1.

Найти предельную функцию (f(x)) последовательности ({f_{n}(x)}) на множестве (E), если:

$$
f_{n}(x) = frac{n + 1}{n + x^{2}}, E = mathbb{R};nonumber
$$
$$
f_{n}(x) = n sin frac{1}{nx}, E = (0, + infty).nonumber
$$

Решение.

(vartriangle) Так как (f_{n}(x) = displaystylefrac{1 + displaystylefrac{1}{n}}{1 + frac{displaystyle x^{2}}{n}}), то (f(x) = 1).
Используя асимптотическую формулу (sin t sim t) при (t rightarrow 0), получаем (displaystyle n sin frac{1}{nx} sim nfrac{1}{nx}) при (n rightarrow infty), если (x neq 0).Поэтому (f(x) = displaystylefrac{1}{x}). (blacktriangle)

Сходимость функционального ряда.

Пусть функции (u_{n}(x)), (n in mathbb{N}), определены на множестве (E) и пусть для каждого (x in E) существует конечный предел последовательности ({S_{n}(x)}), где (S_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)). Тогда ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x),label{ref2}
$$
называют сходящимся на множестве (E).

Если (S(x)) — предельная функция последовательности ({S_{n}(x)}) на множестве (E), то есть
$$
lim_{n rightarrow infty}S_{n}(x) = S(x), x in E,nonumber
$$
то функцию называют (S(x)) суммой ряда eqref{ref2} и пишут
$$
sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x) = S(x), x in E.nonumber
$$
Например, если (u_{n}(x) = x^{n-1}), (E = (-1,1)), то (S_{n}(x) = displaystylefrac{1-x^{n}}{1-x}), (S(x) = displaystylefrac{1}{1-x}). Если в каждой точке (x in E) сходится ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}|u_{n}(x)|), то ряд eqref{ref2} называют абсолютно сходящимся на множестве (E).

Равномерная сходимость функциональной последовательности.

Понятие равномерной сходимости последовательности функций.

Определение.

Последовательность функций
$$
{f_{n}(x)}nonumber
$$
называется равномерно сходящейся на множестве (E) к функции (f(x)), если
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |f_{n}(x)-f(x)|<varepsilon.label{ref3}
$$

В этом определении существенно, что номер (N_{varepsilon}) не зависит от (x). Если справедливо утверждение eqref{ref3}, то пишут
$$
f_{n}(x) rightrightarrows f(x), x in E,nonumber
$$
или
$$
f_{n} underset{E}rightrightarrows f.nonumber
$$

Говорят, что последовательность ({f_{n}(x)}) равномерно сходится на множестве (E), если существует функция (f), удовлетворяющая условию eqref{ref3}.

Если существуют числовая последовательность ({a_{n}}) и номер (n_{0}) такие, что
$$
forall n geq n_{0} forall x in E rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| leq a_{n},nonumber
$$
причем (displaystylelim_{n rightarrow infty}a_{n} = 0), то
$$
f_{n}(x) underset{E}rightrightarrows f(x), x in E.nonumber
$$

Пример 2.

Доказать, что последовательность ({f_{n}(x)}) равномерно сходится на множестве (E), и найти ее предельную функцию (f(x)), если:

(displaystyle f_{n}(x) = frac{n + 1}{n + x^{2}}, E = [-1, 1];)
(displaystyle f_{n}(x) = sqrt{x^{2} + frac{1}{n}}, E = mathbb{R};)
(displaystyle f_{n}(x) = frac{operatorname{arctg} n^{2}x}{sqrt[3]{n + x}}, E = [0, +infty));
(displaystyle f_{n}(x) = n sin frac{1}{nx}, E = [1, +infty)).

Решение.

(vartriangle) В этом случае (f(x) = 1) (пример 1) и (|f_{n}(x)-f(x)| = displaystylefrac{1-x^{2}}{n + x^{2}} leq frac{1}{n}), так как (|x| leq 1). Следовательно,
$$
frac{n + 1}{n + x^{2}} rightrightarrows 1, x in [-1, 1].nonumber
$$
Используя неравенство (x^{2} + displaystylefrac{1}{n} leq left(|x| + frac{1}{sqrt{n}}right)^{2}), получаем (0 leq displaystylesqrt{x^{2} + frac{1}{n}}-sqrt{x^{2}} leq |x| + frac{1}{sqrt{n}}-|x| = frac{1}{sqrt{n}}), откуда следует, что
$$
sqrt{x^{2} + frac{1}{n}} rightrightarrows |x|, x in mathbb{R}.nonumber
$$
Так как (0 leq operatorname{arctg} x leq displaystylefrac{pi}{2}) и (sqrt[3]{n + x} geq sqrt[3]{n}) при (x > 0), то (0 leq f_{n}(x) leq displaystylefrac{pi}{2sqrt[3]{n}}), откуда получаем (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in E).
В этом случае (f(x) = displaystylefrac{1}{x}) (пример 1). Используя неравенство (|sin t-t| leq displaystylefrac{t^{2}}{2}, t in mathbb{R}) (пример разобран здесь), получаем
$$
|f_{n}(x)-f(x)| = n left|sin frac{1}{nx}-frac{1}{nx}right| leq frac{n}{2(nx)^{2}} leq frac{1}{2n},nonumber
$$
так как (x geq 1). Следовательно,
$$
n sin frac{1}{nx} rightrightarrows frac{1}{x}, x in [1, +infty). blacktrianglenonumber
$$

Критерии равномерной сходимости последовательности функций.

Теорема 1.

Чтобы последовательность функций ({f_{n}(x)}), определенных на множестве (E), сходилась равномерно на этом множестве к функции (f(x)), необходимо и достаточно, чтобы
$$
lim_{n rightarrow infty} sup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)| = 0.label{ref4}
$$

Доказательство.

(circ) Обозначим (sigma_{n} = displaystylesup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)|). Тогда условие eqref{ref4} означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists n_{varepsilon}: forall n geq n_{varepsilon} rightarrow sigma_{n} < varepsilon.label{ref5}
$$

Если (f_{n}(x) rightrightarrows f(x)), (x in E), то
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| < frac{varepsilon}{2},nonumber
$$
откуда следует, что (sigma_{n} leq displaystylefrac{varepsilon}{2} < varepsilon) для (n geq N_{varepsilon}). Поэтому неравенство (sigma_{n} < varepsilon) выполняется при всех (n geq N_{varepsilon}), где (n_{varepsilon} = N_{varepsilon}). Обратно, если выполняется условие eqref{ref4} или равносильное ему условие eqref{ref5}, то, используя неравенство (|f_{n}(x)-f(x)| leq sigma_{n}) для (x in E), (n in mathbb{N}), получаем (|f_{n}(x)-f(x)| < varepsilon) для (x in E), (n geq n_{varepsilon}), то есть (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in E). (bullet)

Пример 3.

Доказать, что последовательность ({f_{n}(x)}) сходится равномерно на множестве (E), и найти предельную функцию (f(x)), если:

(f_{n}(x) = displaystylefrac{2n^{2}x}{1 + n^{alpha}x^{2}}), (alpha > 4), (E = mathbb{R});
(f_{n}(x) = displaystyle x^{n}-x^{n + 1}), (E = [0, 1]);
(f_{n}(x) = displaystyle nx^{2}e^{-nx}), (E = [2, +infty)).

Решение.

(vartriangle) Если (x = 0), то (f_{n}(0) = 0) для всех (n in mathbb{N}), и поэтому (displaystylelim_{n rightarrow infty}f_{n}(0) = f(0) = 0). Если (x neq 0), то (|f_{n}(x)| leq displaystylefrac{2n^{2}|x|}{n^{alpha}x^{2}} = frac{2}{|x|n^{alpha-2}}), откуда следует, что (f_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty), так как (alpha > 4). Таким образом, предельная функция (f(x) = 0), (x in mathbb{R}).
Так как при (x neq 0) справедливо неравенство (1 + n^{alpha}x^{2} geq 2n^{alpha/2}|x|), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда (n^{alpha}x^{2} = 1), то есть (|x| = n^{-alpha/2}), то
$$
|f_{n}(x)-f(x)| leq frac{2n^{2}|x|}{2n^{alpha/2}|x|} = frac{1}{n^{alpha/2-2}}, x neq 0.nonumber
$$
Следовательно, (displaystylesup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)| = frac{1}{n^{alpha/2-2}} rightarrow 0) при (n rightarrow infty), если (alpha > 4), и поэтому (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in R).
Если (x in [0, 1)), то (x^{n} rightarrow 0) при (n rightarrow infty), и поэтому (f_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty). Если (x = 1), то (f_{n}(1) = 0), и поэтому (f(1) = 0). Следовательно, (f(x) = 0), (x in [0, 1]).Чтобы вычислить (displaystylesup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)| = sup_{x in E} |f_{n}(x)|), найдем точки экстремума функции (f_{n}(x)).Уравнение (f_{n}'(x) = nx^{n-1}-(n + 1)x^{n} = x^{n-1}(n-x(n + 1)) = 0) имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень (x_{n} = displaystylefrac{n}{n + 1}), причем (f_{n}(x_{n}) = displaystyleleft(frac{n}{n + 1}right)^{n}frac{1}{n}). Заметим, что (f_{n}'(x) > 0) при (x in (0, x_{n})) и (f_{n}'(x) < 0) при (x in (x_{n}, 1)). Поэтому (displaystylesup_{x in E} f_{n}(x) = max_{x in E} f_{n}(x) = f_{n}(x_{n} < frac{1}{n}) для всех (n in mathbb{N}) и, согласно теореме 1, (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in [0, 1]).
Учитывая, что (te^{-alpha t} rightarrow 0) при (t rightarrow +infty) (если (alpha > 0)), находим (lim_{n rightarrow infty} f_{n}(x) = f(x) = 0), (x in [0, +infty]).
Так как (f_{n}'(x) = nxe^{-nx}(2-xn) < 0) при (x > displaystylefrac{2}{n}), то функция (f_{n}(x)) является убывающей на промежутке (displaystyleleft[frac{2}{n}, +inftyright)), и поэтому
$$
sup_{x in E} f_{n}(x) leq f_{n}left(frac{2}{n}right) = frac{4}{n}e^{-2} rightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty.nonumber
$$По теореме 1 последовательность ({f_{n}(x)}) равномерно сходится к (f(x) = 0) на множестве (E = [2, +infty)). (blacktriangle)

Теорема 2.

(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Чтобы последовательность функций ({f_{n}(x)}) сходилась равномерно на множестве (E), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow |f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| < varepsilon.label{ref6}
$$

Доказательство.

(circ) Необходимость. Пусть (f_{n}(x) rightrightarrows f(x)), (x in E). Тогда по определению равномерной сходимости
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall k geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |f_{k}(x)-f(x)| < frac{varepsilon}{2}.label{ref7}
$$
В частности, eqref{ref7} выполняется при (k = n), если (n geq N_{varepsilon}), и при (k = n + p) для (p in mathbb{N}), то есть
$$
|f_{n}(x)-f_(x)| < frac{varepsilon}{2},quad |f_{n + p}(x)-f_(x)| < frac{varepsilon}{2},nonumber
$$
откуда следует, что
$$
|f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| = |(f_{n + p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f_(x))| leq\
leq |f_{n + p}(x)-f(x)| + |f_{n}(x)-f_(x)| < frac{varepsilon}{2} + frac{varepsilon}{2} = varepsilon,nonumber
$$
то есть выполняется условие eqref{ref6}.

Достаточность. Заметим, что числовая последовательность ({f_{n}(x_{0})}), где (x_{0}) — фиксированная точка множества (E), удовлетворяет условию Коши eqref{ref6} и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный
$$
lim_{n rightarrow infty}f_{n}(x_{0}).label{ref8}
$$
Так как предел eqref{ref8} существует для каждого (x_{0} in E), то на множестве (E) определена функция (обозначим ее (f(x))), которая является предельной функцией для последовательности ({f_{n}(x)}) на множестве (E).

Запишем условие Коши eqref{ref6} в виде
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow |f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| < frac{varepsilon}{2}.label{ref9}
$$
Переходя в неравенстве eqref{ref9} к пределу при (p rightarrow infty) (при каждом фиксированном (n geq N_{varepsilon}) и фиксированном (x in E)) и учитывая, что существует (displaystylelim_{p rightarrow infty}f_{n + p}(x) = f(x)), получаем неравенство
$$
|f(x)-f_{n}(x)| leq frac{varepsilon}{2} < varepsilon,nonumber
$$
справедливое при всех (n geq N_{varepsilon}) и для всех (x in E). Это означает, что
$$
f_{n}(x) rightrightarrows f(x), x in E. bulletnonumber
$$

Неравномерная сходимость последовательности функций.

Последовательность ({f_{n}(x)}) не является равномерно сходящейся на множестве (E), если условие Коши eqref{ref6} не выполняется, то есть
$$
exists varepsilon_{0} > 0: forall k in mathbb{N} exists n geq k exists p in mathbb{N} exists tilde{x} in E: |f_{n + p}(tilde{x})-f_{n}(tilde{x})| geq varepsilon_{0}.label{ref10}
$$

Пример 4.

Доказать, что последовательность ({f_{n}(x)}), где (f_{n}(x) = displaystylefrac{ln nx}{sqrt{nx}}), не является равномерно сходящейся на множестве (E = (0, 1)).

Решение.

(vartriangle) Для любого (k in mathbb{N}) возьмем (p = k = n), (tilde{x} = 1/k = 1/n). Тогда
$$
|f_{n + p}(tilde{x})-f_{n}(tilde{x})| = left|f_{2n}(frac{1}{n})-f_{n} (frac{1}{n})right| = left|frac{ln 2}{sqrt{2}}-ln 1right| = frac{ln 2}{sqrt{2}} = varepsilon_{0},nonumber
$$
то есть выполняется условие eqref{ref10}, и поэтому последовательность ({f_{n}(x)}) не является равномерно сходящейся на (E). (blacktriangle)

Если существует предельная функция (f(x)) последовательности ({f_{n}(x)}) на множестве (E), но не выполняется условие eqref{ref3}, то есть
$$
exists varepsilon_{0} > 0: forall k in mathbb{N} exists n geq k exists tilde{x} in E: |f_{n}(tilde{x})-f(tilde{x})| geq varepsilon_{0},label{ref11}
$$
то говорят, что последовательность ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к функции (f(x)).

Пример 5.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве (E) последовательность ({f_{n}(x)}), если:

(displaystyle f_{n}(x) = x^{n}-x^{2n}, E = [0, 1];)
(displaystyle f_{n}(x) = nsin frac{1}{nx}, E = (0, 1].)

Решение.

(vartriangle) В этом случае предельная функция (f(x) = 0), (x in E). Для любого (k in mathbb{N}) возьмем (n = k), (tilde{x} = 1/sqrt[n]{2}). Тогда (tilde{x} in E) при любом (n in mathbb{N}) и (|f_{n}(tilde{x})-f(tilde{x})| = displaystyle f_{n}left(frac{1}{n}right) = frac{1}{2}-frac{1}{4} = varepsilon_{0}), то есть выполняется условие eqref{ref11}, и поэтому последовательность ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к (f(x) = 0).
Здесь предельная функция (f(x) = x^{-1}) на множестве (x > 0) (пример 1). Возьмем (tilde{x} = 1/n). Тогда (|f_{n}(tilde{x})-f(tilde{x})| = |n sin 1-n| geq 1-sin 1 = varepsilon_{0}) для любого (n in mathbb{N}), и поэтому ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к (x^{-1}). (blacktriangle)

Неравномерную сходимость последовательности можно установить, используя теорему 1. Если условие eqref{ref4} не выполняется, то есть
$$
sup_{x in E}|f_{n}(x)-f(x)| nrightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty,label{ref12}
$$
то ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к (f(x)).

Пример 6.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость последовательность (f_{n}(x) = n^{2}x^{2}e^{-nx}), (E = (0, 2)).

Решение.

(vartriangle) Предельная функция (f(x) = 0), (x in E). Так как уравнение (f_{n}'(x) = n^{2}xe^{-nx}(2-xn)) имеет на интервале (0,2) единственный корень (x_{n} = 2/n), причем (f_{n}'(x) > 0) при (x in (0, x_{n})) и (f_{n}'(x) < 0) при (x in (x_{n}, 2)), то (displaystylesup_{x in E} f_{n}(x_{n}) = f_{n}(x_{n}) = 4e^{-1}). Таким образом, выполняется условие eqref{ref12}, и поэтому ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к 0. (blacktriangle)

Определение и критерий равномерной сходимости функционального ряда.

Пусть функции (u_{n}(x)), (n in mathbb{N}), определены на множестве (E). Обозначим
$$
S_{n}(x) = sum_{k = 1}^{n}u_{k}(x).label{ref13}
$$

Определение.

Ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x),label{ref14}
$$
называется равномерно сходящимся на множестве (E), если на этом множестве определена функция (S(x)) такая, что
$$
S_{n}(x) rightrightarrows S(x), x in E.label{ref15}
$$

Согласно определению равномерной сходимости последовательности функций запись eqref{ref15} означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |S_{n}(x)-S(x)| < varepsilon.label{ref16}
$$
где (S(x)) — сумма ряда (14), a (S_{n}(x)) определяется формулой eqref{ref13}.

Пусть (r_{n}(x) = S(x)-S_{n}(x)), то есть (r_{n}(x)) — (n)-й остаток ряда eqref{ref14}. Тогда условие eqref{ref15} примет вид
$$
r_{n}(x) rightrightarrows 0,quad x in E.nonumber
$$
Это означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |r_{n}(x)| < varepsilon.label{ref17}
$$

В силу теоремы 1 для равномерной сходимости ряда eqref{ref14} на множестве (E) необходимо и достаточно, чтобы
$$
sup_{x in E}|r_{n}(x)| rightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty,label{ref18}
$$

Если ряд eqref{ref14} сходится на множестве (E), но не выполняется условие eqref{ref17} или равносильное ему условие eqref{ref18}, то говорят, что ряд eqref{ref14} сходится неравномерно на множестве (E).

Следовательно, если
$$
exists varepsilon_{0} > 0: forall k in mathbb{N} exists n geq k exists tilde{x} in E: |r_{n}(tilde{x})| geq varepsilon_{0},label{ref19}
$$
или
$$
sup_{x in E}|r_{n}(x)| nrightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty,label{ref20}
$$
то ряд eqref{ref14} сходится неравномерно на множестве (E).

Пример 7.

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)), если:

(u_{n}(x) = x^{n-1}, E_{1} = (-q, q), mbox{где} 0 < q < 1, E_{2} = (-1, 1));
(u_{n}(x) = displaystylefrac{x}{(1 + nx)(1 + (n + 1)x)}, E_{1} = (delta, +infty), mbox{где} delta > 0, E_{2} = (0, +infty));
(u_{n}(x) = displaystylefrac{(-1)^{n}}{sqrt{n + x}}, E = (0, +infty)).

Решение.

(vartriangle) В этом случае (S_{n}(x) = displaystylefrac{1-x^{n}}{1-x}), (S(x) = displaystylefrac{1}{1-x}) для любого (x in E_{2}), то есть ряд сходится на множестве (E_{2}), а значит, и на (E_{1}).Для любого (x in E_{1}) выполняется неравенство (|r_{n}(x)| = displaystyleleft|frac{x^{n}}{1-x}right| leq frac{|x|^{n}}{1-|x|}), откуда следует, что (displaystylesup_{x in E}|r_{n}(x)| leq frac{q^{n}}{1-q}), и поэтому выполняется условие eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве (E_{1}).На множестве (E_{2}) ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем (tilde{x} = displaystyle 1-frac{1}{n}). Тогда (tilde{x} in E) для любого (n in mathbb{N}) и (r_{n}(tilde{x}) = displaystyle nleft(1-frac{1}{n}right)^{n} rightarrow +infty) при (n rightarrow infty), откуда следует, что выполняется условие eqref{ref20}.
Так как (u_{n}(x) = displaystylefrac{1}{1 + nx}-frac{1}{1 + (n + 1)x}), то (S_{n}(x) = displaystylefrac{1}{1 + x}-frac{1}{1 + (n + 1)x}). Если (x in E_{2}), то (S_{n}(x) rightarrow S(x)) при (n rightarrow infty), где (S(x) = displaystylefrac{1}{1 + x}), и поэтому (r_{n}(x) = displaystylefrac{1}{1 + (n + 1)x}).На множестве (E_{1}) ряд сходится равномерно, так как (|r_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{1 + (n + 1)delta}), и поэтому выполняется условие eqref{ref18}, а на множестве (E_{2}) — неравномерно, так как (displaystyle r_{n}left(frac{1}{n + 1}right) = frac{1}{2}), и поэтому выполняется условие eqref{ref20}.
При каждом (x > 0) последовательность (displaystyleleft{frac{1}{sqrt{n + x}}right}) монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty} frac{(-1)^{n}}{sqrt{n + x}}) сходится на множестве (E), причем (|r_{n}(x)| leq |u_{n + 1}(x)| = displaystylefrac{1}{sqrt{n + 1 + x}} leq frac{1}{sqrt{n + 1}}), откуда следует, что выполняется условие eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве (E). (blacktriangle)

Теорема 3.

(критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд eqref{ref14} равномерно сходился на множестве (E), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow left|sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(x)right| < varepsilon.label{ref21}
$$

Доказательство.

(circ) По определению равномерная сходимость ряда eqref{ref14} на множестве (E) означает равномерную сходимость последовательности ({S_{n}(x)}) на (E).

Согласно теореме 2 (S_{n}(x) rightrightarrows S(x)) на (E) тогда и только тогда, когда
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow |S_{n + p}(x)-S_{n}(x)| < varepsilon.label{ref22}
$$
Так как (S_{n + p}(x)-S_{n}(x) = u_{n + 1}(x) + ldots + u_{n + p}(x)), то условие eqref{ref22} равносильно условию eqref{ref21}. (bullet)

Если условие eqref{ref21} не выполняется, то есть
$$
exists varepsilon_{0} > 0: forall m in mathbb{N} exists n geq m exists p in mathbb{N} exists tilde{x} in E: left|sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(tilde{x})right| geq varepsilon_{0},label{ref23}
$$
то ряд eqref{ref14} не является равномерно сходящимся на множестве (E). В частности, если
$$
exists varepsilon_{0} > 0: forall n_{0} in mathbb{N}: forall n geq n_{0} exists x_{n} in E: |u_{n}(x_{n})| geq varepsilon_{0},label{ref24}
$$
то ряд eqref{ref14} не является равномерно сходящимся на множестве (E).

Пример 8.

Доказать, что ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) не является равномерно сходящимся на множестве (E), если:

(u_{n}(x) = displaystylefrac{n^{2}}{x}e^{-n^{2}/x}, E = (0, +infty));
(u_{n}(x) = displaystylefrac{n}{1 + n^{2}x^{2}}operatorname{tg} sqrt{frac{x}{n}}, E = (0, 1));
(u_{n}(x) = displaystylefrac{sin nx}{n^{alpha}}, E = [0, 2pi], 0 < alpha leq 1).

Решение.

(vartriangle) Пусть (x_{n} = x^{2}), тогда (u_{n}(x_{n}) = e^{-1}), то есть выполняется условие eqref{ref24}.
Возьмем (x_{n} = displaystylefrac{1}{n}) и воспользуемся тем, что (operatorname{tg} x > x) при (0 < x < displaystylefrac{pi}{2}) (этот факт разбирали ранее). Тогда (u_{n}(x_{n}) = displaystylefrac{n}{2}operatorname{tg} frac{1}{n} > frac{1}{2}) при всех (n in mathbb{N}), то есть выполняется условие eqref{ref24}.
Возьмем (x_{n} = displaystylefrac{pi}{4(n + 1)}); тогда (x_{n} in E) при любом (n in mathbb{N}). Если (n + 1 leq k leq 2n), то (displaystylefrac{pi}{4} leq kx_{n} leq frac{pi}{4} frac{2n}{n + 1} < frac{pi}{2}), и поэтому (displaystylesin kx_{n} geq sin frac{pi}{4} = frac{1}{sqrt{2}}) откуда следует, что
$$
sum_{k = n + 1}^{2n} frac{sin kx_{n}}{k^{alpha}} geq frac{1}{sqrt{2}} sum_{k = n + 1}^{2n} frac{1}{k^{alpha}} geq frac{1}{sqrt{2}} sum_{k = n + 1}^{2n} frac{1}{k} > frac{1}{sqrt{2}}nfrac{1}{2n} = frac{1}{2sqrt{2}},nonumber
$$
так как (0 < alpha leq 1). Следовательно, выполняется условие eqref{ref23}, и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве ([0, 2pi]) при (alpha in ()0, 1]). (blacktriangle)

Признаки равномерной сходимости функциональных рядов.

Признак Вейерштрасса.

Теорема 4.

Если для функционального ряда eqref{ref14} можно указать такой сходящийся числовой ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}a_{n}), что для всех (n geq n_{0}) и для всех (x in E) выполняется условие
$$
|u_{n}(x)| leq a_{n},label{ref25}
$$
то ряд eqref{ref14} сходится абсолютно и равномерно на множестве (E).

Доказательство.

(circ) Согласно условию eqref{ref25} для любого (n geq n_{0}), любого (p in mathbb{N}) и для каждого (x in E) выполняется неравенство
$$
left|sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k}(x)right| leq sum_{k = n + 1}^{n + p}|u_{k}(x)| leq sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}.label{ref26}
$$
Из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}a_{n}) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} rightarrow sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k} < varepsilon,label{ref27}
$$
а из eqref{ref26} и eqref{ref27} следует, что для ряда eqref{ref14} выполняется на множестве (E) условие Коши eqref{ref21}, и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве (E).

Абсолютная сходимость ряда eqref{ref14} для каждого (x in E) следует из правого неравенства eqref{ref26}. (bullet)

Следствие.

Если сходится ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}a_{n}), где (a_{n} = sup_{x in E}|u_{n}(x)|), то ряд eqref{ref14} сходится абсолютно и равномерно на множестве (E).

Пример 9.

Доказать, что ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) сходится равномерно на множестве (E), если:

(u_{n}(x) = displaystyleln left(1 + frac{x}{nsqrt[3]{n + 1}}right), E = [0, 3]);
(u_{n}(x) = displaystylefrac{nx}{n^{2} + x^{2}} operatorname{arctg} frac{x}{n}, E = [-1, 1]);
(u_{n}(x) = displaystylefrac{displaystylesin frac{1}{nx}cos nx}{displaystyle4 + ln^{2}(n + 1)x}, E = [1, +infty));
(u_{n}(x) = x^{2}e^{-nx}, E = (0, +infty)).

Решение.

(vartriangle) Так как при (t geq 0) справедливо неравенство (ln(1 + t) leq t) (§ 17, пример 1, а)), то (|u_{n}(x)| leq displaystylefrac{x}{nsqrt[3]{n + 1}} leq frac{3}{n^{3/2}}) при всех (x in [0, 3]), и из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{3}{n^{3/2}}) по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) на множестве [0,3].
Используя неравенство (|operatorname{arctg} t| leq t) для всех (t in mathbb{R}) (§ 17, (19)) и учитывая, что (|x| leq 1) и (n^{2} + x^{2} geq n^{2}), получаем (|u_{n}(x)| leq displaystylefrac{|nx|}{n^{2} + x^{2}} |frac{x}{n}| leq frac{1}{n^{2}}), откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [-1,1].
Так как (|sin t| leq |t|) и (|cos t| leq 1) для всех (t in mathbb{R}), а (x geq 1), то (|u_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{nx ln^{2}(n + 1)x} leq frac{1}{n ln^{2}(n + 1)}). Из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty} frac{1}{nln^{2}(n + 1)}) следует равномерная сходимость ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) на множестве ([1, +infty)).
На промежутке ((0, +infty)) уравнение (u_{n}'(x) = xe^{-nx}(2-nx) = 0) имеет единственный корень (x = x_{n} = displaystylefrac{2}{n}), причем (u_{n}'(x) > 0) при (x in (0, x_{n})) и (u_{n}'(x) < 0) при (x > x_{n}). Поэтому (displaystylesup_{x in E}|u_{n}(x)| = u_{n}(x_{n}) = frac{4}{n^{2}}e^{-2}), и из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{4}{n^{2}}e^{-2}) следует равномерная сходимость ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) на множестве ((0, +infty)). (blacktriangle)

Признак Дирихле.

Теорема 5.

Ряд
$$
sum_{k = 1}^{infty}a_{k}(x)b_{k}(x),label{ref28}
$$
сходится равномерно на множестве (E), если выполняются условия:

последовательность ({B_{n}(x)}), где (B_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}b_{k}(x)) равномерно ограничена на множестве (E), то есть
$$
exists M > 0 forall x in E forall n in mathbb{N} rightarrow |B_{n}(x)| leq M;label{ref29}
$$
последовательность ({a_{n}(x)}) монотонна на множестве (E), то есть
$$
forall x in E forall n in mathbb{N} rightarrow a_{n + 1}(x) leq a_{n}(x);label{ref30}
$$
и равномерно стремится к нулю, то есть
$$
a_{n}(x) rightrightarrows 0, qquad x in E.label{ref31}
$$

Доказательство.

(circ) Воспользуемся оценкой
$$
left|sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)right| leq 2M(|a_{n + 1}(x)| + |a_{n + p}(x)|),label{ref32}
$$
полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов.

Условие eqref{ref31} означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall k geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |a_{k}(x)| < frac{varepsilon}{4M};label{ref33}
$$
Из eqref{ref29}, eqref{ref32} и eqref{ref33} следует, что для всех (n geq N_{varepsilon}), для всех (p in mathbb{N}) и для всех (x in E) выполняется неравенство (displaystyleleft|sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)right| leq varepsilon), и в силу критерия Коши ряд eqref{ref28} сходится равномерно на множестве (E). (bullet)

Пример 10.

Доказать, что при (alpha > 0) ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}frac{sin nx}{n^{alpha}},label{ref34}
$$
сходится равномерно на множестве (E = [delta, 2pi-delta]), где (0 < delta < 2pi-delta < 2pi).

Решение.

(vartriangle) Если (alpha > 1), то по признаку Вейерштрасса ряд eqref{ref34} сходится абсолютно и равномерно на (mathbb{R}), так как (|sin x| leq 1), а ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{1}{n^{alpha}}), где (alpha > 1), сходится.

Пусть (0 < alpha < 1). Тогда последовательность ({a_{n}}), где (a_{n} = displaystylefrac{1}{n^{alpha}}), удовлетворяет условиям eqref{ref30}, eqref{ref31}. Полагая (B_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}sin kx) и используя неравенство (|B_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{displaystyleleft|sin frac{x}{2}right|}), справедливое при (x neq pi m), (m in mathbb{Z}), получаем (|B_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{displaystylesin frac{delta}{2}}) для всех (x in E). По признаку Дирихле ряд eqref{ref34} сходится равномерно на множестве (E).

Заметим, что на множестве ([0, 2pi]) ряд eqref{ref34} при (alpha in (0, 1]) сходится неравномерно (пример 8, в)). (blacktriangle)

Признак Абеля.

Теорема 6.

Ряд eqref{ref28} сходится равномерно на множестве (E), если выполняются условия:

ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}b_{n}(x),label{ref35}
$$
сходится равномерно на множестве (E);
последовательность ({a_{n}(x)}) монотонна на множестве (E), то есть
$$
forall n in mathbb{N} forall x in E rightarrow a_{n + 1}(x) leq a_{n}(x);label{ref36}
$$
и равномерно ограничена, то есть
$$
exists M > 0: forall n in mathbb{N} forall x in E rightarrow |a_{n}(x)| leq M;label{ref37}
$$

Доказательство.

(circ) Обозначим (B_{j}^{(n)}(x) = displaystylesum_{k = n + 1}^{n + j}b_{k}(x)). Тогда ряд eqref{ref35} в силу теоремы 3 удовлетворяет условию Коши, то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall j in mathbb{N} rightarrow |B_{j}^{(n)}(x)| < frac{varepsilon}{3M}.label{ref38}
$$
Используя преобразование Абеля, преобразуем сумму:
$$
sigma = sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x) = sum_{j = 1}^{p}a_{n + j}(x)b_{n + j}(x).nonumber
$$
Так как (b_{n + j}(x) = displaystyle B_{j}^{(n)}(x)-B_{j-1}^{(n)}(x)), где (j = overline{1, p}), (B_{0}^{(n)}(x) = 0), то
$$
sigma = sum_{j = 1}^{p-1}(a_{n + j}(x)-a_{n + j + 1}(x)) B_{j}^{(n)}(x) + a_{n + p}(x)B_{p}^{(n)}(x),nonumber
$$
откуда, используя условия eqref{ref36}-eqref{ref38}, получаем
$$
|sigma| < frac{varepsilon}{3M} sum_{j = 1}^{p-1}(a_{n + j}(x)-a_{n + j + 1}(x)) + frac{varepsilon}{3M} |a_{n + p}(x)| =\= frac{varepsilon}{3M} (a_{n + 1}(x)-a_{n + p}(x) + |a_{n + p}(x)|) leq frac{varepsilon}{3M} (2|a_{n + p}(x)| + |a_{n + 1}(x)| leq varepsilon.nonumber
$$
Таким образом,
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow left|sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)right| < varepsilon,nonumber
$$
и по теореме 3 ряд eqref{ref28} сходится равномерно на множестве (E). (bullet)

Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов.

Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда.

Теорема 7.

Если все члены ряда eqref{ref14} — непрерывные на отрезке ([a, b]) функции, а ряд eqref{ref14} сходится равномерно на ([a, b]), то его сумма (S(x)) также непрерывна на отрезке ([a, b]).

Доказательство.

(circ) Пусть (x_{0}) — произвольная точка отрезка ([a, b]). Для определенности будем считать, что (x_{0} in (a, b)).

Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)nonumber
$$
непрерывна в точке (x_{0}), то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists delta = delta (varepsilon) > 0: forall x in U_{delta}(x_{0}) rightarrow |S(x)-S(x_{0})| < varepsilon,label{ref39}
$$
где (U_{delta}(x_{0}) = (x_{0}-delta, x_{0} + delta) subset [a, b]).

По условию (S_{n}(x) rightrightarrows S(x)), (x in [a, b]), где (S_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)), то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall x in [a, b] rightarrow |S(x)-S_{n}(x)| < frac{varepsilon}{3}.label{ref40}
$$
Фиксируем номер (n_{0} geq N_{varepsilon}). Тогда из eqref{ref40} при (n = n_{0}) получаем
$$
|S(x)-S_{n_{0}}(x)| < frac{varepsilon}{3}label{ref41}
$$
и, в частности, при (x = x_{0}) находим
$$
|S(x_{0})-S_{n_{0}}(x_{0})| < frac{varepsilon}{3}.label{ref42}
$$

Функция (S_{n_{0}}(x)) непрерывна в точке (x_{0}) как сумма конечного числа непрерывных функций (u_{k}(x)), (k = overline{1, n_{0}}). По определению непрерывности
$$
forall varepsilon > 0 exists delta = delta (varepsilon) > 0: forall x in U_{delta}(x_{0}) subset [a, b] rightarrow |S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})| < frac{varepsilon}{3}.label{ref43}
$$

Воспользуемся равенством
$$
S(x)-S(x_{0}) =\= (S(x)-S_{n_{0}}(x)) + (S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})) + (S_{n_{0}}(x_{0})-S(x_{0})).nonumber
$$
Из этого равенства, используя оценки eqref{ref41}—eqref{ref43}, получаем
$$
|S(x)-S(x_{0})| leq\leq |S(x)-S_{n_{0}}(x)| + |S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})| + |S_{n_{0}}(x_{0})-S(x_{0})| < varepsilon
$$
для любого (x in U_{delta}(x_{0}) subset [a, b]), то есть справедливо утверждение eqref{ref39}.

Так как (x_{0}) — произвольная точка отрезка ([a, b]), то функция S(x) непрерывна на отрезке ([a, b]). (bullet)

Замечание 1.

Согласно теореме 7
$$
lim_{x rightarrow x_{0}} sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x) = sum_{n = 1}^{infty} lim_{x rightarrow x_{0}} u_{n}(x)
$$
то есть при условиях теоремы 7 возможен почленный предельный переход.

Теорема 8.

Если последовательность ({S_{n}(x)}) непрерывных на отрезке ([a, b]) функций равномерно сходится на ([a, b]), то ее предельная функция (S(x)) также непрерывна на отрезке ([a, b]).

Доказательство.

(circ) Доказательство этого утверждения следует из теоремы 7. (bullet)

Почленное интегрирование функционального ряда.

Теорема 9.

Если все члены ряда eqref{ref14} — непрерывные на отрезке ([a, b]) функции, а ряд eqref{ref14} сходится равномерно на ([a, b]), то ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}intlimits_a^x u_{n}(t) dt,label{ref44}
$$
также равномерно сходится на ([a, b]), и если
$$
S(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x),label{ref45}
$$
то
$$
intlimits_a^x S(t) dt = sum_{n = 1}^{infty}intlimits_a^x u_{n}(t) dt,quad x in [a, b],label{ref46}
$$
то есть ряд eqref{ref45} можно почленно интегрировать.

Доказательство.

(circ) По условию ряд eqref{ref45} сходится равномерно к (S(x)) на отрезке ([a, b]), то есть (S_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}u_{k}(x) rightrightarrows S(x)), (x in [a, b]). Это означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n in N_{varepsilon} forall t in [a, b] rightarrow |S(t)-S_{n}(t)| < frac{varepsilon}{b-a}.label{ref47}
$$
Пусть (sigma(x) = displaystyleintlimits_a^x S(t) dt), а (sigma_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n} intlimits_a^x u_{k}(t) dt) — (n)-я частичная сумма ряда eqref{ref44}.

Функции (u_{k}(x)), (k in mathbb{N}), по условию непрерывны на отрезке ([a, b]) и поэтому они интегрируемы на ([a, b]). Функция (S(x)) также интегрируема на ([a, b]), так как она непрерывна на этом отрезке (теорема 7). Используя свойства интеграла, получаем
$$
sigma_{n}(x) = intlimits_a^x sum_{k = 1}^{n}u_{k}(t) dt = intlimits_a^x S_{n}(t) dt.nonumber
$$
Следовательно
$$
sigma(x)-sigma_{n}(x) = intlimits_a^x (S(t)-S_{n}(t)) dt,nonumber
$$
откуда в силу условия eqref{ref47} получаем
$$
|sigma(x)-sigma_{n}(x)| < frac{varepsilon}{b-a} intlimits_a^x dt = frac{varepsilon}{b-a} (x-a) leq varepsilon,nonumber
$$
причем это неравенство выполняется для всех (n geq N_{varepsilon}) и для всех (x in [a, b]). Это означает, что ряд eqref{ref44} сходится равномерно на отрезке ([a, b]), и выполняется равенство eqref{ref46}. (bullet)

Замечание 2.

Равенство eqref{ref46} остается в силе, если заменить (a) на (c), (x) на (d), где (a leq c leq d leq b), то есть ряд eqref{ref45} можно при условиях теоремы 9 почленно интегрировать на любом отрезке ([c, d] subset [a, b]).

Теорема 10.

Если (S_{n}(t) rightrightarrows S(t)), (x in [a, b]), а каждая из функций (S_{n}(t)) непрерывна на отрезке ([a, b]), то
$$
intlimits_{x_{0}}^x S_{n}(t) dt rightrightarrows intlimits_{x_{0}}^x S(t) dt,quad x in [a, b],nonumber
$$
для любой точки (x_{0} in [a, b]).

Доказательство.

(circ) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 9. (bullet)

Почленное дифференцирование функционального ряда.

Теорема 11.

Если функции (u_{n}(x)), (n in mathbb{N}), имеют непрерывные производные на отрезке ([a, b]), ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}u_{n}'(x),label{ref48}
$$
сходится равномерно на отрезке ([a, b]), а ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x),label{ref49}
$$
сходится хотя бы в одной точке (x in [a, b]), то есть сходится ряд
$$
sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x_{0}),label{ref50}
$$
то ряд eqref{ref49} сходится равномерно на отрезке ([a, b]), и его можно почленно дифференцировать, то есть
$$
S'(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}'(x),label{ref51}
$$
где
$$
S(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x),label{ref52}
$$

Доказательство.

(circ) Обозначим через (tau(x)) сумму ряда eqref{ref48}, то есть
$$
tau(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}'(x),label{ref53}
$$

По теореме 9 ряд eqref{ref53} можно почленно интегрировать, то есть
$$
intlimits_{x_{0}}^x tau(t) dt = sum_{n = 1}^{infty}intlimits_{x_{0}}^x u_{n}'(t) dt,label{ref54}
$$
где (x_{0}, x in [a, b]), причем ряд eqref{ref54} сходится равномерно на отрезке ([a, b]). Так как (displaystyleintlimits_{x_{0}}^x u_{n}'(t) dt = u_{n}(x)-u_{n}(x_{0})), то равенство eqref{ref54} можно записать в виде
$$
intlimits_{x_{0}}^x tau(t) dt = sum_{n = 1}^{infty}v_{n}(x),label{ref55}
$$
где
$$
v_{n}(x) = u_{n}(x)-u_{n}(x_{0}).label{ref56}
$$
Ряд eqref{ref55} сходится равномерно, а ряд eqref{ref50} сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке ([a, b])). Поэтому ряд eqref{ref49} сходится равномерно на ([a, b]) как разность равномерно сходящихся рядов.

Из равенств eqref{ref55}, eqref{ref56} и eqref{ref52} следует, что
$$
intlimits_{x_{0}}^x tau(t) dt = S(x)-S(x_{0}).label{ref57}
$$

Так как функция (tau(t)) непрерывна на отрезке ([a, b]) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства eqref{ref57} имеет производную, которая равна (tau(x)). Следовательно, правая часть eqref{ref57} — дифференцируемая функция, а ее производная равна (S'(x)). Итак, доказано, что (tau(x) = S'(x)), то есть справедливо равенство eqref{ref51} для всех (x in [a, b]). (bullet)

Замечание 3.

При условиях теоремы 11 функция (S'(x)) непрерывна на отрезке ([a, b]), то есть (S(x)) — непрерывно дифференцируемая на ([a, b]) функция.

Теорема 12.

Если последовательность ({S_{n}(x)}) непрерывно дифференцируемых на ([a, b]) функций сходится хотя бы в одной точке (x_{0} in [a, b]), а последовательность ({S_{n}'(x)}) сходится равномерно на ([a, b]), то последовательность ({S_{n}(x)}) также сходится равномерно на ([a, b]) к некоторой функции (S(x)) и
$$
S'(x) = lim_{n rightarrow infty}S_{n}'(x),quad x in [a, b].nonumber
$$

Доказательство.

(circ) Доказательство этого утверждения получено при доказательстве теоремы 11. (bullet)

Источник

Ряд

,
члены которого являются функциями от
переменной х, называется функциональным.

При различных
значениях х из функционального ряда
получаются различные числовые ряды,
которые могут быть сходящимися или
расходящимися.

Совокупность
значений х, при которых функциональный
ряд сходится, называется его областью
сходимости.

Из всех функциональных
рядов простейшими и наиболее
употребительными являются степенные
ряды вида

или более общего вида

Для определения
области сходимости функциональных
рядов обычно вначале используется
признак Даламбера, а затем те значения
х, для которых этот признак не решает
вопроса о сходимости ряда, исследуют
особо, посредством других признаков
сходимости рядов.

Ряды, для которых
признаки сходимости выполняются
одновременно во всей области определения
функций

,
называются равномерно сходящимися.

Наиболее важные
свойства и теоремы для равномерно
сходящихся рядов непрерывных функций:

1. Сумма ряда

является непрерывной функцией;

2. Функциональный
ряд может быть проинтегрирован почленно
по любой кривой:

5. Непрерывность суммы функционального ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование функционального ряда.

Если все члены
функционального ряда, равномерно
сходящегося в отрезке (a,b),
непрерывны в этом отрезке, то и сумма
s(x)
ряда непрерывна в отрезке (a,b).
Т.к. непрерывность членов

функционального
ряда полностью равносильна непрерывности
частичных сумм

этого ряда, то это значит, что и если
все члены последовательности s1(x),
s2(x),
…, Sn(x),
равномерно стремящейся в отрезке (а,b)
к предельной функции s(x),
непрерывны в этом отрезке, то и функция
s(x)
непрерывна в этом отрезке.

Последовательность
функций f1(x),
f2(x),
…, fn(x),
… равномерно сходится к функции f(x)
в отрезке (a,b),
если для любого ε>0
найдётся такой номер n₀,
что при

и
при

мы
будем иметь:

Почленное
дифференцирование и интегрирование
функционального ряда.

Если степенной
ряд

сходится на интервале (-R;
R)
и его суммой является функция f(x),
то ряд, полученный от его почленного
дифференцирования, имеет тот же интервал
сходимости и сумму, равную f’(x),
т.е. равную производной от суммы ряда.

Отметим, что
поведение этих двух рядов на концах
интервала сходимости может быть
различным.

Если степенной
ряд

сходится на интервале (-R;
R)
и его суммой является функция f(x),
то ряд, полученный от его почленного
его интегрирования, имеет тот же интервал
сходимости, а его сумма есть та из
первообразных функций для f(x),
которая равна 0 при x=0.

6. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Степенным
рядом называется функциональный ряд
вида

где a0,
a1,
a2,
…,an,…,
а также x0
– постоянные числа. Точку x0
называют центром степенного ряда.

Степенной
ряд с одной переменной — это формальное
алгебраическое выражение вида:

в
котором коэффициенты an
берутся из некоторого кольца R.

Степенные
ряды с центром 0, т.е. ряды вида

всегда
сходятся при x=0 и, значит, его область
сходимости есть непустое множество.

Теорема
Абеля. Если
степенной ряд

сходится при некотором

,
где β
– число, не равное нулю, то он сходится
абсолютно при всех значениях x таких,
что

И наоборот, если этот ряд расходится
при

,
то он расходится при всех значениях x
таких, что

Признак Вейерштрасса:

Если
для ряда

составленного из
действительных или комплексных функций,
определенных на некотором множестве
Е, существует числовой сходящийся ряд

такой,
что

,
n
= 1, 2, … , то исходный ряд сходится
равномерно и абсолютно на множестве
Е.

Если
для последовательности действительных
или комплексных функций

,
n
= 1, 2, … , сходящейся на множестве Е к
функции f(x),
существует бесконечно малая числовая
последовательность

такая,
что

то
данная последовательность сходится
на множестве Е равномерно. Признак
Вейерштрасса равномерной сходимости
переносится на функции, значения которых
лежат в нормированных линейных
пространствах.

Радиус и интервал
сходимости степенного ряда.

Интервал
(-R;R), где число R определено R>0
, называется интервалом сходимости
степенного ряда, а число R – радиусом
сходимости этого ряда.

На
практике радиус сходимости степенного
ряда чаще всего определяют с помощью
признака сходимости Даламбера.
Предположим, что все коэффициенты
степенного ряда отличны от нуля и
существует предел

Тогда радиус сходимости находится по
формуле

В
силу признака Даламбера ряд

сходится, если
число

меньше 1, и расходится,
если этот предел больше 1. Иначе говоря,
ряд сходится для всех x таких, что

и расходится при

Это и означает, что число

является радиусом сходимости ряда.

7. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование.

Свойства степенных
рядов. Непрерывность суммы ряда

1. Сумма степенного
ряда является непрерывной функцией в
каждой точке интервала сходимости
этого ряда

Почленное
дифференцирование.

2. Ряд, полученный
почленным дифференцированием степенного
ряда, является степенным рядом с тем
же интервалом сходимости, что и данный
ряд, причем

Почленное
интегрирование.

3. Степенной ряд
можно почленно интегрировать на любом
промежутке, целиком входящем в интервал
сходимости степенного ряда, при этом

где

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 12 августа 2013 года; проверки требует 31 правка.

Последовательность функций, которые в незаштрихованной области сходятся к натуральному логарифму (красный). В данном случае – это N-я частичная сумма степенного ряда, где N указывает на число слагаемых.

Функциональный ряд — ряд, каждым членом которого, в отличие от числового ряда, является не число, а функция ${u_{k}}(x)$ .

Функциональная последовательность[править | править код]

Пусть задана последовательность комплекснозначных функций на множестве , включённом в d-мерное евклидово пространство ${mathbb {R}}^{d}$ .

${u_{k}}(x):Emapsto {mathbb {C}},~~Esubseteq {mathbb {R}}^{d},~~kin {mathbb {N}}$

Поточечная сходимость[править | править код]

Функциональная последовательность ${u_{k}}(x)$ сходится поточечно к функции {u}(x) , если $forall xin E;;;exists lim _{{krightarrow infty }} {u_{k}}(x)= {u}(x)$ .

Равномерная сходимость[править | править код]

Существует функция такая, что:
$sup mid {u_{k}}(x)-u(x)mid {stackrel {krightarrow infty }{longrightarrow }}0,~~xin E$

Факт равномерной сходимости последовательности ${u_{k}}(x)$ к функции u(x) записывается: ${u_{k}}(x)rightrightarrows u(x)$

Функциональный ряд[править | править код]

$sum _{{k=1}}^{{infty }}{u_{k}}(x)$

${S_{n}}(x)=sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n-ная частичная сумма.

Сходимость[править | править код]

В математике сходимость означает существование конечного предела у числовой последовательности, суммы бесконечного ряда, значения у несобственного интеграла, значения у бесконечного произведения.

Ряд называется сходящимся поточечно, если последовательность ${S_{n}}(x)$ его частичных сумм сходится поточечно.

Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность ${S_{n}}(x)$ его частичных сумм сходится равномерно.

Необходимое условие равномерной сходимости ряда[править | править код]

${u_{k}}(x)rightrightarrows 0$ при

Или, что эквивалентно ${displaystyle forall varepsilon >0,,exists n_{0}(varepsilon )in mathbb {N} :forall xin X,forall n>n_{0},,,|{u_{n}}(x)|<varepsilon }$ , где Х – область сходимости.

Критерий Коши равномерной сходимости[править | править код]

Критерий Коши для функциональной последовательности. Чтобы последовательность функций $left{f_{n}right}_{{n=1}}^{infty }$ , определённых на множестве , равномерно сходилась на этом множестве, необходимо и достаточно, чтобы для всякого , начиная с некоторого номера , при всех n,m , больше либо равных , одновременно для всех x in V значения функций $f_{n}(x)$ и $f_{m}(x)$ различались не более, чем на .

$forall varepsilon >0;exists N=N(varepsilon );forall n,mgeq N;forall xin V;left|{f_{n}}(x)- {f_{m}}(x)right|<varepsilon$

Абсолютная и условная сходимость[править | править код]

Ряд $sum _{{k=1}}^{{infty }}{u_{k}}(x)$ называется абсолютно сходящимся, если $sum _{{k=1}}^{{infty }}mid {u_{k}}(x)mid$ сходится. Абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд $sum _{{k=1}}^{{infty }}{u_{k}}(x)$ сходится, а $sum _{{k=1}}^{{infty }}mid {u_{k}}(x)mid$ расходится, то ряд $sum _{{k=1}}^{{infty }}{u_{k}}(x)$ называется сходящимся условно. Для таких рядов верна теорема Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.

Признаки равномерной сходимости[править | править код]

Признак сравнения[править | править код]

Ряд $sum _{{k=1}}^{{infty }}{u_{k}}(x)$ сходится абсолютно и равномерно, если выполнены условия:

Ряд $sum _{{k=1}}^{{infty }}{v_{k}}(x)$ сходится равномерно.
$mid {u_{k}}(x)mid <{v_{k}}(x),~forall xin E,~forall kin {mathbb {N}}$

Частным случаем является признак Вейерштрасса, когда ${v_{k}}(x)=a_{k}$ . Таким образом, функциональный ряд ограничивается обычным. От него требуется обычная сходимость.

Признак Дирихле[править | править код]

Ряд $sum _{{k=1}}^{infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций ${a_{k}}(x)$ монотонна и ${a_{k}}(x)rightrightarrows 0$
Частичные суммы ${S_{n}}(x)=sum _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ равномерно ограничены.

Признак Абеля[править | править код]

Ряд $sum _{{k=1}}^{infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$ сходится равномерно, если выполнены следующие условия:

Последовательность действительнозначных функций ${a_{k}}(x)$ равномерно ограничена и монотонна .
Ряд $sum _{{k=1}}^{{infty }}{u_{k}}(x)$ равномерно сходится.