Как найти область сходимости знакочередующегося ряда - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ряд называется
знакочередующимся, если любые два
соседних его члена имеют разные знаки,
т.е. ряды вида u₁– u₂+ u₃
– u₄+… + u_n+ …, где u₁,
u₂,
…, u_n,
… положительны.

Теорема Лейбница.
Если члены
знакочередующегося ряда, взятые по
абсолютной величине, монотонно убывают
и модуль общего члена ряда стремится к
нулю при
,
т.е.,
то ряд сходится.

Пример 1.

Исследовать
сходимость знакочередующегося ряда:

Члены ряда, взятые
по абсолютной величине, монотонно
убывают:

Ряд сходится.

1.6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ряда

Ряд u₁+u₂+…+u_n+…
называется знакопеременным, если среди
его членов имеются как положительные,
так и отрицательные.

Знакочередующиеся
ряды являются частным случаем
знакопеременных рядов.

Теорема.
Дан знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n+…(1).
Составим ряд |u₁|+|u₂|+…+|u_n|+…
(2). Если ряд (2), составленный из абсолютных
величин членов ряда (1), сходится, то ряд
(1) сходится.

Определение.
Знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n+…
называется абсолютно сходящимся, если
сходится ряд, составленный из абсолютных
величин его членов |u₁|+|u₂|+…+|u_n|+…
.

Если же знакопеременный
ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный
из абсолютных величин его членов,
расходится, то данный знакопеременный
ряд (1) называется условно или неабсолютно
сходящимся рядом.

Пример 1.

Исследовать
на сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.

Знакочередующийся
ряд сходится по теореме Лейбница, т.к.
.
Члены ряда монотонно убывают и.
Теперь исследуем данный ряд на абсолютную
сходимость. Рассмотрим ряд, составленный
из абсолютных величин членов данного
ряда:.
Исследуем сходимость этого ряда с
помощью признака Даламбера:.
Ряд сходится. Значит, заданный
знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Пример 2.

Исследовать на
сходимость и абсолютную сходимость
ряд:
.

По теореме Лейбница
.
Ряд сходится. Ряд, составленный из
абсолютных величин членов данного ряда,
имеет вид.
По признаку Даламбера получим.
Ряд сходится, значит, заданный
знакопеременный ряд сходится абсолютно.

2. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда

Рассмотрим
последовательность функций, заданных
на некотором промежутке [a,b]:

f₁(x),
f₂(x),
f₃(x)
… f_n
(x),
….

Приняв эти функции
в качестве членов ряда, образуем ряд:

f₁(x)
+ f₂
(x)
+ f₃
(x)
+ … + f_n
(x)
+ …, (1)

который называется
функциональным
рядом.

Например:
sin(x)
+ sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

В частном случае
функциональным рядом является ряд:

, (2)

который называется
степенным
рядом, где
постоянные числа, называемыекоэффициентами
членов степенного ряда.

Степенной ряд
может быть записан и в такой форме:

,
(3)

где
некоторое постоянное число.

При определенном
фиксированном или числовом значении x
получим числовой ряд, который может
быть сходящимся или расходящимся.

Определение:
Совокупность всех значений х
(или всех точек х
числовой прямой), при которых степенной
ряд сходится, называется областью
сходимости степенного ряда.

Пример 1.

Найти область
сходимости степенного ряда:

Решение
(1 способ).

Применим признак
Даламбера.

Так как признак
Даламбера применим к рядам только с
положительными
членами, то
выражение, стоящее под знаком предела,
взято по абсолютной величине.

По признаку
Даламбера ряд сходится, если
и.

Т.е. ряд сходится,
если
< 1, откудаили-3<x<3.

Получим интервал
сходимости данного степенного ряда:
(-3;3).

В крайних точках
интервала x
=
,
будем иметь
.

В этом случае
теорема Даламбера не дает ответа на
вопрос о сходимости ряда.

Исследуем ряд на
сходимость в граничных точках:

x = -3,

Получим
знакочередующийся ряд. Исследуем его
на сходимость по признаку Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной
величине, монотонно убывают.

2.
Следовательно, ряд в точкеx
= -3 сходится.

x
= 3,

Получим
положительный ряд. Применим интегральный
признак Коши сходимости ряда.

члены ряда монотонно
убывают.

Функция
на промежутке:

непрерывна;
f(x)
> 0, т.е.
(положительна);
монотонно убывает;
это значит, что
функция
является функцией, образующей ряд.

Несобственный
интеграл расходится, значит, ряд в точке
x=3
расходится.

Ответ:
область сходимости ряда [-3;3).

Второй способ
определения области сходимости степенного
ряда основан на применении формулы
радиуса сходимости степенного ряда:

,
где
икоэффициентыичленов ряда.

Для данного ряда
имеем:

. R=3.

ряд сходится

Интервал
сходимости ряда: -3<x<3.

Далее, как и в
предыдущем случае, надо исследовать в
граничных точках: x
=
.

Ответ:
область сходимости ряда [-3;3).

Отметим,
что второй
способ определения области сходимости
степенного ряда с использованием формулы
радиуса сходимости ряда
более рационален.

Пример 2.

Найти область
сходимости степенного ряда:
.

Найдем R
– радиус сходимости ряда.

.
.

Интервал сходимости
ряда (-;).

Исследуем ряд на
сходимость в точках x
= –иx
=
.

x
= –
,

Получим
знакочередующийся ряд. Применим признак
Лейбница:

1.
члены ряда, взятые по абсолютной величине,
монотонно убывают.

2.
,
следовательно, ряд в точкеx
= –сходится.

x
=
,.

Получили ряд
с положительными членами. Применим
интегральный признак Коши.

Здесь
:

,
члены ряда
монотонно убывают.

Функция
на промежутке:

непрерывна;
положительна;
монотонно убывает;
,
,,
…. т.е.f(x)
– функция, образующая ряд.

Несобственный
интеграл расходится, ряд расходится.

Ответ:
[-;)
– область сходимости ряда.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
#
26.08.2019183.47 Кб0Н1.rtf

Источник

Пример 1:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 3:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:

R – радиус сходимости. Вычислим его:

x₁ = 2 – 1 = 1
x₂ = 2 + 1 = 3
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (1;3)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = 1
Получаем ряд:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница выполняется.
Ряд сходится, значит, x = 1 – точка сходимости.
При x = 3
получаем ряд:

числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 3 – точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x [1;3)

Пример 4:

Исследовать область сходимости функционального ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 5:

Найти область сходимости степенного ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 6:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом члены ряда не определены при х=-3/11, а если х≠-3/11, то

при любом х – ряд расходится всюду.

Пример 7:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Областью сходимости степенного ряда является интервал (-R;R), где:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7ba_%7bn%7d%7d%7ba_%7bn%2B1%7d%7d%7d$
R – радиус сходимости. Вычислим его:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=R%20=%20lim_%7bn%20to%20infty%20%7d%7bfrac%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d%7d%7bfrac%7bn%2B1%7d%7b2%5e%7bn%2B1%7d%7d%7d%7d%20=%202$
x1 = -1 – 2 = -3
x2 = -1 + 2 = 1
Итак, ряд является сходящимся (абсолютно) при всех x, принадлежащих интервалу (-3;1)
Теперь проверим сходимость ряда на концах этого интервала.
Пусть x = -3
Получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3(-3)%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7b(-1)%5e%7bn%7dcdot%20n%7d$
Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.
а) По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие не выполняется
1<2<3
б) По второму признаку Лейбница предел ряда должен стремится к 0.

Второе условие Лейбница не выполняется.
Ряд расходится, значит, x = -3 – точка расходимости.
При x = 1
получаем ряд:
$https://chart.googleapis.com/chart?cht=tx&chl=sum%7bfrac%7bn%7d%7b2%5e%7bn%7d%7d(3cdot%201%2B1)%5e%7bn%7d%7d%20=%20sum%7bn%7d$
числовой знакоположительный ряд.
Исследуем его сходимость при помощи интегрального признака сходимости Коши. Рассмотрим несобственный интеграл:

Так как несобственный интеграл расходится, то расходится и исследуемый ряд. Значит, x = 1 – точка расходимости.
Таким образом, данный степенной ряд является сходящимся при x (-3;1)

Пример 8:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=4/9, то ряд принимает вид – знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=2/3, то ряд принимает вид – такой ряд расходится (по признаку сравнения, т.к. и ряд расходится (гармонический ряд)).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [4/9;2/3).

Пример 9:

Найдите множество абсолютной (условной) сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Пример 10:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=-3/7, то ряд принимает вид – знакочередующийся ряд с монотонно убывающими по абсолютной величине, стремящимися к нулю членами. Такой ряд сходится (по теореме Лейбница).

Если x=-1/7, то ряд принимает вид – такой ряд также сходится (обобщенный гармонический ряд с параметром p=11>1).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: [-3/7;-1/7].

Пример 11:

Найдите множества абсолютной (условной) сходимости ряда

Решение от преподавателя:

Это числовой знакочередующийся ряд, исследуем его по признаку Лейбница.

Проверяем выполнение признака Лейбница:

Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, то ряд сходится.

Ряд знакочередующийся. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

По первому признаку Лейбница каждый последующий член ряда по абсолютной величине должен быть меньше предыдущего, т.е. для нашего ряда это условие выполняется

Второе условие Лейбница выполняется.

Данный ряд сходится, так как удовлетворяет условиям признака Лейбница для знакочередующихся рядов.

Следовательно, ряд условно сходящийся.

Следовательно, сходится условно и исходный ряд.

Область сходимости ряда:(-∞; +∞)

Пример 12:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид – обобщенный гармонический ряд с параметром .

Такой ряд сходится, если

Однако и поэтому при любом х – ряд всюду расходится.

Пример 13:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

По признаку Лейбница ряд расходится

Т. о., область сходимости имеет вид (-1; 1)

Пример 14:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

: общий член ряда имеет вид , при этом

Следовательно, ряд сходится, если

и расходится, если

Если x=1/6, то ряд принимает вид – такой ряд расходится (не выполнено необходимое условие сходимости).

Если x=3/2, то ряд принимает вид – такой ряд также расходится (также не выполнено необходимое условие сходимости).

Окончательно получаем область сходимости исходного ряда: .

Пример 15:

Найти область сходимости ряда:

Решение от преподавателя:

Источник

Выпишем общий член и следущий:

$$ u_n = frac{x^n}{n^2} $$

$$ u_{n+1} frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} $$

Найдем отношения следующего и предыдущего члена ряда: $$ frac{u_{n+1}}{u_n} = frac{x^{n+1} n^2}{(n+1)^2 x^n} = frac{x n^2}{(n+1)^2} $$

Находим предел модуля полученного выражения:

$$ limlimits_{n to infty} bigg |frac{u_{n+1}}{u_n} bigg | = limlimits_{n to infty} bigg |frac{x n^2}{(n+1)^2} bigg | = $$

Так как $ n $ положительное, то палочки можно убрать. А $ x $ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, поэтому его выносить за знак модуля не станем.

$$ = |x| limlimits_{n to infty} frac{n^2}{(n+1)^2} = frac{infty}{infty} = $$

Вынесем $ n^2 $ за скобки и выполним сокращение числителя и знаменателя:

$$ = |x| limlimits_{n to infty} frac{n^2}{n^2 (1+frac{1}{n})^2} = |x| limlimits_{n to infty} frac{1}{(1+frac{1}{n})^2} = $$

Вычисляем предел окончательно:

$$ =|x| cdot 1 = |x| $$

Итак, предел равен:

$$ limlimits_{n to infty} bigg |frac{x n^2}{(n+1)^2} bigg | = |x| $$

Составим строгое неравенство всегда меньшее единицы:

$$ |x|<1 $$

Раскроем модуль и получим, что интервал сходимости:

$$ -1 < x < 1 $$

Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

1) Возьмём левую границу $ x = -1 $

Подставляя $ x = -1 $ в исходный ряд, получаем ряд: $ sum_{n=1}^infty frac{(-1)^n}{n^2} $

Так как ряд знакочередующийся из-за $ (-1)^n $, то исследуем сходимость по признаку Лейбница:

1) Ряд знакочередующийся

2) $ limlimits_{n to infty} bigg | frac{(-1)^n}{n^2} bigg | = limlimits_{n to infty} frac{1}{n^2} = 0 $

Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку $ x=-1 $ можно включить в область сходимости.

2) Возьмём правую границу $ x = 1 $

Подставим $ x = 1 $ в исходный ряд и получим: $ sum_{n=1}^infty frac{1}{n^2} $

Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором $ p = 2 $. А так как $ p>1 $, то ряд сходится. Значит, можно точку $ x = 1 $ записать в область сходимости.

Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда $ sum_{n = 1}^infty frac{x^n}{n^2} $ записывается в виде: $ -1 leqslant x leqslant 1 $

Найдем радиус сходимости $ R = frac{b-a}{2} = frac{1+1}{2} = 1 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Источник

Знакочередующийся ряд — математический ряд, члены которого попеременно принимают значения противоположных знаков, то есть:

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n-1},b_{n},;b_{n}>0}$

Признак Лейбница[править | править код]

Формулировка[править | править код]

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть дан знакочередующийся ряд

${displaystyle S=sum _{n=1}^{infty }(-1)^{n-1}b_{n}, b_{n}geq 0}$

для которого выполняются следующие условия:

${displaystyle b_{n}geq b_{n+1}}$ , начиная с некоторого номера (),
$lim _{{nto infty }}b_{n}=0.$

Тогда такой ряд сходится.

Замечания[править | править код]

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Такие ряды могут сходиться абсолютно (если сходится ряд ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }b_{n}}$ ), а могут сходиться условно (если ряд из модулей расходится).

Монотонное убывание не является необходимым для сходимости знакочередующегося ряда (в то время как ${displaystyle lim _{nto infty }b_{n}=0}$ — необходимое условие сходимости для любого ряда), таким образом и сам признак является только достаточным, но не необходимым (например, ряд ${displaystyle sum _{n=2}^{infty }{frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n}}}}$ сходится). С другой стороны, монотонное убывание существенно для применения признака Лейбница; если оно отсутствует, то ряд может расходиться даже несмотря на то, что второе условие признака Лейбница выполнено. Пример расходящегося знакочередующегося ряда с немонотонным убыванием членов^[1]:

${displaystyle {frac {1}{1}}-{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}-{frac {1}{4}}+{frac {1}{3}}-{frac {1}{6}}+dots +{frac {1}{n}}-{frac {1}{2n}}+dots }$

Удвоенные частичные суммы этого ряда совпадают с частичными суммами гармонического ряда и поэтому неограниченно растут.

Доказательство[править | править код]

Доказательство

Рассмотрим две последовательности частичных сумм ряда ${displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+ldots -b_{2n}}$ и ${displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+ldots +b_{2n+1}}$ .

Первая последовательность не убывает: ${displaystyle R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}leq 0}$ по первому условию.

По тому же условию
вторая последовательность не возрастает: ${displaystyle L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}geq 0}$ .

Вторая последовательность мажорирует первую, то есть ${displaystyle L_{n}geq R_{m}}$ для любых . Действительно,

при

имеем: ${displaystyle L_{n}-R_{m}geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,}$

при

имеем: ${displaystyle L_{n}-R_{m}geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.}$

Следовательно они обе сходятся как монотонные ограниченные последовательности.

Осталось заметить, что: $lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ , поэтому они сходятся к общему пределу ,
который и является суммой исходного ряда.

Попутно мы показали, что для любой частичной суммы ряда $S_{n}$ имеет место оценка $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$ .

Пример[править | править код]

$sum _{{n=1}}^{infty }(-1)^{{n+1}}{frac {1}{n}};$ . Ряд из модулей имеет вид $sum _{{n=1}}^{infty }{frac {1}{n}}$ — это гармонический ряд, который расходится.

Теперь воспользуемся признаком Лейбница:

знакочередование выполнено
${frac {1}{n+1}}<{frac {1}{n}},;forall ;n$
$lim _{{nto infty }},{frac {1}{n}}=0$ .

Следовательно, так как все условия выполнены, ряд сходится (причем условно, так как ряд из модулей расходится).

Оценка остатка ряда Лейбница[править | править код]

Из теоремы Лейбница вытекает следствие, позволяющее оценить погрешность вычисления неполной суммы ряда (остаток ряда):

$S_{n}=sum _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.$

Остаток сходящегося знакочередующегося ряда ${displaystyle R_{n}=S-S_{n}}$ будет по модулю меньше первого отброшенного слагаемого:

${displaystyle left|R_{n}right|<b_{n+1}.}$

Знакопеременный ряд[править | править код]

Знакочередующиеся ряды также иногда называют знакопеременными^[3], однако этот термин может также означать любые ряды, имеющие одновременно бесконечное число положительных и отрицательных членов.

См. также[править | править код]

Признак Дирихле — обобщение признака Лейбница

Литература[править | править код]

Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 296.
Воробьёв Н. Н. Теория рядов. — 4-е изд. — М.: Наука, 1979. — 408 с. — (Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов).
Иванов Г. Е. Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами // Лекции по математическому анализу. — М.: МФТИ, 2000. — Т. 1. — С. 299—303. — 359 с. — 800 экз. — ISBN 5-7417-0147-7.

Примечания[править | править код]

↑ Воробьёв, 1979, с. 84—85.
↑ Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учеб. для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления т. 2 стр. 302

Источник

Содержание:

Равномерная сходимость функциональных рядов
Круг сходимости степенного ряда
Теорема Абеля
Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости

Рассмотрим теперь ряды, членами которых являются не числа, а функции.

Определение 3.1. Пусть функции заданы на одном и том же множестве X. Назовем функциональным рядом с общим членом выражение

Если заменять в этом выражении переменную х любым числом то получим числовой ряд:

Таким образом, каждый функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемых из него подстановкой вместо переменной ее значений.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Эти числовые ряды могут сходиться при одних значениях аргументов и расходиться при других значениях. Например, как мы знаем, ряд

сходится, если и расходится, если

Определение 3.2. Множество значений аргумента х, при которых сходится функциональный ряд называется областью сходимости этого ряда.

Таким образом, каждому значению из области сходимости ряда соответствует число —сумма данного ряда при Тем самым в области сходимости ряда определена функция называемая суммой этого ряда. Частичные суммы ряда будем обозначать а его остаток обозначим гл(х). Таким образом, в области сходимости имеем:

Чаще всего используют функциональные ряды двух типов: степенные и тригонометрические.

1. Степенные ряды — это ряды вида:

Таким образом, степенной ряд является частным случаем функционального ряда, где имеет вид:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Частичная сумма степенного ряда является многочленом. Поэтому вычисление ее значения сводится к арифметическим операциям над значениями аргументов, числом и коэффициентами ряда. При = 0 степенной ряд принимает вид:

Из произвольного степенного ряда можно получить ряд типа (3.2), сделав замену . Поэтому ясно, что если ряд (3.2) сходится в области X, то ряд (3.1) сходится в области вида:

2. Тригонометрические ряды — это функциональные ряды вида:

’

где — постоянные числа, причем . При получаем тригонометрический ряд в форме

Из общего тригонометрического ряда с помощью замены получаем ряд вида (3.4). Отсюда следует, что если X — область сходимости ряда (3.4), то ряд (3.3) сходится в области

Равномерная сходимость функциональных рядов

I. Введение. Важным является вопрос о взаимоотношении между свойствами членов функционального ряда и свойствами его суммы:

Рассмотрение простых примеров показывает, что эти свойства могут существенно отличаться. Например, все функции могут быть непрерывными, а функция — разрывной, последовательность интегралов от функции может не сходиться к интегралу от функции и т. д.

Пример с решением

Пример 1.

Функции . непрерывны на отрезке [0; 1]. При этом

Поэтому функция равна нулю на [0; 1[ и равна 1 при х = 1. Эта функция разрывна.

Пример 2.

Пусть

Тогда для любого имеем (для этого следует из того, что все sn (х) = 0 при п >—, а для это следует из того, что все а для из того, что все Поэтому и Но Мы видим, что, хотя

Поэтому необходимо выделить класс функциональных рядов, для которых имеют место теоремы, аналогичные теоремам о конечных суммах: непрерывность суммы ряда, состоящего из непрерывных функций, возможность почленного интегрирования и дифференцирования и т. д.

Круг сходимости степенного ряда

Теорема Абеля

Определение 14.1. Выражение вида , где — комплексные числа, называется степенным рядом в комплексной области с центром в точке .

Подстановка сводит такой ряд к частному случаю со

рядов вида (с центром в точке ). Это позволяет нам формулировать и доказывать все теоремы о степенных рядах для такого частного случая.

Теорема 14.1 (Абеля). Если ряд сходится в некоторой точке то он абсолютно сходится при любом , таком, что

Доказательство. Так как ряд сходится, Поэтому последовательность

… ограничена, т. е. существует такое L, что для всех . Возьмем теперь любое такое, что Тогда

положительными членами сходится как геометрическая прогрессия, оо знаменатель которой меньше 1. Значит, сходится ряд

а потому абсолютно сходится.

Следствие. Если ряд расходится в точке то он расходится во всех точках , таких, что Доказывается от противного.

Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости

Теорема Абеля позволяет найти область сходимости степенного ряда Обозначим через X множество всех неотрицательных чисел г, для которых сходится числовой ряд (R): оо

, имеющий неотрицательные члены, а через Y — множество неотрицательных чисел , для которых этот ряд расходится. Множество X непусто, так как

Если Y пусто, то ряд (R) сходится для всех значений , а тогда ряд (С) абсолютно сходится для всех — для любого z найдется такое и потому для всех

Пусть теперь Y не пусто. Тогда X расположено слева от Y.

В самом деле, если сходится, а тогда , поскольку в противном случае сходился бы ряд 2 1<+ и мы имели бы, что Так как, кроме того, любое неотрицательное число принадлежит либо X, либо Y, то множества X и Y разделяются единственным числом р (иначе точки разделяющего промежутка не принадлежали бы ни X, ни У).

Мы докажем сейчас, что для любого , такого, что , ряд (С) сходится, а для любого такого, что , этот ряд расходится .

В самом деле, пусть . Выберем число г, такое, что Так как то ряд (R) сходится, а в силу

сходится и ряд т. е. ряд (С) абсолютно сходится. Пусть 1=0 теперь . Выберем такое , что Если бы ряд (С) сходился, то по теореме Абеля сходился бы ряд (R) и мы имели бы что невозможно, так как . Значит, ряд (С) расходится. Мы доказали следующее утверждение.

Теорема 14.2. Либо степенной ряд сходится для всех либо существует такое неотрицательное число что этот ряд абсолютно сходится внутри круга и расходится вне этого круга (т. е. при ); что же касается точек г, лежащих на границе круга (т. е. таких, что ), то ряд может сходиться в одних из них и расходиться в других.

Если то ряд сходится лишь при . Для рядов вида область заменяется на

Итак, возможны следующие три случая:

а) Ряд сходится для всех значений Пример:

б) Ряд сходится лишь при

Пример:

в) Существует число такое, что ряд сходится при и расходится при

Пример: (здесь р = 1).

Число р называется радиусом сходимости ряда (в случае а) полагают ), а область — кругом сходимости этого ряда. Если ряды рассматривают лишь для действительных значений z, то областью сходимости является пересечение круга сходимости с действительной осью, т. е. промежуток (интервал сходимости).

Пример с решением

Пример 1.

Найдем область сходимости ряда

Решение:

Для этого ряда:

Применим признак Даламбера, как это делалось для аналогичной цели в примерах § 10. Имеем:

Ряд абсолютно сходится при и расходится при поэтому абсолютная сходимость имеет место, если , т. е. если При этот ряд расходится. Следовательно, Исследуем ряд на концах интервала сходимости. Пусть теперь Тогда получаем расходящийся ряд Наконец, при получаем знакочередующийся ряд который сходится по теореме Лейбница. Область сходимости ряда — промежуток