Как найти область сходимости интеграла

(Признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Пусть для любого (y in Y) функция (f(x, y)) интегрируема по (x) на любом отрезке ([a, b’] subset [a, b)), и пусть на ([a, b)) существует функция (varphi(x)) такая, что для всех (y in Y) и всех (x in [a, b)) выполнено неравенство (|f(x, y)| leq varphi(x)), а несобственный интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} varphi(x) dx) сходится.

Тогда интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на множестве (Y).

(Признак Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Пусть:

1. 1. для любого (y in Y subset boldsymbol{R}^{n}) функции (f(x, y)), (g(x, y)) и (displaystylefrac{partial g}{partial x}(x, y)) непрерывны как функции (x) на полуинтервале ([a, +infty));
   2. функция (F(x, y)), являющаяся при любом (y in Y) первообразной по (x) функции (f(x, y)), ограничена при (y in Y), (x in [a, +infty));
   3. (displaystylefrac{partial g}{partial x}(x, y) leq 0) при (y in Y) и (x in [a, +infty));
   4. существует непрерывная на ([a, +infty)) функция (psi(x)) такая, что (displaystylelim_{x rightarrow +infty} psi(x) = 0) и (|g(x, y)| leq psi(x)) для (y in Y) и (x in [a, +infty)).

Тогда интеграл eqref{ref6} сходится равномерно по параметру (y) на множестве (Y).

(circ) По признаку Дирихле несобственный интеграл eqref{ref6} сходится при любом (y in Y). Покажем, что он сходится равномерно по параметру (y) на множестве (Y).

Так как по условию 4) функция (psi(x) rightarrow 0) при (x rightarrow +infty), то для любого (varepsilon > 0) существует (a’ > a) такое, что для любого (xi in [a’, +infty)) выполнено неравенство
$$
psi(xi) < frac{varepsilon}{2C}label{ref7}
$$
где (C) есть постоянная, ограничивающая в силу условия 2) первообразную (F(x, y)).

Пусть (y in Y) и (xi in [a’, +infty)). Воспользовавшись формулой интегрирования по частям и тем, что (g(x, y) rightarrow 0) при (x rightarrow +infty), получаем
$$
intlimits_{xi}^{+infty} f(x, y) g(x, y) dx = F(xi, y) g(xi, y)-intlimits_{xi}^{+infty} F(x, y) frac{partial g(x, y)}{partial x} dx.label{ref8}
$$

Так как по условиям теоремы
$$
|F(x, y)| leq C,quad frac{partial g}{partial x}(x, y) leq 0,quad |g(x, y)| leq psi(x),nonumber
$$
то из eqref{ref8} и eqref{ref7} получаем, что для любого (xi in [a’, +infty)) выполнено неравенство
$$
left|intlimits_{xi}^{+infty} f(x, y) g(x, y) dxright| leq Cpsi(xi)+intlimits_{xi}^{+infty} Cleft|frac{partial g(x, y)}{partial x}right| dx =\= Cpsi(xi)-Cintlimits_{xi}^{+infty} frac{partial g(x, y)}{partial x} dx = Cpsi(xi)+Cg(xi, y) leq 2Cpsi(xi) < varepsilon.label{ref9}
$$
Из неравенства eqref{ref9} следует, что интеграл eqref{ref6} сходится равномерно по параметру (y) на множестве (Y). (bullet)

(Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла по параметру).

Для того чтобы несобственный интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходился равномерно по параметру (y) на множестве (Y), необходимо и достаточно, чтобы для любого (varepsilon > 0) существовало (b’ in [a, b)) такое, что для любых (xi, xi’ in [b’, b)) и для любого (y in Y) выполнялось неравенство
$$
left|intlimits_{xi}^{xi’} f(x, y) dxright| < varepsilon.label{ref11}
$$

(circ) Необходимость. Пусть (intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) равномерно сходится по параметру (y) на множестве (Y). Тогда для любого (varepsilon > 0) существует (b’ in [a, b)) такое, что для любого (xi in [b’, b)) и для любого (y in Y) выполнено неравенство
$$
|intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dx| < frac{varepsilon}{2}.label{ref12}
$$
Пусть (displaystylexi, xi’ in [b’, b)) и (y in Y). Используя неравенство eqref{ref12}, получаем
$$
left|intlimits_{xi}^{xi’} f(x, y) dxright| = left|intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dx-intlimits_{xi’}^{b} f(x, y) dxright| leq \ leqleft|intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dxright|+left|intlimits_{xi’}^{b} f(x, y) dxright| < frac{varepsilon}{2}+frac{varepsilon}{2} = varepsilon.nonumber
$$

Достаточность. Пусть для любого (varepsilon > 0) существует (b’ in [a, b)) такое, что для любых (xi, xi’ in [b’, b)) и любого (y in Y) выполнено неравенство eqref{ref11}. Тогда в силу критерия Коши сходимости несобственных интегралов (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится при (y in Y). Воспользуемся произвольностью (xi’) и перейдем в неравенстве eqref{ref11} к пределу при (xi’ rightarrow b-0).

Получаем, что для любого (xi in [b’, b)) и для любого (y in Y) выполнено неравенство (displaystyleleft|intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dxright| leq varepsilon), из которого следует, что интеграл (intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на множестве (Y). (bullet)

(vartriangle) Пусть (alpha geq alpha_{0} > 0). Так как (e^{-alpha x^{2}} leq e^{-alpha_{0} x^{2}}) и (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} e^{-alpha x^{2}} dx) сходится, то по признаку Вейерштрасса интеграл eqref{ref14} сходится равномерно по параметру (alpha) на множестве ([alpha_{0}, +infty)).

Пусть теперь (alpha in (0, +infty)). Покажем, что на ((0, +infty)) интеграл eqref{ref14} сходится неравномерно. Воспользуемся следствием из критерия Коши. Возьмем (varepsilon_{0} = e^{-1}), для любого (b > 0) возьмем (xi_{0} = b), (xi’_{0} = b+1), (alpha_{0} = 1/(b+1)^{2}). Тогда
$$
intlimits_{xi_{0}}^{xi’_{0}} e^{-alpha_{0} x^{2}} dx = intlimits_{b}^{b+1} e^{-alpha_{0} x^{2}} dx geq e^{-alpha_{0} (b+1)^{2}} intlimits_{b}^{b+1} dx = e^{-1} = varepsilon_{0}nonumber
$$
и, следовательно, интеграл eqref{ref14} сходится неравномерно по параметру (alpha) на множестве ((0, +infty)). (blacktriangle)

Пусть функция (f(x, y)) непрерывна на множестве ({(x, y): a leq x leq b, c leq y leq d}) и интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на отрезке ([c, d]).

Тогда (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) есть непрерывная функция параметра (y) на ([c, d]).

(circ) Возьмем любое (varepsilon > 0). Так как (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на ([c, d]), то существует (b’ in [a, b)) такое, что для любого (y in [a, b]) выполнено неравенство
$$
left|intlimits_{b’}^{b} f(x, y) dxright| < frac{varepsilon}{3}.label{ref15}
$$

Так как интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b’} f(x, y) dx) является собственным, то в силу теоремы 1, § 71 этот интеграл есть непрерывная функция параметра (y) на ([c, d]). Пусть (y_{0} in [c, d]). Тогда найдется (delta > 0) такое, что для любого (y in [c, d]) такого, что (|y-y_{0}| < delta), имеет место неравенство
$$
left|intlimits_{a}^{b’} f(x, y) dx-intlimits_{a}^{b’} f(x, y_{0}) dxright| < frac{varepsilon}{3}.label{ref16}
$$

Тогда для любого (y in [c, d]) такого, что (|y-y_{0}| < delta), имеем в силу неравенств eqref{ref15} и eqref{ref16}
$$
left|intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx-intlimits_{a}^{b} f(x, y_{0}) dxright| leq left|intlimits_{a}^{b’} f(x, y) dx-intlimits_{a}^{b’} f(x, y_{0}) dxright|+\+left|intlimits_{b’}^{b} f(x, y) dxright|+left|intlimits_{b’}^{b} f(x, y_{0}) dxright| < frac{varepsilon}{3}+frac{varepsilon}{3}+frac{varepsilon}{3} = varepsilon.nonumber
$$

Итак, интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) есть непрерывная функция параметра (y) в произвольной точке (y_{0} in [c, d]). (bullet)

(vartriangle) Если функцию (displaystylefrac{sin x}{x}) доопределить при (x = 0) по непрерывности, считая, что при (x = 0) функция (frac{sin x}{x}) принимает значение, равное единице, то подынтегральная функция интеграла eqref{ref17} будет непрерывной на множестве ({(x, y): x geq 0, y geq 0}).

При рассмотрении примера 4 было показано, что интеграл eqref{ref10} сходится равномерно по параметру (y) на множестве ([0, +infty)). В силу теоремы 4 интеграл eqref{ref10} есть непрерывная функция параметра (y) на любом отрезке ([0, b]). В частности, эта функция непрерывна при (y = 0), поэтому должно быть выполнено равенство eqref{ref17}. (blacktriangle)

(Теорема о перестановке порядка интегрирования).

Пусть функция (f(x, y)) непрерывна на множестве ({(x, y): a leq x leq b, c leq y leq d}) и интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на ([c, d]).

Тогда справедлива формула
$$
intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx = intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy.label{ref18}
$$

(circ) Так как интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на отрезке ([c, d]), то он будет на отрезке ([c, d]) непрерывной, а поэтому и интегрируемой функцией. Повторный интеграл в левой части формулы eqref{ref18} существует. Кроме того, в силу равномерной сходимости интеграла (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) на ([c, d]) для любого (varepsilon > 0) существует (b’ in [a, b)) такое, что для любого (xi in [b’, b)) и любого (y in Y) выполнено неравенство
$$
left|intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dxright| < frac{varepsilon}{d-c}.label{ref19}
$$

Применяя теорему о перестановке порядка интегрирования в собственных интегралах, получаем равенство
$$
intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{xi} f(x, y) dx = intlimits_{a}^{xi} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy.label{ref20}
$$

Покажем, что интеграл, стоящий в левой части равенства eqref{ref20}, при (xi in b-0) стремится к интегралу в левой части равенства eqref{ref18}. Действительно, в силу неравенства eqref{ref19}
$$
left|intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx-intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{xi} f(x, y) dxright| = \ = left|intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dxright| leq intlimits_{c}^{d} left(left|intlimits_{xi}^{b} f(x, y) dxright|right) dy < frac{varepsilon}{d-c} intlimits_{c}^{d} dy = varepsilon.nonumber
$$

Итак, левая часть равенства eqref{ref20} имеет предел при (xi rightarrow b-0). Поэтому, правая часть этого равенства имеет предел при (xi rightarrow b-0). Переходя в равенстве eqref{ref20} к пределу, получаем формулу eqref{ref18}. (bullet)

(vartriangle) Воспользуемся известной формулой
$$
intlimits_{0}^{+infty} e^{-xy} sin x dx = frac{1}{1+y^{2}}, y > 0.label{ref22}
$$

Интеграл eqref{ref22} сходится равномерно по параметру (y) на любом отрезке ([delta, N]), где (delta > 0). Это следует из признака Вейерштрасса равномерной сходимости, так как
$$
|e^{-xy} sin x dx| leq e^{-delta x},quad intlimits_{0}^{+infty} e^{-delta x} dx = frac{1}{delta}.nonumber
$$
Применяя теорему 5 и интегрируя равенство eqref{ref22}, получаем
$$
operatorname{arctg} N-operatorname{arctg} delta = intlimits_{0}^{+infty} dx intlimits_{delta}^{N} e^{-xy} sin x dy = intlimits_{0}^{+infty} dfrac{e^{-delta x}-e^{-Nx}}{x} sin x dx.label{ref23}
$$

Так как (|sin x| leq x) при (x geq 0), то
$$
left|intlimits_{0}^{+infty} dfrac{e^{-Nx}sin x}{x} dxright| leq intlimits_{0}^{+infty} e^{-Nx} dx = frac{1}{N}.nonumber
$$
Переходя к пределу при (N rightarrow +infty) в равенстве eqref{ref23}, получаем
$$
frac{pi}{2}-operatorname{arctg} delta = intlimits_{0}^{+infty} e^{-delta x} frac{sin x}{x} dx.
$$
Воспользовавшись равенством eqref{ref17} и переходя к пределу при (delta rightarrow +0), получаем выражение eqref{ref21} для интеграла Дирихле. (blacktriangle)

(Теорема о дифференцировании несобственного интеграла по параметру).

Пусть функции (f(x, y)) и (f_{y}(x, y)) непрерывны на множестве ({(x, y): aleq x < b, c leq y leq d}) и интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f_{y}(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на отрезке ([c, d]).

Тогда если интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, c) dx) сходится, то интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) сходится на отрезке ([c, d]) и является на этом отрезке непрерывно дифференцируемой функцией параметра (y), причем
$$
frac{d}{dy} intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx = intlimits_{a}^{b} f_{y}(x, y) dx.label{ref24}
$$

(circ) Пусть (c leq y leq d). Рассмотрим интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f_{y}(x, eta) dx) при (eta in [c, y]).

По условию теоремы этот интеграл сходится равномерно по параметру (eta) на отрезке ([c, y]). В силу теоремы 5 законна перестановка порядка интегрирования
$$
intlimits_{c}^{y} deta intlimits_{a}^{b} frac{partial f}{partial y} f(x, eta) dx = intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{y} frac{partial f}{partial y} f(x, eta) dx = intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx+c_{0},label{ref25}
$$
где (c_{0} = -displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, c) dx).

Так как интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, eta) dx) сходится равномерно по параметру (eta) на ([c, d]), то этот интеграл будет непрерывной функцией (eta) на этом отрезке, и интеграл, стоящий в левой части равенства eqref{ref25}, будет непрерывно дифференцируемой функцией параметра (y) на отрезке ([c, d]). Но тогда и (displaystyleintlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) есть непрерывно дифференцируемая функция на ([c, d]). Дифференцируя обе части равенства eqref{ref25} по (y), получаем формулу eqref{ref24}. (bullet)

(vartriangle) Пусть (y geq delta > 0). Тогда оба интеграла сходятся равномерно по параметру (y) на ([delta, +infty)) в силу признака Дирихле: функции (cos xy) и (sin xy) имеют ограниченные первообразные, а функции (displaystylefrac{1}{1+x^{2}}) и (displaystylefrac{x}{1+x^{2}}) стремятся к нулю при (x rightarrow +infty), причем
$$
frac{d}{dx} left(frac{1}{1+x^{2}}right) = -frac{2x}{(1+x^{2})^{2}} leq 0,quad frac{d}{dx} left(frac{x}{1+x^{2}}right) = frac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}} leq 0nonumber
$$
при (x geq 1).

Дифференцируя (I_{1}(y)) по параметру, получаем
$$
frac{dI_{1}(y)}{dy} = -intlimits_{0}^{+infty} frac{xsin xy}{1+x^{2}} dx = -I_{2}(y), delta leq y < +infty.label{ref26}
$$

Дифференцирование по параметру законно, так как интеграл (I_{2}(y)) сходится равномерно по параметру (y) при (y in [delta, +infty)). Чтобы найти производную (I_{2}(y)), заметим, что при (y geq delta > 0)
$$
I_{2}(y) = intlimits_{0}^{+infty} frac{xsin xy}{1+x^{2}} dx = intlimits_{0}^{+infty} left(frac{1}{x}-frac{1}{x(1+x^{2})}right) sin xy dx =\= intlimits_{0}^{+infty} frac{sin xy}{x} dx-intlimits_{0}^{+infty} frac{xsin xy}{x(1+x^{2})} dx =\= intlimits_{0}^{+infty} frac{sin t}{t} dt-intlimits_{0}^{+infty} frac{xsin xy}{(1+x^{2})x} dx = frac{pi}{2}-intlimits_{0}^{+infty} frac{xsin xy}{(1+x^{2})x} dx.nonumber
$$
Применяя теорему 6, получаем
$$
frac{dI_{2}(y)}{dy} = -intlimits_{0}^{+infty} frac{cos xy}{1+x^{2}} dx = -I_{1}(y), y in [delta, +infty).label{ref27}
$$

Из формул eqref{ref26} и eqref{ref27} следует, что при (y in [delta, +infty))
$$
I’_{1}(y) = -I_{2}(y), I’_{2}(y) = -I_{1}(y), I″_{1}(y)-I_{1}(y) = 0.label{ref28}
$$
Решая это дифференциальное уравнение, получаем
$$
I_{1}(y) = C_{1}e^{-y}+C_{2}e^{y} mbox{при} y in [delta, +infty),label{ref29}
$$
где (C_{1}) и (C2) — произвольные постоянные.

Покажем, что (C_{2} = 0). Так как
$$
|I_{1}(y)| = left|intlimits_{0}^{+infty} frac{cos xy}{1+x^{2}} dxright| leq intlimits_{0}^{+infty} frac{|cos xy|}{1+x^{2}} dx leq intlimits_{0}^{+infty} frac{dx}{1+x^{2}} = frac{pi}{2},nonumber
$$
то (I_{1}(y)) есть ограниченная функция на ([delta, +infty)). Так как (e^{y}) — неограниченная функция на ([delta, +infty)), то в формуле eqref{ref29} нужно принять (C_{2} = 0).

Итак,
$$
I_{1}(y) = C_{1}e^{-y}, I_{2}(y) = -I’_{1}(y) = C_{1}e^{-y} mbox{при} y in [delta, +infty).label{ref30}
$$
Так как (delta) — произвольное положительное число, то из eqref{ref30} следует, что
$$
I_{1}(y) = C_{1}e^{-y} = I_{2}(y) mbox{при} y > 0.label{ref31}
$$

Замечая, что интеграл Лапласа (I_{1}(y)) есть четная функция на ((-infty, +infty)), а интеграл (I_{2}(y)) есть нечетная функция на ((-infty, +infty)), перепишем равенство eqref{ref31} в следующем виде:
$$
I_{1}(y) = C_{1}e^{-|y|}, I_{2}(y) = C_{1} operatorname{sign} ye^{-|y|} mbox{при} y neq 0.label{ref32}
$$

Для определения произвольной постоянной (C_{1}) воспользуемся тем, что интеграл Лапласа (I_{1}(y)) сходится равномерно по параметру (y) на ((-infty, +infty)) (пример 3). Поэтому (I_{1}(y)) есть непрерывная функция в точке (y = 0). Следовательно,
$$
frac{pi}{2} = intlimits_{0}^{+infty} frac{dx}{1+x^{2}} = I_{1}(0) = lim_{y rightarrow +0} I_{1}(y) = lim_{y rightarrow +0} C_{1}e^{-y} = C_{1}.nonumber
$$
Теперь формулы eqref{ref32} дают, что при любом (y in boldsymbol{R})
$$
intlimits_{0}^{+infty} frac{cos xy}{1+x^{2}} dx = frac{pi}{2}e^{-|y|},\ intlimits_{0}^{+infty} frac{xsin xy}{1+x^{2}} dx = frac{pi}{2} operatorname{sign} ye^{-|y|}.label{ref33}
$$
То, что формулы eqref{ref33} справедливы при (y = 0), проверяется непосредственно. (blacktriangle)

Пусть функция (f(x, y)) непрерывна на множестве ({(x, y): a leq x leq b, c leq y leq d}) и выполнены следующие условия:

1. несобственный интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} |f(x, y)| dx) сходится равномерно по параметру у на любом отрезке ([c’, d’] subset (c, d));
2. несобственный интеграл (displaystyleintlimits_{c}^{d} |f(x, y)| dy) сходится равномерно по параметру у на любом отрезке ([a’, b’] subset (a, b));
3. один из двух повторных интегралов
   $$
   intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} |f(x, y)| dx,quad intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} |f(x, y)| dynonumber
   $$
   сходится.

Тогда сходятся оба повторных интеграла (displaystyleintlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy) и (displaystyleintlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx) и
$$
intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy = intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx.label{ref34}
$$

1. (circ) Пусть сначала (f geq 0) и существует повторный интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy). Возьмем произвольный отрезок ([c’, d’] subset [c, d]). Тогда интеграл по отрезку ([c’, d’]) будет собственным и, применяя теорему 5, получаем
   $$
   intlimits_{c’}^{d’} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx = intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c’}^{d’} f(x, y) dy leq intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy.label{ref35}
   $$
   Перестановка интегрирования законна, так как интеграл (displaystyleintlimits_{a}^{b} f_{y}(x, y) dx) сходится равномерно по параметру (y) на отрезке ([c’, d’] subset (x, d)). Последнее неравенство в формуле eqref{ref35} следует из неотрицательности (f) и существования повторного интеграла (displaystyleintlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f(x, y) dy). Переходя в формуле eqref{ref35} к пределу при (d’ rightarrow d-0) и (c’ rightarrow c-0) и замечая, что в силу неотрицательности функции (f) интеграл в левой части неравенства eqref{ref35} есть возрастающая функция верхнего предела (d’) и убывающая функция нижнего предела (c’), получаем, что
   $$
   I_{2} = intlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx leq intlimits_{a}^{b} dx intlimits_{c}^{d} f_{y}(x, y) dy = I_{1}.label{ref36}
   $$Проведя еще раз то же самое рассуждение, но для повторного интеграла (displaystyleintlimits_{c}^{d} dy intlimits_{a}^{b} f(x, y) dx), получим вместо неравенства eqref{ref36} неравенство (I_{1} leq I_{2}). Поэтому должно выполняться равенство eqref{ref34}.
2. Пусть теперь (f(x, y)) — знакопеременная вещественная функция. Представим ее в виде
   $$
   f = f^{+}-f^{-}, mbox{где} f^{+} = frac{|f|+f}{2}, f^{-} = frac{|f|-f}{2}, f^{+} geq 0, f^{-} geq 0.nonumber
   $$
   Очевидно, что (0 leq f^{+} leq |f|), (0 leq f^{-} leq |f|).Используя замечание 2 и признаки сравнения для несобственных интегралов, получаем, что для (f^{+}) и (f^{-}) выполнены условия теоремы. В силу первого пункта доказательства повторные интегралы от (f^{+}) и (f^{-}) равны. Поэтому равны и повторные интегралы от функции (f = f^{+}-f^{-}). (bullet)

(vartriangle) Сделаем замену переменной (t = xy), (y > 0). Тогда
$$
I = y intlimits_{0}^{+infty} e^{-x^{2}y^{2}} dx.nonumber
$$
Умножая это равенство на (e^{-y^{2}}) и интегрируя его от 0 до (+infty) по (y), получаем
$$
I^{2} = intlimits_{0}^{+infty} Ie^{-y^{2}} dy = intlimits_{0}^{+infty} dy intlimits_{0}^{+infty} ye^{-y^{2}(1+x^{2})} dx.label{ref37}
$$
Меняя порядок интегрирования, получаем
$$
I^{2} = intlimits_{0}^{+infty} dx intlimits_{0}^{+infty} ye^{-y^{2}(1+x^{2})} dy = -left.intlimits_{0}^{+infty} frac{e^{-y^{2}(1+x^{2})}}{2(1+x^{2})}right|_{0}^{+infty} dx = frac{1}{2} intlimits_{0}^{+infty} frac{1}{1+x^{2}} = frac{pi}{4},nonumber
$$
откуда
$$
I = intlimits_{0}^{+infty} e^{-x^{2}} dx = frac{sqrt{pi}}{2}.nonumber
$$

Для обоснования законности изменения порядка интегрирования применим теорему 7. Интеграл (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} ye^{-y^{2}(1+x^{2})} dx) сходится равномерно по параметру (y) на любом отрезке ([c, d] subset (0, +infty)) по признаку Вейерштрасса, так как (|ye^{-y^{2}(1+x^{2})}| leq de^{-c^{2}(1+x^{2})}) а интеграл (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} de^{-c^{2}(1+x^{2})} dx) сходится.

Аналогично доказывается, что интеграл (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} ye^{-y^{2}(1+x^{2})} dx) сходится равномерно по параметру (x) на любом отрезке ([a, b] subset (0, +infty)). Повторный интеграл (intlimits_{0}^{+infty} ye^{-y^{2}(1+x^{2})} dx) сходится в силу равенства eqref{ref37}.

(vartriangle) Выполняя замену переменной (y = x^{2}), получаем
$$
begin{array}{cc}
& J_{1} = frac{1}{2} intlimits_{0}^{+infty} frac{sin y}{sqrt{y}} dy = frac{1}{2} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} e^{-ky} frac{sin y}{sqrt{y}} dy,\
& J_{2} = frac{1}{2} intlimits_{0}^{+infty} frac{cos y}{sqrt{y}} dy = frac{1}{2} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} e^{-ky} frac{cos y}{sqrt{y}} dy.
end{array}label{ref38}
$$

При написании формул eqref{ref38} использована равномерная сходимость несобственных интегралов в правых частях равенств eqref{ref38} по параметру (k) при (k geq 0) (признак Дирихле).

Выполняя в интеграле Эйлера-Пуассона (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} e^{-t^{2}} dt = frac{sqrt{pi}}{2}) замену переменной (t = xsqrt{y}), получаем
$$
intlimits_{0}^{+infty} sqrt{y} e^{-x^{2}y} dx = frac{pi}{2},quad frac{1}{sqrt{y}} = frac{2}{sqrt{pi}} intlimits_{0}^{+infty} e^{-x^{2}y} dx, y > 0.nonumber
$$
Подставляя выражение для (frac{1}{sqrt{y}}) в формулы eqref{ref38} и меняя порядок интегрирования, получаем
$$
J_{1} = frac{1}{pi} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} dy intlimits_{0}^{+infty} e^{-y(k+x^{2})} sin y dx =\= frac{1}{sqrt{pi}} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} dx intlimits_{0}^{+infty} e^{-y(k+x^{2})} sin y dy =\= frac{1}{sqrt{pi}} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} dfrac{dx}{1+(k+x^{2})^{2}} =\= frac{1}{sqrt{pi}} intlimits_{0}^{+infty} frac{dx}{1+x^{4}} = frac{1}{sqrt{pi}} frac{pi}{2sqrt{2}} = frac{1}{2}sqrt{frac{pi}{2}}.nonumber
$$
Аналогично получаем
$$
J_{2} = frac{1}{sqrt{pi}} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} dx intlimits_{0}^{+infty} e^{-y(k+x^{2})} cos y dy =\=frac{1}{sqrt{pi}} lim_{k rightarrow +0} intlimits_{0}^{+infty} dfrac{k+x^{2}}{1+(k+x^{2})^{2}} dx = frac{1}{sqrt{pi}} intlimits_{0}^{+infty} frac{x^{2}dx}{1+x^{4}} = frac{1}{2}sqrt{frac{pi}{2}}.nonumber
$$

Изменение порядка интегрирования при (k > 0) обосновывается при помощи теоремы 7, предельный переход при (k rightarrow +0) под знаком интеграла возможен в силу его равномерной сходимости по параметру (k) при (k in [0, +infty)) (признак Вейерштрасса). Интегралы (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} frac{dx}{1+x^{4}}) и (displaystyleintlimits_{0}^{+infty} frac{x^{2}dx}{1+x^{4}}) вычислены нами ранее (примеры здесь и здесь). (blacktriangle)